בגרות 35471 — קיץ 2026, מועד ב׳

On elev, this lesson comes with:

  • Every exercise checked the moment it is answered
  • A hint exactly when it is needed
  • Progress tracking, chapter by chapter
Practise on elev

This lesson is part of the subscription. A full chapter for free: Sequences

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35471 (4 יחידות לימוד, שאלון ראשון), קיץ תשפ״ו, 2026, מועד ב׳. משך הבחינה: ארבע שעות. ענו על חמש מן השאלות 1–8 (לכל שאלה – 22 נקודות); סך הנקודות לא יעלה על 100. שימו לב: אם תענו על יותר מחמש שאלות, ייבדקו רק חמש התשובות הראשונות. פרק ראשון – סטטיסטיקה והסתברות: שאלות 1–3. פרק שני – גאומטרייה: שאלות 4–5. פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש: שאלות 6–8. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות.

כאן כתובות כל שמונה השאלות, ב־50 סעיפים, כדי שאפשר יהיה להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים חמש. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר, להראות או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או בין תשובות, או לבניית הוכחה, והפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercises

שאלה 1 — התפלגות נורמלית: מספר הצעדים היומי

Exercise 1

א. מצאו את ממוצע מספר הצעדים היומי של המשתתפים במחקר.

Show the answer and the solution

Answer: 7200

Worked solution:

P(X<6,944)=0.375⇒Φ(z)=0.375\begin{aligned}P(X < 6{,}944) &= 0.375 \Rightarrow \Phi(z) \\ &= 0.375\end{aligned}

השטח משמאל ל־6,9446{,}944 הוא חלק המשתתפים שהולכים פחות

1−0.375=0.625≈Φ(0.32)=0.6255⇒z=−0.32\begin{aligned}1 - 0.375 &= 0.625 \approx \Phi(0.32) \\ &= 0.6255 \Rightarrow z \\ &= -0.32\end{aligned}

בטבלה; 6,9446{,}944 נמצא משמאל לממוצע, לכן zz שלילי

6,944−μ800=−0.32⇒μ=6,944+256=7,200\begin{aligned}\frac{6{,}944 - \mu}{800} &= -0.32 \Rightarrow \mu \\ &= 6{,}944 + 256 \\ &= 7{,}200\end{aligned}

ציון התקן

הממוצע הוא 7,2007{,}200 צעדים ביום. המלכודת: לקחת z=0.32z = 0.32 חיובי ולקבל ממוצע קטן מ־6,9446{,}944 — אבל פחות ממחצית המשתתפים הולכים פחות מ־6,9446{,}944.

Check the answer on elev — Exercise 1

Exercise 2

משרד הבריאות ממליץ ללכת יותר מ־8,4008{,}400 צעדים ביום. ב. מצאו את אחוז המשתתפים במחקר שמקיימים את ההמלצה הזאת.

Show the answer and the solution

Answer: 6.68

Worked solution:

z=8,400−7,200800=1.5\begin{aligned}z &= \frac{8{,}400 - 7{,}200}{800} \\ &= 1.5\end{aligned}

ציון התקן של 8,4008{,}400, עם μ=7,200\mu = 7{,}200 מסעיף א

P(X>8,400)=1−Φ(1.5)=1−0.9332=0.0668\begin{aligned}P(X > 8{,}400) &= 1 - \Phi(1.5) \\ &= 1 - 0.9332 \\ &= 0.0668\end{aligned}

הטבלה נותנת את השטח משמאל; ההמלצה היא מימין

6.68%6.68\% מן המשתתפים מקיימים את ההמלצה. המלכודת: לענות 93.32%93.32\%, השטח משמאל ל־8,4008{,}400.

Check the answer on elev — Exercise 2

Exercise 3

נמצא כי 14,72214{,}722 מן המשתתפים במחקר הולכים יותר מ־7,2007{,}200 צעדים ביום ופחות מ־8,4008{,}400 צעדים ביום. ג. על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית, כמה אנשים סך הכול השתתפו במחקר?

Show the answer and the solution

Answer: 34000

Worked solution:

P(7,200<X<8,400)=Φ(1.5)−Φ(0)=0.9332−0.5=0.4332\begin{aligned}P(7{,}200 < X < 8{,}400) &= \Phi(1.5) - \Phi(0) \\ &= 0.9332 - 0.5 \\ &= 0.4332\end{aligned}

7,2007{,}200 הוא הממוצע, ולכן ציון התקן שלו 00

N=14,7220.4332≈33,984≈34,000N = \frac{14{,}722}{0.4332} \approx 33{,}984 \approx 34{,}000

14,72214{,}722 משתתפים הם 43.32%43.32\% מכולם; עם 0.4330.433 מתקבל בדיוק 34,00034{,}000

במחקר השתתפו בערך 34,00034{,}000 אנשים. המלכודת: לחלק ב־0.93320.9332, כאילו כל מי שהולך פחות מ־8,4008{,}400 צעדים נספר.

Check the answer on elev — Exercise 3

Exercise 4

במחקר נבדק גם מספר שעות השינה ביממה של כל אחד מן המשתתפים במחקר. נמצא כי גם מספר שעות השינה ביממה מתפלג נורמלית. ממוצע שעות השינה ביממה של המשתתפים במחקר הוא 77 שעות. שרית השתתפה במחקר. מספר שעות השינה של שרית ביממה הוא 9.289.28, ומספר הצעדים היומי שלה הוא 8,4168{,}416. ציון התקן של מספר הצעדים היומי של שרית זהה לציון התקן של מספר שעות השינה שלה ביממה. ד. מצאו את סטיית התקן של מספר שעות השינה ביממה של המשתתפים במחקר.

Show the answer and the solution

Answer: 1.5

Worked solution:

z=8,416−7,200800=1,216800=1.52\begin{aligned}z &= \frac{8{,}416 - 7{,}200}{800} \\ &= \frac{1{,}216}{800} \\ &= 1.52\end{aligned}

ציון התקן של מספר הצעדים של שרית

9.28−7σ=1.52⇒σ=2.281.52=1.5\begin{aligned}\frac{9.28 - 7}{\sigma} &= 1.52 \Rightarrow \sigma \\ &= \frac{2.28}{1.52} \\ &= 1.5\end{aligned}

אותו ציון תקן בשעות השינה

סטיית התקן של שעות השינה היא 1.51.5 שעות. המלכודת: להשוות את ההפרשים עצמם (1,2161{,}216 ו־2.282.28) במקום את ציוני התקן.

Check the answer on elev — Exercise 4

Did your child get it?

On elev, every exercise is checked the moment your child answers, and a hint comes right when they get stuck.

Practise on elev

שאלה 2 — מתאם ורגרסיה: שטח ירוק וזיהום אוויר

Exercise 5

א. לפניכם ארבעה היגדים I–IV. קבעו איזה היגד נכון. נמקו את קביעתכם.

  1. AI. 0<r<10 < r < 1
  2. BIV. אי אפשר לקבוע את טווח הערכים של rr
  3. CII. r=−1r = -1
  4. DIII. −1<r<0-1 < r < 0
Show the answer and the solution

Answer: D III. −1<r<0-1 < r < 0

Worked solution:

x↗⇒y↘x \nearrow \Rightarrow y \searrow

בדיאגרמה: ככל שהשטח הירוק גדל, רמת הזיהום קטנה — מתאם שלילי

(15,30),(15,20)(15, 30), (15, 20)

הנקודות אינן על ישר אחד, ולכן r≠−1r \neq -1

היגד III נכון: −1<r<0-1 < r < 0. המלכודת: לבחור ב־II כי הנקודות "יורדות" — מתאם −1-1 פירושו שכל הנקודות על ישר אחד, ושתי נקודות עם x=15x = 15 כבר שוללות זאת.

Check the answer on elev — Exercise 5

Exercise 6

ב (1). חשבו את ממוצע גודל השטח הירוק לנפש ב־66 הערים.

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

xˉ=5+10+15+15+20+256=906=15\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{5 + 10 + 15 + 15 + 20 + 25}{6} \\ &= \frac{90}{6} \\ &= 15\end{aligned}

קוראים את ערכי xx מן הדיאגרמה; ב־x=15x = 15 יש שתי ערים

הממוצע הוא 1515 מ״ר לנפש. המלכודת: לספור את x=15x = 15 פעם אחת בלבד ולחלק ב־55.

Check the answer on elev — Exercise 6

Exercise 7

ב (2). חשבו את ממוצע רמת זיהום האוויר ב־66 הערים.

Show the answer and the solution

Answer: 30

Worked solution:

yˉ=50+40+30+20+30+106=1806=30\begin{aligned}\bar{y} &= \frac{50 + 40 + 30 + 20 + 30 + 10}{6} \\ &= \frac{180}{6} \\ &= 30\end{aligned}

ממוצע רמת הזיהום הוא 3030.

Check the answer on elev — Exercise 7

Exercise 8

נתון כי משוואת ישר הרגרסיה לניבוי yy על פי xx היא: y=−1.8x+by = -1.8x + b. ג (1). מצאו את הערך של bb.

Show the answer and the solution

Answer: 57

Worked solution:

30=−1.8⋅15+b30 = -1.8 \cdot 15 + b

ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים (xˉ,yˉ)=(15,30)(\bar{x}, \bar{y}) = (15, 30)

b=30+27=57\begin{aligned}b &= 30 + 27 \\ &= 57\end{aligned}

b=57b = 57. המלכודת: להציב נקודה מן הדיאגרמה, כמו (5,50)(5, 50) — ישר הרגרסיה לא עובר בהכרח בנקודות הנתונים.

Check the answer on elev — Exercise 8

Exercise 9

נתון כי משוואת ישר הרגרסיה לניבוי yy על פי xx היא: y=−1.8x+by = -1.8x + b. ג (2). על פי ישר הרגרסיה, מהו הניבוי לרמת זיהום האוויר בעיר שגודל השטח הירוק שלה הוא 1818 מ״ר לנפש?

Show the answer and the solution

Answer: 24.6

Worked solution:

y^=−1.8⋅18+57=−32.4+57=24.6\begin{aligned}\hat{y} &= -1.8 \cdot 18 + 57 \\ &= -32.4 + 57 \\ &= 24.6\end{aligned}

הניבוי הוא 24.624.6.

Check the answer on elev — Exercise 9

Exercise 10

ד. חשבו את סטיית התקן של גודל השטח הירוק ב־66 הערים.

Show the answer and the solution

Answer: 6.455

Worked solution:

x−xˉ: −10, −5, 0, 0, 5, 10x - \bar{x}: \ -10, \ -5, \ 0, \ 0, \ 5, \ 10

הסטיות מן הממוצע 1515

Sx=100+25+0+0+25+1006=1253≈6.455\begin{aligned}S_x &= \sqrt{\frac{100 + 25 + 0 + 0 + 25 + 100}{6}} \\ &= \sqrt{\frac{125}{3}} \approx 6.455\end{aligned}

מחלקים במספר הערים, 66

סטיית התקן היא 1253≈6.455\sqrt{\frac{125}{3}} \approx 6.455 מ״ר לנפש. המלכודת: לחלק ב־55 במקום ב־66.

Check the answer on elev — Exercise 10

Exercise 11

נתון כי משוואת ישר הרגרסיה לניבוי yy על פי xx היא: y=−1.8x+by = -1.8x + b. החוקר מצא כי סטיית התקן של רמת זיהום האוויר היא Sy=5003S_y = \sqrt{\frac{500}{3}}. ה. היעזרו במשוואת ישר הרגרסיה לניבוי yy על פי xx ומצאו את מקדם המתאם rr.

Show the answer and the solution

Answer: -0.9

Worked solution:

−1.8=r⋅SySx-1.8 = r \cdot \frac{S_y}{S_x}

שיפוע ישר הרגרסיה

r=−1.8⋅125/3500/3=−1.8⋅14=−0.9\begin{aligned}r &= -1.8 \cdot \frac{\sqrt{125/3}}{\sqrt{500/3}} \\ &= -1.8 \cdot \sqrt{\frac{1}{4}} \\ &= -0.9\end{aligned}

r=−0.9r = -0.9: מתאם שלילי חזק. המלכודת: להפוך את המנה, SxSy\frac{S_x}{S_y} במקום SySx\frac{S_y}{S_x}, ולקבל −3.6-3.6 — מקדם מתאם לא יכול להיות קטן מ־−1-1.

Check the answer on elev — Exercise 11

Exercise 12

נתון כי משוואת ישר הרגרסיה לניבוי yy על פי xx היא: y=−1.8x+by = -1.8x + b. החוקר גילה שהייתה תקלה במכשיר המדידה, וכי למעשה רמת זיהום האוויר בכל אחת מ־66 הערים הייתה גבוהה ב־44 מרמת הזיהום שנמדדה. החוקר תיקן את הנתונים בהתאם לכך. ו (1). האם שיפוע ישר הרגרסיה לניבוי yy על פי xx לאחר תיקון הנתונים גדל, קטן או לא השתנה? נמקו את תשובתכם.

  1. Aהשיפוע לא השתנה
  2. Bהשיפוע נעשה גדול יותר
  3. Cהשיפוע נעשה קטן יותר
Show the answer and the solution

Answer: A השיפוע לא השתנה

Worked solution:

y′=y+4⇒yˉ′=yˉ+4 Sy′=Sy r′=r\begin{aligned}y' &= y + 4 \Rightarrow \bar{y}' \\ &= \bar{y} + 4 \\ \ S_{y'} &= S_y \\ \ r' &= r\end{aligned}

הוספת קבוע מזיזה את כל הנקודות למעלה, ולא משנה את הפיזור ולא את המתאם

r′⋅Sy′Sx=r⋅SySx=−1.8\begin{aligned}r' \cdot \frac{S_{y'}}{S_x} &= r \cdot \frac{S_y}{S_x} \\ &= -1.8\end{aligned}

השיפוע לא השתנה. המלכודת: לחשוב ש"גבוה ב־44" משנה את השיפוע — הוא משנה רק את נקודת החיתוך עם ציר ה־yy.

Check the answer on elev — Exercise 12

Exercise 13

נתון כי משוואת ישר הרגרסיה לניבוי yy על פי xx היא: y=−1.8x+by = -1.8x + b. החוקר גילה שהייתה תקלה במכשיר המדידה, וכי למעשה רמת זיהום האוויר בכל אחת מ־66 הערים הייתה גבוהה ב־44 מרמת הזיהום שנמדדה. החוקר תיקן את הנתונים בהתאם לכך. ו (2). כתבו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי yy על פי xx לאחר תיקון הנתונים של רמת זיהום האוויר.

y=y = ____ x+x + ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y = -1.8 x+x + 61

Worked solution:

(xˉ,yˉ′)=(15,34)(\bar{x}, \bar{y}') = (15, 34)

הממוצע של רמת הזיהום גדל ב־44

34=−1.8⋅15+b′⇒b′=61\begin{aligned}34 &= -1.8 \cdot 15 + b' \Rightarrow b' \\ &= 61\end{aligned}

השיפוע לא השתנה (סעיף ו (1))

y=−1.8x+61y = -1.8x + 61. המלכודת: להוסיף 44 לשיפוע במקום לקבוע החופשי.

Check the answer on elev — Exercise 13

שאלה 3 — הסתברות: בדיקות איכות של מחשבים

Exercise 14

א. מהי ההסתברות שבדיוק באחת הבדיקות המחשב נמצא תקין?

Show the answer and the solution

Answer: 0.15

Worked solution:

P=0.8⋅0.1+0.2⋅0.35P = 0.8 \cdot 0.1 + 0.2 \cdot 0.35

תקין רק בראשונה, או תקין רק בשנייה

=0.08+0.07=0.15= 0.08 + 0.07 = 0.15

ההסתברות היא 0.150.15. המלכודת: לחבר 0.8+0.350.8 + 0.35 — אלה הסתברויות של מאורעות שאינם "בדיוק אחת".

Check the answer on elev — Exercise 14

Exercise 15

ב. מהי ההסתברות שלפחות באחת הבדיקות המחשב נמצא תקין?

Show the answer and the solution

Answer: 0.87

Worked solution:

P(אף אחת)=0.2⋅0.65=0.13\begin{aligned}P(\text{אף אחת}) &= 0.2 \cdot 0.65 \\ &= 0.13\end{aligned}

המאורע המשלים: לא תקין בשתי הבדיקות

1−0.13=0.871 - 0.13 = 0.87

ההסתברות היא 0.870.87. אפשר גם: 0.15+0.8⋅0.9=0.15+0.72=0.870.15 + 0.8 \cdot 0.9 = 0.15 + 0.72 = 0.87.

Check the answer on elev — Exercise 15

Exercise 16

רק מחשב שנמצא תקין בשתי הבדיקות מועבר למכירה. בחרו באקראי מחשב שיוצר במחזור הייצור. ג. ידוע שהמחשב שנבחר נמצא תקין לפחות באחת הבדיקות. מהי ההסתברות שמחשב זה הועבר למכירה?

Show the answer and the solution

Answer: 0.8276

Worked solution:

P(שתיהן)=0.8⋅0.9=0.72\begin{aligned}P(\text{שתיהן}) &= 0.8 \cdot 0.9 \\ &= 0.72\end{aligned}

הועבר למכירה: תקין בשתי הבדיקות

P=0.720.87=2429≈0.828\begin{aligned}P &= \frac{0.72}{0.87} \\ &= \frac{24}{29} \approx 0.828\end{aligned}

הסתברות מותנית: מחלקים בהסתברות של "לפחות אחת" מסעיף ב

ההסתברות היא 2429≈0.828\frac{24}{29} \approx 0.828. המלכודת: לענות 0.720.72 ולשכוח את התנאי.

Check the answer on elev — Exercise 16

Exercise 17

רק מחשב שנמצא תקין בשתי הבדיקות מועבר למכירה. נתון כי במחזור ייצור זה ייצרו 250250 מחשבים. ד. מצאו את מספר המחשבים שהועברו למכירה במחזור ייצור זה.

Show the answer and the solution

Answer: 180

Worked solution:

0.72⋅250=1800.72 \cdot 250 = 180

180180 מחשבים הועברו למכירה.

Check the answer on elev — Exercise 17

Exercise 18

רק מחשב שנמצא תקין בשתי הבדיקות מועבר למכירה. נתון כי במחזור ייצור זה ייצרו 250250 מחשבים. מבין המחשבים שייצרו במחזור ייצור זה, בוחרים באקראי שני מחשבים זה אחר זה (הוצאה ללא החזרה). ה. מהי ההסתברות שבדיוק מחשב אחד הועבר למכירה? (בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 0.4048

Worked solution:

250−180=70250 - 180 = 70

מחשבים שלא הועברו למכירה

P=180250⋅70249+70250⋅180249=25,20062,250≈0.405\begin{aligned}P &= \frac{180}{250} \cdot \frac{70}{249} + \frac{70}{250} \cdot \frac{180}{249} \\ &= \frac{25{,}200}{62{,}250} \approx 0.405\end{aligned}

ללא החזרה: במכנה השני 249249

ההסתברות היא בערך 0.4050.405. המלכודת: לחשב כאילו יש החזרה, 2⋅0.72⋅0.28=0.40322 \cdot 0.72 \cdot 0.28 = 0.4032.

Check the answer on elev — Exercise 18

שאלה 4 — מעגל ומשיק במערכת צירים

Exercise 19

א (1). מצאו את משוואת הישר ABAB.

y=y = ____ x+x + ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y = 0.75 x+x + 18

Worked solution:

mAB=18−60−(−16)=1216=34\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{18 - 6}{0 - (-16)} \\ &= \frac{12}{16} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}
y=34x+18y = \frac{3}{4}x + 18

B(0,18)B(0, 18) על ציר ה־yy

y=0.75x+18y = 0.75x + 18.

Check the answer on elev — Exercise 19

Exercise 20

א (2). מצאו את משוואת המעגל.

(x−(x - ( ____ ) )2+y2=)^2 + y^2 = ____

Show the answer and the solution

Answer: (x−(x - ( -24 ) )2+y2=)^2 + y^2 = 100

Worked solution:

0=34x+18⇒x=−24⇒M(−24,0)\begin{aligned}0 &= \frac{3}{4}x + 18 \Rightarrow x \\ &= -24 \Rightarrow M(-24, 0)\end{aligned}

המרכז MM על הישר ABAB ועל ציר ה־xx

R2=MA2=82+62=100\begin{aligned}R^2 &= MA^2 \\ &= 8^2 + 6^2 \\ &= 100\end{aligned}

(x+24)2+y2=100(x + 24)^2 + y^2 = 100. המלכודת: לחפש את המרכז באמצע הקטע ABAB — MM הוא נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה־xx.

Check the answer on elev — Exercise 20

Exercise 21

דרך הנקודה AA מעבירים משיק למעגל החותך את ציר ה־yy בנקודה DD. ב. מצאו את שיעורי הנקודה DD.

D(D( ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: D(D( 0 ,, -15.333 ))

Worked solution:

mAD=−43m_{AD} = -\frac{4}{3}

המשיק מאונך לרדיוס MAMA, ששיפועו 34\frac{3}{4}

y−6=−43(x+16)⇒y=−43x−463\begin{aligned}y - 6 &= -\frac{4}{3}(x + 16) \Rightarrow y \\ &= -\frac{4}{3}x - \frac{46}{3}\end{aligned}
x=0⇒y=−463=−1513\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= -\frac{46}{3} \\ &= -15\frac{1}{3}\end{aligned}

D(0,−463)D\left(0, -\frac{46}{3}\right), בערך (0,−15.33)(0, -15.33).

Check the answer on elev — Exercise 21

Exercise 22

דרך הנקודה AA מעבירים משיק למעגל החותך את ציר ה־yy בנקודה DD. הנקודה CC נמצאת על המעגל כך ש־ACAC הוא קוטר במעגל. ג. הראו כי BD=CDBD = CD.

  • M(−24,0)M(-24, 0) מרכז המעגל, ורדיוס המעגל 1010 (סעיף א)
  • B(0,18)B(0, 18) , A(−16,6)A(-16, 6) , ו־AA על הקטע MBMB
  • DADA משיק למעגל בנקודה AA
  • ACAC קוטר במעגל

BD=CDBD = CD

Show the answer and the solution
  1. AC=20AC = 20 — קוטר שווה לשני רדיוסים
  2. AB=162+122=20AB = \sqrt{16^2 + 12^2} = 20 — נוסחת המרחק בין שתי נקודות
  3. AA אמצע הקטע BCBC — CC, MM, AA, BB על ישר אחד, ו־AB=ACAB = AC
  4. DA⊥BCDA \perp BC — משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, והרדיוס MAMA מונח על BCBC
  5. BD=CDBD = CD — נקודה על האנך האמצעי של קטע נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע

Worked solution:

AC=2R=20AB=162+122=20\begin{aligned}AC &= 2R \\ &= 20 \\ \quad AB &= \sqrt{16^2 + 12^2} \\ &= 20\end{aligned}

AA אמצע BCBC

DA⊥MADA \perp MA

משיק מאונך לרדיוס, ו־MAMA על BCBC

BD=18+463=1003CD=322+(283)2=1003\begin{aligned}BD &= 18 + \frac{46}{3} \\ &= \frac{100}{3} \\ \quad CD &= \sqrt{32^2 + \left(\frac{28}{3}\right)^2} \\ &= \frac{100}{3}\end{aligned}

בדיקה בחישוב: C(−32,−6)C(-32, -6)

DADA הוא האנך האמצעי של BCBC, ולכן BD=CD=1003BD = CD = \frac{100}{3}. אפשר גם לחשב את שני המרחקים ישירות, אחרי שמוצאים C=2M−A=(−32,−6)C = 2M - A = (-32, -6).

Check the answer on elev — Exercise 22

Exercise 23

דרך הנקודה AA מעבירים משיק למעגל החותך את ציר ה־yy בנקודה DD. ד. חשבו את גודל הזווית ABDABD.

Show the answer and the solution

Answer: 53.13

Worked solution:

cos⁡∠ABD=18−6BA=1220=0.6\begin{aligned}\cos\angle ABD &= \frac{18 - 6}{BA} \\ &= \frac{12}{20} \\ &= 0.6\end{aligned}

BDBD על ציר ה־yy; במשולש ישר הזווית שקודקודיו BB, AA ו־(0,6)(0, 6)

∠ABD=cos⁡−10.6≈53.13∘\angle ABD = \cos^{-1} 0.6 \approx 53.13^\circ

∠ABD≈53.13∘\angle ABD \approx 53.13^\circ. אפשר גם: tan⁡∠ABD=1612\tan\angle ABD = \frac{16}{12}. המלכודת: לענות 36.87∘36.87^\circ, הזווית בין ABAB לציר ה־xx.

Check the answer on elev — Exercise 23

Exercise 24

דרך הנקודה AA מעבירים משיק למעגל החותך את ציר ה־yy בנקודה DD. הנקודה CC נמצאת על המעגל כך ש־ACAC הוא קוטר במעגל. הנקודה KK נמצאת על הקטע CDCD. נתון כי שטח המשולש MCKMCK הוא 9090. ה. מצאו את אורך הקטע CKCK.

Show the answer and the solution

Answer: 22.5

Worked solution:

SMCD=∣(−8)(−463)−(−6)(24)∣2=4003\begin{aligned}S_{MCD} &= \frac{|(-8)(-\frac{46}{3}) - (-6)(24)|}{2} \\ &= \frac{400}{3}\end{aligned}

MC→=(−8,−6)\overrightarrow{MC} = (-8, -6), MD→=(24,−463)\overrightarrow{MD} = \left(24, -\frac{46}{3}\right)

h=2SMCDCD=800/3100/3=8\begin{aligned}h &= \frac{2 S_{MCD}}{CD} \\ &= \frac{800/3}{100/3} \\ &= 8\end{aligned}

הגובה מ־MM לישר CDCD, משותף ל־MCKMCK ול־MCDMCD

CK⋅82=90⇒CK=22.5\begin{aligned}\frac{CK \cdot 8}{2} &= 90 \Rightarrow CK \\ &= 22.5\end{aligned}

CK=22.5CK = 22.5. המלכודת: לחפש את הגובה מ־MM כמו MC=10MC = 10 — MCMC אינו מאונך ל־CDCD.

Check the answer on elev — Exercise 24

שאלה 5 — טרפז ישר זווית במערכת צירים

Exercise 25

א. מצאו את שיעורי הקודקוד BB.

B(B( ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: B(B( -3 ,, 0 ))

Worked solution:

B(b,0): b2+42=25⇒b=±3\begin{aligned}B(b, 0): \ b^2 + 4^2 &= 25 \Rightarrow b \\ &= \pm 3\end{aligned}

AB=5AB = 5

b<0⇒B(−3,0)b < 0 \Rightarrow B(-3, 0)

BB על החלק השלילי של ציר ה־xx

B(−3,0)B(-3, 0).

Check the answer on elev — Exercise 25

Exercise 26

ב. מצאו את משוואת הצלע BCBC.

y=y = ____ x+x + ( ____ )

Show the answer and the solution

Answer: y=y = -0.75 x+x + ( -2.25 )

Worked solution:

mAB=4−00−(−3)=43\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{4 - 0}{0 - (-3)} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}
mBC=−34m_{BC} = -\frac{3}{4}

∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ: BC⊥ABBC \perp AB

y=−34(x+3)=−34x−94\begin{aligned}y &= -\frac{3}{4}(x + 3) \\ &= -\frac{3}{4}x - \frac{9}{4}\end{aligned}

y=−0.75x−2.25y = -0.75x - 2.25.

Check the answer on elev — Exercise 26

Exercise 27

נתון כי משוואת האלכסון ACAC היא y=−13x+4y = -\frac{1}{3}x + 4. ג. מצאו את אורך הצלע BCBC.

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

−13x+4=−34x−94⇒512x=−254⇒x=−15\begin{aligned}-\frac{1}{3}x + 4 &= -\frac{3}{4}x - \frac{9}{4} \Rightarrow \frac{5}{12}x \\ &= -\frac{25}{4} \Rightarrow x \\ &= -15\end{aligned}

CC הוא נקודת החיתוך של ACAC ו־BCBC

C(−15,9)BC=122+92=15\begin{aligned}C(-15, 9) \\ \quad BC &= \sqrt{12^2 + 9^2} \\ &= 15\end{aligned}

BC=15BC = 15.

Check the answer on elev — Exercise 27

Exercise 28

נתון כי משוואת האלכסון ACAC היא y=−13x+4y = -\frac{1}{3}x + 4. הנקודה MM היא נקודת החיתוך של אלכסוני הטרפז. ד. הוכיחו: △DMA∼△BMC\triangle DMA \sim \triangle BMC.

  • ABCDABCD טרפז, AD∥BCAD \parallel BC
  • MM נקודת החיתוך של האלכסונים ACAC ו־BDBD

△DMA∼△BMC\triangle DMA \sim \triangle BMC

Show the answer and the solution
  1. ∠DAM=∠BCM\angle DAM = \angle BCM — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים (AD∥BCAD \parallel BC, והחותך ACAC)
  2. ∠ADM=∠CBM\angle ADM = \angle CBM — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים (AD∥BCAD \parallel BC, והחותך BDBD)
  3. △DMA∼△BMC\triangle DMA \sim \triangle BMC — משפט הדמיון ז״ז

Worked solution:

∠DAM=∠BCM∠ADM=∠CBM\begin{aligned}\angle DAM &= \angle BCM \\ \quad \angle ADM &= \angle CBM\end{aligned}

זוויות מתחלפות, AD∥BCAD \parallel BC

△DMA∼△BMC (ז״ז)\triangle DMA \sim \triangle BMC \ (\text{ז״ז})

ההתאמה: D↔BD \leftrightarrow B, M↔MM \leftrightarrow M, A↔CA \leftrightarrow C

שתי זוגות של זוויות מתחלפות שוות (אפשר גם להשתמש בזוויות הקודקודיות שליד MM). המלכודת: התאמת הקודקודים — AA מתאים ל־CC, לא ל־BB.

Check the answer on elev — Exercise 28

Exercise 29

נתון כי משוואת האלכסון ACAC היא y=−13x+4y = -\frac{1}{3}x + 4. הנקודה MM היא נקודת החיתוך של אלכסוני הטרפז. נתון כי אורך הקטע ADAD הוא 33. ה. מצאו פי כמה גדול שטח המשולש BMCBMC משטח המשולש DMADMA.

Show the answer and the solution

Answer: 25

Worked solution:

k=BCDA=153=5\begin{aligned}k &= \frac{BC}{DA} \\ &= \frac{15}{3} \\ &= 5\end{aligned}

יחס הדמיון, מסעיפים ג ו־ד

SBMCSDMA=k2=25\begin{aligned}\frac{S_{BMC}}{S_{DMA}} &= k^2 \\ &= 25\end{aligned}

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון

שטח המשולש BMCBMC גדול פי 2525. המלכודת: לענות 55, יחס הדמיון עצמו.

Check the answer on elev — Exercise 29

שאלה 6 — פונקציה רציונלית עם פרמטר

Exercise 30

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

x≠x \neq ____ , x≠x \neq ____ (מהקטן לגדול)

Show the answer and the solution

Answer: x≠x \neq -3 , x≠x \neq 3 (מהקטן לגדול)

Worked solution:

x2−9≠0⇒x≠±3x^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 3

המכנה לא מתאפס

תחום ההגדרה: x≠−3x \neq -3 ו־x≠3x \neq 3.

Check the answer on elev — Exercise 30

Exercise 31

ב. הוכיחו כי הפונקציה f(x)f(x) היא זוגית.

  • f(x)=4x2x2−9+af(x) = \frac{4x^2}{x^2 - 9} + a
  • תחום ההגדרה: x≠±3x \neq \pm 3 (סעיף א)

f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) לכל xx בתחום

Show the answer and the solution
  1. אם xx בתחום, גם −x-x בתחום — התחום x≠±3x \neq \pm 3 סימטרי ביחס ל־x=0x = 0
  2. f(−x)=4(−x)2(−x)2−9+af(-x) = \frac{4(-x)^2}{(-x)^2 - 9} + a — מציבים −x-x במקום xx
  3. 4(−x)2(−x)2−9+a=4x2x2−9+a\frac{4(-x)^2}{(-x)^2 - 9} + a = \frac{4x^2}{x^2 - 9} + a — (−x)2=x2(-x)^2 = x^2
  4. f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) — הגדרת פונקציה זוגית: תחום סימטרי ו־f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)

Worked solution:

f(−x)=4(−x)2(−x)2−9+a=4x2x2−9+a=f(x)\begin{aligned}f(-x) &= \frac{4(-x)^2}{(-x)^2 - 9} + a \\ &= \frac{4x^2}{x^2 - 9} + a \\ &= f(x)\end{aligned}

(−x)2=x2(-x)^2 = x^2; התחום סימטרי

ff זוגית לכל ערך של aa. המלכודת: לשכוח לבדוק שהתחום סימטרי.

Check the answer on elev — Exercise 31

Exercise 32

נתון כי גרף הפונקציה f(x)f(x) חותך את ציר ה־xx בנקודה שבה x=3x = \sqrt{3}. ג. מצאו את הערך של aa.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f(3)=4⋅33−9+a=−2+a=0\begin{aligned}f(\sqrt{3}) &= \frac{4 \cdot 3}{3 - 9} + a \\ &= -2 + a \\ &= 0\end{aligned}
a=2a = 2

a=2a = 2.

Check the answer on elev — Exercise 32

Exercise 33

הציבו a=2a = 2 בפונקציה f(x)f(x) וענו על הסעיפים ד–ו. ד (1). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים.

עם ציר ה־yy: (0,(0, ____ )) ; עם ציר ה־xx: (( ____ ,0), 0) ו־(( ____ ,0), 0) (משמאל לימין)

Show the answer and the solution

Answer: עם ציר ה־yy: (0,(0, 2 )) ; עם ציר ה־xx: (( -1.732 ,0), 0) ו־(( 1.732 ,0), 0) (משמאל לימין)

Worked solution:

f(x)=4x2x2−9+2=6x2−18x2−9\begin{aligned}f(x) &= \frac{4x^2}{x^2 - 9} + 2 \\ &= \frac{6x^2 - 18}{x^2 - 9}\end{aligned}

מכנה משותף

f(0)=−18−9=2\begin{aligned}f(0) &= \frac{-18}{-9} \\ &= 2\end{aligned}
6x2−18=0⇒x=±3\begin{aligned}6x^2 - 18 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm\sqrt{3}\end{aligned}

הפונקציה זוגית: −3-\sqrt{3} מתאים ל־3\sqrt{3} מסעיף ג

(0,2)(0, 2), (−3,0)(-\sqrt{3}, 0) ו־(3,0)(\sqrt{3}, 0); 3≈1.732\sqrt{3} \approx 1.732.

Check the answer on elev — Exercise 33

Exercise 34

הציבו a=2a = 2 בפונקציה f(x)f(x) וענו על הסעיפים ד–ו. ד (2). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

(( ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: (( 0 ,, 2 ))

Worked solution:

f′(x)=8x(x2−9)−4x2⋅2x(x2−9)2=−72x(x2−9)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{8x(x^2 - 9) - 4x^2 \cdot 2x}{(x^2 - 9)^2} \\ &= \frac{-72x}{(x^2 - 9)^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

f′(x)=0⇒x=0\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}
x<0:f′>0; x>0:f′<0x < 0: f' > 0; \ x > 0: f' < 0

טבלת סימנים סביב x=0x = 0 (בין −3-3 ל־33)

מקסימום (0,2)(0, 2). המלכודת: להכריז על x=±3x = \pm 3 כנקודות קיצון — שם הפונקציה אינה מוגדרת.

Check the answer on elev — Exercise 34

Exercise 35

הציבו a=2a = 2 בפונקציה f(x)f(x) וענו על הסעיפים ד–ו. ד (3). מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x).

  1. Aעלייה: 0<x<30 < x < 3 או x>3x > 3 ; ירידה: x<−3x < -3 או −3<x<0-3 < x < 0
  2. Bעלייה: −3<x<3-3 < x < 3 ; ירידה: x<−3x < -3 או x>3x > 3
  3. Cעלייה: x<−3x < -3 או −3<x<0-3 < x < 0 ; ירידה: 0<x<30 < x < 3 או x>3x > 3
  4. Dעלייה: x<−3x < -\sqrt{3} או 0<x<30 < x < \sqrt{3} ; ירידה: −3<x<0-\sqrt{3} < x < 0 או x>3x > \sqrt{3}
Show the answer and the solution

Answer: C עלייה: x<−3x < -3 או −3<x<0-3 < x < 0 ; ירידה: 0<x<30 < x < 3 או x>3x > 3

Worked solution:

f′(x)=−72x(x2−9)2f'(x) = \frac{-72x}{(x^2 - 9)^2}

המכנה חיובי בכל התחום, ולכן הסימן של f′f' הפוך לסימן של xx

x<0, x≠−3: f′>0;x>0, x≠3: f′<0x < 0, \ x \neq -3: \ f' > 0; \quad x > 0, \ x \neq 3: \ f' < 0

עלייה: x<−3x < -3 ו־−3<x<0-3 < x < 0; ירידה: 0<x<30 < x < 3 ו־x>3x > 3. המלכודת: לחבר את תחומי העלייה ל־x<0x < 0 — x=−3x = -3 אינו בתחום, והם שני תחומים נפרדים.

Check the answer on elev — Exercise 35

Exercise 36

הציבו a=2a = 2 בפונקציה f(x)f(x) וענו על הסעיפים ד–ו. ד (4). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x)f(x).

אנכיות: x=x = ____ , x=x = ____ (מהקטן לגדול) ; אופקית: y=y = ____

Show the answer and the solution

Answer: אנכיות: x=x = -3 , x=x = 3 (מהקטן לגדול) ; אופקית: y=y = 6

Worked solution:

x=±3x = \pm 3

המכנה מתאפס והמונה 6x2−18=36≠06x^2 - 18 = 36 \neq 0

x→±∞: 4x2x2−9→4⇒f(x)→4+2=6x \to \pm\infty: \ \frac{4x^2}{x^2 - 9} \to 4 \Rightarrow f(x) \to 4 + 2 = 6

אסימפטוטות אנכיות x=−3x = -3 ו־x=3x = 3, ואסימפטוטה אופקית y=6y = 6. המלכודת: לשכוח את a=2a = 2 ולענות y=4y = 4.

Check the answer on elev — Exercise 36

Exercise 37

הציבו a=2a = 2 בפונקציה f(x)f(x) וענו על הסעיפים ד–ו. ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x). יש לבחור את התיאור שמתאים לסקיצה.

  1. Aבין x=−3x = -3 ל־x=3x = 3 הגרף עולה עד (0,2)(0, 2) ויורד, חותך את ציר ה־xx ב־±3\pm\sqrt{3} ושואף ל־−∞-\infty ליד האסימפטוטות; משמאל ומימין לתחום זה הגרף מעל הישר y=6y = 6 ומתקרב אליו
  2. Bהגרף מוגדר לכל xx: הוא עולה עד המקסימום (0,2)(0, 2) ויורד, חותך את ציר ה־xx ב־±3\pm\sqrt{3}, ומשני הצדדים מתקרב לישר y=6y = 6 מלמעלה
  3. Cבין x=−3x = -3 ל־x=3x = 3 הגרף יורד עד (0,2)(0, 2) ועולה, ושואף ל־+∞+\infty ליד האסימפטוטות; משמאל ומימין לתחום זה הגרף מתחת לישר y=6y = 6, חותך את ציר ה־xx ב־±3\pm\sqrt{3} ומתקרב לישר y=6y = 6
  4. Dבין x=−3x = -3 ל־x=3x = 3 הגרף עולה עד (0,2)(0, 2) ויורד, חותך את ציר ה־xx ב־±3\pm\sqrt{3} ושואף ל־−∞-\infty ליד האסימפטוטות; משמאל ומימין לתחום זה הגרף מתחת לישר y=6y = 6 ומתקרב אליו
Show the answer and the solution

Answer: A בין x=−3x = -3 ל־x=3x = 3 הגרף עולה עד (0,2)(0, 2) ויורד, חותך את ציר ה־xx ב־±3\pm\sqrt{3} ושואף ל־−∞-\infty ליד האסימפטוטות; משמאל ומימין לתחום זה הגרף מעל הישר y=6y = 6 ומתקרב אליו

Worked solution:

f(x)−6=36x2−9f(x) - 6 = \frac{36}{x^2 - 9}

הפרש מן האסימפטוטה האופקית

∣x∣>3: f(x)>6;∣x∣<3: f(x)<6|x| > 3: \ f(x) > 6; \quad |x| < 3: \ f(x) < 6

לכן הענפים החיצוניים מעל y=6y = 6

x→3−:f→−∞;x→3+:f→+∞x \to 3^-: f \to -\infty; \quad x \to 3^+: f \to +\infty

וכך גם ליד x=−3x = -3, בזכות הזוגיות

הסקיצה: ענף אמצעי בצורת קשת עם מקסימום (0,2)(0, 2), חיתוכים (±3,0)(\pm\sqrt{3}, 0), ושואף ל־−∞-\infty ליד x=±3x = \pm 3; שני ענפים חיצוניים מעל y=6y = 6, שיורדים מ־+∞+\infty ומתקרבים ל־y=6y = 6. הגרף סימטרי ביחס לציר ה־yy.

Check the answer on elev — Exercise 37

Exercise 38

הציבו a=2a = 2 בפונקציה f(x)f(x) וענו על הסעיפים ד–ו. נתונה הפונקציה g(x)=f(x−7)g(x) = f(x - 7). ו (1). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה g(x)g(x).

אנכיות: x=x = ____ , x=x = ____ (מהקטן לגדול) ; אופקית: y=y = ____

Show the answer and the solution

Answer: אנכיות: x=x = 4 , x=x = 10 (מהקטן לגדול) ; אופקית: y=y = 6

Worked solution:

g(x)=f(x−7)g(x) = f(x - 7)

הזזה של הגרף של ff ב־77 ימינה

x−7=±3⇒x=4 x=10\begin{aligned}x - 7 &= \pm 3 \Rightarrow x \\ &= 4 \\ \ x &= 10\end{aligned}

האסימפטוטות האנכיות זזות

y=6y = 6

הזזה אופקית לא משנה את האסימפטוטה האופקית

x=4x = 4, x=10x = 10 ו־y=6y = 6. המלכודת: להזיז שמאלה (x=−10x = -10, x=−4x = -4) — f(x−7)f(x - 7) מזיז ימינה.

Check the answer on elev — Exercise 38

Exercise 39

הציבו a=2a = 2 בפונקציה f(x)f(x) וענו על הסעיפים ד–ו. נתונה הפונקציה g(x)=f(x−7)g(x) = f(x - 7). ו (2). האם הפונקציה g(x)g(x) היא זוגית? נמקו את תשובתכם.

  1. Aלא
  2. Bכן
Show the answer and the solution

Answer: A לא

Worked solution:

x=4 x=10\begin{aligned}x &= 4 \\ \ x &= 10\end{aligned}

תחום ההגדרה של gg אינו סימטרי ביחס ל־x=0x = 0

g(−4) מוגדרת, g(4) לאg(-4) \text{ מוגדרת}, \ g(4) \text{ לא}

g(−4)=f(−11)g(-4) = f(-11), ו־44 אינו בתחום

לא: הגרף של gg סימטרי ביחס לישר x=7x = 7, ולא ביחס לציר ה־yy. המלכודת: לחשוב שהזזה שומרת על הזוגיות.

Check the answer on elev — Exercise 39

שאלה 7 — פונקציית שורש

Exercise 40

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

x≥x \ge ____

Show the answer and the solution

Answer: x≥x \ge 3.2

Worked solution:

5x−16≥0⇒x≥3.25x - 16 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3.2

מתחת לשורש — ביטוי אי־שלילי

תחום ההגדרה: x≥3.2x \ge 3.2.

Check the answer on elev — Exercise 40

Exercise 41

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם ציר ה־xx.

(( ____ ,0), 0) ו־(( ____ ,0), 0) (משמאל לימין)

Show the answer and the solution

Answer: (( 4 ,0), 0) ו־(( 16 ,0), 0) (משמאל לימין)

Worked solution:

2x=45x−16⇒x=25x−16\begin{aligned}2x &= 4\sqrt{5x - 16} \Rightarrow x \\ &= 2\sqrt{5x - 16}\end{aligned}
x2=4(5x−16)⇒x2−20x+64=0⇒x=4 x=16\begin{aligned}x^2 &= 4(5x - 16) \Rightarrow x^2 - 20x + 64 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4 \\ \ x &= 16\end{aligned}

מעלים בריבוע; x≥0x \ge 0, אז אין פתרון זר

f(4)=8−4⋅2=0f(16)=32−4⋅8=0\begin{aligned}f(4) &= 8 - 4 \cdot 2 \\ &= 0 \\ \quad f(16) &= 32 - 4 \cdot 8 \\ &= 0\end{aligned}

בדיקה

(4,0)(4, 0) ו־(16,0)(16, 0).

Check the answer on elev — Exercise 41

Exercise 42

ג. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

(( ____ ,, ____ )) ו־(( ____ ,, ____ )) (קודם הנקודה הפנימית, אחר כך נקודת הקצה)

Show the answer and the solution

Answer: (( 8.2 ,, -3.6 )) ו־(( 3.2 ,, 6.4 )) (קודם הנקודה הפנימית, אחר כך נקודת הקצה)

Worked solution:

f′(x)=2−4⋅525x−16=2−105x−16\begin{aligned}f'(x) &= 2 - \frac{4 \cdot 5}{2\sqrt{5x - 16}} \\ &= 2 - \frac{10}{\sqrt{5x - 16}}\end{aligned}
f′(x)=0⇒5x−16=5⇒x=8.2\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow \sqrt{5x - 16} \\ &= 5 \Rightarrow x \\ &= 8.2\end{aligned}
f′(4)=2−102<0f′(13)=2−107>0\begin{aligned}f'(4) &= 2 - \frac{10}{2} < 0 \\ \quad f'(13) &= 2 - \frac{10}{7} > 0\end{aligned}

ירידה ואז עלייה: מינימום

f(8.2)=16.4−4⋅5=−3.6f(3.2)=6.4\begin{aligned}f(8.2) &= 16.4 - 4 \cdot 5 \\ &= -3.6 \\ \quad f(3.2) &= 6.4\end{aligned}

בקצה התחום הפונקציה יורדת: מקסימום קצה

מינימום (8.2,−3.6)(8.2, -3.6) ומקסימום קצה (3.2,6.4)(3.2, 6.4). המלכודת: לשכוח את נקודת הקצה, ש"כל נקודות הקיצון" כוללות.

Check the answer on elev — Exercise 42

Exercise 43

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x). יש לבחור את התיאור שמתאים לסקיצה.

  1. Aהגרף מתחיל ב־(3.2,0)(3.2, 0), עולה עד מקסימום ב־(8.2,3.6)(8.2, 3.6), ואז יורד, חותך את ציר ה־xx ב־(16,0)(16, 0) ושואף ל־−∞-\infty
  2. Bהגרף מוגדר לכל xx: הוא יורד עד (8.2,−3.6)(8.2, -3.6) ואז עולה, וחותך את ציר ה־xx ב־(4,0)(4, 0) וב־(16,0)(16, 0)
  3. Cהגרף מתחיל ב־(3.2,6.4)(3.2, 6.4), יורד דרך (4,0)(4, 0) עד (8.2,−3.6)(8.2, -3.6), ואז עולה ומתקרב לציר ה־xx מתחתיו, בלי לחתוך אותו שוב
  4. Dהגרף מתחיל ב־(3.2,6.4)(3.2, 6.4), יורד דרך (4,0)(4, 0) עד (8.2,−3.6)(8.2, -3.6), ואז עולה דרך (16,0)(16, 0) בלי גבול
Show the answer and the solution

Answer: D הגרף מתחיל ב־(3.2,6.4)(3.2, 6.4), יורד דרך (4,0)(4, 0) עד (8.2,−3.6)(8.2, -3.6), ואז עולה דרך (16,0)(16, 0) בלי גבול

Worked solution:

(3.2,6.4)↘(4,0)↘(8.2,−3.6)↗(16,0)↗(3.2, 6.4) \searrow (4, 0) \searrow (8.2, -3.6) \nearrow (16, 0) \nearrow

סדר הנקודות על הגרף, מסעיפים א–ג

f(x)=2x−45x−16→+∞f(x) = 2x - 4\sqrt{5x - 16} \to +\infty

2x2x גדל מהר יותר מ־5x−16\sqrt{5x - 16}

הסקיצה: מתחילה בנקודת הקצה (3.2,6.4)(3.2, 6.4), יורדת דרך (4,0)(4, 0) עד המינימום (8.2,−3.6)(8.2, -3.6), ועולה דרך (16,0)(16, 0) בלי גבול.

Check the answer on elev — Exercise 43

Exercise 44

הגרפים I–IV
xyIIxyIxyIVxyIII

פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) מוגדרת בתחום x>3.2x > 3.2. ה (1). קבעו איזה מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x).

  1. Aגרף I
  2. Bגרף III
  3. Cגרף II
  4. Dגרף IV
Show the answer and the solution

Answer: A גרף I

Worked solution:

x→3.2+: f′(x)=2−105x−16→−∞x \to 3.2^+: \ f'(x) = 2 - \frac{10}{\sqrt{5x - 16}} \to -\infty

המכנה שואף ל־00

3.2<x<8.2:f′<0; x>8.2:f′>0; x→∞:f′→23.2 < x < 8.2: f' < 0; \ x > 8.2: f' > 0; \ x \to \infty: f' \to 2

ff יורדת ואז עולה; 105x−16→0\frac{10}{\sqrt{5x - 16}} \to 0

גרף I: מתחיל ב־−∞-\infty ליד x=3.2x = 3.2, עולה, חותך את ציר ה־xx פעם אחת (x=8.2x = 8.2) ומתקרב לישר חיובי. המלכודות: גרף II הוא −f′-f'; גרף III חיובי כולו וגרף IV שלילי כולו, אבל f′f' מחליפה סימן.

Check the answer on elev — Exercise 44

Exercise 45

פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) מוגדרת בתחום x>3.2x > 3.2. ה (2). חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), על ידי ציר ה־xx ועל ידי הישרים x=4x = 4 ו־x=13x = 13.

Show the answer and the solution

Answer: 5.2

Worked solution:

f′(8.2)=0f'(8.2) = 0

בין 44 ל־1313 הנגזרת מחליפה סימן: שני חלקים

∫48.2−f′(x) dx=f(4)−f(8.2)=0−(−3.6)=3.6\begin{aligned}\int_4^{8.2} -f'(x)\,dx &= f(4) - f(8.2) \\ &= 0 - (-3.6) \\ &= 3.6\end{aligned}

מתחת לציר ה־xx

∫8.213f′(x) dx=f(13)−f(8.2)=(26−28)+3.6=1.6\begin{aligned}\int_{8.2}^{13} f'(x)\,dx &= f(13) - f(8.2) \\ &= (26 - 28) + 3.6 \\ &= 1.6\end{aligned}

f(13)=26−449=−2f(13) = 26 - 4\sqrt{49} = -2

S=3.6+1.6=5.2\begin{aligned}S &= 3.6 + 1.6 \\ &= 5.2\end{aligned}

השטח הוא 5.25.2. המלכודת: לחשב ∫413f′(x) dx=f(13)−f(4)=−2\int_4^{13} f'(x)\,dx = f(13) - f(4) = -2 — החלק שמתחת לציר נספר בשלילה.

Check the answer on elev — Exercise 45

שאלה 8 — בעיית קיצון: מתחם ציבורי

Exercise 46

א. הביעו באמצעות xx את אורך הצלע BEBE.

  1. ABE=8−xBE = 8 - x
  2. BBE=6−3xBE = 6 - 3x
  3. CBE=8−2xBE = 8 - 2x
  4. DBE=8−3xBE = 8 - 3x
Show the answer and the solution

Answer: D BE=8−3xBE = 8 - 3x

Worked solution:

AB+BE+EG=AG⇒x+BE+2x=8\begin{aligned}AB + BE + EG &= AG \Rightarrow x + BE + 2x \\ &= 8\end{aligned}

EG=2xEG = 2x

BE=8−3xBE = 8 - 3x

BE=8−3xBE = 8 - 3x. המלכודת: לשכוח את ABAB ולענות 8−2x8 - 2x.

Check the answer on elev — Exercise 46

Exercise 47

נתון כי שטח המבואה הוא 11 מ״ר. ב (1). הביעו באמצעות xx את אורך הצלע ADAD.

  1. AAD=1−xAD = 1 - x
  2. BAD=2xAD = \frac{2}{x}
  3. CAD=1xAD = \frac{1}{x}
  4. DAD=18−3xAD = \frac{1}{8 - 3x}
Show the answer and the solution

Answer: C AD=1xAD = \frac{1}{x}

Worked solution:

AB⋅AD=1⇒x⋅AD=1\begin{aligned}AB \cdot AD &= 1 \Rightarrow x \cdot AD \\ &= 1\end{aligned}

שטח המלבן ABCDABCD

AD=1xAD = \frac{1}{x}

AD=1xAD = \frac{1}{x}.

Check the answer on elev — Exercise 47

Exercise 48

נתון כי שטח המבואה הוא 11 מ״ר. ב (2). הביעו באמצעות xx את השטח הכולל של המתחם.

  1. AS(x)=4x2+8−3x−2S(x) = 4x^2 + 8 - 3x - 2
  2. BS(x)=2x2+8x−2S(x) = 2x^2 + \frac{8}{x} - 2
  3. CS(x)=4x2+8x−2S(x) = 4x^2 + \frac{8}{x} - 2
  4. DS(x)=4x2+8x−3S(x) = 4x^2 + \frac{8}{x} - 3
Show the answer and the solution

Answer: C S(x)=4x2+8x−2S(x) = 4x^2 + \frac{8}{x} - 2

Worked solution:

SBEFC=BE⋅BC=(8−3x)⋅1x=8x−3\begin{aligned}S_{BEFC} &= BE \cdot BC \\ &= (8 - 3x) \cdot \frac{1}{x} \\ &= \frac{8}{x} - 3\end{aligned}

BC=AD=1xBC = AD = \frac{1}{x}

SEGHK=(2x)2=4x2\begin{aligned}S_{EGHK} &= (2x)^2 \\ &= 4x^2\end{aligned}
S(x)=1+8x−3+4x2=4x2+8x−2\begin{aligned}S(x) &= 1 + \frac{8}{x} - 3 + 4x^2 \\ &= 4x^2 + \frac{8}{x} - 2\end{aligned}

S(x)=4x2+8x−2S(x) = 4x^2 + \frac{8}{x} - 2, בתחום 0<x<830 < x < \frac{8}{3}. המלכודת: לשכוח את שטח המבואה (11 מ״ר).

Check the answer on elev — Exercise 48

Exercise 49

נתון כי שטח המבואה הוא 11 מ״ר. ג. מצאו את הערך של xx שבעבורו השטח הכולל של המתחם הוא מינימלי.

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

S′(x)=8x−8x2=0⇒x3=1⇒x=1\begin{aligned}S'(x) &= 8x - \frac{8}{x^2} \\ &= 0 \Rightarrow x^3 \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

בתחום 0<x<830 < x < \frac{8}{3}

S′(0.5)=4−32<0S′(2)=16−2>0\begin{aligned}S'(0.5) &= 4 - 32 < 0 \\ \quad S'(2) &= 16 - 2 > 0\end{aligned}

ירידה ואז עלייה: מינימום

x=1x = 1 מטר; השטח המינימלי הוא S(1)=4+8−2=10S(1) = 4 + 8 - 2 = 10 מ״ר.

Check the answer on elev — Exercise 49

Exercise 50

נתון כי שטח המבואה הוא 11 מ״ר. ד. האם ייתכן שהשטח הכולל של המתחם הוא 99 מ״ר? נמקו את תשובתכם.

  1. Aלא
  2. Bכן
Show the answer and the solution

Answer: A לא

Worked solution:

Smin⁡=S(1)=4+8−2=10\begin{aligned}S_{\min} &= S(1) \\ &= 4 + 8 - 2 \\ &= 10\end{aligned}

המינימום מסעיף ג הוא המינימום המוחלט בתחום: נקודת הקיצון היחידה

9<109 < 10

לא: השטח הכולל הוא לפחות 1010 מ״ר.

Check the answer on elev — Exercise 50

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade

This lesson is part of the subscription. A full chapter for free: Sequences