בגרות 35571 — חורף 2022

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 035571 (5 יחידות לימוד, שאלון ראשון), חורף תשפ״ב, 2022. משך הבחינה: שלוש שעות וחצי. ענה על חמש מן השאלות 1–8 (לכל שאלה – 20 נקודות). פרק ראשון – "שאלות קצרות", סדרות והסתברות: שאלות 1–3. פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור: שאלות 4–5. פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות טריגונומטריות: שאלות 6–8. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־5 יחידות לימוד.

כאן כתובות השאלות של הבחינה, כדי שתוכלו להתאמן בהן; בבחינה עצמה בוחרים חמש. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, והפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercises

שאלה 1 — שאלות קצרות

Exercise 1

א. לפניך טרפז $ABCD$ $(AB \parallel CD)$ . נתון: שטח המשולש $ADC$ הוא $24$ ושטח המשולש $ADB$ הוא $12$ . (1) חשב את היחס בין אורך הבסיס הגדול ובין אורך הבסיס הקטן של הטרפז $ABCD$ .

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}S_{ADC} &= \frac{DC \cdot h}{2} \\ \quad S_{ADB} &= \frac{AB \cdot h}{2}\end{aligned}

$h$ הוא גובה הטרפז. הוא גם הגובה של המשולש $ADC$ לבסיס $DC$ , וגם הגובה של המשולש $ADB$ לבסיס $AB$ , כי $AB \parallel CD$

\begin{aligned}\frac{DC}{AB} &= \frac{S_{ADC}}{S_{ADB}} \\ &= \frac{24}{12} \\ &= 2\end{aligned}

מחלקים את שני השטחים: $\frac{h}{2}$ מצטמצם

הבסיס הגדול $DC$ ארוך פי $2$ מן הבסיס הקטן $2$ : היחס הוא $2 : 1$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

א. לפניך טרפז $ABCD$ $(AB \parallel CD)$ . נתון: שטח המשולש $ADC$ הוא $24$ ושטח המשולש $ADB$ הוא $12$ . (2) חשב את שטח הטרפז $ABCD$ .

Show the answer and the solution

Answer: 36

Worked solution:

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{AB \cdot h}{2} \\ &= S_{ADB} \\ &= 12\end{aligned}

למשולשים $ABC$ ו־ $ADB$ יש אותו בסיס $AB$ ואותו גובה $h$

\begin{aligned}S_{ABCD} &= S_{ADC} + S_{ABC} \\ &= 24 + 12 \\ &= 36\end{aligned}

האלכסון $AC$ מחלק את הטרפז לשני משולשים

שטח הטרפז הוא $36$ . בדיקה: $DC = 2AB$ , ולכן $S_{ABCD} = \frac{(AB + 2AB) \cdot h}{2} = 3 \cdot \frac{AB \cdot h}{2} = 3 \cdot 12 = 36$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

ב (1). בעבור כל $n$ טבעי, הוכח באינדוקציה או בדרך אחרת את הטענה: $\left(1 + \frac{1}{1}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{3}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right) = n + 1$

$n$ מספר טבעי

$n$

Show the answer and the solution

$1 + \frac{1}{1} = 2 = 1 + 1$ — בדיקה עבור $n = 1$
$\left(1 + \frac{1}{1}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{k}\right) = k + 1$ — הנחת האינדוקציה
$\left(1 + \frac{1}{1}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{k+1}\right) = (k + 1)\left(1 + \frac{1}{k+1}\right)$ — כופלים בגורם ה־ $(k+1)$ ומציבים את הנחת האינדוקציה
$(k + 1)\left(1 + \frac{1}{k+1}\right) = (k + 1) + 1 = k + 2$ — פתיחת סוגריים: $(k + 1) \cdot \frac{1}{k+1} = 1$
$\left(1 + \frac{1}{1}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{k+1}\right) = k + 2$ — זו הטענה עבור $n = k + 1$ ; עם הבדיקה עבור $n = 1$ , היא נכונה לכל $n$ טבעי

Worked solution:

\begin{aligned}1 + \frac{1}{1} &= 2 \\ &= 1 + 1\end{aligned}

הבדיקה עבור $n = 1$

\left(1 + \frac{1}{1}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{k}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{k+1}\right) = (k + 1) \cdot \frac{k + 2}{k + 1}

הנחת האינדוקציה, ואז הגורם ה־ $(k+1)$ : $1 + \frac{1}{k+1} = \frac{k + 2}{k + 1}$

\begin{aligned}(k + 1) \cdot \frac{k + 2}{k + 1} &= k + 2 \\ &= (k + 1) + 1\end{aligned}

זו הטענה עבור $n = k + 1$

דרך אחרת: כל גורם הוא $1 + \frac{1}{m} = \frac{m + 1}{m}$ , ולכן המכפלה היא $\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \ldots \cdot \frac{n + 1}{n}$ . כל מונה מצטמצם עם המכנה שאחריו, ונשאר $\frac{n + 1}{1} = n + 1$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

ב (2). חשב את המכפלה: $\left(1 + \frac{1}{2}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{4}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{5}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{99}\right)$

Show the answer and the solution

Answer: 50

Worked solution:

\begin{aligned}\left(1 + \frac{1}{1}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{99}\right) &= 99 + 1 \\ &= 100\end{aligned}

הטענה של סעיף ב (1) עם $n = 99$

1 + \frac{1}{1} = 2

המכפלה המבוקשת מתחילה בגורם השני, בלי הגורם הזה

\frac{100}{2} = 50

מחלקים את המכפלה המלאה בגורם החסר

המכפלה היא $50$ . המלכודת: לענות $100$ , ולשכוח שהמכפלה מתחילה ב־ $1 + \frac{1}{2}$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

ג. בעבור כל אחת מן הטענות (1)–(2) שלפניך, קבע אם היא נכונה לכל $x$ . נמק. (1) $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)$

נכונה רק כאשר $x = 0$ : רק אז הזוויות $\frac{\pi}{2} - x$ ו־ $\frac{\pi}{2} + x$ שוות
נכונה לכל $x$ : שני האגפים שווים ל־ $x$
לא נכונה לכל $x$ : אגף שמאל שווה ל־ $\cos x$ , ואגף ימין שווה ל־ $-\cos x$
לא נכונה לכל $x$ : אגף שמאל שווה ל־ $\cos x$ , ואגף ימין שווה ל־ $\sin x$

Show the answer and the solution

Answer: B נכונה לכל $x$ : שני האגפים שווים ל־ $x$

Worked solution:

\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x

זהות של זוויות משלימות ל־ $\frac{\pi}{2}$

\begin{aligned}\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) &= \sin\left(\pi - \left(\frac{\pi}{2} + x\right)\right) \\ &= \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \\ &= \cos x\end{aligned}

$\sin(\pi - t) = \sin t$

הטענה נכונה לכל $x$ : שני האגפים שווים ל־ $\cos x$ . המלכודת: לחשוב שזוויות שונות נותנות סינוס שונה — שתי הזוויות $\frac{\pi}{2} - x$ ו־ $\frac{\pi}{2} + x$ סימטריות סביב $\frac{\pi}{2}$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

ג. בעבור כל אחת מן הטענות (1)–(2) שלפניך, קבע אם היא נכונה לכל $x$ . נמק. (2) $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$

נכונה לכל $x$ : שני האגפים שווים ל־ $x$
נכונה לכל $x$ : סינוס היא פונקציה זוגית, ולכן $x$
לא נכונה לכל $x$ : אגף ימין שווה ל־ $-\cos x$ , ולמשל ב־ $x = 0$ אגף שמאל הוא $1$ ואגף ימין הוא $-1$
לא נכונה לכל $x$ : אין אף $x$ שבעבורו השוויון מתקיים

Show the answer and the solution

Answer: C לא נכונה לכל $x$ : אגף ימין שווה ל־ $-\cos x$ , ולמשל ב־ $x = 0$ אגף שמאל הוא $1$ ואגף ימין הוא $-1$

Worked solution:

\begin{aligned}\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) &= -\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \\ &= -\cos x\end{aligned}

סינוס היא פונקציה אי־זוגית: $\sin(-t) = -\sin t$

\begin{aligned}\cos x &= -\cos x \iff \cos x \\ &= 0\end{aligned}

השוויון מתקיים רק כאשר $\cos x = 0$

\begin{aligned}x &= 0: \quad \sin\frac{\pi}{2} \\ &= 1 \\ \quad \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) &= -1\end{aligned}

דוגמה נגדית

הטענה אינה נכונה לכל $x$ : היא מתקיימת רק כאשר $x$ (למשל $x = \frac{\pi}{2}$ ), ו־ $x = 0$ היא דוגמה נגדית.

Check the answer on elev

Exercise 7

ד. לפניך הגרף של פונקציה $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ . לפונקציה $x$ אסימפטוטה אופקית שמשוואתה היא $y = 1$ (ראה סרטוט), ו־ $2$ נקודות קיצון בדיוק: נקודת מקסימום $(0, 3)$ ונקודת מינימום $(-2, -1)$ . נגדיר את הפונקציה $g(x) = f(-x) + 1$ . גם הפונקציה $g(x)$ מוגדרת לכל $x$ . (1) מצא את משוואת האסימפטוטה האופקית של הפונקציה $g(x)$ . נמק.

$y =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $y =$ 2

Worked solution:

x \to \pm\infty: \quad f(-x) \to 1

כאשר $x \to \infty$ , אז $-x \to -\infty$ , ולהפך; והפונקציה $f$ שואפת ל־ $1$ בשני הכיוונים

\begin{aligned}g(x) &= f(-x) + 1 \to 1 + 1 \\ &= 2\end{aligned}

$y = 2$ . השיקוף $f(-x)$ סביב ציר ה־ $y$ משאיר את האסימפטוטה $y = 1$ במקומה, וההזזה ב־ $1$ למעלה מעבירה אותה ל־ $1$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

ד. לפניך הגרף של פונקציה $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ . לפונקציה $x$ אסימפטוטה אופקית שמשוואתה היא $y = 1$ (ראה סרטוט), ו־ $2$ נקודות קיצון בדיוק: נקודת מקסימום $(0, 3)$ ונקודת מינימום $(-2, -1)$ . נגדיר את הפונקציה $g(x) = f(-x) + 1$ . גם הפונקציה $g(x)$ מוגדרת לכל $x$ . (2) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $g(x)$ , וקבע את סוגן.

$($ ____ $,$ ____ $)$ ו־ $($ ____ $,$ ____ $)$ (משמאל לימין)

Show the answer and the solution

Answer: $($ 0 $,$ 4 $)$ ו־ $($ 2 $,$ 0 $)$ (משמאל לימין)

Worked solution:

f(-x): \quad (0, 3) \to (0, 3), \quad (-2, -1) \to (2, -1)

שיקוף סביב ציר ה־ $y$ : שיעור ה־ $y$ מחליף סימן, ושיעור ה־ $y$ וסוג הקיצון לא משתנים

\begin{aligned}g(x) &= f(-x) + 1: \quad (0, 4) \\ \quad (2, 0)\end{aligned}

הזזה ב־ $1$ למעלה: מוסיפים $1$ לשיעור ה־ $1$ , וסוג הקיצון לא משתנה

נקודת מקסימום $(0, 4)$ ונקודת מינימום $(2, 0)$ . המלכודת: להחליף את הסימן של שיעור ה־ $y$ במקום את הסימן של שיעור ה־ $x$ — זה היה השיקוף $x$ , שהופך מקסימום למינימום.

Check the answer on elev

שאלה 2 — סדרות חשבוניות

Exercise 9

א (1). האם הסדרה $B$ היא סדרה חשבונית? נמק.

לא: $b_n$ הוא הפרש של שני סכומים, ולכן ההפרש $b_{n+1} - b_n$ תלוי ב־ $n$
לא: רק הסדרה $A$ נתונה כסדרה חשבונית
כן: $b_{n+1} - b_n = S_{n+2} - S_n$ , ולכן ההפרש של $B$ הוא $2d$
כן: $b_n = a_{n+1}$ , ולכן $b_{n+1} - b_n = a_{n+2} - a_{n+1} = d$

Show the answer and the solution

Answer: D כן: $b_n = a_{n+1}$ , ולכן $b_{n+1} - b_n = a_{n+2} - a_{n+1} = d$

Worked solution:

\begin{aligned}b_n &= S_{n+1} - S_n \\ &= a_{n+1}\end{aligned}

בסכום של $n + 1$ איברים יש איבר אחד יותר מבסכום של $n$ איברים: האיבר ה־ $(n+1)$

\begin{aligned}b_{n+1} - b_n &= a_{n+2} - a_{n+1} \\ &= d\end{aligned}

ההפרש קבוע

כן: $B$ היא סדרה חשבונית, והפרשה $B$ , כמו ההפרש של $A$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

א (2). האם הסדרה $B$ זהה לסדרה $B$ ? נמק.

לא: $b_n = a_{n+1} = a_n + d$ , ו־ $d > 0$ כי הסדרה $A$ עולה
לא: ההפרש של הסדרה $B$ הוא $2d$
כן: לשתי הסדרות אותו הפרש $d$
כן: $b_n = S_{n+1} - S_n = a_n$

Show the answer and the solution

Answer: A לא: $b_n = a_{n+1} = a_n + d$ , ו־ $d > 0$ כי הסדרה $A$ עולה

Worked solution:

\begin{aligned}b_1 &= a_2 \\ \quad b_2 &= a_3 \\ \quad \ldots \\ \quad b_n &= a_{n+1}\end{aligned}

סעיף א (1)

\begin{aligned}b_n - a_n &= a_{n+1} - a_n \\ &= d > 0\end{aligned}

הסדרה $A$ עולה, ולכן $d > 0$

לא: $B$ היא הסדרה $A$ בלי האיבר הראשון שלה, וכל איבר של $B$ גדול ב־ $d$ מן האיבר שבאותו מקום ב־ $d$ . המלכודת: אותו הפרש אינו אומר אותה סדרה — צריך גם אותו איבר ראשון.

Check the answer on elev

Exercise 11

מסמנים ב־ $T_n$ את סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה $n$ , לכל $B$ טבעי. ב. הוכח כי לכל $n$ טבעי זוגי מתקיים: $n$ .

$B$ סדרה חשבונית שהפרשה $d$ (סעיף א (1))
$d > 0$ (הסדרה $A$ עולה)
$n$ מספר טבעי זוגי

$n$

Show the answer and the solution

$b_1 - b_2 = b_3 - b_4 = \ldots = b_{n-1} - b_n = -d$ — בסדרה חשבונית שהפרשה $d$ , כל איבר קטן ב־ $d$ מן האיבר שאחריו
$d$ — מציבים $-d$ בכל זוג ומוציאים גורם משותף
$(b_1 + b_2) + (b_3 + b_4) + \ldots + (b_{n-1} + b_n) = T_n$ — $n$ זוגי, ולכן $n$ האיברים מתחלקים ל־ $\frac{n}{2}$ זוגות
$(b_1 + b_2)(b_1 - b_2) + \ldots + (b_{n-1} + b_n)(b_{n-1} - b_n) = -d \cdot T_n$ — מציבים את סכום הזוגות
$T_n = \frac{(b_1 + b_2)(b_1 - b_2) + \ldots + (b_{n-1} + b_n)(b_{n-1} - b_n)}{-d}$ — מחלקים ב־ $-d$ , ש־ $d \neq 0$ כי הסדרה $A$ עולה

Worked solution:

b_{k} - b_{k+1} = -d

בכל זוג: $B$ חשבונית שהפרשה $d$

\begin{aligned}(b_1 + b_2)(b_1 - b_2) + \ldots + (b_{n-1} + b_n)(b_{n-1} - b_n) &= -d\left[(b_1 + b_2) + \ldots + (b_{n-1} + b_n)\right] \\ &= -d \cdot T_n\end{aligned}

$n$ זוגי: הזוגות מכסים את כל $n$ האיברים

T_n = \frac{(b_1 + b_2)(b_1 - b_2) + \ldots + (b_{n-1} + b_n)(b_{n-1} - b_n)}{-d}

$d \neq 0$

הזוגיות של $n$ חשובה: בלעדיה האיבר האחרון $b_n$ נשאר בלי זוג. ואפשר לחלק ב־ $-d$ רק כי $d \neq 0$ — הסדרה עולה.

Check the answer on elev

Exercise 12

מסמנים ב־ $T_n$ את סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה $n$ , לכל $B$ טבעי. נתון: $n$ , $T_5 = -20$ . ג. חשב את $d$ ואת $b_1$ (אפשר להיעזר בסעיף ב).

$d =$ ____ , $b_1 =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $d =$ 0.5 , $b_1 =$ -5

Worked solution:

b_1^2 - b_2^2 + \ldots + b_{39}^2 - b_{40}^2 = (b_1 + b_2)(b_1 - b_2) + \ldots + (b_{39} + b_{40})(b_{39} - b_{40})

נוסחת הכפל המקוצר $u^2 - v^2 = (u + v)(u - v)$

\begin{aligned}T_{40} &= \frac{-95}{-d} \\ &= \frac{95}{d}\end{aligned}

סעיף ב עם $n = 40$ , מספר זוגי

\begin{aligned}T_5 &= \frac{5(2b_1 + 4d)}{2} \\ &= -20 \Rightarrow b_1 + 2d \\ &= -4 \Rightarrow b_1 \\ &= -4 - 2d\end{aligned}

סכום של סדרה חשבונית; $5$ אי־זוגי, ולכן כאן לא משתמשים בסעיף ב

\begin{aligned}T_{40} &= \frac{40(2b_1 + 39d)}{2} \\ &= 20(-8 + 35d)\end{aligned}

מציבים $b_1 = -4 - 2d$

\begin{aligned}20d(-8 + 35d) &= 95 \Rightarrow 140d^2 - 32d - 19 \\ &= 0\end{aligned}

משווים ל־ $\frac{95}{d}$ , כופלים ב־ $d$ ומחלקים ב־ $5$

\begin{aligned}d &= \frac{32 \pm 108}{280}: \quad d \\ &= 0.5 \\ \quad d &= -\frac{19}{70}\end{aligned}

$\sqrt{32^2 + 4 \cdot 140 \cdot 19} = \sqrt{11664} = 108$ ; הסדרה עולה, ולכן $d > 0$ ו־ $d = 0.5$

\begin{aligned}b_1 &= -4 - 2 \cdot 0.5 \\ &= -5\end{aligned}

$d = 0.5$ ו־ $b_1 = -5$ . המלכודת: לשכוח לפסול את $d = -\frac{19}{70}$ — הסדרה $A$ עולה.

Check the answer on elev

Exercise 13

מסמנים ב־ $T_n$ את סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה $n$ , לכל $B$ טבעי. נתון: $n$ , $T_5 = -20$ . מחברים בזה אחר זה את איברי הסדרה $A$ הנמצאים במקומות האי־זוגיים, החל באיבר הראשון. ד. מהו המספר המינימלי של איברים שיש לחבר באופן זה כדי שהסכום שיתקבל יהיה מספר חיובי שלם? נמק.

Show the answer and the solution

Answer: 14

Worked solution:

\begin{aligned}a_1 &= a_2 - d \\ &= b_1 - d \\ &= -5 - 0.5 \\ &= -5.5\end{aligned}

$b_1 = a_2$ (סעיף א)

a_1, a_3, a_5, \ldots: \quad -5.5, \ -4.5, \ -3.5, \ \ldots

האיברים במקומות האי־זוגיים: סדרה חשבונית שהפרשה $2d = 1$

\begin{aligned}U_k &= \frac{k\left(2 \cdot (-5.5) + (k - 1) \cdot 1\right)}{2} \\ &= \frac{k(k - 12)}{2}\end{aligned}

$U_k$ — הסכום של $k$ איברים כאלה

U_k > 0 \iff k > 12

$k$ חיובי

\begin{aligned}U_{13} &= \frac{13 \cdot 1}{2} \\ &= 6.5 \\ \quad U_{14} &= \frac{14 \cdot 2}{2} \\ &= 14\end{aligned}

$U_{13}$ חיובי אך אינו שלם

צריך לחבר $14$ איברים לפחות (הסכום אז $14$ ). כל איבר שמחברים הוא מספר שלם ועוד חצי, ולכן הסכום שלם רק כאשר מספר האיברים זוגי. המלכודת: לעצור ב־ $14$ איברים — הסכום חיובי, אבל $6.5$ אינו שלם.

Check the answer on elev

שאלה 3 — הסתברות: סוכריות תות ומנטה

Exercise 14

א. ליאור מוציא מן הקופסה שלוש סוכריות בזו אחר זו באופן המתואר בתחילת השאלה. (1) חשב את ההסתברות שליאור יאכל בדיוק סוכרייה אחת.

Show the answer and the solution

Answer: 0.366

Worked solution:

\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{4} = 0.15

תות ואז מנטה פעמיים: אחרי שאכל סוכרייה, בקופסה $2$ סוכריות תות ו־ $2$ מנטה

\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = 0.12

מנטה, תות, מנטה: המנטה חוזרת לקופסה, ולכן ההוצאה השנייה עדיין מתוך $5$

\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} = 0.096

מנטה, מנטה, תות

0.15 + 0.12 + 0.096 = 0.366

שלושה מסלולים זרים

ההסתברות היא $0.366$ . המלכודת: לחשב כאילו כל סוכרייה שהוצאה נשארת בחוץ — רק סוכריות התות יוצאות מן הקופסה.

Check the answer on elev

Exercise 15

א. ליאור מוציא מן הקופסה שלוש סוכריות בזו אחר זו באופן המתואר בתחילת השאלה. (2) חשב את ההסתברות שליאור אכל את הסוכרייה השנייה שהוא הוציא, אם ידוע כי ליאור אכל בדיוק סוכרייה אחת.

Show the answer and the solution

Answer: 0.3279

Worked solution:

0.366

ההסתברות שאכל בדיוק סוכרייה אחת (סעיף א (1))

0.12

מבין שלושת המסלולים, רק במסלול מנטה, תות, מנטה הוא אוכל את הסוכרייה השנייה

\frac{0.12}{0.366} = \frac{20}{61} \approx 0.328

הסתברות מותנית

ההסתברות היא $\frac{20}{61} \approx 0.328$ . המלכודת: לענות $0.12$ — זו ההסתברות של החיתוך, ועוד לא חילקנו בהסתברות של התנאי.

Check the answer on elev

Exercise 16

ב. ליאור מוציא מן הקופסה $n$ סוכריות בזו אחר זו באופן המתואר בתחילת השאלה. הבע בעזרת $n$ את ההסתברות שליאור יאכל סוכרייה אחת לפחות.

$n \cdot \frac{3}{5} \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}$
$\frac{3}{5} \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}$
$1 - \left(\frac{3}{5}\right)^n$
$1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n$

Show the answer and the solution

Answer: D $1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n$

Worked solution:

\left(\frac{2}{5}\right)^n

הוא לא אוכל אף סוכרייה רק אם הוציא מנטה בכל $n$ ההוצאות; כל מנטה חוזרת לקופסה, ולכן בכל הוצאה ההסתברות היא $\frac{2}{5}$

1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n

המאורע המשלים: סוכרייה אחת לפחות

ההסתברות היא $1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n$ . דרך המאורע המשלים אין צורך לעקוב אחרי ההסתברויות שמשתנות אחרי כל סוכריית תות.

Check the answer on elev

Exercise 17

ג. ליאור קיבל שתי קופסאות סוכריות, כל אחת מהן זהה לקופסה המתוארת בתחילת השאלה. ליאור מוציא שלוש סוכריות מכל אחת משתי הקופסאות, באופן המתואר בתחילת השאלה. חשב את ההסתברות שליאור יאכל בדיוק שלוש סוכריות, שלושתן מאותה קופסה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.0128

Worked solution:

\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{10}

מקופסה אחת הוא אוכל שלוש סוכריות: תות שלוש פעמים

\left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{8}{125}

ומן הקופסה השנייה הוא לא אוכל אף סוכרייה: מנטה שלוש פעמים

\begin{aligned}2 \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{8}{125} &= \frac{16}{1250} \\ &= \frac{8}{625} \\ &= 0.0128\end{aligned}

הקופסה שממנה אכל יכולה להיות הראשונה או השנייה

ההסתברות היא $\frac{8}{625} = 0.0128$ . המלכודת: לשכוח את הכפל ב־ $2$ , או לשכוח שמן הקופסה השנייה הוא לא אוכל אף סוכרייה — אחרת הוא אוכל יותר משלוש.

Check the answer on elev

שאלה 4 — משולש חסום במעגל, דמיון ומשיק

Exercise 18

א. הוכח כי הישר $AB$ חוצה את $\angle GBC$ .

$BC$ קוטר במעגל
$G$ על המשך הצלע $CA$
$GA = AC$

$\angle GBA = \angle ABC$

Show the answer and the solution

$\angle BAC = 90^\circ$ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
$\angle BAG = 90^\circ$ — זוויות צמודות משלימות ל־ $180^\circ$
$\triangle GAB \cong \triangle CAB$ — משפט החפיפה צ״ז״צ ( $GA = AC$ , הזווית שביניהן ישרה, $AB$ צלע משותפת)
$\angle GBA = \angle ABC$ — במשולשים חופפים, מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות

Worked solution:

\begin{aligned}\angle BAC &= 90^\circ \Rightarrow \angle BAG \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זווית היקפית על הקוטר $BC$ , וזווית צמודה לה

\triangle GAB \cong \triangle CAB

צ״ז״צ: $GA = AC$ , $\angle BAG = \angle BAC$ , $AB$ משותפת

\angle GBA = \angle ABC

זוויות מתאימות במשולשים חופפים

הישר $AB$ חוצה את $\angle GBC$ . מאותה חפיפה גם $BG = BC$ : המשולש $GBC$ שווה שוקיים, ונשתמש בזה בסעיף ג.

Check the answer on elev

Exercise 19

ב. הוכח כי $\triangle GBC \sim \triangle GAD$ .

הנקודות $D$ , $B$ , $C$ , $C$ על המעגל
$D$ על הקטע $D$ , $A$ על הקטע $GC$

$\triangle GBC \sim \triangle GAD$

Show the answer and the solution

$\angle BGC = \angle AGD$ — זווית משותפת
$\angle GBC + \angle DAC = 180^\circ$ — במרובע חסום במעגל ( $DBCA$ ) סכום זוויות נגדיות הוא $180^\circ$
$\angle GAD + \angle DAC = 180^\circ$ — זוויות צמודות משלימות ל־ $180^\circ$
$\angle GAD = \angle GBC$ — שתי זוויות המשלימות את אותה זווית ל־ $180^\circ$ שוות זו לזו
$\triangle GBC \sim \triangle GAD$ — משפט הדמיון ז״ז

Worked solution:

\angle G = \angle G

זווית משותפת

\begin{aligned}\angle GAD &= 180^\circ - \angle DAC \\ &= \angle DBC \\ &= \angle GBC\end{aligned}

זווית צמודה, וזוויות נגדיות במרובע החסום $DBCA$

\triangle GBC \sim \triangle GAD

ז״ז. ההתאמה: $G \leftrightarrow G$ , $B \leftrightarrow A$ , $C \leftrightarrow D$

הזווית החיצונית של מרובע חסום שווה לזווית הפנימית שמולה. מההתאמה: $\frac{GB}{GA} = \frac{BC}{AD} = \frac{GC}{GD}$ .

Check the answer on elev

Exercise 20

נתון כי $\frac{S_{DBCA}}{S_{GAD}} = 15$ . ג. הבע באמצעות $R$ את אורך הצלע $R$ .

$AC =$ ____ $\cdot R$

Show the answer and the solution

Answer: $AC =$ 0.5 $\cdot R$

Worked solution:

\begin{aligned}S_{GBC} &= S_{GAD} + S_{DBCA} \\ &= 16 \, S_{GAD}\end{aligned}

המשולש $GBC$ מורכב מהמשולש $GAD$ ומהמרובע $DBCA$

\begin{aligned}\left(\frac{GB}{GA}\right)^2 &= 16 \Rightarrow \frac{GB}{GA} \\ &= 4\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון (סעיף ב)

\begin{aligned}GB &= BC \\ &= 2R\end{aligned}

המשולש $GBC$ שווה שוקיים (סעיף א), ו־ $BC$ קוטר

\begin{aligned}AC &= GA \\ &= \frac{2R}{4} \\ &= \frac{R}{2}\end{aligned}

$AC = \frac{R}{2}$ .

Check the answer on elev

Exercise 21

נתון כי $\frac{S_{DBCA}}{S_{GAD}} = 15$ . דרך הנקודה $C$ העבירו משיק למעגל שחותך את המשך הקטע $BA$ בנקודה $E$ . ד. חשב פי כמה גדול שטח המשולש $CBE$ משטח המשולש $ABC$ .

Show the answer and the solution

Answer: 1.0667

Worked solution:

\begin{aligned}\angle BCE &= 90^\circ \\ &= \angle BAC\end{aligned}

המשיק מאונך לקוטר $BC$ בנקודת ההשקה, ו־ $\angle BAC$ היקפית על הקוטר

\triangle CBE \sim \triangle ABC

ז״ז: גם $\angle B$ משותפת. ההתאמה: $C \leftrightarrow A$ , $B \leftrightarrow B$ , $E \leftrightarrow C$

\begin{aligned}AB &= \sqrt{(2R)^2 - \left(\frac{R}{2}\right)^2} \\ &= \frac{\sqrt{15}}{2} R\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $ABC$ , עם $AC = \frac{R}{2}$ (סעיף ג)

\begin{aligned}\frac{BC}{AB} &= \frac{2R}{\frac{\sqrt{15}}{2} R} \\ &= \frac{4}{\sqrt{15}}\end{aligned}

יחס הדמיון

\begin{aligned}\frac{S_{CBE}}{S_{ABC}} &= \left(\frac{4}{\sqrt{15}}\right)^2 \\ &= \frac{16}{15} \approx 1.067\end{aligned}

שטח המשולש $CBE$ גדול פי $\frac{16}{15}$ משטח המשולש $ABC$ .

Check the answer on elev

שאלה 5 — קוטר, מיתר ומשיק במעגל

Exercise 22

א. הראה כי $\angle BAD = 90^\circ - \alpha$ .

$AB$ קוטר במעגל
$ED$ משיק למעגל בנקודה $D$
$\angle ADE = \alpha$

$\angle BAD = 90^\circ - \alpha$

Show the answer and the solution

$\angle ADB = 90^\circ$ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
$\angle ABD = \alpha$ — הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני
$\angle BAD = 90^\circ - \alpha$ — סכום הזוויות במשולש $ABD$ הוא $180^\circ$

Worked solution:

\angle ADB = 90^\circ

זווית היקפית על הקוטר $AB$

\begin{aligned}\angle ABD &= \angle ADE \\ &= \alpha\end{aligned}

זווית בין משיק למיתר $AD$

\begin{aligned}\angle BAD &= 180^\circ - 90^\circ - \alpha \\ &= 90^\circ - \alpha\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש $ABD$

$\angle BAD = 90^\circ - \alpha$ .

Check the answer on elev

Exercise 23

נתון כי $ED = FD$ . ב. הבע באמצעות $\alpha$ את גודל $\alpha$ .

$\angle CDA = 90^\circ - 2\alpha$
$\angle CDA = 3\alpha$
$\angle CDA = 2\alpha$
$\angle CDA = 4\alpha$

Show the answer and the solution

Answer: B $\angle CDA = 3\alpha$

Worked solution:

\begin{aligned}\angle DAE &= 180^\circ - (90^\circ - \alpha) \\ &= 90^\circ + \alpha\end{aligned}

זווית צמודה ל־ $\angle BAD$ (סעיף א)

\begin{aligned}\angle AED &= 180^\circ - \alpha - (90^\circ + \alpha) \\ &= 90^\circ - 2\alpha\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש $AED$

\begin{aligned}\angle DFE &= \angle DEF \\ &= 90^\circ - 2\alpha\end{aligned}

במשולש $EDF$ , $ED = FD$ : מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות

\begin{aligned}\angle EDF &= 180^\circ - 2(90^\circ - 2\alpha) \\ &= 4\alpha\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש $EDF$

\begin{aligned}\angle CDA &= \angle EDF - \angle EDA \\ &= 4\alpha - \alpha \\ &= 3\alpha\end{aligned}

$F$ על המיתר $CD$

$\angle CDA = 3\alpha$ . המלכודת: $4\alpha$ היא כל הזווית $EDF$ , שכוללת גם את $\alpha$ .

Check the answer on elev

Exercise 24

נתון כי $ED = FD$ . ג. הבע באמצעות $R$ ו־ $\alpha$ את שטח המשולש $\alpha$ .

$S_{AFD} = R^2 \sin^2\alpha \tan 2\alpha$
$S_{AFD} = R^2 \sin\alpha \sin 2\alpha \sin 3\alpha$
$S_{AFD} = R^2 \sin 3\alpha \tan 2\alpha$
$S_{AFD} = R^2 \sin\alpha \sin 3\alpha \tan 2\alpha$

Show the answer and the solution

Answer: D $S_{AFD} = R^2 \sin\alpha \sin 3\alpha \tan 2\alpha$

Worked solution:

AD = 2R \sin\alpha

במשולש ישר הזווית $ADB$ : $AB = 2R$ ו־ $\angle ABD = \alpha$ (סעיף א)

\begin{aligned}\angle FAD &= 90^\circ - \alpha \\ \quad \angle AFD &= 90^\circ - 2\alpha \\ \quad \angle ADF &= 3\alpha\end{aligned}

הזוויות במשולש $AFD$ (סעיפים א, ב)

\begin{aligned}\frac{DF}{\sin(90^\circ - \alpha)} &= \frac{AD}{\sin(90^\circ - 2\alpha)} \Rightarrow DF \\ &= \frac{2R \sin\alpha \cos\alpha}{\cos 2\alpha} \\ &= R \tan 2\alpha\end{aligned}

משפט הסינוסים במשולש $AFD$ , ו־ $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$

\begin{aligned}S_{AFD} &= \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DF \cdot \sin 3\alpha \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2R\sin\alpha \cdot R\tan 2\alpha \cdot \sin 3\alpha\end{aligned}

שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן

S_{AFD} = R^2 \sin\alpha \sin 3\alpha \tan 2\alpha

$S_{AFD} = R^2 \sin\alpha \sin 3\alpha \tan 2\alpha$ .

Check the answer on elev

Exercise 25

נתון כי $ED = FD$ . ד (1). הבע באמצעות $\alpha$ את יחס השטחים $\alpha$ .

$\frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha}$
$\frac{\sin 3\alpha}{\cos\alpha}$
$\frac{\tan 2\alpha}{\tan\alpha}$
$\frac{\sin\alpha}{\sin 3\alpha}$

Show the answer and the solution

Answer: A $\frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha}$

Worked solution:

DF = DE

נתון

\begin{aligned}S_{AFD} &= \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DF \cdot \sin 3\alpha \\ \quad S_{AED} &= \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DE \cdot \sin\alpha\end{aligned}

$\angle ADF = 3\alpha$ (סעיף ב), $\angle ADE = \alpha$

\frac{S_{AFD}}{S_{AED}} = \frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha}

$AD$ ו־ $DF = DE$ מצטמצמים

$\frac{S_{AFD}}{S_{AED}} = \frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha}$ (ובצורה אחרת: $1 + 2\cos 2\alpha$ ).

Check the answer on elev

Exercise 26

נתון כי $ED = FD$ . ד (2). נתון כי $\frac{S_{AFD}}{S_{AED}} = 1 + \sqrt{3}$ . מצא את $\alpha$ .

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

\begin{aligned}\sin 3\alpha &= \sin(2\alpha + \alpha) \\ &= \sin 2\alpha \cos\alpha + \cos 2\alpha \sin\alpha \\ &= \sin\alpha \, (2\cos^2\alpha + \cos 2\alpha)\end{aligned}

סינוס של סכום, ו־ $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

\begin{aligned}\frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha} &= 2\cos^2\alpha + \cos 2\alpha \\ &= 1 + 2\cos 2\alpha\end{aligned}

$2\cos^2\alpha = 1 + \cos 2\alpha$

\begin{aligned}1 + 2\cos 2\alpha &= 1 + \sqrt{3} \Rightarrow \cos 2\alpha \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

לפי סעיף ד (1)

\begin{aligned}2\alpha &= 30^\circ \Rightarrow \alpha \\ &= 15^\circ\end{aligned}

במשולש $AED$ הזווית $90^\circ - 2\alpha$ חיובית, ולכן $0^\circ < 2\alpha < 90^\circ$

$\alpha = 15^\circ$ .

Check the answer on elev

שאלה 6 — פונקציה רציונלית עם פרמטר

Exercise 27

א. הבע את תשובותיך באמצעות $m$ , אם יש צורך. א (1). מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

$x \neq m$
$x > \sqrt[3]{m}$
$x \neq \sqrt[3]{m}$
$x \neq \pm\sqrt{m}$

Show the answer and the solution

Answer: C $x \neq \sqrt[3]{m}$

Worked solution:

(x^3 - m)^2 \neq 0

המכנה אינו יכול להיות אפס

x^3 \neq m \Rightarrow x \neq \sqrt[3]{m}

לשורש שלישי יש ערך אחד בלבד

תחום ההגדרה: $x \neq \sqrt[3]{m}$ .

Check the answer on elev

Exercise 28

א. הבע את תשובותיך באמצעות $m$ , אם יש צורך. א (2). מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה $f(x)$ המאונכות לצירים.

$x = m$ ו־ $y = 0$
$x = \sqrt[3]{m}$ ו־ $y = 0$
$x = \sqrt[3]{m}$ בלבד
$x = \sqrt[3]{m}$ ו־ $y = 1$

Show the answer and the solution

Answer: B $x = \sqrt[3]{m}$ ו־ $y = 0$

Worked solution:

x = \sqrt[3]{m}

המכנה מתאפס, והמונה $x^2$ אינו מתאפס שם (כי $m > 0$ )

x \to \pm\infty: \ \frac{x^2}{(x^3 - m)^2} \to 0

מעלת המונה $2$ קטנה ממעלת המכנה $6$

אסימפטוטה אנכית $x = \sqrt[3]{m}$ , ואסימפטוטה אופקית $y = 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 29

ידוע כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x = (-1)$ . ב. מצא את הערך של $m$ .

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f'(x) = \frac{2x(x^3 - m)^2 - x^2 \cdot 2(x^3 - m) \cdot 3x^2}{(x^3 - m)^4}

נגזרת של מנה

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x\left[(x^3 - m) - 3x^3\right]}{(x^3 - m)^3} \\ &= \frac{-2x(2x^3 + m)}{(x^3 - m)^3}\end{aligned}

מוציאים את הגורם $2x(x^3 - m)$ ומצמצמים

\begin{aligned}f'(-1) &= 0 \Rightarrow 2 \cdot (-1)^3 + m \\ &= 0\end{aligned}

בנקודת קיצון פנימית הנגזרת מתאפסת

m = 2

$m = 2$ .

Check the answer on elev

Exercise 30

ידוע כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x = (-1)$ . הצב בפונקציה $f(x)$ את הערך של $m$ שמצאת, וענה על הסעיפים ג–ה. ג. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבע את סוגן.

$($ ____ $,$ ____ $)$ ו־ $($ ____ $,$ ____ $)$ (משמאל לימין)

Show the answer and the solution

Answer: $($ -1 $,$ 0.1111 $)$ ו־ $($ 0 $,$ 0 $)$ (משמאל לימין)

Worked solution:

f'(x) = \frac{-4x(x^3 + 1)}{(x^3 - 2)^3}

מציבים $m = 2$ בנגזרת מסעיף ב

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \ \text{או} \ x^3 \\ &= -1 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

x < -1: f' > 0; \ -1 < x < 0: f' < 0; \ 0 < x < \sqrt[3]{2}: f' > 0

טבלת סימנים, והמכנה שלילי בתחום $x < \sqrt[3]{2}$

\begin{aligned}f(-1) &= \frac{1}{(-3)^2} \\ &= \frac{1}{9} \\ \quad f(0) &= 0\end{aligned}

מקסימום $\left(-1, \frac{1}{9}\right)$ ומינימום $(0, 0)$ .

Check the answer on elev

Exercise 31

הגרפים I–IV

ידוע כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x = (-1)$ . הצב בפונקציה $f(x)$ את הערך של $m$ שמצאת, וענה על הסעיפים ג–ה. ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחר את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

גרף IV
גרף I
גרף III
גרף II

Show the answer and the solution

Answer: D גרף II

Worked solution:

f(x) = \frac{x^2}{(x^3 - 2)^2} \ge 0

המונה והמכנה אינם שליליים: הגרף אינו יורד מתחת לציר ה־ $x$

\begin{aligned}x &= \sqrt[3]{2} \approx 1.26 \\ \quad y &= 0\end{aligned}

האסימפטוטות מסעיף א, מימין לציר ה־ $y$

\nearrow \left(-1, \tfrac{1}{9}\right) \searrow (0, 0) \nearrow +\infty \ \big| \ +\infty \searrow 0

מסעיף ג

גרף II: מקסימום נמוך ב־ $x = -1$ , נגיעה בראשית, עלייה אל האסימפטוטה $x = \sqrt[3]{2}$ , וענף ימני שיורד מ־ $+\infty$ אל $y = 0$ . גרף IV הוא $-f(x)$ , וגרפים I ו־III הם השיקופים שבהם האסימפטוטה משמאל.

Check the answer on elev

Exercise 32

ידוע כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x = (-1)$ . הצב בפונקציה $f(x)$ את הערך של $m$ שמצאת, וענה על הסעיפים ג–ה. ה. נתונה הפונקציה $g(x) = k \cdot f(x)$ ,‏ $k$ הוא פרמטר שלילי. ה (1). סרטט סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה $g(x)$ . בחר את התיאור שמתאים לסקיצה.

הגרף אינו עולה מעל ציר ה־ $x$ : מקסימום ב־ $x$ ומינימום ב־ $(0, 0)$
הגרף מתחת לציר ה־ $x$ , והאסימפטוטה האנכית שלו היא $x$
הגרף אינו עולה מעל ציר ה־ $x$ : מינימום ב־ $x = -1$ , מקסימום ב־ $(0, 0)$ , ירידה אל $-\infty$ ליד האסימפטוטה $x = \sqrt[3]{2}$ , וענף ימני שעולה מ־ $-\infty$ אל $y = 0$
הגרף כמו גרף $f(x)$ , מתוח לאורך ציר ה־ $y$ : מקסימום ב־ $y$ ומינימום ב־ $(0, 0)$ , מעל ציר ה־ $x$

Show the answer and the solution

Answer: C הגרף אינו עולה מעל ציר ה־ $x$ : מינימום ב־ $x = -1$ , מקסימום ב־ $(0, 0)$ , ירידה אל $-\infty$ ליד האסימפטוטה $x = \sqrt[3]{2}$ , וענף ימני שעולה מ־ $-\infty$ אל $y = 0$

Worked solution:

\begin{aligned}g(x) &= k \cdot f(x) \\ \quad k < 0\end{aligned}

כל ערך של $f$ מוכפל במספר שלילי: הגרף משתקף סביב ציר ה־ $x$ (ונמתח או מתכווץ)

g(x) \le 0

כי $f(x) \ge 0$

\begin{aligned}x &= \sqrt[3]{2} \\ \quad y &= 0\end{aligned}

האסימפטוטות אינן משתנות

\left(-1, \tfrac{k}{9}\right), \quad (0, 0)

סוג הקיצון מתהפך: מינימום ב־ $x = -1$ , מקסימום ב־ $(0, 0)$

הגרף של $g$ הוא שיקוף של גרף $f$ סביב ציר ה־ $f$ : מינימום ב־ $x$ ומקסימום בראשית.

Check the answer on elev

Exercise 33

ידוע כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x = (-1)$ . הצב בפונקציה $f(x)$ את הערך של $m$ שמצאת, וענה על הסעיפים ג–ה. ה. נתונה הפונקציה $g(x) = k \cdot f(x)$ ,‏ $k$ הוא פרמטר שלילי. ה (2). דרך נקודת הקיצון השמאלית של $g(x)$ מעבירים אנך לציר ה־ $x$ . נתון כי השטח המוגבל על ידי האנך, על ידי גרף הפונקציה $x$ ועל ידי ציר ה־ $x$ הוא $1$ (השטח שמימין לאנך). מצא את הערך של $1$ .

Show the answer and the solution

Answer: -18

Worked solution:

x = -1

האנך עובר בנקודת הקיצון השמאלית

\begin{aligned}S &= \int_{-1}^{0} \left(0 - g(x)\right)dx \\ &= -k\int_{-1}^{0} \frac{x^2}{(x^3 - 2)^2}\,dx\end{aligned}

בתחום הזה $g(x) \le 0$ , והגרף פוגש את ציר ה־ $x$ ב־ $x = 0$

\int \frac{x^2}{(x^3 - 2)^2}\,dx = -\frac{1}{3(x^3 - 2)} + C

הנגזרת של $x^3 - 2$ היא $3x^2$

\begin{aligned}\left[-\frac{1}{3(x^3 - 2)}\right]_{-1}^{0} &= \frac{1}{6} - \frac{1}{9} \\ &= \frac{1}{18}\end{aligned}

\begin{aligned}-\frac{k}{18} &= 1 \Rightarrow k \\ &= -18\end{aligned}

$k = -18$ .

Check the answer on elev

שאלה 7 — פונקציית שורש

Exercise 34

א (1). מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

$x \le$ ____ או $x \ge$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x \le$ 0 או $x \ge$ 2

Worked solution:

x^2 - 2x \ge 0

הביטוי שבתוך השורש אינו שלילי

x(x - 2) \ge 0 \Rightarrow x \le 0 \ \text{או} \ x \ge 2

פרבולה ששורשיה $0$ ו־ $0$ , פתוחה כלפי מעלה

תחום ההגדרה: $x \le 0$ או $x \ge 2$ .

Check the answer on elev

Exercise 35

א (2). מצא את תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .

כל $x$ שונה מ־ $0$ ומ־ $2$
$x < 0$ או $x > 2$
$x \le 0$ או $x \ge 2$
$0 < x < 2$

Show the answer and the solution

Answer: B $x < 0$ או $x > 2$

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 3 + 2 \cdot \frac{2x - 2}{2\sqrt{x^2 - 2x}} \\ &= 3 + \frac{2x - 2}{\sqrt{x^2 - 2x}}\end{aligned}

נגזרת של שורש

x^2 - 2x > 0

השורש נמצא עכשיו במכנה: אי־שוויון חזק

תחום ההגדרה של $f'(x)$ : $x < 0$ או $x > 2$ .

Check the answer on elev

Exercise 36

א (3). מצא את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .

אנכיות (משמאל לימין): $x =$ ____ , $x =$ ____ ; אופקיות: $y =$ ____ (כאשר $x \to -\infty$ ) , $y =$ ____ (כאשר $x \to \infty$ )

Show the answer and the solution

Answer: אנכיות (משמאל לימין): $x =$ 0 , $x =$ 2 ; אופקיות: $y =$ 1 (כאשר $x \to -\infty$ ) , $y =$ 5 (כאשר $x \to \infty$ )

Worked solution:

x \to 0^-: \ \frac{2x - 2}{\sqrt{x^2 - 2x}} \to \frac{-2}{0^+} = -\infty

המכנה מתאפס והמונה לא

x \to 2^+: \ \frac{2x - 2}{\sqrt{x^2 - 2x}} \to \frac{2}{0^+} = +\infty

\sqrt{x^2 - 2x} = |x|\sqrt{1 - \tfrac{2}{x}}

מוציאים $x^2$ מן השורש

\begin{aligned}x \to \infty: f'(x) \to 3 + 2 &= 5; \quad x \to -\infty: f'(x) \to 3 - 2 \\ &= 1\end{aligned}

עבור $x < 0$ , $|x| = -x$

אסימפטוטות אנכיות $x = 0$ ו־ $x = 2$ ; אסימפטוטות אופקיות $y = 1$ (משמאל) ו־ $y = 5$ (מימין).

Check the answer on elev

Exercise 37

א (4). מצא את שיעורי נקודת החיתוך של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ עם ציר ה־ $x$ . בתשובתך דייק שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

$($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $($ -0.34 $,$ 0 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}3 + \frac{2x - 2}{\sqrt{x^2 - 2x}} &= 0 \Rightarrow 2x - 2 \\ &= -3\sqrt{x^2 - 2x}\end{aligned}

2x - 2 < 0 \Rightarrow x < 1

אגף ימין אינו חיובי: רק $x < 0$ מן התחום מתאים

\begin{aligned}4(x - 1)^2 &= 9(x^2 - 2x) \Rightarrow 5x^2 - 10x - 4 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בריבוע

\begin{aligned}x &= 1 \pm \frac{3}{\sqrt{5}}: \quad x \approx 2.34 \\ \ x \approx -0.34\end{aligned}

הפתרון $2.34$ נפסל: הוא גדול מ־ $2.34$ , ואינו מקיים את המשוואה לפני ההעלאה בריבוע

נקודת החיתוך: $(-0.34, 0)$ .

Check the answer on elev

Exercise 38

הגרפים I–IV

א (5). סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , אם ידוע כי לפונקציית הנגזרת $f'(x)$ אין נקודות קיצון. בחר את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

גרף I
גרף II
גרף IV
גרף III

Show the answer and the solution

Answer: C גרף IV

Worked solution:

x < 0: \ y = 1 \searrow (-0.34, 0) \searrow -\infty

אין קיצון, ולכן הענף השמאלי יורד מ־ $y = 1$ דרך נקודת החיתוך אל האסימפטוטה $x = 0$

x > 2: \ +\infty \searrow y = 5

הענף הימני יורד מ־ $+\infty$ ומתקרב ל־ $y = 5$ מלמעלה

גרף IV. בגרף I הענפים עולים, והאסימפטוטה $y = 5$ משמאל; בגרף II הענף השמאלי אינו חותך את ציר ה־ $x$ ; בגרף III הענף הימני יוצא מ־ $-\infty$ .

Check the answer on elev

Exercise 39

ב (1). מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבע את סוגן.

$($ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$ ו־ $($ ____ $,$ ____ $)$ (משמאל לימין)

Show the answer and the solution

Answer: $($ -0.34 $,$ 0.76 $)$ , $($ 0 $,$ 0 $)$ ו־ $($ 2 $,$ 6 $)$ (משמאל לימין)

Worked solution:

x < -0.34: f' > 0; \quad -0.34 < x < 0: f' < 0; \quad x > 2: f' > 0

מן הסקיצה של $f'(x)$

f(-0.34) = 3 \cdot (-0.34) + 2\sqrt{(-0.34)^2 + 0.68} \approx 0.76

בערך המדויק $x = 1 - \frac{3}{\sqrt{5}}$ מקבלים $f = 3 - \sqrt{5}$

\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(2) &= 6\end{aligned}

נקודות הקצה של תחום ההגדרה

מקסימום $(-0.34, 0.76)$ , מינימום קצה $(0, 0)$ (הפונקציה יורדת אליה), ומינימום קצה $(2, 6)$ (הפונקציה עולה ממנה).

Check the answer on elev

Exercise 40

ב (2). סרטט סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחר את התיאור שמתאים לסקיצה.

שני ענפים שמתקרבים לאסימפטוטות האנכיות $x = 0$ ו־ $x = 2$
ענף שמאלי שעולה מ־ $-\infty$ עד מקסימום $(-0.34, 0.76)$ ויורד אל $(0, 0)$ , שם הוא נגמר; ענף ימני שמתחיל ב־ $(2, 6)$ ועולה אל $\infty$ ; בין $\infty$ ל־ $x = 2$ אין גרף
ענף שמאלי שיורד מ־ $\infty$ עד מינימום $(-0.34, 0.76)$ ועולה אל $(0, 0)$ ; ענף ימני שמתחיל ב־ $(2, 6)$ ועולה אל $\infty$
גרף רציף: עולה עד $(-0.34, 0.76)$ , יורד אל $(0, 0)$ , ועולה דרך $(2, 6)$ אל $\infty$

Show the answer and the solution

Answer: B ענף שמאלי שעולה מ־ $-\infty$ עד מקסימום $(-0.34, 0.76)$ ויורד אל $(0, 0)$ , שם הוא נגמר; ענף ימני שמתחיל ב־ $(2, 6)$ ועולה אל $\infty$ ; בין $\infty$ ל־ $x = 2$ אין גרף

Worked solution:

x \to -\infty: \ f(x) = 3x + 2|x|\sqrt{1 - \tfrac{2}{x}} \to -\infty

עבור $x < 0$ מקבלים בערך $3x - 2x = x$

\nearrow (-0.34, 0.76) \searrow (0, 0) \quad \big| \quad (2, 6) \nearrow \infty

מסעיף ב (1); אין גרף ב־ $0 < x < 2$

\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \ f(2) &= 6\end{aligned}

$f$ מוגדרת בנקודות הקצה: אין לה אסימפטוטה אנכית

שני ענפים: השמאלי עולה למקסימום ויורד לראשית, הימני מתחיל ב־ $(2, 6)$ ועולה.

Check the answer on elev

Exercise 41

ג. האם ייתכן שישר שמשוואתו $y = 4x + c$ ( $c$ פרמטר) ישיק לגרף הפונקציה $c$ ? נמק.

כן: לכל ערך של $c$ הישר חותך את גרף הפונקציה
לא: שיפוע המשיק הוא $f'(x)$ , וערכי $f'(x)$ הם $f'(x) < 1$ או $f'(x) > 5$ ; השיפוע $4$ אינו ביניהם
כן: בענף הימני $f'(x)$ מקבל את הערך $4$
לא: כי הפונקציה $f(x)$ אינה מוגדרת בתחום $0 < x < 2$

Show the answer and the solution

Answer: B לא: שיפוע המשיק הוא $f'(x)$ , וערכי $f'(x)$ הם $f'(x) < 1$ או $f'(x) > 5$ ; השיפוע $4$ אינו ביניהם

Worked solution:

f'(x_0) = 4

הישר משיק לגרף רק אם יש נקודה $x_0$ שבה שיפוע המשיק, $f'(x_0)$ , שווה ל־ $4$

x < 0: \ f'(x) < 1; \quad x > 2: \ f'(x) > 5

מן הסקיצה של $f'(x)$ : כל ענף יורד בין האסימפטוטות שלו

f'(x) = 4 \ \text{אין פתרון}

לא ייתכן: אין נקודה שבה שיפוע המשיק הוא $4$ .

Check the answer on elev

שאלה 8 — בעיית קיצון: סכר בין שתי תעלות

Exercise 42

א. הבע באמצעות $b$ , $b$ ו־ $x$ את אורך הסכר $x$ .

$AB = \frac{a + b}{\sin x}$
$AB = a\cos x + b\sin x$
$AB = \frac{a}{\sin x} + \frac{b}{\cos x}$
$AB = \frac{a}{\cos x} + \frac{b}{\sin x}$

Show the answer and the solution

Answer: D $AB = \frac{a}{\cos x} + \frac{b}{\sin x}$

Worked solution:

0 < x < \frac{\pi}{2}

$x$ היא זווית חדה

\angle ACE = x

נעביר מ־ $A$ אנך $AE$ לישר $DC$ : הזווית בין $CA$ לבין המשך $DC$ שווה ל־ $x$ (זוויות קודקודיות)

\begin{aligned}\cos x &= \frac{a}{AC} \Rightarrow AC \\ &= \frac{a}{\cos x}\end{aligned}

במשולש $ACE$ ישר הזווית, הניצב $CE$ הוא רוחב התעלה הראשית $a$

\begin{aligned}\sin x &= \frac{b}{BC} \Rightarrow BC \\ &= \frac{b}{\sin x}\end{aligned}

נעביר מ־ $B$ אנך לישר $B$ : אורכו רוחב התעלה המשנית $b$ , והוא מול הזווית $b$

\begin{aligned}AB &= AC + CB \\ &= \frac{a}{\cos x} + \frac{b}{\sin x}\end{aligned}

$AB = \frac{a}{\cos x} + \frac{b}{\sin x}$ , בתחום $0 < x < \frac{\pi}{2}$ .

Check the answer on elev

Exercise 43

נתון כי $a = 2b$ . ב. מצא את $x$ שבעבורו אורך הסכר $AB$ יהיה מינימלי.

$x \approx$ ____ רדיאנים (בערך ____°)

Show the answer and the solution

Answer: $x \approx$ 0.671 רדיאנים (בערך 38.44°)

Worked solution:

\begin{aligned}L(x) &= \frac{2b}{\cos x} + \frac{b}{\sin x} \\ \quad 0 < x < \frac{\pi}{2}\end{aligned}

מציבים $a = 2b$

L'(x) = \frac{2b\sin x}{\cos^2 x} - \frac{b\cos x}{\sin^2 x}

\begin{aligned}L'(x) &= 0 \iff 2\sin^3 x \\ &= \cos^3 x \iff \tan^3 x \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

$b > 0$ , ומכפילים ב־ $\sin^2 x \cos^2 x > 0$

\tan x = \sqrt[3]{0.5} \approx 0.794 \Rightarrow x \approx 0.671

בתחום יש פתרון אחד

\begin{aligned}x &= 0.5: L' < 0; \quad x \\ &= 1: L' > 0\end{aligned}

$L$ יורדת ואחר כך עולה: מינימום

$x \approx 0.671$ רדיאנים, כלומר בערך $38.44°$ .

Check the answer on elev

Exercise 44

נתון כי $a = 2b$ . ג. ידוע כי האורך המינימלי של הסכר הוא $8$ . מצא את $b$ .

Show the answer and the solution

Answer: 1.922

Worked solution:

L(0.671) = b\left(\frac{2}{\cos 0.671} + \frac{1}{\sin 0.671}\right) \approx 4.162\,b

מציבים את $x$ שמצאנו בסעיף ב

4.162\,b = 8 \Rightarrow b \approx 1.922

$b \approx 1.922$ .

Check the answer on elev

Words in this lesson

משך: meshekh duration, length of time
שעה: sha’a hour
חצי: ḥetsi half
סדרה: sidra sequence
הסתברות: histabrut probability
טריגונומטריה: trigonometria trigonometry
מישור: mishor plane
פולינום: polinom polynomial
פונקציית שורש: funktsiyat shoresh square-root function
פונקציה רציונלית: funktsia ratsyonalit rational function
פונקציה: funktsia function
נוסחה: nusḥa formula
סעיף: se’if part (of a question)
הסבירו: hasbiru explain
הוכיחו: hokhiḥu prove
הוכחה: hokhaḥa proof
פתרון: pitaron solution
טרפז: trapez trapezoid (UK: trapezium)
נתון: natun given
שטח: shetaḥ area
משולש: meshulash triangle
יחס: yaḥas ratio
אורך: orekh length
בסיס: basis base
גובה: gova height
בסיס: basis base
פי: pi times (as many)
אלכסון: alakhson diagonal
מספר טבעי: mispar tiv’i natural number
אינדוקציה: induktsia proof by induction
טענה: ta’ana claim
הנחת האינדוקציה: hanaḥat ha-induktsia inductive hypothesis
גורם: gorem factor
מכפלה: makhpela product
מונה: moneh numerator
מכנה: mekhane denominator
מלכודת: malkodet trap
נכון: nakhon true, correct
נמקו: namku justify, explain why
זוויות משלימות: zaviyot mashlimot supplementary (or complementary) angles
אגף: agaf side (of an equation)
זווית: zavit angle
סינוס: sinus sine
סימטריה: simetria symmetry
פונקציה אי-זוגית: funktsia i-zugit odd function
שוויון: shivyon equality
מתקיים: mitkayem holds, is true
דוגמה נגדית: dugma negdit counterexample
גרף: graf graph
מוגדרת: mugderet defined
אסימפטוטה אופקית: asimptota ofkit horizontal asymptote
נקודת קיצון: nekudat kitson extremum
מקסימום: maksimum maximum
מינימום: minimum minimum
משוואה: mishva’a equation
שואפת: sho’efet tends to, approaches
שיקוף: shikuf reflection
ציר: tsir axis
אסימפטוטה: asimptota asymptote
הזזה: hazaza translation
שיעורים (של נקודה): shiurim coordinates
סדרה חשבונית: sidra ḥeshbonit arithmetic sequence
סכום: skhum sum
איבר: ever term
הפרש: hefresh difference
קבוע: kavua constant
איבר ראשון: ever rishon first term
מספר זוגי: mispar zugi even number
פונקציה עולה: funktsia ola increasing function
נוסחאות הכפל המקוצר: nusḥa’ot ha-kefel ha-mekutsar special products
מספר אי-זוגי: mispar i-zugi odd number
להציב: lehatsiv to substitute
חיובי: ḥiyuvi positive
שלם: shalem whole; whole number
לפחות: lefaḥot at least
מספר שלם: mispar shalem integer, whole number
מתוך: mitokh out of
חשבו: ḥishvu calculate
הסתברות מותנית: histabrut mutnit conditional probability
תנאי: tnai condition
מאורע משלים: me’ora mashlim complementary event
כפל: kefel multiplication
ישר: yashar line
חוצה: ḥotse bisects
זווית היקפית: zavit hekefit inscribed angle
קוטר: koter diameter
זוויות צמודות: zaviyot tsmudot adjacent (linear pair) angles
זוויות מתאימות: zaviyot matimot corresponding angles
משולשים חופפים: meshulashim ḥoffim congruent triangles
חפיפה: ḥafifa congruence
משולש שווה שוקיים: meshulash shve shokayim isosceles triangle
נגדיות: negdiyot opposite (sides, angles)
מרובע חסום: meruba ḥasum cyclic quadrilateral
זווית חיצונית: zavit ḥitsonit exterior angle
צלע: tsela side
מרובע: meruba quadrilateral
יחס השטחים: yaḥas ha-shetaḥim ratio of areas
משולשים דומים: meshulashim domim similar triangles
ריבוע: ribua square
יחס הדמיון: yaḥas ha-dimyon similarity ratio
נקודה: nekuda point
משיק: mashik tangent
מעגל: ma’agal circle
חותך: khotekh cuts, intersects; transversal
קטע: keta line segment
מאונכים: me’unakhim perpendicular
נקודת השקה: nekudat hashaka point of tangency
משפט פיתגורס: mishpat Pitagoras Pythagorean theorem
מיתר: meitar chord
משולש ישר זווית: meshulash yeshar zavit right triangle
משפט הסינוסים: mishpat ha-sinusim law of sines
הזווית שביניהן: ha-zavit she-beineihen included angle
תחום ההגדרה: tḥum ha-hagdara domain of definition
שורש שלישי: shoresh shlishi cube root
מתאפס: mitapes equals zero, vanishes
אסימפטוטה אנכית: asimptota anakhit vertical asymptote
כלל המנה: klal ha-mana quotient rule
צמצום: tsimtsum reducing
נגזרת: nigzeret derivative
טבלת סימנים: tavlat simanim sign chart
שלילי: shlili negative
סקיצה: skitsa sketch
ראשית הצירים: reshit ha-tsirim origin
פרמטר: parameter parameter
אנך: anakh perpendicular segment
ביטוי אלגברי: bitui algebri algebraic expression
שורש: shoresh square root
פרבולה: parabola parabola
פתוחה כלפי מעלה: ptuḥa klapei ma’ala opens upward
אי-שוויון: i-shivyon inequality
נקודת חיתוך: nekudat khitukh intersection point
ספרות אחרי הנקודה: sfarot aḥarei ha-nekuda decimal places
נפסל: nifsal rejected
פונקציה יורדת: funktsia yoredet decreasing function
שיפוע המשיק: shipua ha-mashik slope of the tangent
זווית חדה: zavit ḥada acute angle
זוויות קודקודיות: zaviyot kodkodiyot vertical angles
ישר זווית: yashar zavit right-angled
ניצב: nitsav leg
רוחב: roḥav width
רדיאן: radyan radian

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elev Discover elev for this grade