בגרות 35571 — קיץ 2025

On elev, this lesson comes with:

Every exercise checked the moment it is answered
A hint exactly when it is needed
Progress tracking, chapter by chapter

This lesson is part of the subscription. A full chapter for free: Sequences

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35571 (5 יחידות לימוד, שאלון ראשון, תוכנית חדשה), קיץ תשפ״ה, 2025. בבחינה זו יש הנחיות מיוחדות: משך הבחינה ארבע שעות ורבע. ענו על חמש מן השאלות 1–8, על שאלה אחת לפחות מן הפרק הראשון או השני ועל שאלה אחת לפחות מכל אחד מן הפרקים השלישי והרביעי (לכל שאלה – 20 נקודות). פרק ראשון – שאלות קצרות: שאלה 1. פרק שני – אינדוקצייה, סדרות והסתברות: שאלות 2–3. פרק שלישי – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור: שאלות 4–5. פרק רביעי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות טריגונומטריות: שאלות 6–8. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־5 יחידות לימוד.

כאן כתובות כל שמונה השאלות, ב־47 סעיפים, כדי שאפשר יהיה להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים חמש, ובשאלה 1 עונים על שניים מארבעת הסעיפים. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, לנמק או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, וסעיף שמבקש ביטוי הפך להשלמת מקדמים או לבחירה בין ביטויים. הפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercises

שאלה 1 — שאלות קצרות

Exercise 1

א (1). הוכיחו באינדוקצייה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + \ldots + (2n)^2 = \frac{2n(2n + 1)(n + 1)}{3}$

$n$ מספר טבעי

$2^2 + 4^2 + \ldots + (2n)^2 = \frac{2n(2n + 1)(n + 1)}{3}$

Show the answer and the solution

$2^2 = 4 = \frac{2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2}{3}$ — בדיקה עבור $n = 1$
$2^2 + 4^2 + \ldots + (2k)^2 = \frac{2k(2k + 1)(k + 1)}{3}$ — הנחת האינדוקצייה
$2^2 + \ldots + (2k)^2 + (2k + 2)^2 = \frac{2k(2k + 1)(k + 1)}{3} + 4(k + 1)^2$ — מוסיפים את האיבר ה־ $(k+1)$ , $(2k + 2)^2 = 4(k + 1)^2$ , ומציבים את הנחת האינדוקצייה
$\frac{2k(2k + 1)(k + 1)}{3} + 4(k + 1)^2 = \frac{2(k + 1)(2k^2 + 7k + 6)}{3}$ — מוציאים גורם משותף $\frac{2(k + 1)}{3}$ : $k(2k + 1) + 6(k + 1) = 2k^2 + 7k + 6$
$\frac{2(k + 1)(2k^2 + 7k + 6)}{3} = \frac{2(k + 1)(2k + 3)(k + 2)}{3}$ — פירוק הטרינום: $2k^2 + 7k + 6 = (2k + 3)(k + 2)$
$2^2 + 4^2 + \ldots + (2k + 2)^2 = \frac{2(k + 1)(2(k + 1) + 1)((k + 1) + 1)}{3}$ — זו הטענה עבור $n = k + 1$ ( $2k + 3 = 2(k + 1) + 1$ ); עם הבדיקה עבור $n = 1$ , היא נכונה לכל $n$ טבעי

Worked solution:

\begin{aligned}2^2 &= 4 \\ \quad \frac{2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2}{3} &= 4\end{aligned}

הבדיקה עבור $n = 1$

\frac{2k(2k + 1)(k + 1)}{3} + 4(k + 1)^2 = \frac{2(k + 1)}{3}\left(2k^2 + k + 6k + 6\right)

הנחת האינדוקצייה, ועוד האיבר $(2k + 2)^2 = 4(k + 1)^2$

= \frac{2(k + 1)(2k + 3)(k + 2)}{3}

$2k^2 + 7k + 6 = (2k + 3)(k + 2)$

קיבלנו את הנוסחה עם $n = k + 1$ במקום $n$ : $2(k + 1)$ , $2(k + 1) + 1 = 2k + 3$ ו־ $(k + 1) + 1 = k + 2$ . לפי עקרון האינדוקצייה, הנוסחה נכונה לכל $n$ טבעי.

Check the answer on elev — Exercise 1

Exercise 2

א (2). חשבו את הערך של הסכום: $4^2 + 6^2 + 8^2 + \ldots + 100^2$ .

Show the answer and the solution

Answer: 171696

Worked solution:

\begin{aligned}100 &= 2 \cdot 50 \Rightarrow n \\ &= 50\end{aligned}

האיבר האחרון הוא $(2n)^2$ עם $n = 50$

\begin{aligned}2^2 + 4^2 + \ldots + 100^2 &= \frac{2 \cdot 50 \cdot 101 \cdot 51}{3} \\ &= 171700\end{aligned}

הנוסחה מסעיף א (1)

\begin{aligned}4^2 + 6^2 + \ldots + 100^2 &= 171700 - 2^2 \\ &= 171696\end{aligned}

הסכום המבוקש מתחיל ב־ $4^2$ : מחסירים את $2^2$

הסכום הוא $171696$ . המלכודת: לשכוח שהסכום מתחיל ב־ $4^2$ ולא ב־ $2^2$ .

Check the answer on elev — Exercise 2

Exercise 3

ב. בסרטוט שלפניכם טרפז $ABCD$ $(AB \parallel CD)$ . הנקודה $O$ היא מפגש אלכסוני הטרפז. נתון: $\angle BAO = \angle CDO$ . (1) הוכיחו כי הטרפז $ABCD$ הוא שווה שוקיים.

$AB \parallel CD$
$O$ מפגש האלכסונים $AC$ ו־ $BD$
$\angle BAO = \angle CDO$

$AD = BC$

Show the answer and the solution

$\angle BAO = \angle OCD$ — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים ( $AB \parallel CD$ )
$\angle ABO = \angle ODC$ — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים ( $AB \parallel CD$ )
$\angle OCD = \angle ODC$ — שתיהן שוות לזווית $\angle BAO$ (נתון: $\angle BAO = \angle CDO$ )
$OC = OD$ — במשולש $OCD$ , מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
$\angle OAB = \angle OBA$ — שתיהן שוות לזווית $\angle CDO$ (נתון: $\angle BAO = \angle CDO$ )
$OA = OB$ — במשולש $OAB$ , מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
$AC = BD$ — חיבור קטעים: $AC = OA + OC$ ו־ $BD = OB + OD$
$\triangle ACD \cong \triangle BDC$ — משפט החפיפה צ״ז״צ ( $AC = BD$ , $\angle ACD = \angle BDC$ , $CD$ צלע משותפת)
$AD = BC$ — במשולשים חופפים, מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות

Worked solution:

\begin{aligned}\angle OCD &= \angle BAO \\ &= \angle CDO\end{aligned}

זוויות מתחלפות ( $AB \parallel CD$ ), ואז הנתון

\begin{aligned}OC &= OD \\ \quad OA &= OB\end{aligned}

כך גם $\angle OBA = \angle ODC = \angle BAO$ ; מול זוויות שוות צלעות שוות

AC = BD

סכומי קטעים שווים

\triangle ACD \cong \triangle BDC \Rightarrow AD = BC

צ״ז״צ

אלכסוני הטרפז שווים, ולכן השוקיים שוות: הטרפז $ABCD$ שווה שוקיים.

Check the answer on elev — Exercise 3

Exercise 4

ב. בסרטוט שלפניכם טרפז $ABCD$ $(AB \parallel CD)$ . הנקודה $O$ היא מפגש אלכסוני הטרפז. נתון: $\angle BAO = \angle CDO$ . הנקודה $F$ נמצאת על הצלע $BC$ כך שהקטע $OF$ מקביל לבסיסי הטרפז. נתון כי אלכסוני הטרפז מאונכים זה לזה, $DO = 4$ , $BO = 3$ . (2) מצאו את אורך הקטע $OF$ .

Show the answer and the solution

Answer: 2.4244

Worked solution:

\begin{aligned}OC &= OD \\ &= 4\end{aligned}

מסעיף ב (1)

\begin{aligned}DC &= \sqrt{4^2 + 4^2} \\ &= 4\sqrt{2}\end{aligned}

פיתגורס במשולש ישר הזווית $DOC$ (האלכסונים מאונכים)

\begin{aligned}\frac{OF}{DC} &= \frac{BO}{BD} \\ &= \frac{3}{3 + 4}\end{aligned}

במשולש $BDC$ : $OF \parallel DC$ , ולכן $\triangle BOF \sim \triangle BDC$

\begin{aligned}OF &= \frac{3}{7} \cdot 4\sqrt{2} \\ &= \frac{12\sqrt{2}}{7} \approx 2.42\end{aligned}

$OF = \frac{12\sqrt{2}}{7} \approx 2.42$ . המלכודת: לחלק ב־ $4$ במקום ב־ $BD = 7$ — היחס הוא בין $BO$ לכל האלכסון $BD$ .

Check the answer on elev — Exercise 4

Exercise 5

הגרפים I–III

ג. הפונקצייה $f(x)$ , פונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ ופונקציית הנגזרת השנייה $f''(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפניכם שלושה גרפים I–III. אחד מן הגרפים מתאר את הפונקצייה $f(x)$ , אחד את פונקציית הנגזרת $f'(x)$ ואחד את פונקציית הנגזרת השנייה $f''(x)$ . בכל אחד מן הגרפים מופיעות כל נקודות הקיצון וכל נקודות החיתוך שלו עם ציר ה־ $x$ . על כל אחד מן הגרפים כתובים שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ה־ $y$ . (1) התאימו לכל אחת מן הפונקציות $f(x)$ , $f'(x)$ ו־ $f''(x)$ את הגרף המתאר אותה. נמקו את תשובתכם.

A $f$ : גרף II ; $f'$ : גרף III ; $f''$ : גרף I
B $f$ : גרף III ; $f'$ : גרף II ; $f''$ : גרף I
C $f$ : גרף I ; $f'$ : גרף III ; $f''$ : גרף II
D $f$ : גרף II ; $f'$ : גרף I ; $f''$ : גרף III

Show the answer and the solution

Answer: A $f$ : גרף II ; $f'$ : גרף III ; $f''$ : גרף I

Worked solution:

\text{II}: \ \nearrow \ \max \ \searrow

גרף II עולה עד המקסימום שלו ואחר כך יורד; גרף III חיובי לפני המקסימום הזה ושלילי אחריו, ומתאפס בדיוק בו

\text{III}: \ \searrow \nearrow \searrow \nearrow

גרף I שלילי, חיובי, שלילי, חיובי — בדיוק בתחומים שבהם גרף III יורד ועולה

\begin{aligned}f(0) &= 4 \\ \ f'(0) &= 2 > 0 \\ \ f''(0) &= -2 < 0\end{aligned}

בדיקה ב־ $x = 0$ : גרף II עולה שם, וגרף III יורד שם

$f$ הוא גרף II, $f'$ הוא גרף III ו־ $f''$ הוא גרף I. גם נקודת המשטח של גרף II על ציר ה־ $x$ מתאימה: שם גרף III נוגע בציר ה־ $x$ בלי להחליף סימן.

Check the answer on elev — Exercise 5

Exercise 6

הגרפים I–III

הגרפים I–III מתארים את $f(x)$ , את $f'(x)$ ואת $f''(x)$ (סעיף ג). ג (2). כמה נקודות פיתול יש לפונקצייה $f(x)$ ? נמקו את תשובתכם.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f'' = 0

נקודת פיתול של $f$ היא נקודה שבה $f''$ מחליפה סימן, כלומר נקודת קיצון של $f'$

\text{III}: \ \min, \ \max, \ \min

לגרף III (של $f'$ ) שלוש נקודות קיצון, וגרף I (של $f''$ ) חותך את ציר ה־ $x$ שלוש פעמים

לפונקצייה $f(x)$ יש $3$ נקודות פיתול. אחת מהן היא נקודת המשטח על ציר ה־ $x$ בגרף II.

Check the answer on elev — Exercise 6

Exercise 7

הגרפים I–III

הגרפים I–III מתארים את $f(x)$ , את $f'(x)$ ואת $f''(x)$ (סעיף ג). שיעורי נקודת המקסימום של הפונקצייה $f(x)$ הם $(a , 5)$ . ג (3). מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה $f'(x)$ , על ידי גרף הפונקצייה $f''(x)$ , על ידי הישר $x = a$ ועל ידי ציר ה־ $y$ .

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

0 < x < a: \quad f'(x) > 0 > f''(x)

גרף III חיובי עד המקסימום של $f$ , וגרף I שלילי בין $0$ ל־ $a$

\begin{aligned}S &= \int_0^a \left(f'(x) - f''(x)\right) dx \\ &= \Big[f(x) - f'(x)\Big]_0^a\end{aligned}

הפונקצייה הקדומה של $f'$ היא $f$ , ושל $f''$ היא $f'$

\begin{aligned}\left(f(a) - f'(a)\right) - \left(f(0) - f'(0)\right) &= (5 - 0) - (4 - 2) \\ &= 3\end{aligned}

$f'(a) = 0$ במקסימום, ו־ $f(0) = 4$ , $f'(0) = 2$ מן הגרפים

השטח הוא $3$ . אין צורך בנוסחת הפונקציות: מספיקים הערכים שעל הגרפים.

Check the answer on elev — Exercise 7

Exercise 8

ד. נתונה הפונקצייה $f(x) = \frac{2(x + 1)}{(x^2 + 2x)^2}$ , המוגדרת בתחום $x \neq -2$ , $x \neq 0$ . (1) מצאו את תחומי החיוביות של הפונקצייה $f(x)$ .

A $x < -2$ או $-1 < x < 0$
B $-1 < x < 0$ או $x > 0$
C $x > 0$ בלבד
D $-2 < x < -1$ או $x > 0$

Show the answer and the solution

Answer: B $-1 < x < 0$ או $x > 0$

Worked solution:

(x^2 + 2x)^2 > 0

המכנה חיובי בכל התחום

2(x + 1) > 0 \Leftrightarrow x > -1

הסימן של $f$ הוא הסימן של המונה

הפונקצייה חיובית בתחום $-1 < x < 0$ ובתחום $x > 0$ ( $x = 0$ אינו בתחום ההגדרה).

Check the answer on elev — Exercise 8

Exercise 9

הגרפים I–IV

ד. נתונה הפונקצייה $f(x) = \frac{2(x + 1)}{(x^2 + 2x)^2}$ , המוגדרת בתחום $x \neq -2$ , $x \neq 0$ . (2) קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקצייה $f(x)$ . נמקו את קביעתכם.

Aגרף II
Bגרף I
Cגרף IV
Dגרף III

Show the answer and the solution

Answer: D גרף III

Worked solution:

x < -2: f < 0; \quad -2 < x < -1: f < 0; \quad -1 < x < 0: f > 0; \quad x > 0: f > 0

מסעיף ד (1)

x \to -2: f \to -\infty; \quad x \to 0: f \to +\infty

המכנה שואף ל־ $0^+$ משני הצדדים, והמונה שואף ל־ $-2$ או ל־ $2$

גרף III: משמאל ל־ $x = -2$ הוא שלילי, יורד אל $-\infty$ משני צדי $x = -2$ , חותך את ציר ה־ $x$ ב־ $x = -1$ ועולה אל $+\infty$ משני צדי ציר ה־ $y$ . בגרף I הענף השמאלי חיובי, בגרף II כל הסימנים הפוכים, ובגרף IV הענף שבין $-2$ ל־ $0$ יורד.

Check the answer on elev — Exercise 9

Exercise 10

ד. נתונה הפונקצייה $f(x) = \frac{2(x + 1)}{(x^2 + 2x)^2}$ , המוגדרת בתחום $x \neq -2$ , $x \neq 0$ . (3) חשבו את השטח הכלוא על ידי גרף הפונקצייה $f(x)$ , על ידי ציר ה־ $x$ ועל ידי הישרים $x = 1$ ו־ $x = 4$ .

Show the answer and the solution

Answer: 0.2917

Worked solution:

\begin{aligned}(x^2 + 2x)' &= 2x + 2 \\ &= 2(x + 1)\end{aligned}

המונה הוא הנגזרת של הביטוי שבתוך הריבוע

\int \frac{2(x + 1)}{(x^2 + 2x)^2} dx = -\frac{1}{x^2 + 2x} + C

\begin{aligned}S &= \left[-\frac{1}{x^2 + 2x}\right]_1^4 \\ &= -\frac{1}{24} + \frac{1}{3} \\ &= \frac{7}{24}\end{aligned}

בתחום $1 \le x \le 4$ הפונקצייה חיובית

השטח הוא $\frac{7}{24} \approx 0.29$ .

Check the answer on elev — Exercise 10

Did your child get it?

On elev, every exercise is checked the moment your child answers, and a hint comes right when they get stuck.

Practise on elev

שאלה 2 — סדרות הנדסיות

Exercise 11

א. מצאו את הערך של $a_3$ (מצאו את שתי האפשרויות).

$a_3 =$ ____ או $a_3 =$ ____ (מהקטן לגדול)

Show the answer and the solution

Answer: $a_3 =$ -8 או $a_3 =$ 8 (מהקטן לגדול)

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{a_4}{a_2} &= q^2 \\ &= 4 \Rightarrow q \\ &= \pm 2\end{aligned}

\begin{aligned}2a_2 + 8 &= 4a_2 \Rightarrow a_2 \\ &= 4\end{aligned}

$a_4 = a_2 q^2 = 4a_2$

\begin{aligned}a_3 &= a_2 \cdot q \\ &= \pm 8\end{aligned}

$a_3 = 8$ (כאשר $q = 2$ ) או $a_3 = -8$ (כאשר $q = -2$ ).

Check the answer on elev — Exercise 11

Exercise 12

נתון כי הסדרה $A$ לא עולה ולא יורדת. בונים מאיברי הסדרה $A$ סדרה אין־סופית חדשה $B$ . נתון כי איברי הסדרה $B$ מקיימים $b_n = \frac{1}{a_n \cdot a_{n+1}}$ לכל $n$ טבעי. ב. הוכיחו כי הסדרה $B$ היא סדרה הנדסית, ומצאו את המנה שלה. כאן: מהי המנה של הסדרה $B$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 0.25

Worked solution:

\begin{aligned}q &= -2 \\ \quad a_1 &= \frac{a_2}{q} \\ &= -2\end{aligned}

סדרה הנדסית שאינה עולה ואינה יורדת: המנה שלילית

\begin{aligned}\frac{b_{n+1}}{b_n} &= \frac{a_n \cdot a_{n+1}}{a_{n+1} \cdot a_{n+2}} \\ &= \frac{a_n}{a_{n+2}} \\ &= \frac{1}{q^2} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

המנה של $B$ היא $\frac{1}{4} = 0.25$ (ההוכחה בתרגיל הבא).

Check the answer on elev — Exercise 12

Exercise 13

$A$ סדרה הנדסית, $\frac{a_4}{a_2} = 4$ , $2a_2 + 8 = a_4$
$b_n = \frac{1}{a_n \cdot a_{n+1}}$ לכל $n$ טבעי

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{1}{4}$ לכל $n$ טבעי

Show the answer and the solution

$q^2 = 4$ — מן הנתון: $\frac{a_4}{a_2} = q^2 = 4$
$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{a_n \cdot a_{n+1}}{a_{n+1} \cdot a_{n+2}} = \frac{a_n}{a_{n+2}}$ — מציבים את הגדרת $b_n$ ומצמצמים ב־ $a_{n+1} \neq 0$
$\frac{a_n}{a_{n+2}} = \frac{1}{q^2}$ — בסדרה הנדסית $a_{n+2} = a_n \cdot q^2$
$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{1}{4}$ — המנה קבועה ואינה תלויה ב־ $n$ : $B$ סדרה הנדסית שמנתה $\frac{1}{4}$

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{b_{n+1}}{b_n} &= \frac{a_n}{a_{n+2}} \\ &= \frac{1}{q^2} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

המנה אינה תלויה ב־ $n$

הסדרה $B$ הנדסית ומנתה $\frac{1}{4}$ . המנה של $B$ אינה תלויה בסימן של $q$ ; התנאי "לא עולה ולא יורדת" ( $q = -2$ ) ישמש בסעיפים ג–ד.

Check the answer on elev — Exercise 13

Exercise 14

נתון כי הסדרה $A$ לא עולה ולא יורדת. בונים מאיברי הסדרה $A$ סדרה הנדסית אין־סופית נוספת $C$ . איברי הסדרה $C$ הם: $\frac{k}{a_1 \cdot a_2} , \frac{k}{a_3 \cdot a_4} , \frac{k}{a_5 \cdot a_6} , \ldots$ . $k \neq 0$ הוא פרמטר. ג (1). מצאו את מנת הסדרה $C$ .

Show the answer and the solution

Answer: 0.0625

Worked solution:

c_m = k \cdot b_{2m - 1}

האיבר ה־ $m$ של $C$ הוא $k$ כפול איבר של $B$ , ומדלגים כל פעם על איבר אחד של $B$

\begin{aligned}\frac{c_{m+1}}{c_m} &= \frac{b_{2m+1}}{b_{2m-1}} \\ &= \left(\frac{1}{4}\right)^2 \\ &= \frac{1}{16}\end{aligned}

מנת הסדרה $C$ היא $\frac{1}{16} = 0.0625$ .

Check the answer on elev — Exercise 14

Exercise 15

Aלכל $k \neq 0$
B $k < 0$
C $k > 0$
D $k > 8$

Show the answer and the solution

Answer: C $k > 0$

Worked solution:

\begin{aligned}a_1 &= -2 \\ \ a_2 &= 4 \Rightarrow c_1 \\ &= \frac{k}{-8}\end{aligned}

מסעיפים א–ב: $q = -2$

0 < \frac{1}{16} < 1

האיברים שומרים על הסימן של $c_1$ וערכם המוחלט קטן

c_1 < 0 \Leftrightarrow -\frac{k}{8} < 0 \Leftrightarrow k > 0

איברים שליליים שערכם המוחלט קטן — הסדרה עולה

הסדרה $C$ עולה בעבור $k > 0$ . בעבור $k < 0$ היא יורדת.

Check the answer on elev — Exercise 15

Exercise 16

נתון כי הסדרה $A$ לא עולה ולא יורדת. בונים מאיברי הסדרה $A$ סדרה אין־סופית חדשה $B$ . נתון כי איברי הסדרה $B$ מקיימים $b_n = \frac{1}{a_n \cdot a_{n+1}}$ לכל $n$ טבעי. בונים מאיברי הסדרה $A$ סדרה הנדסית אין־סופית נוספת $C$ . איברי הסדרה $C$ הם: $\frac{k}{a_1 \cdot a_2} , \frac{k}{a_3 \cdot a_4} , \frac{k}{a_5 \cdot a_6} , \ldots$ . $k \neq 0$ הוא פרמטר. נסמן ב־ $S_B$ את סכום הסדרה $B$ , וב־ $S_C$ את סכום הסדרה $C$ . נתון: $S_C = 4 \cdot S_B$ . ד. מצאו את הערך של $k$ .

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

\begin{aligned}b_1 &= \frac{1}{a_1 a_2} \\ &= -\frac{1}{8} \\ \quad S_B &= \frac{-\frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{4}} \\ &= -\frac{1}{6}\end{aligned}

\begin{aligned}S_C &= \frac{-\frac{k}{8}}{1 - \frac{1}{16}} \\ &= -\frac{2k}{15}\end{aligned}

\begin{aligned}-\frac{2k}{15} &= 4 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) \Rightarrow k \\ &= 5\end{aligned}

$k = 5$ .

Check the answer on elev — Exercise 16

שאלה 3 — הסתברות: בחירות וסקר

Exercise 17

בוחרים באקראי $3$ מצביעים. נתון כי ההסתברות שבדיוק אחד מהם הצביע למפלגה א׳ גדולה פי $2$ מן ההסתברות ששלושתם הצביעו למפלגה ב׳. א. מצאו את הערך של $P$ .

Show the answer and the solution

Answer: 0.4

Worked solution:

3P(1 - P)^2 = 2(1 - P)^3

התפלגות בינומית: $3$ מקומות לבוחר של מפלגה א׳

\begin{aligned}3P &= 2(1 - P) \Rightarrow P \\ &= \frac{2}{5}\end{aligned}

מחלקים ב־ $(1 - P)^2 \neq 0$

$P = 0.4$ .

Check the answer on elev — Exercise 17

Exercise 18

נתון כי בבחירה אקראית של $3$ מצביעים, ההסתברות שבדיוק אחד מהם הצביע למפלגה א׳ גדולה פי $2$ מן ההסתברות ששלושתם הצביעו למפלגה ב׳. בוחרים באקראי $4$ מצביעים. ב. ידוע כי ארבעתם הצביעו לאותה המפלגה. מהי ההסתברות שהם הצביעו למפלגה א׳?

Show the answer and the solution

Answer: 0.1649

Worked solution:

\begin{aligned}P(\text{A A A A}) &= 0.4^4 \\ &= 0.0256 \\ \quad P(\text{B B B B}) &= 0.6^4 \\ &= 0.1296\end{aligned}

\frac{0.0256}{0.0256 + 0.1296} = \frac{16}{97} \approx 0.165

הסתברות מותנית

ההסתברות היא $\frac{16}{97} \approx 0.165$ . המלכודת: לענות $0.4^4$ — שוכחים לחלק בהסתברות שכולם הצביעו לאותה המפלגה.

Check the answer on elev — Exercise 18

Exercise 19

נתון כי בבחירה אקראית של $3$ מצביעים, ההסתברות שבדיוק אחד מהם הצביע למפלגה א׳ גדולה פי $2$ מן ההסתברות ששלושתם הצביעו למפלגה ב׳. חלק מן המצביעים הם מבוגרים והשאר צעירים. נתון כי $40\%$ מן המצביעים המבוגרים הצביעו למפלגה ב׳ ו־ $15\%$ מן המצביעים הצעירים הצביעו למפלגה א׳. ג. מהי ההסתברות לבחור באקראי מצביע צעיר אחד מבין כל המצביעים?

Show the answer and the solution

Answer: 0.4444

Worked solution:

0.6x + 0.15(1 - x) = 0.4

$x$ — ההסתברות לבחור מבוגר; $60\%$ מן המבוגרים הצביעו למפלגה א׳

\begin{aligned}0.45x &= 0.25 \Rightarrow x \\ &= \frac{5}{9}\end{aligned}

1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9} \approx 0.444

ההסתברות לבחור צעיר היא $\frac{4}{9} \approx 0.444$ .

Check the answer on elev — Exercise 19

Exercise 20

נתון כי $15\%$ מן המצביעים הצעירים הצביעו למפלגה א׳. לאחר הבחירות נערך סקר טלפוני בקרב המצביעים. דני, אחד הסוקרים, התקשר באקראי למצביעים צעירים בלבד. הוא התקשר אליהם בזה אחר זה והפסיק מייד לאחר שראיין צעיר אחד שהצביע למפלגה אחת וצעיר נוסף שהצביע למפלגה האחרת. ד. מהי ההסתברות שדני התקשר ל־ $5$ צעירים בדיוק?

Show the answer and the solution

Answer: 0.0787

Worked solution:

0.15, \quad 0.85

צעיר הצביע למפלגה א׳ בהסתברות $0.15$ ולמפלגה ב׳ בהסתברות $0.85$

\text{A A A A B} \ , \ \text{B B B B A}

דני מפסיק בשיחה החמישית: ארבעת הראשונים הצביעו לאותה המפלגה, והחמישי למפלגה האחרת

0.15^4 \cdot 0.85 + 0.85^4 \cdot 0.15 = 0.00043 + 0.07830 \approx 0.0787

ההסתברות היא $0.07873125 \approx 0.0787$ .

Check the answer on elev — Exercise 20

שאלה 4 — שני מעגלים, משיק ודמיון

Exercise 21

א. הוכיחו כי $\angle AOE = 2\angle KAE$ .

$KA$ משיק למעגל הקטן בנקודה $A$
$OA = OE = r$
$E$ בתוך המשולש $KAO$

$\angle AOE = 2\angle KAE$

Show the answer and the solution

$\angle OAK = 90^\circ$ — משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
$\angle OAE = 90^\circ - \angle KAE$ — הנקודה $E$ בתוך הזווית $KAO$ : $\angle KAE + \angle EAO = \angle KAO$
$\angle OEA = \angle OAE$ — במשולש שווה שוקיים ( $OA = OE$ ) זוויות הבסיס שוות
$\angle AOE = 180^\circ - 2\angle OAE$ — סכום הזוויות במשולש $AOE$
$\angle AOE = 2\angle KAE$ — הצבה: $180^\circ - 2(90^\circ - \angle KAE) = 2\angle KAE$

Worked solution:

\angle OAE = 90^\circ - \angle KAE

הרדיוס $OA$ מאונך למשיק $AK$

\begin{aligned}\angle AOE &= 180^\circ - 2\angle OAE \\ &= 2\angle KAE\end{aligned}

המשולש $AOE$ שווה שוקיים

זו הזווית שבין משיק למיתר: היא שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת.

Check the answer on elev — Exercise 21

Exercise 22

המשך הקטע $AE$ חותך את הקטע $OK$ בנקודה $M$ . נתון כי הנקודה $M$ היא אמצע הקטע $OK$ . ב. הוכיחו כי הנקודה $M$ היא מרכז המעגל הגדול.

$O$ , $A$ ו־ $K$ על המעגל הגדול
$KA$ משיק למעגל הקטן בנקודה $A$
$M$ אמצע הקטע $OK$

$M$ מרכז המעגל הגדול

Show the answer and the solution

$\angle OAK = 90^\circ$ — משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
$OK$ קוטר במעגל הגדול — זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר
$M$ מרכז המעגל הגדול — אמצע הקוטר הוא מרכז המעגל

Worked solution:

\angle OAK = 90^\circ

רדיוס המעגל הקטן מאונך למשיק

\begin{aligned}\angle OAK &= 90^\circ \Rightarrow OK \\ &= 2R\end{aligned}

הזווית ההיקפית $OAK$ במעגל הגדול ישרה, ולכן $OK$ קוטר

אמצע הקוטר $OK$ הוא מרכז המעגל הגדול, ולכן $M$ הוא המרכז.

Check the answer on elev — Exercise 22

Exercise 23

המשך הקטע $AE$ חותך את הקטע $OK$ בנקודה $M$ . נתון כי הנקודה $M$ היא אמצע הקטע $OK$ . ג. הוכיחו כי $\triangle MOA \sim \triangle OEA$ .

$M$ מרכז המעגל הגדול (סעיף ב)
$OA = OE = r$
$M$ על המשך הקטע $AE$

$\triangle MOA \sim \triangle OEA$

Show the answer and the solution

$MO = MA$ — רדיוסים במעגל הגדול
$\angle MOA = \angle MAO$ — במשולש שווה שוקיים $MOA$ זוויות הבסיס שוות
$\angle OEA = \angle OAE$ — במשולש שווה שוקיים $OEA$ ( $OE = OA$ ) זוויות הבסיס שוות
$\angle MAO = \angle OAE$ — זו אותה זווית: $E$ על הקטע $AM$
$\angle MOA = \angle OEA$ — שתיהן שוות לזווית $\angle MAO$
$\triangle MOA \sim \triangle OEA$ — משפט הדמיון ז״ז (הזווית $A$ משותפת, $\angle MOA = \angle OEA$ )

Worked solution:

\begin{aligned}\angle MOA &= \angle MAO \\ &= \angle OAE \\ &= \angle OEA\end{aligned}

שני משולשים שווי שוקיים עם אותה זווית בסיס ליד $A$

\triangle MOA \sim \triangle OEA

ז״ז: $M \leftrightarrow O$ , $O \leftrightarrow E$ , $A \leftrightarrow A$

שני המשולשים שווי שוקיים, וזוויות הבסיס שלהם שוות: הם דומים.

Check the answer on elev — Exercise 23

Exercise 24

המשך הקטע $AE$ חותך את הקטע $OK$ בנקודה $M$ . נתון כי הנקודה $M$ היא אמצע הקטע $OK$ . נתון: $R = 1.5r$ . נסמן ב־ $S$ את שטח המשולש $MEO$ . ד. הביעו באמצעות $S$ את שטח המשולש $OKA$ .

$S_{OKA} =$ ____ $\cdot S$

Show the answer and the solution

Answer: $S_{OKA} =$ 3.6 $\cdot S$

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{MO}{OE} &= \frac{OA}{EA} \\ &= \frac{R}{r} \\ &= 1.5\end{aligned}

יחס הדמיון מסעיף ג

\begin{aligned}EA &= \frac{r}{1.5} \\ &= \frac{2r}{3} \\ \quad MA &= R \\ &= 1.5r\end{aligned}

\begin{aligned}ME &= MA - EA \\ &= \frac{3r}{2} - \frac{2r}{3} \\ &= \frac{5r}{6}\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{S_{MEO}}{S_{MAO}} &= \frac{ME}{MA} \\ &= \frac{5}{9} \Rightarrow S_{MAO} \\ &= \frac{9S}{5}\end{aligned}

אותו גובה מן הקודקוד $O$ לישר $MA$

\begin{aligned}S_{OKA} &= 2S_{MAO} \\ &= \frac{18S}{5} \\ &= 3.6S\end{aligned}

$AM$ תיכון במשולש $OKA$ ( $M$ אמצע $OK$ )

$S_{OKA} = 3.6S$ .

Check the answer on elev — Exercise 24

שאלה 5 — מעגל חסום במשולש שווה שוקיים

Exercise 25

א (1). הביעו באמצעות $r$ ו־ $\alpha$ את אורך הקטע $CO$ .

A $\frac{r}{\sin 2\alpha}$
B $\frac{r}{\sin\alpha}$
C $\frac{r}{\cos\alpha}$
D $\frac{r}{\tan\alpha}$

Show the answer and the solution

Answer: B $\frac{r}{\sin\alpha}$

Worked solution:

\angle OCB = \alpha

מרכז המעגל החסום נמצא על חוצה הזווית $C$

\begin{aligned}\sin\alpha &= \frac{r}{CO} \Rightarrow CO \\ &= \frac{r}{\sin\alpha}\end{aligned}

המשולש ישר הזווית שבין $O$ , $C$ ונקודת ההשקה על $BC$

$CO = \frac{r}{\sin\alpha}$ .

Check the answer on elev — Exercise 25

Exercise 26

א (2). הביעו באמצעות $r$ ו־ $\alpha$ את אורך הצלע $AC$ .

A $\frac{r}{\tan\alpha \cdot \sin 2\alpha}$
B $\frac{r \cdot \tan\alpha}{\cos 2\alpha}$
C $\frac{r}{\tan\alpha \cdot \cos 2\alpha}$
D $\frac{2r}{\tan\alpha \cdot \cos 2\alpha}$

Show the answer and the solution

Answer: C $\frac{r}{\tan\alpha \cdot \cos 2\alpha}$

Worked solution:

CD = \frac{r}{\tan\alpha}

$D$ אמצע $BC$ ונקודת ההשקה; במשולש $ODC$ : $\tan\alpha = \frac{r}{CD}$

\begin{aligned}\cos 2\alpha &= \frac{CD}{AC} \Rightarrow AC \\ &= \frac{r}{\tan\alpha \cdot \cos 2\alpha}\end{aligned}

במשולש ישר הזווית $ADC$ ( $AD$ גובה)

$AC = \frac{r}{\tan\alpha \cdot \cos 2\alpha}$ .

Check the answer on elev — Exercise 26

Exercise 27

נתון כי אורך הצלע $AC$ גדול פי $\sqrt{3}$ מאורך הקטע $CO$ . ב. מצאו את הערך של $\alpha$ (בדרגות).

Show the answer and the solution

Answer: 30

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{r}{\tan\alpha \cos 2\alpha} &= \frac{\sqrt{3} r}{\sin\alpha} \Rightarrow \cos\alpha \\ &= \sqrt{3}\cos 2\alpha\end{aligned}

מסעיף א

2\sqrt{3}\cos^2\alpha - \cos\alpha - \sqrt{3} = 0

$\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$

\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{1 \pm 5}{4\sqrt{3}}: \quad \cos\alpha \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

הפתרון השלילי נפסל: $2\alpha$ זווית בסיס, ולכן $0^\circ < \alpha < 45^\circ$

\alpha = 30^\circ

$\alpha = 30^\circ$ : זוויות הבסיס הן $60^\circ$ , והמשולש שווה צלעות.

Check the answer on elev — Exercise 27

Exercise 28

הציבו $\alpha = 30^\circ$ וענו על הסעיפים ג–ד. המעגל חותך את הקטע $BO$ בנקודה $K$ . נתון כי אורך הקטע $CK$ הוא $\sqrt{175}$ . ג. מצאו את הערך של $r$ .

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

\begin{aligned}CO &= BO \\ &= \frac{r}{\sin 30^\circ} \\ &= 2r \\ \quad OK &= r\end{aligned}

מסעיף א (1)

\begin{aligned}\angle COB &= 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ \\ &= 120^\circ\end{aligned}

במשולש $COB$

\begin{aligned}CK^2 &= (2r)^2 + r^2 - 2 \cdot 2r \cdot r \cos 120^\circ \\ &= 7r^2\end{aligned}

משפט הקוסינוסים במשולש $COK$

\begin{aligned}7r^2 &= 175 \Rightarrow r \\ &= 5\end{aligned}

$r = 5$ .

Check the answer on elev — Exercise 28

Exercise 29

הציבו $\alpha = 30^\circ$ וענו על הסעיפים ג–ד. המעגל חותך את הקטע $BO$ בנקודה $K$ . נתון כי אורך הקטע $CK$ הוא $\sqrt{175}$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $CB$ . נתון כי שטח המשולש $CKE$ הוא $18$ . ד. חשבו את אורך הקטע $BE$ .

Show the answer and the solution

Answer: 2.9205

Worked solution:

\begin{aligned}BC &= 2 \cdot \frac{r}{\tan 30^\circ} \\ &= 2 \cdot 5\sqrt{3} \\ &= 10\sqrt{3}\end{aligned}

מסעיף א (2): $CD = \frac{r}{\tan\alpha}$

\begin{aligned}BO &= 2r \\ &= 10 \\ \ OK &= 5 \Rightarrow h_K \\ &= \frac{r}{2} \\ &= 2.5\end{aligned}

$K$ אמצע $BO$ ; $O$ בגובה $r$ מעל $BC$ , ולכן $K$ בגובה $\frac{r}{2}$

\begin{aligned}\frac{CE \cdot 2.5}{2} &= 18 \Rightarrow CE \\ &= 14.4\end{aligned}

הגובה מ־ $K$ לבסיס $CE$

BE = 10\sqrt{3} - 14.4 \approx 2.92

$BE = 10\sqrt{3} - 14.4 \approx 2.92$ .

Check the answer on elev — Exercise 29

שאלה 6 — פונקציית שורש עם פרמטר

Exercise 30

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה $f(x)$ .

A $x \neq a$ ו־ $x \neq -a$
B $x \le -a$ או $x \ge a$
C $-a < x < a$
D $x < -a$ או $x > a$

Show the answer and the solution

Answer: D $x < -a$ או $x > a$

Worked solution:

x^2 - a^2 > 0

ביטוי בתוך שורש במכנה: חיובי ממש

x < -a , \ x > a

תחום ההגדרה: $x < -a$ או $x > a$ . הנקודות $x = \pm a$ אינן בתחום: המכנה מתאפס בהן.

Check the answer on elev — Exercise 30

Exercise 31

א (2). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה $f(x)$ .

אנכיות: $x =$ ____ $a$ , $x =$ ____ $a$ (מהקטן לגדול) ; אופקיות: $y =$ ____ , $y =$ ____ (מהקטן לגדול)

Show the answer and the solution

Answer: אנכיות: $x =$ -1 $a$ , $x =$ 1 $a$ (מהקטן לגדול) ; אופקיות: $y =$ -1 , $y =$ 1 (מהקטן לגדול)

Worked solution:

x \to a^+: f \to +\infty; \quad x \to -a^-: f \to -\infty

המכנה שואף ל־ $0^+$

f(x) = \frac{x}{|x|\sqrt{1 - \frac{a^2}{x^2}}}

מוציאים $x^2$ מן השורש: $\sqrt{x^2} = |x|$

x \to +\infty: f \to 1; \quad x \to -\infty: f \to -1

אסימפטוטות אנכיות $x = -a$ ו־ $x = a$ ; אסימפטוטות אופקיות $y = 1$ (מימין) ו־ $y = -1$ (משמאל).

Check the answer on elev — Exercise 31

Exercise 32

ב. הוכיחו כי הפונקצייה $f(x)$ היא אי־זוגית.

$f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}}$ , $a > 0$
תחום ההגדרה: $x < -a$ או $x > a$

$f(-x) = -f(x)$ לכל $x$ בתחום

Show the answer and the solution

אם $x$ בתחום, גם $-x$ בתחום — התחום $|x| > a$ סימטרי ביחס ל־ $x = 0$
$f(-x) = \frac{-x}{\sqrt{(-x)^2 - a^2}}$ — מציבים $-x$ במקום $x$
$\frac{-x}{\sqrt{(-x)^2 - a^2}} = -\frac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}}$ — $(-x)^2 = x^2$
$f(-x) = -f(x)$ — הגדרת פונקצייה אי־זוגית: תחום סימטרי ו־ $f(-x) = -f(x)$

Worked solution:

\begin{aligned}f(-x) &= \frac{-x}{\sqrt{(-x)^2 - a^2}} \\ &= \frac{-x}{\sqrt{x^2 - a^2}} \\ &= -f(x)\end{aligned}

התחום סימטרי

הפונקצייה אי־זוגית: הגרף שלה סימטרי ביחס לראשית הצירים.

Check the answer on elev — Exercise 32

Exercise 33

ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה $f(x)$ (אם יש כאלה).

Aיורדת בתחום $x < -a$ ועולה בתחום $x > a$
Bעולה בתחום $x < -a$ ובתחום $x > a$ ; אין לה תחומי ירידה
Cיורדת בתחום $x < -a$ ובתחום $x > a$ ; אין לה תחומי עלייה
Dעולה בתחום $x < -a$ ויורדת בתחום $x > a$

Show the answer and the solution

Answer: C יורדת בתחום $x < -a$ ובתחום $x > a$ ; אין לה תחומי עלייה

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\sqrt{x^2 - a^2} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}}}{x^2 - a^2} \\ &= \frac{x^2 - a^2 - x^2}{(x^2 - a^2)\sqrt{x^2 - a^2}}\end{aligned}

נגזרת של מנה

f'(x) = \frac{-a^2}{(x^2 - a^2)\sqrt{x^2 - a^2}} < 0

המונה שלילי והמכנה חיובי בכל התחום

הפונקצייה יורדת בתחום $x < -a$ ובתחום $x > a$ , ואין לה תחומי עלייה.

Check the answer on elev — Exercise 33

Exercise 34

הגרפים I–IV

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $f(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף IV
Bגרף II
Cגרף I
Dגרף III

Show the answer and the solution

Answer: B גרף II

Worked solution:

x > a: \ +\infty \searrow 1; \quad x < -a: \ -1 \searrow -\infty

מסעיפים א–ג

גרף II: ענף ימני שיורד מ־ $+\infty$ ליד $x = a$ אל $y = 1$ , וענף שמאלי שיורד מ־ $y = -1$ אל $-\infty$ ליד $x = -a$ . גרף I הוא $-f(x)$ , גרף III מוגדר בין $-a$ ל־ $a$ , וגרף IV אינו אי־זוגי.

Check the answer on elev — Exercise 34

Exercise 35

נתונה הפונקצייה $g(x) = \frac{1}{(f(x))^2}$ . תחום ההגדרה של הפונקצייה $g(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקצייה $f(x)$ . ה (1). מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה $g(x)$ .

Aעולה בתחום $x < -a$ , יורדת בתחום $x > a$
Bעולה בתחום $x < -a$ ובתחום $x > a$
Cיורדת בתחום $x < -a$ ובתחום $x > a$
Dיורדת בתחום $x < -a$ , עולה בתחום $x > a$

Show the answer and the solution

Answer: D יורדת בתחום $x < -a$ , עולה בתחום $x > a$

Worked solution:

\begin{aligned}g(x) &= \frac{x^2 - a^2}{x^2} \\ &= 1 - \frac{a^2}{x^2}\end{aligned}

g'(x) = \frac{2a^2}{x^3}

שלילית בתחום $x < -a$ וחיובית בתחום $x > a$

$g(x)$ יורדת בתחום $x < -a$ ועולה בתחום $x > a$ .

Check the answer on elev — Exercise 35

Exercise 36

הגרפים I–IV

נתונה הפונקצייה $g(x) = \frac{1}{(f(x))^2}$ . תחום ההגדרה של הפונקצייה $g(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקצייה $f(x)$ . ה (2). קבעו איזה מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את הפונקצייה $g(x)$ . נמקו את קביעתכם.

Aגרף III
Bגרף I
Cגרף II
Dגרף IV

Show the answer and the solution

Answer: B גרף I

Worked solution:

\begin{aligned}g(x) &= 1 - \frac{a^2}{x^2} \\ \quad 0 < g(x) < 1\end{aligned}

בתחום $|x| > a$

x \to \pm a: g \to 0; \quad x \to \pm\infty: g \to 1

הנקודות $(\pm a, 0)$ אינן על הגרף: הן מחוץ לתחום

גרף I: שני ענפים סימטריים, בין $0$ ל־ $1$ , עם עיגולים ריקים ב־ $(-a, 0)$ וב־ $(a, 0)$ . גרף II הוא $(f(x))^2$ , בגרף III התחום הוא כל $x \neq 0$ , וגרף IV אינו זוגי, ואילו $g(x)$ זוגית.

Check the answer on elev — Exercise 36

Exercise 37

נתונה הפונקצייה $g(x) = \frac{1}{(f(x))^2}$ . נתון כי השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה $g(x)$ , על ידי ציר ה־ $x$ ועל ידי הישרים $x = 2a$ ו־ $x = 3a$ הוא $7.5$ . ו. מצאו את הערך של $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

\int_{2a}^{3a} \left(1 - \frac{a^2}{x^2}\right) dx = \left[x + \frac{a^2}{x}\right]_{2a}^{3a}

בתחום זה $g(x) > 0$

= \left(3a + \frac{a}{3}\right) - \left(2a + \frac{a}{2}\right) = \frac{5a}{6}

\begin{aligned}\frac{5a}{6} &= 7.5 \Rightarrow a \\ &= 9\end{aligned}

$a = 9$ .

Check the answer on elev — Exercise 37

שאלה 7 — פונקצייה טריגונומטרית

Exercise 38

א. קבעו איזה מן הגרפים I–II מתאר את הפונקצייה $f(x)$ . נמקו את קביעתכם.

Aגרף I: הוא חותך את ציר ה־ $x$ בנקודות הקיצון של גרף II
Bגרף I: היכן שהוא עולה גרף II חיובי, והיכן שהוא יורד גרף II שלילי
Cגרף II: הוא עובר בראשית הצירים, וגרף של נגזרת אינו עובר בה
Dגרף II: היכן שהוא עולה גרף I חיובי, והיכן שהוא יורד גרף I שלילי

Show the answer and the solution

Answer: D גרף II: היכן שהוא עולה גרף I חיובי, והיכן שהוא יורד גרף I שלילי

Worked solution:

0 < x < \frac{\pi}{2}: \ \text{II} \nearrow, \ \text{I} > 0

גרף II עולה וגרף I חיובי

\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}: \ \text{II} \searrow, \ \text{I} < 0

גרף II יורד וגרף I שלילי

0 < x < \pi: \ \text{II} > 0, \ \text{I} \searrow

הכיוון ההפוך אינו מתאים: גרף I יורד שם, אבל גרף II חיובי

גרף II מתאר את $f(x)$ וגרף I את $f'(x)$ . העובדה שגרף I חותך את ציר ה־ $x$ בנקודות הקיצון של גרף II נכונה, אבל היא מראה דווקא שגרף I הוא הנגזרת.

Check the answer on elev — Exercise 38

Exercise 39

נתון כי $f(x) = \frac{\sin x}{1 + (\sin x)^2}$ מוגדרת בתחום $0 \le x \le 2\pi$ . ב (1). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ .

$x =$ ____ $\pi$ , $x =$ ____ $\pi$ , $x =$ ____ $\pi$ (מהקטן לגדול; בכולן $y = 0$ )

Show the answer and the solution

Answer: $x =$ 0 $\pi$ , $x =$ 1 $\pi$ , $x =$ 2 $\pi$ (מהקטן לגדול; בכולן $y = 0$ )

Worked solution:

\begin{aligned}f(x) &= 0 \Leftrightarrow \sin x \\ &= 0\end{aligned}

המכנה $1 + (\sin x)^2$ חיובי

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ \pi \\ \ 2\pi\end{aligned}

בתחום $0 \le x \le 2\pi$

נקודות החיתוך: $(0, 0)$ , $(\pi, 0)$ ו־ $(2\pi, 0)$ .

Check the answer on elev — Exercise 39

Exercise 40

נתון כי $f(x) = \frac{\sin x}{1 + (\sin x)^2}$ מוגדרת בתחום $0 \le x \le 2\pi$ . ב (2). מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקצייה $f(x)$ , וקבעו את סוגן.

Aמקסימום: $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ; מינימום: $\left(\frac{3\pi}{2}, -\frac{1}{2}\right)$ ; אין קיצון בקצוות
Bמקסימום: $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ , $(2\pi, 0)$ ; מינימום: $(0, 0)$ , $\left(\frac{3\pi}{2}, -1\right)$
Cמקסימום: $(0, 0)$ , $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ; מינימום: $\left(\frac{3\pi}{2}, -\frac{1}{2}\right)$ , $(2\pi, 0)$
Dמקסימום: $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{1}{2}\right)$ , $(2\pi, 0)$ ; מינימום: $(0, 0)$ , $\left(\frac{3\pi}{2}, -\frac{1}{2}\right)$

Show the answer and the solution

Answer: D מקסימום: $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{1}{2}\right)$ , $(2\pi, 0)$ ; מינימום: $(0, 0)$ , $\left(\frac{3\pi}{2}, -\frac{1}{2}\right)$

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\cos x (1 + \sin^2 x) - \sin x \cdot 2\sin x \cos x}{(1 + \sin^2 x)^2} \\ &= \frac{\cos^3 x}{(1 + \sin^2 x)^2}\end{aligned}

$1 - \sin^2 x = \cos^2 x$

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Leftrightarrow x \\ &= \frac{\pi}{2} \\ \ \frac{3\pi}{2}\end{aligned}

\begin{aligned}f\left(\frac{\pi}{2}\right) &= \frac{1}{2} \\ \quad f\left(\frac{3\pi}{2}\right) &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

0 < x < \frac{\pi}{2}: \nearrow; \quad \frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}: \searrow; \quad \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi: \nearrow

סימן $\cos^3 x$ ; ולכן גם הקצוות הם נקודות קיצון

מקסימום $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ו־ $(2\pi, 0)$ , מינימום $(0, 0)$ ו־ $\left(\frac{3\pi}{2}, -\frac{1}{2}\right)$ . המלכודת: לשכוח את נקודות הקצה של התחום הסגור.

Check the answer on elev — Exercise 40

Exercise 41

נתון כי $f(x) = \frac{\sin x}{1 + (\sin x)^2}$ מוגדרת בתחום $0 \le x \le 2\pi$ . נתונה הפונקצייה $g(x) = |f(x) - 0.4|$ המוגדרת בתחום $0 \le x \le 2\pi$ . ג. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה $g(x)$ עם ציר ה־ $x$ .

$x =$ ____ $\pi$ , $x =$ ____ $\pi$ (מהקטן לגדול; בשתיהן $y = 0$ )

Show the answer and the solution

Answer: $x =$ 0.1667 $\pi$ , $x =$ 0.8333 $\pi$ (מהקטן לגדול; בשתיהן $y = 0$ )

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{\sin x}{1 + \sin^2 x} &= 0.4 \Rightarrow 0.4\sin^2 x - \sin x + 0.4 \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}2\sin^2 x - 5\sin x + 2 &= 0 \Rightarrow \sin x \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

הפתרון $\sin x = 2$ נפסל

\begin{aligned}x &= \frac{\pi}{6} \\ \ \frac{5\pi}{6}\end{aligned}

נקודות החיתוך: $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ ו־ $\left(\frac{5\pi}{6}, 0\right)$ .

Check the answer on elev — Exercise 41

Exercise 42

הגרפים I–IV

נתון כי $f(x) = \frac{\sin x}{1 + (\sin x)^2}$ מוגדרת בתחום $0 \le x \le 2\pi$ . נתונה הפונקצייה $g(x) = |f(x) - 0.4|$ המוגדרת בתחום $0 \le x \le 2\pi$ . ד (1). סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $g(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף IV
Bגרף I
Cגרף III
Dגרף II

Show the answer and the solution

Answer: A גרף IV

Worked solution:

\begin{aligned}g(0) &= 0.4 \\ \ g\left(\frac{\pi}{6}\right) &= 0 \\ \ g\left(\frac{\pi}{2}\right) &= 0.1 \\ \ g\left(\frac{5\pi}{6}\right) &= 0 \\ \ g\left(\frac{3\pi}{2}\right) &= 0.9 \\ \ g(2\pi) &= 0.4\end{aligned}

g(x) \ge 0

ערך מוחלט: החלק של $f(x) - 0.4$ שמתחת לציר ה־ $x$ משתקף מעליו

גרף IV: אינו שלילי, נוגע בציר ה־ $x$ ב־ $\frac{\pi}{6}$ וב־ $\frac{5\pi}{6}$ עם "גבעה" נמוכה ביניהן, ומגיע ל־ $0.9$ ב־ $\frac{3\pi}{2}$ . גרף I הוא $|f(x) + 0.4|$ , גרף II הוא $f(x) - 0.4$ בלי ערך מוחלט, וגרף III הוא $|f(x)| - 0.4$ .

Check the answer on elev — Exercise 42

Exercise 43

נתון כי $f(x) = \frac{\sin x}{1 + (\sin x)^2}$ מוגדרת בתחום $0 \le x \le 2\pi$ . נתונה הפונקצייה $g(x) = |f(x) - 0.4|$ המוגדרת בתחום $0 \le x \le 2\pi$ . ד (2). מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקצייה $g(x)$ , וקבעו את סוגן.

Aמקסימום: $\left(\frac{\pi}{2}, 0.1\right)$ , $\left(\frac{3\pi}{2}, 0.9\right)$ ; מינימום: $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ , $\left(\frac{5\pi}{6}, 0\right)$ ; אין קיצון בקצוות
Bמקסימום: $\left(\frac{\pi}{2}, 0.1\right)$ , $\left(\frac{3\pi}{2}, 0.9\right)$ , $(2\pi, 0.4)$ ; מינימום: $(0, 0.4)$ , $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ , $\left(\frac{5\pi}{6}, 0\right)$
Cמקסימום: $(0, 0.4)$ , $\left(\frac{\pi}{2}, 0.9\right)$ , $\left(\frac{3\pi}{2}, 0.1\right)$ ; מינימום: $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ , $\left(\frac{5\pi}{6}, 0\right)$ , $(2\pi, 0.4)$
Dמקסימום: $(0, 0.4)$ , $\left(\frac{\pi}{2}, 0.1\right)$ , $\left(\frac{3\pi}{2}, 0.9\right)$ ; מינימום: $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ , $\left(\frac{5\pi}{6}, 0\right)$ , $(2\pi, 0.4)$

Show the answer and the solution

Answer: D מקסימום: $(0, 0.4)$ , $\left(\frac{\pi}{2}, 0.1\right)$ , $\left(\frac{3\pi}{2}, 0.9\right)$ ; מינימום: $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ , $\left(\frac{5\pi}{6}, 0\right)$ , $(2\pi, 0.4)$

Worked solution:

\begin{aligned}g &= 0: \ x \\ &= \frac{\pi}{6} \\ \frac{5\pi}{6}\end{aligned}

נקודות החיתוך מסעיף ג הן נקודות מינימום ( $g \ge 0$ )

\begin{aligned}g\left(\frac{\pi}{2}\right) &= |0.5 - 0.4| \\ &= 0.1 \\ \quad g\left(\frac{3\pi}{2}\right) &= |-0.5 - 0.4| \\ &= 0.9\end{aligned}

הקיצון של $f$ נשאר קיצון של $g$

\begin{aligned}g(0) &= g(2\pi) \\ &= 0.4\end{aligned}

ליד $x = 0$ הפונקצייה $g$ יורדת: מקסימום בקצה; ליד $x = 2\pi$ היא יורדת אל הקצה: מינימום בקצה

מקסימום: $(0, 0.4)$ , $\left(\frac{\pi}{2}, 0.1\right)$ , $\left(\frac{3\pi}{2}, 0.9\right)$ ; מינימום: $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ , $\left(\frac{5\pi}{6}, 0\right)$ , $(2\pi, 0.4)$ .

Check the answer on elev — Exercise 43

שאלה 8 — פונקצייה רציונלית, משיק ושטח מינימלי

Exercise 44

א. מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה $f(x)$ .

$x =$ ____ , $y =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x =$ 1 , $y =$ 9

Worked solution:

x \to 1: \ \frac{a}{(x - 1)^2} \to +\infty

המכנה מתאפס, והמונה $a > 0$

x \to \pm\infty: \ \frac{a}{(x - 1)^2} \to 0 \Rightarrow f \to 9

אסימפטוטה אנכית $x = 1$ ואסימפטוטה אופקית $y = 9$ .

Check the answer on elev — Exercise 44

Exercise 45

הנקודה $C$ נמצאת על גרף הפונקצייה $f(x)$ , ושיעור ה־ $x$ שלה הוא $2$ . דרך הנקודה $C$ העבירו משיק לגרף הפונקצייה $f(x)$ . ב. הביעו באמצעות $a$ את משוואת המשיק.

$y =$ ____ $\cdot ax +$ ____ $\cdot a +$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $y =$ -2 $\cdot ax +$ 5 $\cdot a +$ 9

Worked solution:

f(2) = a + 9

\begin{aligned}f'(x) &= -\frac{2a}{(x - 1)^3} \Rightarrow f'(2) \\ &= -2a\end{aligned}

\begin{aligned}y - (a + 9) &= -2a(x - 2) \Rightarrow y \\ &= -2ax + 5a + 9\end{aligned}

משוואת המשיק: $y = -2ax + 5a + 9$ .

Check the answer on elev — Exercise 45

Exercise 46

הנקודה $C$ נמצאת על גרף הפונקצייה $f(x)$ , ושיעור ה־ $x$ שלה הוא $2$ . דרך הנקודה $C$ העבירו משיק לגרף הפונקצייה $f(x)$ . המשיק חותך את ציר ה־ $x$ בנקודה $A$ ואת הישר $x = 1$ בנקודה $B$ . $D$ היא נקודה ששיעוריה הם $(1 , 0)$ . ג. הביעו באמצעות $a$ את שטח המשולש $ADB$ .

A $\frac{(5a + 9)(3a + 9)}{4a}$
B $\frac{9(a + 3)^2}{2a}$
C $\frac{9(a + 3)^2}{4a}$
D $\frac{3(a + 3)^2}{4a}$

Show the answer and the solution

Answer: C $\frac{9(a + 3)^2}{4a}$

Worked solution:

\begin{aligned}y &= 0 \Rightarrow x_A \\ &= \frac{5a + 9}{2a}\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 1 \Rightarrow y_B \\ &= 3a + 9\end{aligned}

\begin{aligned}DA &= \frac{5a + 9}{2a} - 1 \\ &= \frac{3a + 9}{2a} \\ \quad DB &= 3a + 9\end{aligned}

הזווית $D$ ישרה: $DA$ על ציר ה־ $x$ ו־ $DB$ על הישר $x = 1$

\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot \frac{3a + 9}{2a} \cdot (3a + 9) \\ &= \frac{9(a + 3)^2}{4a}\end{aligned}

$S_{ADB} = \frac{9(a + 3)^2}{4a}$ . המלכודת: לקחת את $x_A$ כאורך הניצב — הניצב מתחיל ב־ $D$ , שבו $x = 1$ .

Check the answer on elev — Exercise 46

Exercise 47

הנקודה $C$ נמצאת על גרף הפונקצייה $f(x)$ , ושיעור ה־ $x$ שלה הוא $2$ . דרך הנקודה $C$ העבירו משיק לגרף הפונקצייה $f(x)$ . המשיק חותך את ציר ה־ $x$ בנקודה $A$ ואת הישר $x = 1$ בנקודה $B$ . $D$ היא נקודה ששיעוריה הם $(1 , 0)$ . ד. מצאו את הערך של $a$ שבעבורו שטח המשולש $ADB$ הוא מינימלי.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\begin{aligned}S(a) &= \frac{9(a + 3)^2}{4a} \\ \quad a > 0\end{aligned}

מסעיף ג

\begin{aligned}S'(a) &= \frac{9}{4} \cdot \frac{2(a + 3)a - (a + 3)^2}{a^2} \\ &= \frac{9(a + 3)(a - 3)}{4a^2}\end{aligned}

\begin{aligned}S'(a) &= 0 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

$a = -3$ נפסל ( $a > 0$ )

0 < a < 3: S' < 0; \quad a > 3: S' > 0

מינימום

\begin{aligned}S(3) &= \frac{9 \cdot 36}{12} \\ &= 27\end{aligned}

השטח מינימלי בעבור $a = 3$ (ואז $S = 27$ ).

Check the answer on elev — Exercise 47

Words in this lesson

משך: meshekh duration, length of time
שעה: sha’a hour
רבע: reva quarter
לפחות: lefaḥot at least
אינדוקציה: induktsia proof by induction
סדרה: sidra sequence
הסתברות: histabrut probability
מישור: mishor plane
פולינום: polinom polynomial
פונקציית שורש: funktsiyat shoresh square-root function
פונקציה רציונלית: funktsia ratsyonalit rational function
פונקציה: funktsia function
טריגונומטריה: trigonometria trigonometry
נוסחה: nusḥa formula
סעיף: se’if part (of a question)
נמקו: namku justify, explain why
הוכיחו: hokhiḥu prove
הוכחה: hokhaḥa proof
ביטוי אלגברי: bitui algebri algebraic expression
מקדם: mekadem coefficient
פתרון: pitaron solution
מספר טבעי: mispar tiv’i natural number
מתקיים: mitkayem holds, is true
איבר: ever term
נכון: nakhon true, correct
חשבו: ḥishvu calculate
סכום: skhum sum
מלכודת: malkodet trap
טרפז: trapez trapezoid (UK: trapezium)
נקודה: nekuda point
אלכסון: alakhson diagonal
נתון: natun given
משולש שווה שוקיים: meshulash shve shokayim isosceles triangle
זוויות מתחלפות: zaviyot mitḥalfot alternate angles
זווית: zavit angle
צלע: tsela side
קטע: keta line segment
שוק: shok leg (of a trapezoid or isosceles triangle); arm of an angle
מקבילים: makbilim parallel
מאונכים: me’unakhim perpendicular
מצאו: mits’u find
אורך: orekh length
משפט פיתגורס: mishpat Pitagoras Pythagorean theorem
משולש ישר זווית: meshulash yeshar zavit right triangle
משולש: meshulash triangle
יחס: yaḥas ratio
נגזרת: nigzeret derivative
מוגדרת: mugderet defined
גרף: graf graph
נקודת קיצון: nekudat kitson extremum
נקודת חיתוך: nekudat khitukh intersection point
ציר: tsir axis
שיעורים (של נקודה): shiurim coordinates
התאימו: hat’imu match
מקסימום: maksimum maximum
חיובי: ḥiyuvi positive
שלילי: shlili negative
מתאפס: mitapes equals zero, vanishes
נקודת פיתול: nekudat pitul point of inflection
חותך: khotekh cuts, intersects; transversal
שטח: shetaḥ area
ישר: yashar line
פונקציה קדומה: funktsia kduma antiderivative
תחום חיוביות: tḥum ḥiyuviyut where the function is positive
מכנה: mekhane denominator
מונה: moneh numerator
תחום ההגדרה: tḥum ha-hagdara domain of definition
קבעו: kiv’u determine, decide
שואפת: sho’efet tends to, approaches
שטח כלוא: shetaḥ kalu enclosed area, area under the curve
ריבוע: ribua square
פונקציה יורדת: funktsia yoredet decreasing function
סדרה הנדסית: sidra hendesit geometric sequence
מנה: mana quotient
תרגיל: targil exercise, sum
תנאי: tnai condition
פרמטר: parameter parameter
מנת הסדרה: menat ha-sidra common ratio
כפול: kaful times
פונקציה עולה: funktsia ola increasing function
אקראי: akra’i random, at random
פי: pi times (as many)
התפלגות בינומית: hitpalgut binomit binomial distribution
הסתברות מותנית: histabrut mutnit conditional probability
סקר: seker survey
רדיוס: radius radius
משיק: mashik tangent
מיתר: meitar chord
זווית מרכזית: zavit merkazit central angle
נשענת על: nish’enet al subtends (stands on)
קשת: keshet arc
אמצע קטע: emtsa keta midpoint
מרכז: merkaz centre
מעגל: ma’agal circle
זווית היקפית: zavit hekefit inscribed angle
קוטר: koter diameter
זוויות הבסיס: zaviyot ha-basis base angles
משולשים דומים: meshulashim domim similar triangles
הביעו: habi’u express
יחס הדמיון: yaḥas ha-dimyon similarity ratio
גובה: gova height
קודקוד: kodkod vertex
תיכון: tikhon median
חסום: ḥasum inscribed
חוצה זווית: ḥotse zavit angle bisector
נקודת השקה: nekudat hashaka point of tangency
נפסל: nifsal rejected
משולש שווה צלעות: meshulash shve tsla’ot equilateral triangle
להציב: lehatsiv to substitute
משפט הקוסינוסים: mishpat ha-kosinusim law of cosines
בסיס: basis base
שורש: shoresh square root
משוואה: mishva’a equation
אסימפטוטה: asimptota asymptote
אסימפטוטה אנכית: asimptota anakhit vertical asymptote
אסימפטוטה אופקית: asimptota ofkit horizontal asymptote
סימטריה: simetria symmetry
ראשית הצירים: reshit ha-tsirim origin
תחום עלייה: tḥum aliya interval of increase
כלל המנה: klal ha-mana quotient rule
סקיצה: skitsa sketch
מספר אי-זוגי: mispar i-zugi odd number
מספר זוגי: mispar zugi even number
מינימום: minimum minimum
ערך מוחלט: erekh muḥlat absolute value
משוואת המשיק: mishva’at ha-mashik equation of the tangent
ניצב: nitsav leg

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elev Discover elev for this grade

This lesson is part of the subscription. A full chapter for free: Sequences