בגרות 35471 — חורף 2026

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35471 (4 יחידות לימוד, שאלון ראשון), חורף תשפ״ו, 2026. משך הבחינה: שלוש שעות וחצי. ענו על חמש מן השאלות 1–8, על שאלה אחת לפחות מכל פרק (לכל שאלה – 20 נקודות). פרק ראשון – סטטיסטיקה והסתברות: שאלות 1–3. פרק שני – גאומטרייה: שאלות 4–5. פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש: שאלות 6–8. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות.

כאן כתובות כל שמונה השאלות, ב־49 סעיפים, כדי שתוכלו להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים חמש. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, והפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercises

שאלה 1 — התפלגות נורמלית: הבחינה הפסיכומטרית

Exercise 1

א. מצאו את סטיית התקן של הציונים בבחינה.

Show the answer and the solution

Answer: 85

Worked solution:

z=686−550σ=1.6\begin{aligned}z &= \frac{686 - 550}{\sigma} \\ &= 1.6\end{aligned}

ציון התקן של לימור

σ=1361.6=85\begin{aligned}\sigma &= \frac{136}{1.6} \\ &= 85\end{aligned}

סטיית התקן היא 8585.

Check the answer on elev

Exercise 2

החוג לספרותהחוג לפסיכולוגיה
ציון הסף584669

ציון הסף הוא הציון הנמוך ביותר שצריך להשיג בבחינה כדי להתקבל לחוג מסוים. בטבלה שלפניכם מוצג ציון הסף הנדרש כדי להתקבל לחוג לספרות וציון הסף הנדרש כדי להתקבל לחוג לפסיכולוגיה באוניברסיטה מסוימת. גם יעל ניגשה לבחינה בשנה זו. נתון כי 57.9%57.9\% מן הנבחנים קיבלו ציון נמוך מן הציון של יעל. ב. האם יעל יכולה להתקבל לחוג לספרות? נמקו את תשובתכם.

  1. כן: יעל עברה את 57.9%57.9\% מן הנבחנים, יותר ממחציתם
  2. לא: הציון של יעל הוא 567567, נמוך מציון הסף 584584
  3. כן: הציון של יעל הוא 584584 בדיוק
  4. לא: הציון של יעל הוא 533533, נמוך מן הממוצע
Show the answer and the solution

Answer: B לא: הציון של יעל הוא 567567, נמוך מציון הסף 584584

Worked solution:

Φ(z)=0.579⇒z=0.2\begin{aligned}\Phi(z) &= 0.579 \Rightarrow z \\ &= 0.2\end{aligned}

השטח משמאל לציון של יעל; בטבלה Φ(0.2)=0.5793\Phi(0.2) = 0.5793

X=550+0.2⋅85=567\begin{aligned}X &= 550 + 0.2 \cdot 85 \\ &= 567\end{aligned}
567<584567 < 584

לא: יעל קיבלה 567567, ונדרש לפחות 584584. המלכודת: z=−0.2z = -0.2 — 57.9%57.9\% קיבלו פחות ממנה, לכן הציון שלה מעל הממוצע.

Check the answer on elev

Exercise 3

החוג לספרותהחוג לפסיכולוגיה
ציון הסף584669

ציון הסף הוא הציון הנמוך ביותר שצריך להשיג בבחינה כדי להתקבל לחוג מסוים. בטבלה שלפניכם מוצג ציון הסף הנדרש כדי להתקבל לחוג לספרות וציון הסף הנדרש כדי להתקבל לחוג לפסיכולוגיה באוניברסיטה מסוימת. ג (1). מצאו את אחוז הנבחנים שיכולים להתקבל לחוג לפסיכולוגיה.

Show the answer and the solution

Answer: 8.08

Worked solution:

z=669−55085=1.4\begin{aligned}z &= \frac{669 - 550}{85} \\ &= 1.4\end{aligned}
P(X≥669)=1−Φ(1.4)=1−0.9192=0.0808\begin{aligned}P(X \ge 669) &= 1 - \Phi(1.4) \\ &= 1 - 0.9192 \\ &= 0.0808\end{aligned}

8.08%8.08\% מן הנבחנים.

Check the answer on elev

Exercise 4

החוג לספרותהחוג לפסיכולוגיה
ציון הסף584669

ציון הסף הוא הציון הנמוך ביותר שצריך להשיג בבחינה כדי להתקבל לחוג מסוים. בטבלה שלפניכם מוצג ציון הסף הנדרש כדי להתקבל לחוג לספרות וציון הסף הנדרש כדי להתקבל לחוג לפסיכולוגיה באוניברסיטה מסוימת. ג (2). מצאו את אחוז הנבחנים שיכולים להתקבל לחוג לספרות אך אינם יכולים להתקבל לחוג לפסיכולוגיה.

Show the answer and the solution

Answer: 26.38

Worked solution:

z=584−55085=0.4⇒Φ(0.4)=0.6554\begin{aligned}z &= \frac{584 - 550}{85} \\ &= 0.4 \Rightarrow \Phi(0.4) \\ &= 0.6554\end{aligned}
P(584≤X<669)=0.9192−0.6554=0.2638\begin{aligned}P(584 \le X < 669) &= 0.9192 - 0.6554 \\ &= 0.2638\end{aligned}

26.38%26.38\%. המלכודת: לענות 34.46%34.46\%, כל מי שעבר את 584584, בלי להוריד את מי שעבר גם את 669669.

Check the answer on elev

Exercise 5

החוג לספרותהחוג לפסיכולוגיה
ציון הסף584669

ציון הסף הוא הציון הנמוך ביותר שצריך להשיג בבחינה כדי להתקבל לחוג מסוים. בטבלה שלפניכם מוצג ציון הסף הנדרש כדי להתקבל לחוג לספרות וציון הסף הנדרש כדי להתקבל לחוג לפסיכולוגיה באוניברסיטה מסוימת. נתון כי 8,4488{,}448 נבחנים יכולים להתקבל לחוג לספרות אך אינם יכולים להתקבל לחוג לפסיכולוגיה. ד. על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית, כמה נבחנים יכולים להתקבל לחוג לפסיכולוגיה?

Show the answer and the solution

Answer: 2588

Worked solution:

N=84480.2638≈32,024N = \frac{8448}{0.2638} \approx 32{,}024

מספר הנבחנים: 8,4488{,}448 הם 26.38%26.38\% מהם

0.0808⋅32,024≈2587.6≈25880.0808 \cdot 32{,}024 \approx 2587.6 \approx 2588

מספר הנבחנים הוא מספר שלם

בערך 2,5882{,}588 נבחנים. המלכודת: לחשב רק את מספר הנבחנים, ולשכוח את השלב האחרון.

Check the answer on elev

שאלה 2 — מתאם ורגרסיה: טמפרטורה וצריכת מים

Exercise 6

א (1). מצאו את הממוצע של הטמפרטורה המקסימלית ב־66 הימים שנבדקו.

Show the answer and the solution

Answer: 25

Worked solution:

xˉ=20+22+24+26+28+306=1506=25\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{20 + 22 + 24 + 26 + 28 + 30}{6} \\ &= \frac{150}{6} \\ &= 25\end{aligned}

הממוצע הוא 2525 מעלות.

Check the answer on elev

Exercise 7

א (2). מצאו את סטיית התקן של הטמפרטורה המקסימלית ב־66 הימים שנבדקו.

Show the answer and the solution

Answer: 3.416

Worked solution:

x−xˉ: −5,−3,−1,1,3,5x - \bar{x}: \ -5, -3, -1, 1, 3, 5
Sx=25+9+1+1+9+256=706≈3.416\begin{aligned}S_x &= \sqrt{\frac{25 + 9 + 1 + 1 + 9 + 25}{6}} \\ &= \sqrt{\frac{70}{6}} \approx 3.416\end{aligned}

סטיית התקן היא 353≈3.42\sqrt{\frac{35}{3}} \approx 3.42 מעלות. המלכודת: לחלק ב־55.

Check the answer on elev

Exercise 8

התזונאי חישב ומצא כי הממוצע של צריכת המים של יוסי ב־66 הימים שנבדקו הוא 2.42.4 ליטר, וסטיית התקן של צריכת המים שלו היא 7630\frac{7\sqrt{6}}{30} ליטר. ב. מצאו את מקדם המתאם rr בין שני המשתנים.

Show the answer and the solution

Answer: 0.973

Worked solution:

y−yˉ: −0.8,−0.7,0,0.3,0.5,0.7y - \bar{y}: \ -0.8, -0.7, 0, 0.3, 0.5, 0.7
∑(x−xˉ)(y−yˉ)=4+2.1+0+0.3+1.5+3.5=11.4⇒cov=1.9\begin{aligned}\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y}) &= 4 + 2.1 + 0 + 0.3 + 1.5 + 3.5 \\ &= 11.4 \Rightarrow \text{cov} \\ &= 1.9\end{aligned}
r=1.93.416⋅0.5715≈0.973r = \frac{1.9}{3.416 \cdot 0.5715} \approx 0.973

r≈0.973r \approx 0.973, מתאם חיובי חזק מאוד.

Check the answer on elev

Exercise 9

התזונאי חישב ומצא כי הממוצע של צריכת המים של יוסי ב־66 הימים שנבדקו הוא 2.42.4 ליטר, וסטיית התקן של צריכת המים שלו היא 7630\frac{7\sqrt{6}}{30} ליטר. ג. מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי yy על פי xx.

y=y = ____ x+x + ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y = 0.1629 x+x + -1.671

Worked solution:

b=covSx2=1.935/3=5.735≈0.1629\begin{aligned}b &= \frac{\text{cov}}{S_x^2} \\ &= \frac{1.9}{35/3} \\ &= \frac{5.7}{35} \approx 0.1629\end{aligned}
y−2.4=0.1629(x−25)⇒y≈0.1629x−1.671y - 2.4 = 0.1629(x - 25) \Rightarrow y \approx 0.1629x - 1.671

הישר עובר בנקודת הממוצעים (25,2.4)(25, 2.4)

ישר הרגרסיה: y≈0.1629x−1.671y \approx 0.1629x - 1.671.

Check the answer on elev

Exercise 10

התזונאי חישב ומצא כי הממוצע של צריכת המים של יוסי ב־66 הימים שנבדקו הוא 2.42.4 ליטר, וסטיית התקן של צריכת המים שלו היא 7630\frac{7\sqrt{6}}{30} ליטר. התזונאי הכפיל כל אחד מנתוני צריכת המים של יוסי (המשתנה yy) פי 33, כדי לייצג את צריכת המים של המשפחה של יוסי. ד. בעבור כל אחד מן המדדים I, II שלפניכם, קבעו אם הערך שלו גדל, קטן או לא השתנה לאחר ההכפלה. נמקו את קביעותיכם. I. הממוצע של המשתנה yy.

  1. לא השתנה: הקשר בין המשתנים נשאר
  2. גדל: הממוצע הוכפל פי 33, ל־7.27.2
  3. קטן: הנתונים התפזרו
Show the answer and the solution

Answer: B גדל: הממוצע הוכפל פי 33, ל־7.27.2

Worked solution:

yˉ′=3yˉ=7.2\begin{aligned}\bar{y}' &= 3\bar{y} \\ &= 7.2\end{aligned}

כפל כל הנתונים במספר כופל את הממוצע

הממוצע גדל פי 33, מ־2.42.4 ל־7.27.2.

Check the answer on elev

Exercise 11

התזונאי חישב ומצא כי הממוצע של צריכת המים של יוסי ב־66 הימים שנבדקו הוא 2.42.4 ליטר, וסטיית התקן של צריכת המים שלו היא 7630\frac{7\sqrt{6}}{30} ליטר. התזונאי הכפיל כל אחד מנתוני צריכת המים של יוסי (המשתנה yy) פי 33, כדי לייצג את צריכת המים של המשפחה של יוסי. ד. בעבור כל אחד מן המדדים I, II שלפניכם, קבעו אם הערך שלו גדל, קטן או לא השתנה לאחר ההכפלה. נמקו את קביעותיכם. II. סטיית התקן של המשתנה yy.

  1. קטנה: הנתונים התקרבו לממוצע
  2. גדלה: סטיית התקן הוכפלה פי 33
  3. לא השתנתה: הכפלה אינה משנה את הפיזור
Show the answer and the solution

Answer: B גדלה: סטיית התקן הוכפלה פי 33

Worked solution:

Sy′=3Sy=7610≈1.71\begin{aligned}S_{y'} &= 3S_y \\ &= \frac{7\sqrt{6}}{10} \approx 1.71\end{aligned}

סטיית התקן גדלה פי 33. המלכודת: חיבור קבוע אינו משנה את סטיית התקן — כפל משנה.

Check the answer on elev

Exercise 12

התזונאי חישב ומצא כי הממוצע של צריכת המים של יוסי ב־66 הימים שנבדקו הוא 2.42.4 ליטר, וסטיית התקן של צריכת המים שלו היא 7630\frac{7\sqrt{6}}{30} ליטר. התזונאי הכפיל כל אחד מנתוני צריכת המים של יוסי (המשתנה yy) פי 33, כדי לייצג את צריכת המים של המשפחה של יוסי. ה. מצאו את השיפוע של ישר הרגרסיה לניבוי yy על פי xx לאחר ההכפלה. נמקו את תשובתכם.

Show the answer and the solution

Answer: 0.4886

Worked solution:

cov′=3⋅1.9=5.7 Sx לא השתנתה\begin{aligned}\text{cov}' &= 3 \cdot 1.9 \\ &= 5.7 \\ \ S_x \text{ לא השתנתה}\end{aligned}
b′=5.735/3=3⋅0.1629≈0.4886\begin{aligned}b' &= \frac{5.7}{35/3} \\ &= 3 \cdot 0.1629 \approx 0.4886\end{aligned}

השיפוע גדל פי 33, לכ־0.48860.4886. מקדם המתאם rr לא השתנה.

Check the answer on elev

שאלה 3 — הסתברות: מחזור והתנדבות ביישוב

Exercise 13

א (1). מצאו את אחוז המשפחות ביישוב שממחזרות.

Show the answer and the solution

Answer: 72

Worked solution:

p=(1−p)+0.44⇒2p=1.44⇒p=0.72\begin{aligned}p &= (1 - p) + 0.44 \Rightarrow 2p \\ &= 1.44 \Rightarrow p \\ &= 0.72\end{aligned}

pp — ההסתברות שמשפחה ממחזרת

72%72\% מן המשפחות ממחזרות.

Check the answer on elev

Exercise 14

א (2). מצאו את אחוז המשפחות ביישוב שממחזרות וגם מתנדבות.

Show the answer and the solution

Answer: 40

Worked solution:

0.72⋅59=0.40.72 \cdot \frac{5}{9} = 0.4

59\frac{5}{9} מן הממחזרות

40%40\%. המלכודת: 59≈55.6%\frac{5}{9} \approx 55.6\% — זה החלק מן הממחזרות, לא מכל המשפחות.

Check the answer on elev

Exercise 15

מספר המשפחות ביישוב שממחזרות וגם מתנדבות גדול פי 55 ממספר המשפחות ביישוב שאינן ממחזרות וגם אינן מתנדבות. ב. בוחרים באקראי משפחה מן היישוב. מהי ההסתברות שמשפחה זו מתנדבת?

Show the answer and the solution

Answer: 0.6

Worked solution:

P(Rˉ∩Vˉ)=0.45=0.08\begin{aligned}P(\bar{R} \cap \bar{V}) &= \frac{0.4}{5} \\ &= 0.08\end{aligned}

לא ממחזרת ולא מתנדבת

P(Rˉ∩V)=0.28−0.08=0.2\begin{aligned}P(\bar{R} \cap V) &= 0.28 - 0.08 \\ &= 0.2\end{aligned}
P(V)=0.4+0.2=0.6\begin{aligned}P(V) &= 0.4 + 0.2 \\ &= 0.6\end{aligned}

ההסתברות היא 0.60.6.

Check the answer on elev

Exercise 16

מספר המשפחות ביישוב שממחזרות וגם מתנדבות גדול פי 55 ממספר המשפחות ביישוב שאינן ממחזרות וגם אינן מתנדבות. ג. בוחרים באקראי משפחה מן היישוב שמתנדבת. מהי ההסתברות שמשפחה זו אינה ממחזרת?

Show the answer and the solution

Answer: 0.3333

Worked solution:

P(Rˉ∣V)=0.20.6=13\begin{aligned}P(\bar{R} \mid V) &= \frac{0.2}{0.6} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

ההסתברות היא 13\frac{1}{3}.

Check the answer on elev

Exercise 17

מספר המשפחות ביישוב שממחזרות וגם מתנדבות גדול פי 55 ממספר המשפחות ביישוב שאינן ממחזרות וגם אינן מתנדבות. ביישוב זה יש 750750 משפחות. ד. מצאו כמה משפחות ביישוב ממחזרות או מתנדבות.

Show the answer and the solution

Answer: 690

Worked solution:

P(R∪V)=1−P(Rˉ∩Vˉ)=1−0.08=0.92\begin{aligned}P(R \cup V) &= 1 - P(\bar{R} \cap \bar{V}) \\ &= 1 - 0.08 \\ &= 0.92\end{aligned}

"או" — לפחות אחד מן השניים

0.92⋅750=6900.92 \cdot 750 = 690

690690 משפחות. המלכודת: לחבר 0.72+0.60.72 + 0.6 בלי להחסיר את החיתוך.

Check the answer on elev

שאלה 4 — משולש חסום במעגל במערכת צירים

Exercise 18

א (1). הוכיחו כי ∠ABO=∠BCE\angle ABO = \angle BCE.

  • ACAC קוטר במעגל
  • AA על ציר ה־yy, BB ו־EE על ציר ה־xx
  • CE⊥CE \perp ציר ה־xx

∠ABO=∠BCE\angle ABO = \angle BCE

Show the answer and the solution
  1. ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
  2. ∠ABO+∠CBE=90∘\angle ABO + \angle CBE = 90^\circ — סכום הזוויות ABOABO, ABCABC, CBECBE על הישר OEOE הוא 180∘180^\circ
  3. ∠BCE+∠CBE=90∘\angle BCE + \angle CBE = 90^\circ — סכום הזוויות במשולש BECBEC, שבו ∠BEC=90∘\angle BEC = 90^\circ
  4. ∠ABO=∠BCE\angle ABO = \angle BCE — שתי זוויות המשלימות את אותה זווית ל־90∘90^\circ שוות זו לזו

Worked solution:

∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ

היקפית על הקוטר ACAC

∠ABO=90∘−∠CBE=∠BCE\begin{aligned}\angle ABO &= 90^\circ - \angle CBE \\ &= \angle BCE\end{aligned}

זווית שטוחה ב־BB, וסכום הזוויות במשולש BECBEC

שתי הזוויות משלימות את ∠CBE\angle CBE ל־90∘90^\circ.

Check the answer on elev

Exercise 19

א (2). הוכיחו כי △AOB∼△BEC\triangle AOB \sim \triangle BEC.

  • ∠ABO=∠BCE\angle ABO = \angle BCE (סעיף א (1))
  • ∠AOB=90∘\angle AOB = 90^\circ (הצירים מאונכים)
  • CE⊥CE \perp ציר ה־xx

△AOB∼△BEC\triangle AOB \sim \triangle BEC

Show the answer and the solution
  1. ∠AOB=∠BEC=90∘\angle AOB = \angle BEC = 90^\circ — הצירים מאונכים זה לזה, ו־CECE אנך לציר ה־xx
  2. ∠ABO=∠BCE\angle ABO = \angle BCE — הוכח בסעיף א (1)
  3. △AOB∼△BEC\triangle AOB \sim \triangle BEC — משפט הדמיון ז״ז

Worked solution:

∠AOB=∠BEC=90∘ ∠ABO=∠BCE\begin{aligned}\angle AOB &= \angle BEC \\ &= 90^\circ \\ \ \angle ABO &= \angle BCE\end{aligned}
△AOB∼△BEC (ז״ז)\triangle AOB \sim \triangle BEC \ (\text{ז״ז})

ההתאמה: A↔BA \leftrightarrow B, O↔EO \leftrightarrow E, B↔CB \leftrightarrow C

דמיון בשתי זוויות. ההתאמה קובעת את הצלעות המתאימות: AO↔BEAO \leftrightarrow BE, OB↔ECOB \leftrightarrow EC.

Check the answer on elev

Exercise 20

נתון כי יחס הדמיון בין המשולש BECBEC ובין המשולש AOBAOB הוא 33, וכי A(0,12)A(0, 12), B(9,0)B(9, 0). ב (1). מצאו את אורך הצלע BEBE.

Show the answer and the solution

Answer: 36

Worked solution:

BEAO=3\frac{BE}{AO} = 3

BEBE מתאימה ל־AOAO

BE=3⋅12=36\begin{aligned}BE &= 3 \cdot 12 \\ &= 36\end{aligned}

BE=36BE = 36. המלכודת: BE=3⋅OB=27BE = 3 \cdot OB = 27 — OBOB מתאימה ל־ECEC.

Check the answer on elev

Exercise 21

נתון כי יחס הדמיון בין המשולש BECBEC ובין המשולש AOBAOB הוא 33, וכי A(0,12)A(0, 12), B(9,0)B(9, 0). ב (2). מצאו את שיעורי הקודקוד CC.

C(C( ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: C(C( 45 ,, 27 ))

Worked solution:

E=(9+36,0)=(45,0)\begin{aligned}E &= (9 + 36, 0) \\ &= (45, 0)\end{aligned}
EC=3⋅OB=27⇒C(45,27)\begin{aligned}EC &= 3 \cdot OB \\ &= 27 \Rightarrow C(45, 27)\end{aligned}

C(45,27)C(45, 27).

Check the answer on elev

Exercise 22

נתון כי יחס הדמיון בין המשולש BECBEC ובין המשולש AOBAOB הוא 33, וכי A(0,12)A(0, 12), B(9,0)B(9, 0). בנקודה CC העבירו משיק למעגל. ג. מצאו את משוואת המשיק.

y=y = ____ x+x + ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y = -3 x+x + 162

Worked solution:

mAC=27−1245−0=13\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{27 - 12}{45 - 0} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

המשיק מאונך לקוטר ACAC בנקודה CC

m=−3y−27=−3(x−45)⇒y=−3x+162\begin{aligned}m &= -3 \\ \quad y - 27 &= -3(x - 45) \Rightarrow y \\ &= -3x + 162\end{aligned}

המשיק: y=−3x+162y = -3x + 162.

Check the answer on elev

Exercise 23

נתון כי יחס הדמיון בין המשולש BECBEC ובין המשולש AOBAOB הוא 33, וכי A(0,12)A(0, 12), B(9,0)B(9, 0). בנקודה CC העבירו משיק למעגל. הנקודה KK היא נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה־xx. ד. חשבו את שטח המרובע ABKCABKC.

Show the answer and the solution

Answer: 945

Worked solution:

K: 0=−3x+162⇒K(54,0)K: \ 0 = -3x + 162 \Rightarrow K(54, 0)
SABC=AB⋅BC2=15⋅452=337.5\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{AB \cdot BC}{2} \\ &= \frac{15 \cdot 45}{2} \\ &= 337.5\end{aligned}

∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ, ו־BC=3⋅ABBC = 3 \cdot AB

SBKC=BK⋅CE2=45⋅272=607.5\begin{aligned}S_{BKC} &= \frac{BK \cdot CE}{2} \\ &= \frac{45 \cdot 27}{2} \\ &= 607.5\end{aligned}
S=337.5+607.5=945\begin{aligned}S &= 337.5 + 607.5 \\ &= 945\end{aligned}

שטח המרובע הוא 945945.

Check the answer on elev

שאלה 5 — דלתון במערכת צירים

Exercise 24

א (1). מצאו את אורך הצלע ABAB.

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

AB=(0+3)2+(6−2)2=25=5\begin{aligned}AB &= \sqrt{(0 + 3)^2 + (6 - 2)^2} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5\end{aligned}

AB=5AB = 5.

Check the answer on elev

Exercise 25

א (2). מצאו את שיעורי הקודקוד CC.

C(C( ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: C(C( -5 ,, 6 ))

Worked solution:

BC∥ציר x⇒yC=6BC \parallel \text{ציר } x \Rightarrow y_C = 6
CB=AB=5 C ברביע השני⇒C(−5,6)\begin{aligned}CB &= AB \\ &= 5 \\ \ C \text{ ברביע השני} \Rightarrow C(-5, 6)\end{aligned}

C(−5,6)C(-5, 6).

Check the answer on elev

Exercise 26

ב. מצאו את משוואת האלכסון DBDB.

y=y = ____ x+x + ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y = 0.5 x+x + 6

Worked solution:

אמצע AC=(−4,4)\text{אמצע } AC = (-4, 4)

האלכסון הראשי של דלתון הוא האנך האמצעי לאלכסון המשני

m=6−40+4=12⇒y=12x+6\begin{aligned}m &= \frac{6 - 4}{0 + 4} \\ &= \frac{1}{2} \Rightarrow y \\ &= \frac{1}{2}x + 6\end{aligned}

DBDB: y=12x+6y = \frac{1}{2}x + 6. בדיקה: mAC=−2m_{AC} = -2, ומכפלת השיפועים −1-1.

Check the answer on elev

Exercise 27

נתון: משוואת הצלע ADAD היא y=13x+3y = \frac{1}{3}x + 3. ג. מצאו את שיעורי הקודקוד DD.

D(D( ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: D(D( -18 ,, -3 ))

Worked solution:

13x+3=12x+6⇒x=−18\begin{aligned}\frac{1}{3}x + 3 &= \frac{1}{2}x + 6 \Rightarrow x \\ &= -18\end{aligned}

DD על ADAD ועל DBDB

y=−6+3=−3\begin{aligned}y &= -6 + 3 \\ &= -3\end{aligned}

D(−18,−3)D(-18, -3).

Check the answer on elev

Exercise 28

נתון: משוואת הצלע ADAD היא y=13x+3y = \frac{1}{3}x + 3. הנקודה MM היא מפגש אלכסוני הדלתון. ד. מצאו את גודל הזווית ADMADM.

Show the answer and the solution

Answer: 8.13

Worked solution:

M=(−4,4)M = (-4, 4)

האלכסונים נפגשים באמצע ACAC

tan⁡∠ADM=12−131+12⋅13=17\begin{aligned}\tan \angle ADM &= \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} \\ &= \frac{1}{7}\end{aligned}

הזווית בין DADA (m=13m = \frac{1}{3}) ובין DMDM (m=12m = \frac{1}{2})

∠ADM≈8.13∘\angle ADM \approx 8.13^\circ

∠ADM≈8.13∘\angle ADM \approx 8.13^\circ (ההפרש בין 26.57∘26.57^\circ ל־18.43∘18.43^\circ).

Check the answer on elev

Exercise 29

נתון: משוואת הצלע ADAD היא y=13x+3y = \frac{1}{3}x + 3. הנקודה EE היא אמצע הצלע DCDC. ה. חשבו את שטח המשולש ADEADE.

Show the answer and the solution

Answer: 17.5

Worked solution:

SADC=AC⋅DM2=20⋅2452=702=35\begin{aligned}S_{ADC} &= \frac{AC \cdot DM}{2} \\ &= \frac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{245}}{2} \\ &= \frac{70}{2} \\ &= 35\end{aligned}

DM⊥ACDM \perp AC

SADE=12SADC=17.5\begin{aligned}S_{ADE} &= \frac{1}{2} S_{ADC} \\ &= 17.5\end{aligned}

AEAE תיכון במשולש ADCADC, והוא מחלק אותו לשני משולשים שווי שטח

שטח המשולש ADEADE הוא 17.517.5.

Check the answer on elev

שאלה 6 — פונקציה רציונלית עם פרמטר

Exercise 30

א. מצאו את הערך של aa.

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

f′(x)=−2a(x−4)3f'(x) = \frac{-2a}{(x - 4)^3}
f′(6)=−2a8=−3⇒a=12\begin{aligned}f'(6) &= \frac{-2a}{8} \\ &= -3 \Rightarrow a \\ &= 12\end{aligned}

a=12a = 12.

Check the answer on elev

Exercise 31

הציבו a=12a = 12, וענו על הסעיפים ב–ה. ב (1). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

עם ציר ה־yy: (0,(0, ____ )) ; מספר נקודות החיתוך עם ציר ה־xx: ____

Show the answer and the solution

Answer: עם ציר ה־yy: (0,(0, 0.75 )) ; מספר נקודות החיתוך עם ציר ה־xx: 0

Worked solution:

f(0)=1216=0.75\begin{aligned}f(0) &= \frac{12}{16} \\ &= 0.75\end{aligned}
12(x−4)2≠0\frac{12}{(x - 4)^2} \neq 0

המונה אינו מתאפס: אין חיתוך עם ציר ה־xx

(0,0.75)(0, 0.75) בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 32

הציבו a=12a = 12, וענו על הסעיפים ב–ה. ב (2). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x)f(x).

x=x = ____ , y=y = ____

Show the answer and the solution

Answer: x=x = 4 , y=y = 0

Worked solution:

x=4x = 4

המכנה מתאפס והמונה לא

x→±∞: f(x)→0x \to \pm\infty: \ f(x) \to 0

x=4x = 4 ו־y=0y = 0.

Check the answer on elev

Exercise 33

הציבו a=12a = 12, וענו על הסעיפים ב–ה. ב (3). מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x).

  1. עלייה: x<0x < 0 ; ירידה: 0<x<40 < x < 4
  2. הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה
  3. עלייה: x<4x < 4 ; ירידה: x>4x > 4
  4. עלייה: x>4x > 4 ; ירידה: x<4x < 4
Show the answer and the solution

Answer: C עלייה: x<4x < 4 ; ירידה: x>4x > 4

Worked solution:

f′(x)=−24(x−4)3f'(x) = \frac{-24}{(x - 4)^3}
x<4:(x−4)3<0⇒f′>0;x>4:f′<0x < 4: (x - 4)^3 < 0 \Rightarrow f' > 0; \quad x > 4: f' < 0

עלייה ב־x<4x < 4, ירידה ב־x>4x > 4.

Check the answer on elev

Exercise 34

הציבו a=12a = 12, וענו על הסעיפים ב–ה. ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x). בחרו את התיאור שמתאים לסקיצה.

  1. ענף אחד שעובר דרך (0,0.75)(0, 0.75) ויש לו מקסימום ב־x=4x = 4
  2. שני ענפים: השמאלי מעל ציר ה־xx והימני מתחתיו
  3. שני ענפים מתחת לציר ה־xx, סימטריים סביב x=4x = 4
  4. שני ענפים מעל ציר ה־xx: השמאלי עולה מ־y=0y = 0 דרך (0,0.75)(0, 0.75) אל האסימפטוטה x=4x = 4, והימני יורד ממנה ומתקרב ל־y=0y = 0
Show the answer and the solution

Answer: D שני ענפים מעל ציר ה־xx: השמאלי עולה מ־y=0y = 0 דרך (0,0.75)(0, 0.75) אל האסימפטוטה x=4x = 4, והימני יורד ממנה ומתקרב ל־y=0y = 0

Worked solution:

f(x)>0 לכל x≠4f(x) > 0 \text{ לכל } x \neq 4

המונה 1212 והמכנה ריבוע

x→4:f→+∞x \to 4: f \to +\infty

בשני הצדדים

שני ענפים חיוביים, סימטריים סביב x=4x = 4, שמתקרבים ל־y=0y = 0 ולאסימפטוטה x=4x = 4.

Check the answer on elev

Exercise 35

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

הציבו a=12a = 12, וענו על הסעיפים ב–ה. תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x). ד (1). קבעו איזה מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x).

  1. גרף IV
  2. גרף I
  3. גרף II
  4. גרף III
Show the answer and the solution

Answer: D גרף III

Worked solution:

x<4:f′>0;x>4:f′<0x < 4: f' > 0; \quad x > 4: f' < 0

מתחומי העלייה והירידה

x→4−:f′→+∞; x→4+:f′→−∞x \to 4^-: f' \to +\infty; \ x \to 4^+: f' \to -\infty

גרף III: מעל ציר ה־xx משמאל ל־x=4x = 4, ומתחתיו מימין. המלכודות: גרף I הוא ff עצמה; גרף IV הוא −f′-f'.

Check the answer on elev

Exercise 36

הציבו a=12a = 12, וענו על הסעיפים ב–ה. תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x). ד (2). חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), על ידי הישר x=3x = 3, על ידי ציר ה־xx ועל ידי ציר ה־yy.

Show the answer and the solution

Answer: 11.25

Worked solution:

0≤x≤3: f′(x)>00 \le x \le 3: \ f'(x) > 0
S=∫03f′(x) dx=f(3)−f(0)=12−0.75=11.25\begin{aligned}S &= \int_0^3 f'(x)\,dx \\ &= f(3) - f(0) \\ &= 12 - 0.75 \\ &= 11.25\end{aligned}

ff היא פונקציה קדומה של f′f'

השטח הוא 11.2511.25.

Check the answer on elev

Exercise 37

הציבו a=12a = 12, וענו על הסעיפים ב–ה. נתונה הפונקציה g(x)=f′(x)+2g(x) = f'(x) + 2. ה. בכמה גדול השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x)g(x), על ידי הישר x=3x = 3, על ידי ציר ה־xx ועל ידי ציר ה־yy, מן השטח שמצאתם בסעיף ד (2)? נמקו את תשובתכם.

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

∫03g(x) dx=∫03f′(x) dx+∫032 dx\int_0^3 g(x)\,dx = \int_0^3 f'(x)\,dx + \int_0^3 2\,dx

גם g>0g > 0 בתחום

=11.25+6⇒ההפרש: 2⋅3=6= 11.25 + 6 \Rightarrow \text{ההפרש: } 2 \cdot 3 = 6

מלבן שבסיסו 33 וגובהו 22

השטח גדול ב־66.

Check the answer on elev

שאלה 7 — פונקציית שורש

Exercise 38

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

x≤x \le ____

Show the answer and the solution

Answer: x≤x \le 7

Worked solution:

7−x≥0⇒x≤77 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 7

תחום ההגדרה: x≤7x \le 7.

Check the answer on elev

Exercise 39

א (2). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם ציר ה־xx. (כתבו משמאל לימין.)

(( ____ ,0), 0) ו־(( ____ ,0), 0)

Show the answer and the solution

Answer: (( 0 ,0), 0) ו־(( 7 ,0), 0)

Worked solution:

x27−x=0⇒x=0 או x=7\begin{aligned}x^2 \sqrt{7 - x} &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 7\end{aligned}

(0,0)(0, 0) ו־(7,0)(7, 0).

Check the answer on elev

Exercise 40

א (3). מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

(( ____ ,, ____ )) , (( ____ ,, ____ )) ו־(( ____ ,, ____ )) (משמאל לימין)

Show the answer and the solution

Answer: (( 0 ,, 0 )) , (( 5.6 ,, 37.106 )) ו־(( 7 ,, 0 )) (משמאל לימין)

Worked solution:

f′(x)=2x7−x−x227−x=x(28−5x)27−x\begin{aligned}f'(x) &= 2x\sqrt{7 - x} - \frac{x^2}{2\sqrt{7 - x}} \\ &= \frac{x(28 - 5x)}{2\sqrt{7 - x}}\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

f′(x)=0⇒x=0 x=5.6\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= 5.6\end{aligned}
x<0:f′<0; 0<x<5.6:f′>0; 5.6<x<7:f′<0x < 0: f' < 0; \ 0 < x < 5.6: f' > 0; \ 5.6 < x < 7: f' < 0
f(5.6)=31.361.4≈37.106f(7)=0\begin{aligned}f(5.6) &= 31.36\sqrt{1.4} \approx 37.106 \\ \quad f(7) &= 0\end{aligned}

מינימום (0,0)(0, 0), מקסימום (5.6,37.11)(5.6, 37.11), ומינימום קצה (7,0)(7, 0). המלכודת: לשכוח את נקודת הקצה x=7x = 7.

Check the answer on elev

Exercise 41

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x). בחרו את התיאור שמתאים לסקיצה.

  1. משמאל הגרף עולה אל (0,0)(0, 0), יורד עד מינימום ב־x=5.6x = 5.6, ועולה אחרי x=7x = 7
  2. הגרף מוגדר לכל xx, עם מקסימום ב־(5.6,37.1)(5.6, 37.1)
  3. הגרף מתחיל ב־(0,0)(0, 0), עולה עד (5.6,37.1)(5.6, 37.1), ויורד אל (7,0)(7, 0)
  4. משמאל הגרף יורד מגבוה אל (0,0)(0, 0), עולה עד (5.6,37.1)(5.6, 37.1), ויורד אל (7,0)(7, 0), שם הוא נגמר
Show the answer and the solution

Answer: D משמאל הגרף יורד מגבוה אל (0,0)(0, 0), עולה עד (5.6,37.1)(5.6, 37.1), ויורד אל (7,0)(7, 0), שם הוא נגמר

Worked solution:

x→−∞:f(x)→+∞x \to -\infty: f(x) \to +\infty

שני הגורמים חיוביים וגדלים

↘(0,0)↗(5.6,37.1)↘(7,0)\searrow (0, 0) \nearrow (5.6, 37.1) \searrow (7, 0)

הגרף מגיע מלמעלה משמאל, נוגע בציר ה־xx בראשית, עולה למקסימום ויורד לקצה (7,0)(7, 0).

Check the answer on elev

Exercise 42

נתונה הפונקציה g(x)=f(x+a)g(x) = f(x + a),‏ aa הוא פרמטר. נתון כי לפונקציה g(x)g(x) יש נקודת מקסימום פנימית בנקודה שבה x=8.6x = 8.6. ג (1). מצאו את הערך של aa. נמקו את תשובתכם.

Show the answer and the solution

Answer: -3

Worked solution:

g(x)=f(x+a): הגרף של f מוזז ב־−ag(x) = f(x + a): \text{ הגרף של } f \text{ מוזז ב־} -a
8.6+a=5.6⇒a=−3\begin{aligned}8.6 + a &= 5.6 \Rightarrow a \\ &= -3\end{aligned}

המקסימום הפנימי של ff הוא ב־x=5.6x = 5.6

a=−3a = -3: הזזה ימינה ב־33. המלכודת: a=3a = 3 — f(x+a)f(x + a) עם aa חיובי מזיזה שמאלה.

Check the answer on elev

Exercise 43

נתונה הפונקציה g(x)=f(x+a)g(x) = f(x + a),‏ aa הוא פרמטר. נתון כי לפונקציה g(x)g(x) יש נקודת מקסימום פנימית בנקודה שבה x=8.6x = 8.6. ג (2). מהו תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)g(x)?

x≤x \le ____

Show the answer and the solution

Answer: x≤x \le 10

Worked solution:

g(x)=f(x−3): x−3≤7g(x) = f(x - 3): \ x - 3 \le 7
x≤10x \le 10

תחום ההגדרה של gg: x≤10x \le 10.

Check the answer on elev

שאלה 8 — בעיית קיצון: מלבן מתחת לגרף

Exercise 44

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

x≠x \neq ____

Show the answer and the solution

Answer: x≠x \neq 8

Worked solution:

x−8≠0x - 8 \neq 0

תחום ההגדרה: x≠8x \neq 8.

Check the answer on elev

Exercise 45

א (2). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x)f(x).

x=x = ____ , y=y = ____

Show the answer and the solution

Answer: x=x = 8 , y=y = 6

Worked solution:

x=8x = 8

המכנה מתאפס, המונה 36≠036 \neq 0

x→±∞:f(x)→61=6x \to \pm\infty: f(x) \to \frac{6}{1} = 6

יחס המקדמים המובילים

x=8x = 8 ו־y=6y = 6.

Check the answer on elev

Exercise 46

הנקודה AA היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם ציר ה־xx. ב. מצאו את שיעורי הנקודה AA.

A(A( ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: A(A( 2 ,, 0 ))

Worked solution:

6x−12=0⇒x=2\begin{aligned}6x - 12 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

A(2,0)A(2, 0).

Check the answer on elev

Exercise 47

הנקודה AA היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם ציר ה־xx. הנקודה CC נמצאת על גרף הפונקציה f(x)f(x) בתחום x>8x > 8. מן הנקודה CC העבירו אנך לציר ה־xx החותך אותו בנקודה BB. הנקודה DD נמצאת ברביע הראשון כך ש־ABCDABCD הוא מלבן. נסמן ב־tt את שיעור ה־xx של הנקודה CC. ג. הביעו באמצעות tt את היקף המלבן ABCDABCD.

  1. 2(t−2)+2(6t−12)t−82(t - 2) + \frac{2(6t - 12)}{t - 8}
  2. 2t+2(6t−12)t−82t + \frac{2(6t - 12)}{t - 8}
  3. (t−2)+6t−12t−8(t - 2) + \frac{6t - 12}{t - 8}
  4. (t−2)⋅6t−12t−8(t - 2) \cdot \frac{6t - 12}{t - 8}
Show the answer and the solution

Answer: A 2(t−2)+2(6t−12)t−82(t - 2) + \frac{2(6t - 12)}{t - 8}

Worked solution:

AB=t−2BC=f(t)=6t−12t−8\begin{aligned}AB &= t - 2 \\ \quad BC &= f(t) \\ &= \frac{6t - 12}{t - 8}\end{aligned}
P=2(t−2)+2(6t−12)t−8P = 2(t - 2) + \frac{2(6t - 12)}{t - 8}

ההיקף: 2(t−2)+12(t−2)t−82(t - 2) + \frac{12(t - 2)}{t - 8}. המלכודת: 2t2t — AA אינו בראשית, הוא ב־x=2x = 2.

Check the answer on elev

Exercise 48

הנקודה AA היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם ציר ה־xx. הנקודה CC נמצאת על גרף הפונקציה f(x)f(x) בתחום x>8x > 8. מן הנקודה CC העבירו אנך לציר ה־xx החותך אותו בנקודה BB. הנקודה DD נמצאת ברביע הראשון כך ש־ABCDABCD הוא מלבן. נסמן ב־tt את שיעור ה־xx של הנקודה CC. ד. מצאו את הערך של tt שבעבורו היקף המלבן ABCDABCD הוא מינימלי.

Show the answer and the solution

Answer: 14

Worked solution:

P(t)=2(t−2)+12(t−2)t−8t>8\begin{aligned}P(t) &= 2(t - 2) + \frac{12(t - 2)}{t - 8} \\ \quad t > 8\end{aligned}
P′(t)=2+12(t−8)−12(t−2)(t−8)2=2−72(t−8)2\begin{aligned}P'(t) &= 2 + \frac{12(t - 8) - 12(t - 2)}{(t - 8)^2} \\ &= 2 - \frac{72}{(t - 8)^2}\end{aligned}
(t−8)2=36⇒t=14\begin{aligned}(t - 8)^2 &= 36 \Rightarrow t \\ &= 14\end{aligned}

t=2t = 2 מחוץ לתחום

8<t<14:P′<0; t>14:P′>08 < t < 14: P' < 0; \ t > 14: P' > 0

ירידה ואז עלייה: מינימום

t=14t = 14, וההיקף המינימלי הוא 4848.

Check the answer on elev

Exercise 49

הנקודה AA היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם ציר ה־xx. הנקודה CC נמצאת על גרף הפונקציה f(x)f(x) בתחום x>8x > 8. מן הנקודה CC העבירו אנך לציר ה־xx החותך אותו בנקודה BB. הנקודה DD נמצאת ברביע הראשון כך ש־ABCDABCD הוא מלבן. נסמן ב־tt את שיעור ה־xx של הנקודה CC. ה. האם ייתכן שהיקף המלבן ABCDABCD הוא 5050? נמקו את תשובתכם.

  1. כן: ההיקף המינימלי הוא 4848, וההיקף גדל בלי גבול, ולכן הוא מקבל גם את הערך 5050
  2. כן, אבל רק בנקודה אחת: t=14t = 14
  3. לא: ההיקף המקסימלי הוא 4848
  4. לא: ההיקף המינימלי הוא 5252
Show the answer and the solution

Answer: A כן: ההיקף המינימלי הוא 4848, וההיקף גדל בלי גבול, ולכן הוא מקבל גם את הערך 5050

Worked solution:

Pmin⁡=P(14)=2⋅12+2⋅12=48<50\begin{aligned}P_{\min} &= P(14) \\ &= 2 \cdot 12 + 2 \cdot 12 \\ &= 48 < 50\end{aligned}
t→8+ או t→∞:P→∞t \to 8^+ \text{ או } t \to \infty: P \to \infty

ההיקף מקבל כל ערך מעל 4848

P=50⇒t=12 או t=17\begin{aligned}P &= 50 \Rightarrow t \\ &= 12 \ \text{או} \ t \\ &= 17\end{aligned}

כן: ההיקף המינימלי הוא 4848, וההיקף 5050 מתקבל ב־t=12t = 12 וב־t=17t = 17.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade