Set 3 — towards the bagrut

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבע שאלות בנוסח הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותה פתיחה: משולש שווה שוקיים ושטח בזווית כפולה, פונקציה שהופכת לפרבולה ב-sin⁡x\sin x, ביטוי שמתגלה כקבוע, ומשוואה עם סכום למכפלה.

כמו בבחינה: כל סעיף משתמש בסעיף שלפניו. ובסוף כל משוואה בודקים שני דברים: שהערך של sin⁡\sin או cos⁡\cos בין −1-1 ל-11, ושהפתרון בתחום ההגדרה של הביטוי המקורי.

Exercises

Exercise 1

ABCD
AB=AC=kAB=AC=k, ∠BAC=2α\angle BAC=2\alpha, והגובה ADAD חוצה את הזווית.

במשולש שווה שוקיים ABCABC נתון AB=AC=kAB=AC=k ו-∠BAC=2α\angle BAC=2\alpha, כאשר 0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ. ADAD הוא הגובה לבסיס BCBC. א. הביעו את BCBC באמצעות kk ו-α\alpha.

  1. BC=2kcos⁡αBC=2k\cos\alpha
  2. BC=ksin⁡2αBC=k\sin 2\alpha
  3. BC=2ksin⁡αBC=2k\sin\alpha
  4. BC=ksin⁡αBC=k\sin\alpha
Show the answer and the solution

Answer: C BC=2ksin⁡αBC=2k\sin\alpha

Worked solution:

∠BAD=α\angle BAD=\alpha

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס חוצה את זווית הראש

BD=ksin⁡αBD=k\sin\alpha

במשולש ישר הזווית ABDABD: הניצב שמול α\alpha שווה ליתר כפול sin⁡α\sin\alpha

BC=2BD=2ksin⁡α\begin{aligned}BC &= 2BD \\ &= 2k\sin\alpha\end{aligned}

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון

הנכונה: 2ksin⁡α2k\sin\alpha. 2kcos⁡α2k\cos\alpha הוא 2AD2AD — הניצב שליד α\alpha. ksin⁡2αk\sin 2\alpha מערבב את הזווית הכפולה עם הצלע.

Check the answer on elev

Exercise 2

ABCD
AB=AC=kAB=AC=k, ∠BAC=2α\angle BAC=2\alpha, והגובה ADAD חוצה את הזווית.

במשולש שווה שוקיים ABCABC נתון AB=AC=kAB=AC=k ו-∠BAC=2α\angle BAC=2\alpha, כאשר 0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ. ADAD הוא הגובה לבסיס BCBC. ב. הראו כי שטח המשולש הוא S=12k2sin⁡2αS=\frac{1}{2}k^2\sin 2\alpha, וחשבו אותו כאשר k=6k=6 ו-α=15∘\alpha=15^\circ.

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

S=12⋅BC⋅AD=12⋅2ksin⁡α⋅kcos⁡α\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2}\cdot BC\cdot AD \\ &= \tfrac{1}{2}\cdot 2k\sin\alpha\cdot k\cos\alpha\end{aligned}

נוסחת שטח משולש: בסיס כפול גובה חלקי 2, עם AD=kcos⁡αAD=k\cos\alpha

=k2sin⁡αcos⁡α=12k2sin⁡2α=k^2\sin\alpha\cos\alpha=\tfrac{1}{2}k^2\sin 2\alpha

זהות הזווית הכפולה

12⋅36⋅sin⁡30∘=9\tfrac{1}{2}\cdot 36\cdot\sin 30^\circ=9

מציבים k=6k=6, 2α=30∘2\alpha=30^\circ

אותה תוצאה מתקבלת מנוסחת השטח 12AB⋅AC⋅sin⁡∠BAC\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot\sin\angle BAC — כי הזווית בראש היא 2α2\alpha. מי שהציב sin⁡15∘\sin 15^\circ שכח שהזווית כפולה.

Check the answer on elev

Exercise 3

ABCD
AB=AC=kAB=AC=k, ∠BAC=2α\angle BAC=2\alpha, והגובה ADAD חוצה את הזווית.

במשולש שווה שוקיים ABCABC נתון AB=AC=kAB=AC=k ו-∠BAC=2α\angle BAC=2\alpha, כאשר 0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ. ADAD הוא הגובה לבסיס BCBC. ג. נתון ששטח המשולש הוא k24\frac{k^2}{4}. מצאו את שני הערכים האפשריים של α\alpha, במעלות, מהקטן לגדול.

α=\alpha= ____ או α=\alpha= ____

Show the answer and the solution

Answer: α=\alpha= 15 או α=\alpha= 75

Worked solution:

12k2sin⁡2α=k24 ⇒ sin⁡2α=12\begin{aligned}\tfrac{1}{2}k^2\sin 2\alpha &= \tfrac{k^2}{4} \ \Rightarrow \ \sin 2\alpha \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

השטח מסעיף ב, ומחלקים ב-k2>0k^2>0

0∘<2α<180∘ ⇒ 2α=30∘ או 2α=150∘\begin{aligned}0^\circ<2\alpha<180^\circ \ \Rightarrow \ 2\alpha &= 30^\circ \ \text{או} \ 2\alpha \\ &= 150^\circ\end{aligned}

לסינוס שתי זוויות בחצי המעגל העליון

α=15∘ או α=75∘\begin{aligned}\alpha &= 15^\circ \ \text{או} \ \alpha \\ &= 75^\circ\end{aligned}

שתיהן בתחום

שני משולשים שונים עם אותו שטח: זווית ראש של 30∘30^\circ או של 150∘150^\circ. מי שמצא רק 15∘15^\circ שכח את הזווית הקהה.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה הפונקציה f(x)=cos⁡2x+2sin⁡xf(x)=\cos 2x+2\sin x בתחום 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi. א. הראו כי f(x)=−2sin⁡2x+2sin⁡x+1f(x)=-2\sin^2 x+2\sin x+1. כמה נקודות חיתוך יש לגרף של ff עם ציר ה-xx בתחום?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x=1-2\sin^2 x

הצורה עם sin⁡x\sin x

2s2−2s−1=0 s=sin⁡x ⇒ s=1±32\begin{aligned}2s^2-2s-1 &= 0 \\ \ s &= \sin x \ \Rightarrow \ s \\ &= \tfrac{1\pm\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

משוואה ריבועית

1+32≈1.37>1 נפסלsin⁡x=1−32≈−0.37\begin{aligned}\tfrac{1+\sqrt{3}}{2}\approx 1.37>1 \ \text{נפסל} \\ \qquad \sin x &= \tfrac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0.37\end{aligned}

רק ערך אחד בין −1-1 ל-11

sin⁡x≈−0.37: שתי זוויות, ברביע השלישי וברביע הרביעי\sin x\approx -0.37: \ \text{שתי זוויות, ברביע השלישי וברביע הרביעי}

ישר אופקי שלילי פוגש את המעגל פעמיים

שתיים. הערך 1+32\frac{1+\sqrt{3}}{2} גדול מ-11 ונפסל. מי שספר ארבע לא בדק אותו.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה הפונקציה f(x)=cos⁡2x+2sin⁡xf(x)=\cos 2x+2\sin x בתחום 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi. ב. מצאו את הערך המקסימלי של ff בתחום. (היעזרו בצורה מסעיף א.)

Show the answer and the solution

Answer: 1.5

Worked solution:

h(s)=−2s2+2s+1−1≤s≤1\begin{aligned}h(s) &= -2s^2+2s+1 \\ \quad -1\le s\le 1\end{aligned}

ff כפונקציה של s=sin⁡xs=\sin x

s0=−22⋅(−2)=12\begin{aligned}s_0 &= -\tfrac{2}{2\cdot(-2)} \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

קודקוד הפרבולה, והוא בתוך הקטע

h(12)=−12+1+1=32\begin{aligned}h\left(\tfrac{1}{2}\right) &= -\tfrac{1}{2}+1+1 \\ &= \tfrac{3}{2}\end{aligned}

הערך המקסימלי

בלי נגזרת: ff היא פרבולה הפוכה ב-sin⁡x\sin x. מי שהציב sin⁡x=1\sin x=1 קיבל 11 — אבל הקודקוד נמצא ב-12\frac{1}{2}, לא בקצה.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה הפונקציה f(x)=cos⁡2x+2sin⁡xf(x)=\cos 2x+2\sin x בתחום 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi. ג. באילו ערכי xx בתחום מקבלת ff את הערך המקסימלי?

  1. x=π6x=\frac{\pi}{6} בלבד
  2. x=π3x=\frac{\pi}{3} ו-x=2π3x=\frac{2\pi}{3}
  3. x=π2x=\frac{\pi}{2}
  4. x=π6x=\frac{\pi}{6} ו-x=5π6x=\frac{5\pi}{6}
Show the answer and the solution

Answer: D x=π6x=\frac{\pi}{6} ו-x=5π6x=\frac{5\pi}{6}

Worked solution:

sin⁡x=12\sin x=\tfrac{1}{2}

המקסימום מסעיף ב

x=π6 5π6\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{6} \\ \ \tfrac{5\pi}{6}\end{aligned}

שתי זוויות ב-0≤x≤2π0\le x\le 2\pi

הנכונה: π6\frac{\pi}{6} ו-5π6\frac{5\pi}{6}. ff מקבלת את המקסימום פעמיים. π2\frac{\pi}{2} הוא המקום שבו sin⁡x\sin x מקסימלי, לא ff.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתון הביטוי g(x)=sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡xg(x)=\frac{\sin 3x}{\sin x}-\frac{\cos 3x}{\cos x}, המוגדר לכל xx שבו sin⁡x≠0\sin x\neq 0 ו-cos⁡x≠0\cos x\neq 0. א. הוכיחו או הפריכו: g(x)=2g(x)=2 לכל xx בתחום ההגדרה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

g(x)=sin⁡3xcos⁡x−cos⁡3xsin⁡xsin⁡xcos⁡xg(x)=\frac{\sin 3x\cos x-\cos 3x\sin x}{\sin x\cos x}

מכנה משותף

sin⁡3xcos⁡x−cos⁡3xsin⁡x=sin⁡(3x−x)=sin⁡2x\begin{aligned}\sin 3x\cos x-\cos 3x\sin x &= \sin(3x-x) \\ &= \sin 2x\end{aligned}

סינוס של הפרש, מימין לשמאל

sin⁡2xsin⁡xcos⁡x=2sin⁡xcos⁡xsin⁡xcos⁡x=2\begin{aligned}\frac{\sin 2x}{\sin x\cos x} &= \frac{2\sin x\cos x}{\sin x\cos x} \\ &= 2\end{aligned}

זווית כפולה

הטענה נכונה. הביטוי נראה תלוי ב-xx, אבל הוא קבוע. המפתח: המונה אחרי מכנה משותף הוא נוסחת הפרש.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתון הביטוי g(x)=sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡xg(x)=\frac{\sin 3x}{\sin x}-\frac{\cos 3x}{\cos x}, המוגדר לכל xx שבו sin⁡x≠0\sin x\neq 0 ו-cos⁡x≠0\cos x\neq 0. ב. כמה פתרונות יש למשוואה g(x)=2cos⁡xg(x)=2\cos x בתחום 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

2=2cos⁡x ⇒ cos⁡x=1\begin{aligned}2 &= 2\cos x \ \Rightarrow \ \cos x \\ &= 1\end{aligned}

לפי סעיף א

x=0 2π\begin{aligned}x &= 0 \\ \ 2\pi\end{aligned}

הפתרונות בתחום

sin⁡0=sin⁡2π=0\begin{aligned}\sin 0 &= \sin 2\pi \\ &= 0\end{aligned}

שם gg אינה מוגדרת: שני הפתרונות נפסלים

אין פתרון. cos⁡x=1\cos x=1 דווקא בנקודות שבהן sin⁡x=0\sin x=0, ושם gg לא מוגדרת. תמיד בודקים את התחום של הביטוי המקורי.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה המשוואה sin⁡5x−sin⁡x=sin⁡2x\sin 5x-\sin x=\sin 2x. א. מהו הפתרון הכללי של המשוואה?

  1. x=πk2x=\frac{\pi k}{2}
  2. x=πk2x=\frac{\pi k}{2} או x=±π9+2πk3x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}
  3. x=πkx=\pi k או x=±π9+2πk3x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}
  4. x=±π9+2πk3x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}
Show the answer and the solution

Answer: B x=πk2x=\frac{\pi k}{2} או x=±π9+2πk3x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}

Worked solution:

sin⁡5x−sin⁡x=2cos⁡3xsin⁡2x\sin 5x-\sin x=2\cos 3x\sin 2x

הפרש סינוסים

sin⁡2x (2cos⁡3x−1)=0\sin 2x\,(2\cos 3x-1)=0

גורם משותף — לא מחלקים

sin⁡2x=0 ⇒ x=πk2\begin{aligned}\sin 2x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{\pi k}{2}\end{aligned}

2x=πk2x=\pi k

cos⁡3x=12 ⇒ 3x=±π3+2πk ⇒ x=±π9+2πk3\begin{aligned}\cos 3x &= \tfrac{1}{2} \ \Rightarrow \ 3x \\ &= \pm\tfrac{\pi}{3}+2\pi k \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm\tfrac{\pi}{9}+\tfrac{2\pi k}{3}\end{aligned}

מחלקים ב-33 גם את המחזור

הנכונה: x=πk2x=\frac{\pi k}{2} או x=±π9+2πk3x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}. x=πkx=\pi k שכח לחלק ב-22 ומאבד את π2\frac{\pi}{2}. בלי המשפחה πk2\frac{\pi k}{2} חילקו ב-sin⁡2x\sin 2x.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה המשוואה sin⁡5x−sin⁡x=sin⁡2x\sin 5x-\sin x=\sin 2x. ב. כמה פתרונות יש למשוואה בתחום 0≤x≤π0\le x\le\pi?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

x=πk2: 0 π2 π\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi k}{2}: \ 0 \\ \ \tfrac{\pi}{2} \\ \ \pi\end{aligned}

שלושה, עם הקצוות

x=π9+2πk3: π9 7π9\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{9}+\tfrac{2\pi k}{3}: \ \tfrac{\pi}{9} \\ \ \tfrac{7\pi}{9}\end{aligned}

k=0,1k=0,1

x=−π9+2πk3: 5π9x=-\tfrac{\pi}{9}+\tfrac{2\pi k}{3}: \ \tfrac{5\pi}{9}

k=1k=1; עם k=0k=0 שלילי

שישה: 0,π9,π2,5π9,7π9,π0, \frac{\pi}{9}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}, \pi. במשפחה עם −π9-\frac{\pi}{9}, k=0k=0 נותן מספר שלילי — מתחילים מ-k=1k=1.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade