בגרות 35471 — קיץ 2026

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35471 (4 יחידות לימוד, שאלון ראשון), קיץ תשפ״ו, 2026. בשאלון המודפס: משך הבחינה שלוש שעות וחצי, ועונים על חמש מן השאלות 1–8, על שאלה אחת לפחות מכל פרק (לכל שאלה – 20 נקודות). למועד קיץ תשפ״ו («שאגת הארי») עדכן משרד החינוך את ההנחיות: משך הבחינה ארבע שעות, עונים על חמש שאלות ללא הגבלת פרקים, לכל שאלה 22 נקודות, וסך הכול 100 נקודות לכל היותר. פרק ראשון – סטטיסטיקה והסתברות: שאלות 1–3. פרק שני – גאומטרייה: שאלות 4–5. פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש: שאלות 6–8. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות.

כאן כתובות כל שמונה השאלות, ב־47 סעיפים, כדי שתוכלו להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים חמש. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, והפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercises

שאלה 1 — התפלגות נורמלית: משתלת «עץ ופרח»

Exercise 1

א. מצאו את סטיית התקן של אורכי הגבעולים בשנה זו.

Show the answer and the solution

Answer: 20

Worked solution:

P(X<55)=0.326⇒Φ(z)=0.326\begin{aligned}P(X < 55) &= 0.326 \Rightarrow \Phi(z) \\ &= 0.326\end{aligned}

השטח משמאל ל־5555 הוא אחוז הצמחים שנמכרו לחנויות

Φ(−0.45)=1−0.6736=0.3264⇒z=−0.45\begin{aligned}\Phi(-0.45) &= 1 - 0.6736 \\ &= 0.3264 \Rightarrow z \\ &= -0.45\end{aligned}

בטבלה: Φ(0.45)=0.6736\Phi(0.45) = 0.6736; 5555 קטן מן הממוצע, לכן zz שלילי

55−64σ=−0.45⇒σ=90.45=20\begin{aligned}\frac{55 - 64}{\sigma} &= -0.45 \Rightarrow \sigma \\ &= \frac{9}{0.45} \\ &= 20\end{aligned}

ציון התקן

סטיית התקן היא 2020 ס״מ. המלכודת: לקחת z=0.45z = 0.45 חיובי ולקבל σ\sigma שלילית — 5555 נמצא משמאל לממוצע.

Check the answer on elev

Exercise 2

צמחים שאורך הגבעול שלהם גדול מ־8080 ס״מ נשלחים לייצוא. בשנה זו, 9,5409{,}540 מן הצמחים במשתלה נשלחו לייצוא. ב (1). מצאו את אחוז הצמחים במשתלה שנשלחו לייצוא.

Show the answer and the solution

Answer: 21.19

Worked solution:

z=80−6420=0.8\begin{aligned}z &= \frac{80 - 64}{20} \\ &= 0.8\end{aligned}

ציון התקן של 8080, עם σ=20\sigma = 20 מסעיף א

P(X>80)=1−Φ(0.8)=1−0.7881=0.2119\begin{aligned}P(X > 80) &= 1 - \Phi(0.8) \\ &= 1 - 0.7881 \\ &= 0.2119\end{aligned}

הטבלה נותנת את השטח משמאל; הייצוא הוא מימין

21.19%21.19\% מן הצמחים נשלחו לייצוא. המלכודת: לענות 78.81%78.81\%, השטח משמאל ל־8080.

Check the answer on elev

Exercise 3

צמחים שאורך הגבעול שלהם גדול מ־8080 ס״מ נשלחים לייצוא. בשנה זו, 9,5409{,}540 מן הצמחים במשתלה נשלחו לייצוא. ב (2). על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית, כמה צמחים לא נשלחו לייצוא ולא נמכרו לחנויות מקומיות?

Show the answer and the solution

Answer: 20786

Worked solution:

N=95400.2119≈45,021N = \frac{9540}{0.2119} \approx 45{,}021

מספר הצמחים במשתלה: 9,5409{,}540 הם 21.19%21.19\% מכולם

P(55<X<80)=Φ(0.8)−Φ(−0.45)=0.7881−0.3264=0.4617\begin{aligned}P(55 < X < 80) &= \Phi(0.8) - \Phi(-0.45) \\ &= 0.7881 - 0.3264 \\ &= 0.4617\end{aligned}

הצמחים שבין שני הגבולות

0.4617⋅45,021≈20,7860.4617 \cdot 45{,}021 \approx 20{,}786

בערך 20,78620{,}786 צמחים (תוצאה קרובה, כמו 20,79020{,}790, מתקבלת כשמקרבים את ערכי הביניים). המלכודת: לחשב את האחוז ולשכוח שהשאלה שואלת כמה צמחים — צריך קודם את מספר הצמחים במשתלה.

Check the answer on elev

Exercise 4

בשנה שלאחר מכן, אורכי הגבעולים של הצמחים במשתלה התפלגו נורמלית, וסטיית התקן הייתה 2525 ס״מ. גם בשנה זו צמחים שאורך הגבעול שלהם קטן מ־5555 ס״מ נמכרו לחנויות מקומיות. בשנה זו גידלו במשתלה 40,00040{,}000 צמחים סך הכול. 4,0004{,}000 מן הצמחים נמכרו לחנויות מקומיות. ג. מצאו את האורך הממוצע של גבעולי הצמחים בשנה זו.

Show the answer and the solution

Answer: 87

Worked solution:

P(X<55)=400040,000=0.1\begin{aligned}P(X < 55) &= \frac{4000}{40{,}000} \\ &= 0.1\end{aligned}

אחוז הצמחים שנמכרו לחנויות

Φ(z)=0.1⇒z≈−1.28\Phi(z) = 0.1 \Rightarrow z \approx -1.28

בטבלה: Φ(1.28)≈0.9\Phi(1.28) \approx 0.9

55−μ25=−1.28⇒μ=55+32=87\begin{aligned}\frac{55 - \mu}{25} &= -1.28 \Rightarrow \mu \\ &= 55 + 32 \\ &= 87\end{aligned}

האורך הממוצע הוא 8787 ס״מ. המלכודת: לפתור 55−μ25=1.28\frac{55 - \mu}{25} = 1.28 ולקבל ממוצע קטן מ־5555 — אבל רק 10%10\% מן הצמחים קצרים מ־5555.

Check the answer on elev

שאלה 2 — מתאם ורגרסיה: הוצאות על פרסום והכנסות

Exercise 5

א (1). חשבו את ממוצע ההוצאות על פרסום של 55 החברות בחודש זה.

Show the answer and the solution

Answer: 20

Worked solution:

xˉ=10+15+20+25+305=1005=20\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{10 + 15 + 20 + 25 + 30}{5} \\ &= \frac{100}{5} \\ &= 20\end{aligned}

ממוצע ההוצאות הוא 2020 אלף שקלים.

Check the answer on elev

Exercise 6

א (2). חשבו את סטיית התקן של ההוצאות על פרסום של 55 החברות בחודש זה.

Show the answer and the solution

Answer: 7.071

Worked solution:

x−xˉ: −10, −5, 0, 5, 10x - \bar{x}: \ -10, \ -5, \ 0, \ 5, \ 10

הסטיות מן הממוצע

Sx=100+25+0+25+1005=50=52≈7.07\begin{aligned}S_x &= \sqrt{\frac{100 + 25 + 0 + 25 + 100}{5}} \\ &= \sqrt{50} \\ &= 5\sqrt{2} \approx 7.07\end{aligned}

מחלקים במספר החברות, 55

סטיית התקן היא 50=52≈7.07\sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7.07 אלף שקלים. המלכודת: לחלק ב־44 במקום ב־55.

Check the answer on elev

Exercise 7

בחברת השיווק מצאו כי ממוצע ההכנסות של 55 החברות בחודש זה היה 3131 אלף שקלים, וכי סטיית התקן של ההכנסות שלהן הייתה 868\sqrt{6} אלף שקלים. ב. מצאו את מקדם המתאם rr.

Show the answer and the solution

Answer: 0.873

Worked solution:

y−yˉ: −15, −14, −11, 3, 37y - \bar{y}: \ -15, \ -14, \ -11, \ 3, \ 37

הסטיות של ההכנסות מן הממוצע 3131

∑(x−xˉ)(y−yˉ)=150+70+0+15+370=605\begin{aligned}\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y}) &= 150 + 70 + 0 + 15 + 370 \\ &= 605\end{aligned}
r=6055⋅50⋅86=12119200≈0.873\begin{aligned}r &= \frac{605}{5 \cdot \sqrt{50} \cdot 8\sqrt{6}} \\ &= \frac{121}{\sqrt{19200}} \approx 0.873\end{aligned}

r=covSxSyr = \frac{\text{cov}}{S_x S_y}, ו־cov=6055=121\text{cov} = \frac{605}{5} = 121

r≈0.873r \approx 0.873 — מתאם חיובי חזק. המלכודת: לשכוח לחלק את סכום המכפלות ב־55 ולקבל r>1r > 1.

Check the answer on elev

Exercise 8

בחברת השיווק מצאו כי ממוצע ההכנסות של 55 החברות בחודש זה היה 3131 אלף שקלים, וכי סטיית התקן של ההכנסות שלהן הייתה 868\sqrt{6} אלף שקלים. ג (1). מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי yy על פי xx.

y=y = ____ x+x + ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y = 2.42 x+x + -17.4

Worked solution:

b=covSx2=12150=2.42\begin{aligned}b &= \frac{\text{cov}}{S_x^2} \\ &= \frac{121}{50} \\ &= 2.42\end{aligned}

השיפוע; זה גם r⋅SySxr \cdot \frac{S_y}{S_x}

y−31=2.42(x−20)y - 31 = 2.42(x - 20)

הישר עובר בנקודת הממוצעים (20,31)(20, 31)

y=2.42x−17.4y = 2.42x - 17.4

ישר הרגרסיה: y=2.42x−17.4y = 2.42x - 17.4. המלכודת: לחשב שיפוע SySx\frac{S_y}{S_x} בלי rr.

Check the answer on elev

Exercise 9

בחברת השיווק מצאו כי ממוצע ההכנסות של 55 החברות בחודש זה היה 3131 אלף שקלים, וכי סטיית התקן של ההכנסות שלהן הייתה 868\sqrt{6} אלף שקלים. ג (2). על פי ישר הרגרסיה, מהו הניבוי להכנסות החודשיות בחברה שההוצאות החודשיות שלה על פרסום הן 2424 אלף שקלים?

Show the answer and the solution

Answer: 40.68

Worked solution:

y=2.42⋅24−17.4=58.08−17.4=40.68\begin{aligned}y &= 2.42 \cdot 24 - 17.4 \\ &= 58.08 - 17.4 \\ &= 40.68\end{aligned}

הניבוי: 40.6840.68 אלף שקלים, כלומר 40,68040{,}680 שקלים.

Check the answer on elev

Exercise 10

בחברת השיווק מצאו כי ממוצע ההכנסות של 55 החברות בחודש זה היה 3131 אלף שקלים, וכי סטיית התקן של ההכנסות שלהן הייתה 868\sqrt{6} אלף שקלים. בחודש שלאחר מכן גדלו ההכנסות של כל אחת מן החברות ב־15%15\% (ההוצאות על פרסום של כל אחת מן החברות לא השתנו). ד. לפניכם שלושה היגדים I–III. קבעו עבור כל היגד אם הוא נכון או לא נכון. נמקו את קביעותיכם. I. בחודש שבו גדלו ההכנסות הייתה סטיית התקן של ההכנסות 10610\sqrt{6}.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

y′=1.15y⇒Sy′=1.15⋅86=9.26\begin{aligned}y' &= 1.15y \Rightarrow S_{y'} \\ &= 1.15 \cdot 8\sqrt{6} \\ &= 9.2\sqrt{6}\end{aligned}

כפל כל הנתונים במספר כופל את סטיית התקן באותו מספר

9.26≠1069.2\sqrt{6} \neq 10\sqrt{6}

ההיגד לא נכון: סטיית התקן החדשה היא 9.269.2\sqrt{6}. המלכודת: להוסיף 15%15\% לפי 8+2=108 + 2 = 10 — הגדלה ב־15%15\% היא כפל ב־1.151.15.

Check the answer on elev

Exercise 11

בחברת השיווק מצאו כי ממוצע ההכנסות של 55 החברות בחודש זה היה 3131 אלף שקלים, וכי סטיית התקן של ההכנסות שלהן הייתה 868\sqrt{6} אלף שקלים. בחודש שלאחר מכן גדלו ההכנסות של כל אחת מן החברות ב־15%15\% (ההוצאות על פרסום של כל אחת מן החברות לא השתנו). ד. לפניכם שלושה היגדים I–III. קבעו עבור כל היגד אם הוא נכון או לא נכון. נמקו את קביעותיכם. II. בחודש שבו גדלו ההכנסות, שיפוע ישר הרגרסיה לניבוי yy על פי xx – לא השתנה.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

cov′=1.15⋅cov⇒b′=1.15⋅12150=2.783\begin{aligned}\text{cov}' &= 1.15 \cdot \text{cov} \Rightarrow b' \\ &= \frac{1.15 \cdot 121}{50} \\ &= 2.783\end{aligned}

השונות המשותפת גדלה פי 1.151.15, ו־SxS_x לא השתנתה

ההיגד לא נכון: השיפוע גדל פי 1.151.15, ל־2.7832.783. מקדם המתאם rr הוא שלא השתנה — לא השיפוע.

Check the answer on elev

Exercise 12

בחברת השיווק מצאו כי ממוצע ההכנסות של 55 החברות בחודש זה היה 3131 אלף שקלים, וכי סטיית התקן של ההכנסות שלהן הייתה 868\sqrt{6} אלף שקלים. בחודש שלאחר מכן גדלו ההכנסות של כל אחת מן החברות ב־15%15\% (ההוצאות על פרסום של כל אחת מן החברות לא השתנו). ד. לפניכם שלושה היגדים I–III. קבעו עבור כל היגד אם הוא נכון או לא נכון. נמקו את קביעותיכם. III. הנקודה (20,35.65)(20, 35.65) נמצאת על ישר הרגרסיה לניבוי yy על פי xx בחודש שבו גדלו ההכנסות.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

xˉ′=20yˉ′=1.15⋅31=35.65\begin{aligned}\bar{x}' &= 20 \\ \quad \bar{y}' &= 1.15 \cdot 31 \\ &= 35.65\end{aligned}

הממוצעים בחודש החדש

(xˉ′,yˉ′)=(20,35.65)(\bar{x}', \bar{y}') = (20, 35.65)

ישר הרגרסיה עובר תמיד בנקודת הממוצעים

ההיגד נכון: (20,35.65)(20, 35.65) היא נקודת הממוצעים של החודש החדש.

Check the answer on elev

שאלה 3 — הסתברות: פלפלים במשק חקלאי

Exercise 13

א. מהי ההסתברות שהפלפל שנבחר הוא פלפל קטן?

Show the answer and the solution

Answer: 0.2

Worked solution:

k+4k=5k⇒P(קטן)=k5k=0.2\begin{aligned}k + 4k &= 5k \Rightarrow P(\text{קטן}) \\ &= \frac{k}{5k} \\ &= 0.2\end{aligned}

נסמן ב־kk את מספר הפלפלים הקטנים

ההסתברות היא 0.20.2. המלכודת: 14\frac{1}{4} — היחס בין הקטנים לגדולים, לא החלק של הקטנים מכל הפלפלים.

Check the answer on elev

Exercise 14

הפלפלים הגדולים במשק החקלאי הם אדומים או צהובים, והפלפלים הקטנים הם אדומים או ירוקים. 0.60.6 מן הפלפלים הגדולים הם אדומים. 0.750.75 מן הפלפלים הקטנים הם אדומים. בוחרים באקראי פלפל אחד מבין כל הפלפלים במשק החקלאי. ב. מהי ההסתברות שהפלפל שנבחר הוא פלפל גדול צהוב?

Show the answer and the solution

Answer: 0.32

Worked solution:

P(גדול)=0.8P(צהוב∣גדול)=1−0.6=0.4\begin{aligned}P(\text{גדול}) &= 0.8 \\ \quad P(\text{צהוב} \mid \text{גדול}) &= 1 - 0.6 \\ &= 0.4\end{aligned}

הגדולים שאינם אדומים הם צהובים

0.8⋅0.4=0.320.8 \cdot 0.4 = 0.32

ההסתברות היא 0.320.32. המלכודת: לענות 0.40.4, ההסתברות לצהוב מבין הגדולים בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 15

הפלפלים הגדולים במשק החקלאי הם אדומים או צהובים, והפלפלים הקטנים הם אדומים או ירוקים. 0.60.6 מן הפלפלים הגדולים הם אדומים. 0.750.75 מן הפלפלים הקטנים הם אדומים. בוחרים באקראי פלפל אחד מבין כל הפלפלים במשק החקלאי. ג (1). מהי ההסתברות שהפלפל שנבחר הוא פלפל אדום?

Show the answer and the solution

Answer: 0.63

Worked solution:

0.8⋅0.6+0.2⋅0.75=0.48+0.15=0.63\begin{aligned}0.8 \cdot 0.6 + 0.2 \cdot 0.75 &= 0.48 + 0.15 \\ &= 0.63\end{aligned}

אדום גדול או אדום קטן

ההסתברות היא 0.630.63.

Check the answer on elev

Exercise 16

הפלפלים הגדולים במשק החקלאי הם אדומים או צהובים, והפלפלים הקטנים הם אדומים או ירוקים. 0.60.6 מן הפלפלים הגדולים הם אדומים. 0.750.75 מן הפלפלים הקטנים הם אדומים. בוחרים באקראי פלפל אחד מבין כל הפלפלים במשק החקלאי. ג (2). ידוע שנבחר פלפל אדום. מהי ההסתברות שפלפל זה הוא פלפל גדול?

Show the answer and the solution

Answer: 0.7619

Worked solution:

P(גדול∣אדום)=0.480.63=1621≈0.762\begin{aligned}P(\text{גדול} \mid \text{אדום}) &= \frac{0.48}{0.63} \\ &= \frac{16}{21} \approx 0.762\end{aligned}

הסתברות מותנית

ההסתברות היא 1621≈0.762\frac{16}{21} \approx 0.762. המלכודת: 0.60.6 — זו ההסתברות לאדום בהינתן גדול, ההפך.

Check the answer on elev

Exercise 17

הפלפלים הגדולים במשק החקלאי הם אדומים או צהובים, והפלפלים הקטנים הם אדומים או ירוקים. 0.60.6 מן הפלפלים הגדולים הם אדומים. 0.750.75 מן הפלפלים הקטנים הם אדומים. בוחרים באקראי פלפל אחד מבין כל הפלפלים במשק החקלאי. כל הפלפלים במשק החקלאי נשלחים לשני בתי אריזה א׳ ו־ב׳. לבית אריזה א׳ נשלחים כל הפלפלים האדומים, ולבית אריזה ב׳ נשלחים כל הפלפלים הצהובים וכל הפלפלים הירוקים. ד. האם אחוז הפלפלים הגדולים בבית אריזה א׳ גדול או קטן מאחוז הפלפלים הגדולים בבית אריזה ב׳? נמקו את תשובתכם.

  1. גדול: בבית אריזה א׳ כ־76.2%76.2\% מן הפלפלים גדולים, ובבית אריזה ב׳ כ־32%32\%
  2. גדול: בבית אריזה א׳ 60%60\% מן הפלפלים גדולים, ובבית אריזה ב׳ 40%40\%
  3. קטן: בבית אריזה א׳ כ־76.2%76.2\% מן הפלפלים גדולים, ובבית אריזה ב׳ כ־86.5%86.5\%
  4. האחוזים שווים: בשני בתי האריזה 80%80\% מן הפלפלים גדולים
Show the answer and the solution

Answer: C קטן: בבית אריזה א׳ כ־76.2%76.2\% מן הפלפלים גדולים, ובבית אריזה ב׳ כ־86.5%86.5\%

Worked solution:

א׳: 0.480.63=1621≈0.762\text{א׳}: \ \frac{0.48}{0.63} = \frac{16}{21} \approx 0.762

בבית אריזה א׳ כל האדומים; החלק הגדול מהם — סעיף ג (2)

ב׳: P(צהוב)+P(ירוק)=0.32+0.2⋅0.25=0.37\begin{aligned}\text{ב׳}: \ P(\text{צהוב}) + P(\text{ירוק}) &= 0.32 + 0.2 \cdot 0.25 \\ &= 0.37\end{aligned}

הצהובים כולם גדולים, הירוקים כולם קטנים

0.320.37=3237≈0.865>0.762\frac{0.32}{0.37} = \frac{32}{37} \approx 0.865 > 0.762

אחוז הגדולים בבית אריזה א׳ קטן מאחוזם בבית אריזה ב׳. המלכודת: להשוות 0.320.32 — ההסתברות לגדול צהוב מכל הפלפלים — במקום החלק של הגדולים בתוך בית האריזה.

Check the answer on elev

שאלה 4 — משולש שווה שוקיים במערכת צירים

Exercise 18

א (1). מצאו את משוואת הישר ACAC.

y=y = ____ x+x + ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y = 0.5 x+x + 13

Worked solution:

mCD=−2⇒mAC=12\begin{aligned}m_{CD} &= -2 \Rightarrow m_{AC} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים −1-1

y−15=12(x−4)⇒y=12x+13\begin{aligned}y - 15 &= \frac{1}{2}(x - 4) \Rightarrow y \\ &= \frac{1}{2}x + 13\end{aligned}

הישר עובר ב־EE, אמצע ACAC

הישר ACAC: y=12x+13y = \frac{1}{2}x + 13. המלכודת: שיפוע 22 — ההופכי בלי החלפת הסימן.

Check the answer on elev

Exercise 19

א (2). מצאו את שיעורי הקודקוד CC.

C(C( ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: C(C( 10 ,, 18 ))

Worked solution:

12x+13=−2x+38⇒52x=25⇒x=10\begin{aligned}\frac{1}{2}x + 13 &= -2x + 38 \Rightarrow \frac{5}{2}x \\ &= 25 \Rightarrow x \\ &= 10\end{aligned}

CC הוא נקודת החיתוך של ACAC ו־CDCD

y=−2⋅10+38=18\begin{aligned}y &= -2 \cdot 10 + 38 \\ &= 18\end{aligned}

C(10,18)C(10, 18).

Check the answer on elev

Exercise 20

ב (1). מצאו את אורך הצלע ABAB.

Show the answer and the solution

Answer: 13.416

Worked solution:

A=(2⋅4−10, 2⋅15−18)=(−2,12)\begin{aligned}A &= (2 \cdot 4 - 10, \ 2 \cdot 15 - 18) \\ &= (-2, 12)\end{aligned}

EE אמצע ACAC

AC=122+62=180=65\begin{aligned}AC &= \sqrt{12^2 + 6^2} \\ &= \sqrt{180} \\ &= 6\sqrt{5}\end{aligned}

מרחק בין שתי נקודות

AB=AC=65≈13.42\begin{aligned}AB &= AC \\ &= 6\sqrt{5} \approx 13.42\end{aligned}

המשולש שווה שוקיים

AB=180=65≈13.42AB = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} \approx 13.42.

Check the answer on elev

Exercise 21

ב (2). מצאו את שיעורי הקודקוד BB.

B(B( ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: B(B( -8 ,, 0 ))

Worked solution:

B(x,0): (x+2)2+122=180B(x, 0): \ (x + 2)^2 + 12^2 = 180

BB על ציר ה־xx ו־AB2=180AB^2 = 180

(x+2)2=36⇒x=4 או x=−8\begin{aligned}(x + 2)^2 &= 36 \Rightarrow x \\ &= 4 \ \text{או} \ x \\ &= -8\end{aligned}
x=−8x = -8

BB על החלק השלילי של ציר ה־xx

B(−8,0)B(-8, 0). המלכודת: לקחת x=4x = 4, הפתרון שעל החלק החיובי.

Check the answer on elev

Exercise 22

ג. מצאו את גודל הזווית ABDABD ואת גודל הזווית CBDCBD.

∠ABD=\angle ABD = ____ ∘^\circ , ∠CBD=\angle CBD = ____ ∘^\circ

Show the answer and the solution

Answer: ∠ABD=\angle ABD = 63.43 ∘^\circ , ∠CBD=\angle CBD = 45 ∘^\circ

Worked solution:

mAB=12−0−2+8=2⇒tan⁡∠ABD=2⇒∠ABD≈63.43∘\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{12 - 0}{-2 + 8} \\ &= 2 \Rightarrow \tan \angle ABD \\ &= 2 \Rightarrow \angle ABD \approx 63.43^\circ\end{aligned}

הזווית בין הישר לכיוון החיובי של ציר ה־xx

mBC=18−010+8=1⇒∠CBD=45∘\begin{aligned}m_{BC} &= \frac{18 - 0}{10 + 8} \\ &= 1 \Rightarrow \angle CBD \\ &= 45^\circ\end{aligned}

∠ABD≈63.43∘\angle ABD \approx 63.43^\circ ו־∠CBD=45∘\angle CBD = 45^\circ. בדיקה: ∠ABC=63.43∘−45∘=18.43∘\angle ABC = 63.43^\circ - 45^\circ = 18.43^\circ, וזו זווית בסיס של משולש שווה שוקיים.

Check the answer on elev

Exercise 23

ד. חשבו את שטח המשולש ABCABC.

Show the answer and the solution

Answer: 54

Worked solution:

M=(−8+102,0+182)=(1,9)\begin{aligned}M &= \left(\frac{-8 + 10}{2}, \frac{0 + 18}{2}\right) \\ &= (1, 9)\end{aligned}

השוקיים הן ABAB ו־ACAC, הבסיס BCBC; MM אמצע הבסיס

AM=32+32=32BC=182+182=182\begin{aligned}AM &= \sqrt{3^2 + 3^2} \\ &= 3\sqrt{2} \\ \quad BC &= \sqrt{18^2 + 18^2} \\ &= 18\sqrt{2}\end{aligned}

במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא גם הגובה

S=BC⋅AM2=182⋅322=54\begin{aligned}S &= \frac{BC \cdot AM}{2} \\ &= \frac{18\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}}{2} \\ &= 54\end{aligned}

שטח המשולש הוא 5454. המלכודת: לקחת את ACAC כבסיס ואת BEBE כגובה — EE הוא אמצע שוק, ו־BEBE אינו מאונך ל־ACAC.

Check the answer on elev

שאלה 5 — משולש חסום במעגל ומשיק

Exercise 24

א (1). הסבירו מדוע הצלע ACAC מקבילה לציר ה־xx.

  • CBCB קוטר במעגל
  • ABAB מקבילה לציר ה־yy

ACAC מקבילה לציר ה־xx

Show the answer and the solution
  1. ∠CAB=90∘\angle CAB = 90^\circ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
  2. AC⊥ABAC \perp AB — הזווית בין הצלעות היא 90∘90^\circ
  3. ACAC מקבילה לציר ה־xx — ישר המאונך לישר המקביל לציר ה־yy מקביל לציר ה־xx

Worked solution:

∠CAB=90∘\angle CAB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על הקוטר CBCB

AC⊥AB, AB∥ציר yAC \perp AB, \ AB \parallel \text{ציר } y
AC∥ציר xAC \parallel \text{ציר } x

הזווית ההיקפית ∠CAB\angle CAB נשענת על הקוטר, ולכן AC⊥ABAC \perp AB; ו־ABAB אנכית, לכן ACAC אופקית.

Check the answer on elev

Exercise 25

א (2). הוכיחו כי △ABC∼△CFD\triangle ABC \sim \triangle CFD.

  • CBCB קוטר, CFCF משיק למעגל בנקודה CC
  • DD על המשך CBCB, ו־FF, DD על ציר ה־xx
  • ACAC מקבילה לציר ה־xx (סעיף א (1))

△ABC∼△CFD\triangle ABC \sim \triangle CFD

Show the answer and the solution
  1. ∠CAB=90∘\angle CAB = 90^\circ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
  2. ∠FCD=90∘\angle FCD = 90^\circ — משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, ו־CDCD מונח על הקוטר
  3. ∠ACB=∠CDF\angle ACB = \angle CDF — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים (ACAC וציר ה־xx)
  4. △ABC∼△CFD\triangle ABC \sim \triangle CFD — משפט הדמיון ז״ז

Worked solution:

∠CAB=∠FCD=90∘\begin{aligned}\angle CAB &= \angle FCD \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זווית היקפית על קוטר; משיק מאונך לרדיוס

∠ACB=∠CDF\angle ACB = \angle CDF

מתחלפות, AC∥FDAC \parallel FD

△ABC∼△CFD (ז״ז)\triangle ABC \sim \triangle CFD \ (\text{ז״ז})

ההתאמה: A↔CA \leftrightarrow C, B↔FB \leftrightarrow F, C↔DC \leftrightarrow D

שתי זוויות שוות: הזווית הישרה, והזווית המתחלפת. המלכודת: התאמת הקודקודים — AA מתאים ל־CC, כי שם הזוויות הישרות.

Check the answer on elev

Exercise 26

נתון כי D(8,0)D(8, 0), וכי משוואת המשיק CFCF היא y=43x+31y = \frac{4}{3}x + 31. ב. מצאו את אורך הצלע FDFD.

Show the answer and the solution

Answer: 31.25

Worked solution:

0=43x+31⇒x=−934=−23.25\begin{aligned}0 &= \frac{4}{3}x + 31 \Rightarrow x \\ &= -\frac{93}{4} \\ &= -23.25\end{aligned}

FF על ציר ה־xx

FD=8−(−23.25)=31.25\begin{aligned}FD &= 8 - (-23.25) \\ &= 31.25\end{aligned}

שתי הנקודות על ציר ה־xx

FD=31.25FD = 31.25.

Check the answer on elev

Exercise 27

נתון כי D(8,0)D(8, 0), וכי משוואת המשיק CFCF היא y=43x+31y = \frac{4}{3}x + 31. ג (1). מצאו את משוואת הצלע CDCD.

y=y = ____ x+x + ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y = -0.75 x+x + 6

Worked solution:

mCF=43⇒mCD=−34\begin{aligned}m_{CF} &= \frac{4}{3} \Rightarrow m_{CD} \\ &= -\frac{3}{4}\end{aligned}

CD⊥CFCD \perp CF: הקוטר מאונך למשיק

y−0=−34(x−8)⇒y=−34x+6\begin{aligned}y - 0 &= -\frac{3}{4}(x - 8) \Rightarrow y \\ &= -\frac{3}{4}x + 6\end{aligned}

הישר עובר ב־D(8,0)D(8, 0)

CDCD: y=−34x+6y = -\frac{3}{4}x + 6.

Check the answer on elev

Exercise 28

נתון כי D(8,0)D(8, 0), וכי משוואת המשיק CFCF היא y=43x+31y = \frac{4}{3}x + 31. ג (2). מצאו את אורך הצלע CDCD.

Show the answer and the solution

Answer: 25

Worked solution:

43x+31=−34x+6⇒2512x=−25⇒x=−12\begin{aligned}\frac{4}{3}x + 31 &= -\frac{3}{4}x + 6 \Rightarrow \frac{25}{12}x \\ &= -25 \Rightarrow x \\ &= -12\end{aligned}

CC: חיתוך המשיק והישר CDCD

C(−12,15)C(-12, 15)
CD=202+152=25\begin{aligned}CD &= \sqrt{20^2 + 15^2} \\ &= 25\end{aligned}

CD=25CD = 25.

Check the answer on elev

Exercise 29

נתון כי D(8,0)D(8, 0), וכי משוואת המשיק CFCF היא y=43x+31y = \frac{4}{3}x + 31. נתון כי יחס הדמיון בין המשולש ABCABC ובין המשולש CFDCFD הוא 825\frac{8}{25}. ד. חשבו את היקף המשולש ABCABC.

Show the answer and the solution

Answer: 24

Worked solution:

CF=(−12+23.25)2+152=351.5625=18.75\begin{aligned}CF &= \sqrt{(-12 + 23.25)^2 + 15^2} \\ &= \sqrt{351.5625} \\ &= 18.75\end{aligned}
PCFD=18.75+31.25+25=75\begin{aligned}P_{CFD} &= 18.75 + 31.25 + 25 \\ &= 75\end{aligned}
PABC=825⋅75=24\begin{aligned}P_{ABC} &= \frac{8}{25} \cdot 75 \\ &= 24\end{aligned}

יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון

היקף המשולש ABCABC הוא 2424 (הצלעות 66, 88, 1010). המלכודת: להכפיל ב־(825)2\left(\frac{8}{25}\right)^2 — זה יחס השטחים.

Check the answer on elev

שאלה 6 — חקירת פונקציה רציונלית

Exercise 30

א. מצאו את משוואת האסימפטוטה המקבילה לציר ה־xx של הפונקציה f(x)f(x).

y=y = ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y = -1

Worked solution:

x→±∞: 72−18xx2+9→0x \to \pm\infty: \ \frac{72 - 18x}{x^2 + 9} \to 0

מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה

f(x)→−1f(x) \to -1

האסימפטוטה: y=−1y = -1. המלכודת: y=0y = 0 — שוכחים את ה־−1-1 שמחוץ לשבר.

Check the answer on elev

Exercise 31

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים. (את נקודות החיתוך עם ציר ה־xx כתבו משמאל לימין.)

עם ציר ה־yy: (0,(0, ____ )) ; עם ציר ה־xx: (( ____ ,0), 0) ו־(( ____ ,0), 0)

Show the answer and the solution

Answer: עם ציר ה־yy: (0,(0, 7 )) ; עם ציר ה־xx: (( -21 ,0), 0) ו־(( 3 ,0), 0)

Worked solution:

f(0)=729−1=7\begin{aligned}f(0) &= \frac{72}{9} - 1 \\ &= 7\end{aligned}
72−18xx2+9=1⇒x2+18x−63=0\begin{aligned}\frac{72 - 18x}{x^2 + 9} &= 1 \Rightarrow x^2 + 18x - 63 \\ &= 0\end{aligned}
(x+21)(x−3)=0⇒x=−21 x=3\begin{aligned}(x + 21)(x - 3) &= 0 \Rightarrow x \\ &= -21 \\ \ x &= 3\end{aligned}

(0,7)(0, 7), (−21,0)(-21, 0) ו־(3,0)(3, 0).

Check the answer on elev

Exercise 32

ג (1). מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

(( ____ ,, ____ )) ו־(( ____ ,, ____ )) (משמאל לימין)

Show the answer and the solution

Answer: (( -1 ,, 8 )) ו־(( 9 ,, -2 )) (משמאל לימין)

Worked solution:

f′(x)=−18(x2+9)−2x(72−18x)(x2+9)2=18(x2−8x−9)(x2+9)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-18(x^2 + 9) - 2x(72 - 18x)}{(x^2 + 9)^2} \\ &= \frac{18(x^2 - 8x - 9)}{(x^2 + 9)^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

x2−8x−9=(x−9)(x+1)=0⇒x=−1 x=9\begin{aligned}x^2 - 8x - 9 &= (x - 9)(x + 1) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1 \\ \ x &= 9\end{aligned}
x<−1:f′>0; −1<x<9:f′<0; x>9:f′>0x < -1: f' > 0; \ -1 < x < 9: f' < 0; \ x > 9: f' > 0

טבלת סימנים

f(−1)=9010−1=8f(9)=−9090−1=−2\begin{aligned}f(-1) &= \frac{90}{10} - 1 \\ &= 8 \\ \quad f(9) &= \frac{-90}{90} - 1 \\ &= -2\end{aligned}

מקסימום (−1,8)(-1, 8) ומינימום (9,−2)(9, -2). המלכודת: סימן במונה — −18x⋅2x-18x \cdot 2x עם המינוס שלפני המכפלה נותן +36x2+36x^2.

Check the answer on elev

Exercise 33

ג (2). מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x).

  1. עלייה: −1<x<9-1 < x < 9 ; ירידה: x<−1x < -1 או x>9x > 9
  2. עלייה: x<−1x < -1 או x>9x > 9 ; ירידה: −1<x<9-1 < x < 9
  3. עלייה: x>−1x > -1 ; ירידה: x<−1x < -1
  4. עלייה: x<−21x < -21 או x>3x > 3 ; ירידה: −21<x<3-21 < x < 3
Show the answer and the solution

Answer: B עלייה: x<−1x < -1 או x>9x > 9 ; ירידה: −1<x<9-1 < x < 9

Worked solution:

f′(x)=18(x−9)(x+1)(x2+9)2f'(x) = \frac{18(x - 9)(x + 1)}{(x^2 + 9)^2}

המכנה חיובי תמיד

f′>0⇔x<−1 או x>9f' > 0 \Leftrightarrow x < -1 \ \text{או} \ x > 9

עלייה ב־x<−1x < -1 וב־x>9x > 9, ירידה ב־−1<x<9-1 < x < 9. המלכודת: לקחת את נקודות החיתוך עם ציר ה־xx (−21-21 ו־33) כגבולות התחומים.

Check the answer on elev

Exercise 34

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x). בחרו את התיאור שמתאים לסקיצה.

  1. משמאל הגרף קרוב לישר y=−1y = -1 מעליו, חותך את ציר ה־xx ב־−21-21, עולה עד (−1,8)(-1, 8), יורד דרך (0,7)(0, 7) ו־(3,0)(3, 0) עד (9,−2)(9, -2), ואז עולה ומתקרב ל־y=−1y = -1 מתחתיו
  2. הגרף עולה עד (−1,8)(-1, 8), יורד עד (9,−2)(9, -2), ואחר כך ממשיך לרדת בלי אסימפטוטה
  3. הגרף כולו מעל ציר ה־xx, עם מקסימום (−1,8)(-1, 8) ומינימום (9,−2)(9, -2)
  4. משמאל הגרף קרוב לישר y=−1y = -1 מתחתיו, יורד עד (−1,8)(-1, 8), עולה עד (9,−2)(9, -2), ואז יורד ומתקרב ל־y=−1y = -1
Show the answer and the solution

Answer: A משמאל הגרף קרוב לישר y=−1y = -1 מעליו, חותך את ציר ה־xx ב־−21-21, עולה עד (−1,8)(-1, 8), יורד דרך (0,7)(0, 7) ו־(3,0)(3, 0) עד (9,−2)(9, -2), ואז עולה ומתקרב ל־y=−1y = -1 מתחתיו

Worked solution:

x<−21: −1<f(x)<0x < -21: \ -1 < f(x) < 0

כש־x<4x < 4 המונה 72−18x72 - 18x חיובי, ולכן f(x)>−1f(x) > -1

x>4: f(x)<−1x > 4: \ f(x) < -1

המונה שלילי: אחרי המינימום הגרף מתקרב לאסימפטוטה מלמטה

(−21,0)↗(−1,8)↘(0,7),(3,0),(9,−2)↗y→−1(-21, 0) \nearrow (-1, 8) \searrow (0, 7), (3, 0), (9, -2) \nearrow y \to -1

סדר הנקודות על הגרף

הסקיצה: אסימפטוטה y=−1y = -1 בשני הצדדים — מעליה משמאל, מתחתיה מימין; מקסימום (−1,8)(-1, 8), מינימום (9,−2)(9, -2), חיתוכים (−21,0)(-21, 0), (0,7)(0, 7), (3,0)(3, 0).

Check the answer on elev

Exercise 35

נתונה הפונקציה g(x)=∣f(x)∣g(x) = |f(x)|, המוגדרת לכל xx. ה (1). מצאו את משוואת האסימפטוטה המקבילה לציר ה־xx של הפונקציה g(x)g(x).

y=y = ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y = 1

Worked solution:

f(x)→−1⇒∣f(x)∣→1f(x) \to -1 \Rightarrow |f(x)| \to 1

הערך המוחלט הופך את הגבול לחיובי

האסימפטוטה של gg: y=1y = 1.

Check the answer on elev

Exercise 36

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

נתונה הפונקציה g(x)=∣f(x)∣g(x) = |f(x)|, המוגדרת לכל xx. ה (2). קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקציה g(x)g(x). נמקו את קביעתכם.

  1. גרף III
  2. גרף I
  3. גרף II
  4. גרף IV
Show the answer and the solution

Answer: D גרף IV

Worked solution:

y→1y \to 1

האסימפטוטה y=1y = 1 (הקו המקווקו): נשארים גרפים III ו־IV

g(−21)=g(3)=0\begin{aligned}g(-21) &= g(3) \\ &= 0\end{aligned}

ל־gg שתי נקודות על ציר ה־xx, אחת משמאל ואחת מימין לציר ה־yy

max⁡:(−1,8) g(0)=7<8\begin{aligned}\max: (-1, 8) \\ \ g(0) &= 7 < 8\end{aligned}

המקסימום משמאל לציר ה־yy: זה גרף IV

גרף IV. המלכודות: גרפים I ו־II מתקרבים לציר ה־xx ולא ל־y=1y = 1; בגרף III המקסימום מימין לציר ה־yy.

Check the answer on elev

שאלה 7 — פונקציית שורש עם פרמטר

Exercise 37

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

x≥x \ge ____

Show the answer and the solution

Answer: x≥x \ge 2

Worked solution:

3x−6≥0⇒x≥23x - 6 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2

מתחת לשורש ריבועי — ביטוי אי־שלילי

תחום ההגדרה: x≥2x \ge 2.

Check the answer on elev

Exercise 38

נתון כי הנקודה (5,9)(5, 9) נמצאת על גרף הפונקציה f(x)f(x). ב. מצאו את הערך של aa.

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

f(5)=(a−5)9=3(a−5)=9\begin{aligned}f(5) &= (a - 5)\sqrt{9} \\ &= 3(a - 5) \\ &= 9\end{aligned}
a−5=3⇒a=8\begin{aligned}a - 5 &= 3 \Rightarrow a \\ &= 8\end{aligned}

a=8a = 8.

Check the answer on elev

Exercise 39

הציבו a=8a = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. ג. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם ציר ה־xx. (כתבו משמאל לימין.)

(( ____ ,0), 0) ו־(( ____ ,0), 0)

Show the answer and the solution

Answer: (( 2 ,0), 0) ו־(( 8 ,0), 0)

Worked solution:

f(x)=(8−x)3x−6=0\begin{aligned}f(x) &= (8 - x)\sqrt{3x - 6} \\ &= 0\end{aligned}
8−x=0 או 3x−6=0⇒x=8 x=2\begin{aligned}8 - x &= 0 \ \text{או} \ 3x - 6 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 8 \\ \ x &= 2\end{aligned}

שני הפתרונות בתחום ההגדרה

(2,0)(2, 0) ו־(8,0)(8, 0). המלכודת: לשכוח את x=2x = 2, שבו השורש מתאפס.

Check the answer on elev

Exercise 40

הציבו a=8a = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. ד. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

(( ____ ,, ____ )) ו־(( ____ ,, ____ )) (קודם הנקודה הפנימית, אחר כך נקודת הקצה)

Show the answer and the solution

Answer: (( 4 ,, 9.798 )) ו־(( 2 ,, 0 )) (קודם הנקודה הפנימית, אחר כך נקודת הקצה)

Worked solution:

f′(x)=−3x−6+(8−x)⋅323x−6=−2(3x−6)+3(8−x)23x−6=36−9x23x−6\begin{aligned}f'(x) &= -\sqrt{3x - 6} + (8 - x) \cdot \frac{3}{2\sqrt{3x - 6}} \\ &= \frac{-2(3x - 6) + 3(8 - x)}{2\sqrt{3x - 6}} \\ &= \frac{36 - 9x}{2\sqrt{3x - 6}}\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

f′(x)=0⇒x=4;f′(3)>0 f′(5)<0\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4; \quad f'(3) > 0 \\ \ f'(5) < 0\end{aligned}

עלייה ואז ירידה: מקסימום

f(4)=46≈9.80f(4) = 4\sqrt{6} \approx 9.80
f(2)=0 f↗ אחרי 2\begin{aligned}f(2) &= 0 \\ \ f \nearrow \text{ אחרי } 2\end{aligned}

בקצה התחום הפונקציה עולה: מינימום קצה

מקסימום (4,46)(4, 4\sqrt{6}), בערך (4,9.80)(4, 9.80), ומינימום קצה (2,0)(2, 0). המלכודת: לשכוח את נקודת הקצה, ש"כל נקודות הקיצון" כוללות.

Check the answer on elev

Exercise 41

הציבו a=8a = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x). בחרו את התיאור שמתאים לסקיצה.

  1. הגרף מתחיל ב־(2,0)(2, 0), יורד עד מינימום ב־x=4x = 4, ועולה דרך (8,0)(8, 0)
  2. הגרף מוגדר לכל xx, עם מקסימום ב־(4,46)(4, 4\sqrt{6}) ושתי נקודות חיתוך עם ציר ה־xx
  3. הגרף מתחיל ב־(2,0)(2, 0), עולה עד (4,46)(4, 4\sqrt{6}), יורד וחותך את ציר ה־xx ב־(8,0)(8, 0), וממשיך לרדת
  4. הגרף מתחיל ב־(2,0)(2, 0), עולה עד (4,46)(4, 4\sqrt{6}), ויורד ומתקרב לציר ה־xx בלי לחתוך אותו
Show the answer and the solution

Answer: C הגרף מתחיל ב־(2,0)(2, 0), עולה עד (4,46)(4, 4\sqrt{6}), יורד וחותך את ציר ה־xx ב־(8,0)(8, 0), וממשיך לרדת

Worked solution:

x≥2: (2,0)↗(4,46)↘(8,0)↘x \ge 2: \ (2, 0) \nearrow (4, 4\sqrt{6}) \searrow (8, 0) \searrow

תחום, קיצון וחיתוכים

x>8: f(x)<0, f(x)→−∞x > 8: \ f(x) < 0, \ f(x) \to -\infty

הגורם 8−x8 - x שלילי והשורש גדל

הסקיצה: חצי "כיפה" מ־(2,0)(2, 0) דרך המקסימום (4,46)(4, 4\sqrt{6}) אל (8,0)(8, 0), ומשם ירידה בלי גבול.

Check the answer on elev

Exercise 42

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

הציבו a=8a = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) מוגדרת בתחום x>2x > 2. ו (1). קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). נמקו את קביעתכם.

  1. גרף I
  2. גרף II
  3. גרף IV
  4. גרף III
Show the answer and the solution

Answer: A גרף I

Worked solution:

x→2+: f′(x)=36−9x23x−6→+∞x \to 2^+: \ f'(x) = \frac{36 - 9x}{2\sqrt{3x - 6}} \to +\infty

המונה חיובי והמכנה שואף ל־00

2<x<4:f′>0; x>4:f′<02 < x < 4: f' > 0; \ x > 4: f' < 0

ff עולה ואז יורדת: הנגזרת חיובית ואז שלילית, ומתאפסת פעם אחת בלבד

גרף I: מתחיל גבוה ליד x=2x = 2, חותך את ציר ה־xx פעם אחת (ב־x=4x = 4) ונשאר שלילי. המלכודות: גרף II הוא −f′-f'; גרפים III ו־IV מתאפסים פעמיים, ול־ff יש קיצון פנימי אחד.

Check the answer on elev

Exercise 43

הציבו a=8a = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) מוגדרת בתחום x>2x > 2. ו (2). חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), על ידי ציר ה־xx ועל ידי הישר x=20x = 20.

Show the answer and the solution

Answer: 97.98

Worked solution:

f′(x)=0⇔x=4\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Leftrightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

השטח בין x=4x = 4 ל־x=20x = 20, והנגזרת שלילית שם

S=−∫420f′(x) dx=f(4)−f(20)\begin{aligned}S &= -\int_4^{20} f'(x)\,dx \\ &= f(4) - f(20)\end{aligned}

הפונקציה ff היא פונקציה קדומה של f′f'

f(20)=(8−20)54=−12⋅36=−366\begin{aligned}f(20) &= (8 - 20)\sqrt{54} \\ &= -12 \cdot 3\sqrt{6} \\ &= -36\sqrt{6}\end{aligned}
S=46+366=406≈97.98\begin{aligned}S &= 4\sqrt{6} + 36\sqrt{6} \\ &= 40\sqrt{6} \approx 97.98\end{aligned}

השטח הוא 406≈97.9840\sqrt{6} \approx 97.98. המלכודת: לחשב ∫220\int_2^{20} — בין 22 ל־44 הנגזרת חיובית, וחלק זה אינו מוגבל על ידי הישר x=20x = 20.

Check the answer on elev

שאלה 8 — בעיית קיצון: גינה ציבורית

Exercise 44

א (1). הביעו באמצעות xx את אורך הצלע ADAD.

  1. AD=32−2xAD = 32 - 2x
  2. AD=32−xAD = 32 - x
  3. AD=16−2xAD = 16 - 2x
  4. AD=16−xAD = 16 - x
Show the answer and the solution

Answer: D AD=16−xAD = 16 - x

Worked solution:

2x+2⋅AD=32⇒AD=16−x\begin{aligned}2x + 2 \cdot AD &= 32 \Rightarrow AD \\ &= 16 - x\end{aligned}

היקף המלבן ABCDABCD הוא אורך הגדר

AD=16−xAD = 16 - x. המלכודת: 32−x32 - x — שוכחים שכל צלע מופיעה פעמיים בהיקף.

Check the answer on elev

Exercise 45

א (2). הביעו באמצעות xx את שטח המתחם ABCDABCD.

  1. x(16−x)+7(x+2)x(16 - x) + 7(x + 2)
  2. x(16−x)=16x−x2x(16 - x) = 16x - x^2
  3. 7(x+2)7(x + 2)
  4. x(32−x)=32x−x2x(32 - x) = 32x - x^2
Show the answer and the solution

Answer: B x(16−x)=16x−x2x(16 - x) = 16x - x^2

Worked solution:

SABCD=AB⋅AD=x(16−x)\begin{aligned}S_{ABCD} &= AB \cdot AD \\ &= x(16 - x)\end{aligned}

השטח: 16x−x216x - x^2 מ״ר.

Check the answer on elev

Exercise 46

ב. הביעו באמצעות xx את היחס בין שטח המתחם ABCDABCD ובין שטח המתחם BFGHBFGH.

  1. x(16−x)7x\frac{x(16 - x)}{7x}
  2. x(16−x)7(x+2)\frac{x(16 - x)}{7(x + 2)}
  3. x(16−x)2(x+2)+14\frac{x(16 - x)}{2(x + 2) + 14}
  4. 7(x+2)x(16−x)\frac{7(x + 2)}{x(16 - x)}
Show the answer and the solution

Answer: B x(16−x)7(x+2)\frac{x(16 - x)}{7(x + 2)}

Worked solution:

SBFGH=BF⋅GF=7(x+2)\begin{aligned}S_{BFGH} &= BF \cdot GF \\ &= 7(x + 2)\end{aligned}

BF=x+2BF = x + 2

SABCDSBFGH=16x−x27x+14\frac{S_{ABCD}}{S_{BFGH}} = \frac{16x - x^2}{7x + 14}

היחס: 16x−x27(x+2)\frac{16x - x^2}{7(x + 2)}. המלכודת: להפוך את סדר היחס — "בין ABCDABCD ובין BFGHBFGH" שם את ABCDABCD במונה.

Check the answer on elev

Exercise 47

ג. מצאו את הערך של xx שבעבורו היחס בין שטח המתחם ABCDABCD ובין שטח המתחם BFGHBFGH הוא מקסימלי.

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

R(x)=16x−x27x+140<x<16\begin{aligned}R(x) &= \frac{16x - x^2}{7x + 14} \\ \quad 0 < x < 16\end{aligned}

אורכים חיוביים

R′(x)=(16−2x)(7x+14)−7(16x−x2)(7x+14)2=−7(x2+4x−32)(7x+14)2\begin{aligned}R'(x) &= \frac{(16 - 2x)(7x + 14) - 7(16x - x^2)}{(7x + 14)^2} \\ &= \frac{-7(x^2 + 4x - 32)}{(7x + 14)^2}\end{aligned}
x2+4x−32=(x+8)(x−4)=0⇒x=4\begin{aligned}x^2 + 4x - 32 &= (x + 8)(x - 4) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

הפתרון −8-8 מחוץ לתחום

x<4:R′>0; x>4:R′<0x < 4: R' > 0; \ x > 4: R' < 0

עלייה ואז ירידה: מקסימום

x=4x = 4 מטרים (היחס אז 4842=87\frac{48}{42} = \frac{8}{7}). המלכודת: לגזור את המונה ואת המכנה בנפרד.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade