בגרות 35571 — חורף 2026

On elev, this lesson comes with:

  • Every exercise checked the moment it is answered
  • A hint exactly when it is needed
  • Progress tracking, chapter by chapter
Practise on elev

This lesson is part of the subscription. A full chapter for free: Sequences

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35571 (5 יחידות לימוד, שאלון ראשון, תוכנית חדשה), חורף תשפ״ו, 2026. משך הבחינה: שלוש שעות וארבעים וחמש דקות. עונים על חמש מן השאלות 1–8, על שאלה אחת לפחות מן הפרק הראשון או השני ועל שאלה אחת לפחות מכל אחד מן הפרקים השלישי והרביעי (לכל שאלה – 20 נקודות). פרק ראשון – שאלות קצרות: שאלה 1. פרק שני – אינדוקציה, סדרות והסתברות: שאלות 2–3. פרק שלישי – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור: שאלות 4–5. פרק רביעי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות טריגונומטריות: שאלות 6–8. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־5 יחידות לימוד.

כאן כתובות כל שמונה השאלות, ב־46 סעיפים, כדי שאפשר יהיה להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים חמש, ובשאלה 1 עונים על שניים מארבעת הסעיפים. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, לקבוע, להסביר או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, וסעיף שמבקש ביטוי הפך לבחירה בין ביטויים או להשלמת מקדמים. הפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercises

שאלה 1 — שאלות קצרות

Exercise 1

OAKEB

א. בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו OO ורדיוסו RR. דרך הנקודות AA ו־EE שעל המעגל העבירו שני משיקים המאונכים זה לזה. המשיקים נחתכים בנקודה KK. הקטע KOKO חותך את המעגל בנקודה BB. (1) מצאו פי כמה גדול שטח המשולש AOBAOB משטח המשולש AKBAKB.

Show the answer and the solution

Answer: 2.4142

Worked solution:

OA⊥AK,OE⊥EK,AK⊥EKOA \perp AK, \quad OE \perp EK, \quad AK \perp EK

רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה, והמשיקים מאונכים זה לזה

OA=OE=R\begin{aligned}OA &= OE \\ &= R\end{aligned}

במרובע OAKEOAKE שלוש זוויות ישרות ושתי צלעות סמוכות שוות: זה ריבוע שצלעו RR

KO=R2OB=RBK=R2−R\begin{aligned}KO &= R\sqrt{2} \\ \quad OB &= R \\ \quad BK &= R\sqrt{2} - R\end{aligned}

KOKO אלכסון הריבוע, ו־BB על המעגל

SAOBSAKB=OBBK\frac{S_{AOB}}{S_{AKB}} = \frac{OB}{BK}

לשני המשולשים אותו גובה: המרחק מן הקודקוד AA אל הישר KOKO

RR2−R=12−1=2+1≈2.414\begin{aligned}\frac{R}{R\sqrt{2} - R} &= \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \\ &= \sqrt{2} + 1 \approx 2.414\end{aligned}

מצמצמים ב־RR ומכפילים במספר הצמוד

שטח המשולש AOBAOB גדול פי 2+1≈2.414\sqrt{2} + 1 \approx 2.414 משטח המשולש AKBAKB.

Check the answer on elev — Exercise 1

Exercise 2

OAKEB

א. בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו OO ורדיוסו RR. דרך הנקודות AA ו־EE שעל המעגל העבירו שני משיקים המאונכים זה לזה. המשיקים נחתכים בנקודה KK. הקטע KOKO חותך את המעגל בנקודה BB. נתון כי שטח המשולש AOBAOB הוא 1616. (2) מצאו את אורך הגובה לצלע AKAK במשולש AKBAKB.

Show the answer and the solution

Answer: 1.9703

Worked solution:

∠AOB=45∘\angle AOB = 45^\circ

האלכסון KOKO חוצה את הזווית הישרה AOEAOE של הריבוע

SAOB=12⋅OA⋅OB⋅sin⁡45∘=24R2\begin{aligned}S_{AOB} &= \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB \cdot \sin 45^\circ \\ &= \frac{\sqrt{2}}{4}R^2\end{aligned}

OA=OB=ROA = OB = R

24R2=16⇒R2=322⇒R≈6.727\begin{aligned}\frac{\sqrt{2}}{4}R^2 &= 16 \Rightarrow R^2 \\ &= 32\sqrt{2} \Rightarrow R \approx 6.727\end{aligned}
SAKB=162+1=16(2−1)≈6.627\begin{aligned}S_{AKB} &= \frac{16}{\sqrt{2} + 1} \\ &= 16(\sqrt{2} - 1) \approx 6.627\end{aligned}

מסעיף (1)

h=2SAKBAK=32(2−1)R≈1.970\begin{aligned}h &= \frac{2S_{AKB}}{AK} \\ &= \frac{32(\sqrt{2} - 1)}{R} \approx 1.970\end{aligned}

AK=RAK = R, צלע הריבוע

אורך הגובה לצלע AKAK במשולש AKBAKB הוא h≈1.97h \approx 1.97. בדיקה: h=R−R2h = R - \frac{R}{\sqrt{2}}, המרחק של BB מן הישר AKAK.

Check the answer on elev — Exercise 2

Exercise 3

ב. בתחרות שחמט, שני שחקנים – יאיר ונדב – מתחרים זה נגד זה. כל משחק יכול להסתיים באחת מ־33 התוצאות האלה: ניצחון של יאיר, ניצחון של נדב או תיקו. בכל משחק ההסתברות שיאיר ינצח היא קבועה וגדולה פי 22 מן ההסתברות שנדב ינצח. נסמן ב־pp את ההסתברות שנדב ינצח במשחק אחד. יאיר ונדב משחקים שני משחקים. (1) הביעו באמצעות pp את ההסתברות שאחד מן השחקנים ישיג שני ניצחונות.

P=P = ____ ⋅p2\cdot p^2

Show the answer and the solution

Answer: P=P = 5 ⋅p2\cdot p^2

Worked solution:

(2p)2=4p2(2p)^2 = 4p^2

יאיר מנצח בשני המשחקים; המשחקים בלתי תלויים

p⋅p=p2p \cdot p = p^2

נדב מנצח בשני המשחקים

4p2+p2=5p24p^2 + p^2 = 5p^2

שני מאורעות זרים: מחברים את ההסתברויות

ההסתברות שאחד מן השחקנים ישיג שני ניצחונות היא 5p25p^2.

Check the answer on elev — Exercise 3

Exercise 4

ב. בתחרות שחמט, שני שחקנים – יאיר ונדב – מתחרים זה נגד זה. כל משחק יכול להסתיים באחת מ־33 התוצאות האלה: ניצחון של יאיר, ניצחון של נדב או תיקו. בכל משחק ההסתברות שיאיר ינצח היא קבועה וגדולה פי 22 מן ההסתברות שנדב ינצח. נסמן ב־pp את ההסתברות שנדב ינצח במשחק אחד. יאיר ונדב משחקים שני משחקים. ידוע שאם שום שחקן לא השיג שני ניצחונות, ההסתברות שכל אחד מן המשחקים יסתיים בתיקו היא 931\frac{9}{31}. (2) קבעו איזו מן האפשרויות I–III שלפניכם מתאימה לערך של pp. נמקו את קביעתכם.

  1. AII. p=1127p = \frac{11}{27}
  2. BI. p=110p = \frac{1}{10}
  3. CIII. p=16p = \frac{1}{6}
Show the answer and the solution

Answer: C III. p=16p = \frac{1}{6}

Worked solution:

1−2p−p=1−3p1 - 2p - p = 1 - 3p

ההסתברות לתיקו במשחק אחד

1−5p21 - 5p^2

ההסתברות ששום שחקן לא השיג שני ניצחונות: המשלים של סעיף (1)

(1−3p)21−5p2=931\frac{(1 - 3p)^2}{1 - 5p^2} = \frac{9}{31}

הסתברות מותנית: שני תיקו הם מקרה פרטי של «אין שני ניצחונות»

31(1−3p)2=9(1−5p2)⇒162p2−93p+11=0\begin{aligned}31(1 - 3p)^2 &= 9(1 - 5p^2) \Rightarrow 162p^2 - 93p + 11 \\ &= 0\end{aligned}
p1=16p2=1127\begin{aligned}p_1 &= \frac{1}{6} \\ \quad p_2 &= \frac{11}{27}\end{aligned}

פתרונות המשוואה הריבועית

1−3⋅1127=−29<01 - 3 \cdot \frac{11}{27} = -\frac{2}{9} < 0

ב־p=1127p = \frac{11}{27} ההסתברות לתיקו שלילית: הפתרון נפסל

(1−0.3)21−0.05=4995≠931\frac{(1 - 0.3)^2}{1 - 0.05} = \frac{49}{95} \ne \frac{9}{31}

האפשרות I אינה מקיימת את המשוואה

האפשרות III: p=16p = \frac{1}{6}. האפשרות II מקיימת את המשוואה, אבל איתה ההסתברות לתיקו, 1−3p1 - 3p, שלילית, ולכן היא אינה מתאימה.

Check the answer on elev — Exercise 4

Exercise 5

ג. נתונה הפונקציה f(x)=x2−1+216−x2f(x) = \sqrt{x^2 - 1} + 2\sqrt{16 - x^2}. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

  1. A−4≤x≤4-4 \le x \le 4
  2. Bx≤−1x \le -1 או x≥1x \ge 1
  3. C−4<x<−1-4 < x < -1 או 1<x<41 < x < 4
  4. D−4≤x≤−1-4 \le x \le -1 או 1≤x≤41 \le x \le 4
Show the answer and the solution

Answer: D −4≤x≤−1-4 \le x \le -1 או 1≤x≤41 \le x \le 4

Worked solution:

x2−1≥0⇒x2≥1x^2 - 1 \ge 0 \Rightarrow x^2 \ge 1

ביטוי מתחת לשורש ריבועי אינו שלילי: x≤−1x \le -1 או x≥1x \ge 1

16−x2≥0⇒−4≤x≤416 - x^2 \ge 0 \Rightarrow -4 \le x \le 4

השורש השני

1≤x2≤161 \le x^2 \le 16

שני התנאים יחד

תחום ההגדרה: −4≤x≤−1-4 \le x \le -1 או 1≤x≤41 \le x \le 4.

Check the answer on elev — Exercise 5

Exercise 6

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

ג. נתונה הפונקציה f(x)=x2−1+216−x2f(x) = \sqrt{x^2 - 1} + 2\sqrt{16 - x^2}. (2) אחד מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקציה f(x)f(x). קבעו איזה מהם ונמקו את קביעתכם.

  1. Aגרף IV
  2. Bגרף II
  3. Cגרף I
  4. Dגרף III
Show the answer and the solution

Answer: A גרף IV

Worked solution:

−4≤x≤−1,1≤x≤4-4 \le x \le -1, \quad 1 \le x \le 4

מסעיף (1): אין גרף בין x=−1x = -1 ל־x=1x = 1, ולכן גרפים I ו־II נפסלים

f(1)=215≈7.75f(4)=15≈3.87\begin{aligned}f(1) &= 2\sqrt{15} \approx 7.75 \\ \quad f(4) &= \sqrt{15} \approx 3.87\end{aligned}

הערכים בקצות הענף הימני

f′(x)=xx2−1−2x16−x2f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} - \frac{2x}{\sqrt{16 - x^2}}

נגזרת של שורש

f′(x)=0⇒16−x2=4(x2−1)⇒x=±2\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow 16 - x^2 \\ &= 4(x^2 - 1) \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}

נקודת קיצון אחת בכל ענף

f(2)=3+212=53≈8.66\begin{aligned}f(2) &= \sqrt{3} + 2\sqrt{12} \\ &= 5\sqrt{3} \approx 8.66\end{aligned}

גבוה משני הקצוות: מקסימום

גרף IV: בכל ענף הגרף עולה מקצה התחום אל מקסימום ב־x=±2x = \pm 2 ויורד אל הקצה השני. בגרף III יש בכל ענף מינימום, ובגרפים I ו־II הפונקציה מוגדרת גם בין −1-1 ל־11. הפונקציה זוגית, ולכן שני הענפים סימטריים סביב ציר ה־yy.

Check the answer on elev — Exercise 6

Exercise 7

ד. נתונה סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים an=cos⁡(π⋅2n)5⋅2na_n = \frac{\cos(\pi \cdot 2^n)}{5 \cdot 2^n} לכל nn טבעי. (1) מצאו את שלושת האיברים הראשונים בסדרה ana_n. (יש לכתוב כמספרים עשרוניים.)

a1=a_1 = ____ , a2=a_2 = ____ , a3=a_3 = ____

Show the answer and the solution

Answer: a1=a_1 = 0.1 , a2=a_2 = 0.05 , a3=a_3 = 0.025

Worked solution:

cos⁡(2π)=cos⁡(4π)=cos⁡(8π)=1\begin{aligned}\cos(2\pi) &= \cos(4\pi) \\ &= \cos(8\pi) \\ &= 1\end{aligned}

הקוסינוס של כפולה זוגית של π\pi

a1=110a2=120a3=140\begin{aligned}a_1 &= \frac{1}{10} \\ \quad a_2 &= \frac{1}{20} \\ \quad a_3 &= \frac{1}{40}\end{aligned}

המכנים: 5⋅2=105 \cdot 2 = 10, 5⋅4=205 \cdot 4 = 20, 5⋅8=405 \cdot 8 = 40

a1=0.1a_1 = 0.1, a2=0.05a_2 = 0.05, a3=0.025a_3 = 0.025.

Check the answer on elev — Exercise 7

Exercise 8

ד. נתונה סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים an=cos⁡(π⋅2n)5⋅2na_n = \frac{\cos(\pi \cdot 2^n)}{5 \cdot 2^n} לכל nn טבעי. (2) הוכיחו כי הסדרה ana_n היא הנדסית, ומצאו את המנה שלה.

  • an=cos⁡(π⋅2n)5⋅2na_n = \frac{\cos(\pi \cdot 2^n)}{5 \cdot 2^n} לכל nn טבעי

הסדרה ana_n הנדסית, ומנתה 12\frac{1}{2}

Show the answer and the solution
  1. 2n2^n מספר זוגי לכל nn טבעי — 2n=2⋅2n−12^n = 2 \cdot 2^{n-1}, ו־2n−12^{n-1} מספר שלם
  2. cos⁡(π⋅2n)=1\cos(\pi \cdot 2^n) = 1 — הקוסינוס של כפולה זוגית של π\pi שווה ל־11
  3. an=15⋅2na_n = \frac{1}{5 \cdot 2^n} — מציבים במונה של ana_n
  4. an+1an=5⋅2n5⋅2n+1=12\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5 \cdot 2^n}{5 \cdot 2^{n+1}} = \frac{1}{2} — מחלקים כל איבר באיבר שלפניו
  5. הסדרה ana_n הנדסית, ומנתה q=12q = \frac{1}{2} — המנה בין כל איבר לאיבר שלפניו קבועה: זו הגדרת סדרה הנדסית

Worked solution:

cos⁡(π⋅2n)=1\cos(\pi \cdot 2^n) = 1

2n2^n זוגי לכל nn טבעי

an=15⋅2na_n = \frac{1}{5 \cdot 2^n}
an+1an=5⋅2n5⋅2n+1=12\begin{aligned}\frac{a_{n+1}}{a_n} &= \frac{5 \cdot 2^n}{5 \cdot 2^{n+1}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

היחס אינו תלוי ב־nn

הסדרה הנדסית, ומנתה q=12q = \frac{1}{2}.

Check the answer on elev — Exercise 8

Exercise 9

ד. נתונה סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים an=cos⁡(π⋅2n)5⋅2na_n = \frac{\cos(\pi \cdot 2^n)}{5 \cdot 2^n} לכל nn טבעי. (3) מצאו את סכום הסדרה ana_n.

Show the answer and the solution

Answer: 0.2

Worked solution:

a1=110q=12\begin{aligned}a_1 &= \frac{1}{10} \\ \quad q &= \frac{1}{2}\end{aligned}

מסעיפים (1) ו־(2)

S=a11−q=1101−12=15\begin{aligned}S &= \frac{a_1}{1 - q} \\ &= \frac{\frac{1}{10}}{1 - \frac{1}{2}} \\ &= \frac{1}{5}\end{aligned}

∣q∣<1|q| < 1: הסכום מתכנס

סכום הסדרה הוא 15=0.2\frac{1}{5} = 0.2.

Check the answer on elev — Exercise 9

Did your child get it?

On elev, every exercise is checked the moment your child answers, and a hint comes right when they get stuck.

Practise on elev

שאלה 2 — סדרה הנדסית אין־סופית ואינדוקציה

Exercise 10

א. מצאו את הערך של qq.

Show the answer and the solution

Answer: 0.25

Worked solution:

T=a11−q2R=a1q1−q2\begin{aligned}T &= \frac{a_1}{1 - q^2} \\ \quad R &= \frac{a_1 q}{1 - q^2}\end{aligned}

האיברים במקומות האי־זוגיים הם סדרה הנדסית שמנתה q2q^2 ואיברה הראשון a1a_1; האיברים במקומות הזוגיים מתחילים ב־a1qa_1 q

TR=1q⇒1q2=16\begin{aligned}\frac{T}{R} &= \frac{1}{q} \Rightarrow \frac{1}{q^2} \\ &= 16\end{aligned}
q=±14q = \pm\frac{1}{4}
q=14q = \frac{1}{4}

סדרה שמנתה שלילית מחליפה סימן, ולכן אינה יורדת

q=14=0.25q = \frac{1}{4} = 0.25.

Check the answer on elev — Exercise 10

Exercise 11

נתונה סדרה bnb_n שאיבריה מקיימים bn=1+qan⋅an+1b_n = \frac{1 + q}{a_n \cdot a_{n+1}} לכל nn טבעי. נתון: b1=1b_1 = 1. ב. מצאו את הערך של a1a_1.

Show the answer and the solution

Answer: 2.2361

Worked solution:

b1=1+qa1⋅a2=54a12⋅14=5a12\begin{aligned}b_1 &= \frac{1 + q}{a_1 \cdot a_2} \\ &= \frac{\frac{5}{4}}{a_1^2 \cdot \frac{1}{4}} \\ &= \frac{5}{a_1^2}\end{aligned}

a2=a1q=a14a_2 = a_1 q = \frac{a_1}{4}

5a12=1⇒a12=5\begin{aligned}\frac{5}{a_1^2} &= 1 \Rightarrow a_1^2 \\ &= 5\end{aligned}
a1=5≈2.236a_1 = \sqrt{5} \approx 2.236

סדרה יורדת שמנתה חיובית: an+1−an=an(q−1)<0a_{n+1} - a_n = a_n(q - 1) < 0 רק כאשר a1>0a_1 > 0

a1=5≈2.236a_1 = \sqrt{5} \approx 2.236.

Check the answer on elev — Exercise 11

Exercise 12

נתונה סדרה bnb_n שאיבריה מקיימים bn=1+qan⋅an+1b_n = \frac{1 + q}{a_n \cdot a_{n+1}} לכל nn טבעי. נתון: b1=1b_1 = 1. ג. הביעו באמצעות nn את bnb_n.

  1. Abn=16nb_n = 16^n
  2. Bbn=16n−1b_n = 16^{n-1}
  3. Cbn=54⋅16n−1b_n = \frac{5}{4} \cdot 16^{n-1}
  4. Dbn=4n−1b_n = 4^{n-1}
Show the answer and the solution

Answer: B bn=16n−1b_n = 16^{n-1}

Worked solution:

an⋅an+1=a1qn−1⋅a1qn=a12q2n−1=5⋅(14)2n−1\begin{aligned}a_n \cdot a_{n+1} &= a_1 q^{n-1} \cdot a_1 q^n \\ &= a_1^2 q^{2n-1} \\ &= 5 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{2n-1}\end{aligned}
bn=545⋅(14)2n−1=14⋅42n−1=42n−2\begin{aligned}b_n &= \frac{\frac{5}{4}}{5 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{2n-1}} \\ &= \frac{1}{4} \cdot 4^{2n-1} \\ &= 4^{2n-2}\end{aligned}
42n−2=16n−14^{2n-2} = 16^{n-1}

בדיקה: b1=160=1b_1 = 16^0 = 1

bn=16n−1b_n = 16^{n-1}: סדרה הנדסית שאיברה הראשון 11 ומנתה 1616.

Check the answer on elev — Exercise 12

Exercise 13

נתונה סדרה bnb_n שאיבריה מקיימים bn=1+qan⋅an+1b_n = \frac{1 + q}{a_n \cdot a_{n+1}} לכל nn טבעי. נתון: b1=1b_1 = 1. ד. הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי לכל nn טבעי מתקיים: b1+b2+…+bn=16n−115b_1 + b_2 + \ldots + b_n = \frac{16^n - 1}{15}.

  • bn=16n−1b_n = 16^{n-1} לכל nn טבעי (סעיף ג)

b1+b2+…+bn=16n−115b_1 + b_2 + \ldots + b_n = \frac{16^n - 1}{15}

Show the answer and the solution
  1. b1=1=161−115b_1 = 1 = \frac{16^1 - 1}{15} — בדיקה עבור n=1n = 1
  2. b1+…+bk=16k−115b_1 + \ldots + b_k = \frac{16^k - 1}{15} — הנחת האינדוקציה
  3. b1+…+bk+1=16k−115+16kb_1 + \ldots + b_{k+1} = \frac{16^k - 1}{15} + 16^k — מוסיפים את bk+1=16kb_{k+1} = 16^k ומציבים את הנחת האינדוקציה
  4. 16k−115+16k=16⋅16k−115=16k+1−115\frac{16^k - 1}{15} + 16^k = \frac{16 \cdot 16^k - 1}{15} = \frac{16^{k+1} - 1}{15} — מכנה משותף: 16k=15⋅16k1516^k = \frac{15 \cdot 16^k}{15}
  5. b1+…+bk+1=16k+1−115b_1 + \ldots + b_{k+1} = \frac{16^{k+1} - 1}{15} — זו הטענה עבור n=k+1n = k + 1; עם הבדיקה עבור n=1n = 1, היא נכונה לכל nn טבעי

Worked solution:

b1=1=16−115\begin{aligned}b_1 &= 1 \\ &= \frac{16 - 1}{15}\end{aligned}

הבדיקה עבור n=1n = 1

16k−115+16k=16k−1+15⋅16k15=16k+1−115\begin{aligned}\frac{16^k - 1}{15} + 16^k &= \frac{16^k - 1 + 15 \cdot 16^k}{15} \\ &= \frac{16^{k+1} - 1}{15}\end{aligned}

הנחת האינדוקציה, ואז האיבר bk+1=16kb_{k+1} = 16^k

דרך אחרת: bnb_n סדרה הנדסית שאיברה הראשון 11 ומנתה 1616 (סעיף ג), ולפי נוסחת הסכום Sn=1⋅(16n−1)16−1=16n−115S_n = \frac{1 \cdot (16^n - 1)}{16 - 1} = \frac{16^n - 1}{15}.

Check the answer on elev — Exercise 13

שאלה 3 — הסתברות: מדריכים ורישיון נהיגה

Exercise 14

א. מצאו כמה אחוזים מן התלמידים בשכבה זו הם מדריכים.

Show the answer and the solution

Answer: 30

Worked solution:

P(A∣B)=12P(A \mid B) = \frac{1}{2}

נסמן ב־AA את המאורע «התלמיד מדריך» וב־BB את המאורע «יש לתלמיד רישיון נהיגה»

P(B‾∣A)=P(A∣B)=12⇒P(B∣A)=12\begin{aligned}P(\overline{B} \mid A) &= P(A \mid B) \\ &= \frac{1}{2} \Rightarrow P(B \mid A) \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

הנתון על שני האחוזים

P(A∩B)=12P(B)=12P(A)⇒P(A)=P(B)\begin{aligned}P(A \cap B) &= \frac{1}{2}P(B) \\ &= \frac{1}{2}P(A) \Rightarrow P(A) \\ &= P(B)\end{aligned}
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=1.5P(A)=0.45\begin{aligned}P(A \cup B) &= P(A) + P(B) - P(A \cap B) \\ &= 1.5P(A) \\ &= 0.45\end{aligned}
P(A)=0.3P(A) = 0.3

30%30\% מן התלמידים בשכבה הם מדריכים (וגם 30%30\% מהם בעלי רישיון).

Check the answer on elev — Exercise 14

Exercise 15

ב. בוחרים באקראי תלמיד מבין התלמידים שאין להם רישיון. מהי ההסתברות שתלמיד זה הוא מדריך?

Show the answer and the solution

Answer: 0.2143

Worked solution:

P(A∩B)=0.15P(A∩B‾)=0.3−0.15=0.15\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.15 \\ \quad P(A \cap \overline{B}) &= 0.3 - 0.15 \\ &= 0.15\end{aligned}

נסמן ב־AA את המאורע «התלמיד מדריך» וב־BB את המאורע «יש לתלמיד רישיון נהיגה»

P(B‾)=1−0.3=0.7\begin{aligned}P(\overline{B}) &= 1 - 0.3 \\ &= 0.7\end{aligned}
P(A∣B‾)=0.150.7=314≈0.2143\begin{aligned}P(A \mid \overline{B}) &= \frac{0.15}{0.7} \\ &= \frac{3}{14} \approx 0.2143\end{aligned}

הסתברות מותנית

ההסתברות היא 314≈0.214\frac{3}{14} \approx 0.214.

Check the answer on elev — Exercise 15

Exercise 16

בוחרים באקראי 55 תלמידים מבין התלמידים שאין להם רישיון. ג (1). מהי ההסתברות שנבחר יותר ממדריך אחד?

Show the answer and the solution

Answer: 0.2922

Worked solution:

X∼Bin(5,314)X \sim \mathrm{Bin}\left(5, \frac{3}{14}\right)

התיכון גדול: הבחירות בלתי תלויות, ובכל אחת ההסתברות למדריך היא 314\frac{3}{14} (סעיף ב). XX הוא מספר המדריכים שנבחרו

P(X=0)=(1114)5≈0.2994P(X = 0) = \left(\frac{11}{14}\right)^5 \approx 0.2994
P(X=1)=5⋅314⋅(1114)4≈0.4083P(X = 1) = 5 \cdot \frac{3}{14} \cdot \left(\frac{11}{14}\right)^4 \approx 0.4083
P(X≥2)=1−P(X=0)−P(X=1)≈0.2922P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \approx 0.2922

המאורע המשלים

ההסתברות שנבחר יותר ממדריך אחד היא 78579268912≈0.292\frac{78579}{268912} \approx 0.292.

Check the answer on elev — Exercise 16

Exercise 17

בוחרים באקראי 55 תלמידים מבין התלמידים שאין להם רישיון. ג (2). ידוע שנבחר יותר ממדריך אחד. מהי ההסתברות כי מספר המדריכים שנבחרו הוא זוגי?

Show the answer and the solution

Answer: 0.7906

Worked solution:

P(X=2)=(52)(314)2(1114)3≈0.2227P(X = 2) = \binom{5}{2}\left(\frac{3}{14}\right)^2\left(\frac{11}{14}\right)^3 \approx 0.2227

התיכון גדול: הבחירות בלתי תלויות, ובכל אחת ההסתברות למדריך היא 314\frac{3}{14} (סעיף ב). XX הוא מספר המדריכים שנבחרו

P(X=4)=(54)(314)4⋅1114≈0.0083P(X = 4) = \binom{5}{4}\left(\frac{3}{14}\right)^4 \cdot \frac{11}{14} \approx 0.0083

מספר זוגי גדול מ־11: 22 או 44

P(X=2)+P(X=4)P(X≥2)≈0.23100.2922≈0.7906\frac{P(X = 2) + P(X = 4)}{P(X \ge 2)} \approx \frac{0.2310}{0.2922} \approx 0.7906

הסתברות מותנית, עם סעיף ג (1)

ההסתברות היא 1380517462≈0.791\frac{13805}{17462} \approx 0.791.

Check the answer on elev — Exercise 17

שאלה 4 — משולש קהה זווית חסום במעגל

Exercise 18

א. הוכיחו כי AFAF הוא קוטר במעגל.

  • ∠BAC=∠BCA\angle BAC = \angle BCA
  • KK על המשך הצלע ABAB, ו־AB=BKAB = BK
  • FF על המעגל, על המשך הקטע KCKC

AFAF קוטר במעגל

Show the answer and the solution
  1. BA=BCBA = BC — מול זוויות שוות במשולש מונחות צלעות שוות
  2. BC=BKBC = BK — כלל המעבר: BC=BABC = BA ו־BA=BKBA = BK
  3. ∠ACK=90∘\angle ACK = 90^\circ — במשולש ACKACK התיכון CBCB שווה למחצית הצלע AKAK: המשולש ישר זווית
  4. ∠ACF=90∘\angle ACF = 90^\circ — זוויות צמודות משלימות ל־180∘180^\circ
  5. AFAF קוטר במעגל — זווית היקפית בת 90∘90^\circ נשענת על קוטר

Worked solution:

BA=BC=BK\begin{aligned}BA &= BC \\ &= BK\end{aligned}

מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות, ו־AB=BKAB = BK נתון

∠ACK=90∘\angle ACK = 90^\circ

התיכון CBCB במשולש ACKACK שווה למחצית הצלע AKAK

∠ACF=180∘−90∘=90∘\begin{aligned}\angle ACF &= 180^\circ - 90^\circ \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זווית צמודה

הזווית ההיקפית ∠ACF\angle ACF ישרה, ולכן היא נשענת על קוטר: AFAF קוטר במעגל.

Check the answer on elev — Exercise 18

Exercise 19

המיתרים BFBF ו־ACAC נחתכים בנקודה DD. ב. הוכיחו כי המשולש ADKADK הוא שווה שוקיים.

  • AFAF קוטר במעגל (סעיף א)
  • AB=BKAB = BK, ו־KK על המשך ABAB
  • DD נקודת החיתוך של BFBF ו־ACAC

המשולש ADKADK שווה שוקיים: DA=DKDA = DK

Show the answer and the solution
  1. ∠ABF=90∘\angle ABF = 90^\circ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
  2. FB⊥AKFB \perp AK — AA, BB ו־KK על ישר אחד
  3. FBFB האנך האמצעי לקטע AKAK — BB אמצע AKAK (AB=BKAB = BK), ו־FB⊥AKFB \perp AK בנקודה BB
  4. DA=DKDA = DK — כל נקודה על האנך האמצעי לקטע נמצאת במרחקים שווים מקצותיו; DD על BFBF

Worked solution:

∠ABF=90∘\angle ABF = 90^\circ

זווית היקפית על הקוטר AFAF

AB=BKFB⊥AK\begin{aligned}AB &= BK \\ \quad FB \perp AK\end{aligned}

FBFB האנך האמצעי לקטע AKAK

DA=DKDA = DK

DD על האנך האמצעי

המשולש ADKADK שווה שוקיים, ובסיסו AKAK. אפשר גם בחפיפה: △ABD≅△KBD\triangle ABD \cong \triangle KBD (צ.ז.צ).

Check the answer on elev — Exercise 19

Exercise 20

המיתרים BFBF ו־ACAC נחתכים בנקודה DD. ג (1). הוכיחו כי המרובע BDCKBDCK הוא בר חסימה במעגל.

  • ∠ABF=90∘\angle ABF = 90^\circ (סעיף ב)
  • ∠ACK=90∘\angle ACK = 90^\circ (סעיף א)
  • DD על BFBF ועל ACAC

המרובע BDCKBDCK בר חסימה במעגל

Show the answer and the solution
  1. ∠DBK=90∘\angle DBK = 90^\circ — זווית צמודה ל־∠ABD=90∘\angle ABD = 90^\circ
  2. ∠DCK=90∘\angle DCK = 90^\circ — DD על ACAC, ולכן ∠DCK=∠ACK\angle DCK = \angle ACK
  3. ∠DBK+∠DCK=180∘\angle DBK + \angle DCK = 180^\circ — סכום שתי זוויות ישרות
  4. המרובע BDCKBDCK בר חסימה במעגל — מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180∘180^\circ הוא בר חסימה

Worked solution:

∠DBK=90∘∠DCK=90∘\begin{aligned}\angle DBK &= 90^\circ \\ \quad \angle DCK &= 90^\circ\end{aligned}

מסעיפים א ו־ב

∠DBK+∠DCK=180∘\angle DBK + \angle DCK = 180^\circ

זוויות נגדיות במרובע BDCKBDCK

סכום הזוויות הנגדיות BB ו־CC הוא 180∘180^\circ, ולכן המרובע BDCKBDCK בר חסימה. הקטע DKDK הוא קוטר במעגל החוסם אותו.

Check the answer on elev — Exercise 20

Exercise 21

המיתרים BFBF ו־ACAC נחתכים בנקודה DD. ג (2). הוכיחו כי ∠DKC=∠FAC\angle DKC = \angle FAC.

  • המרובע BDCKBDCK בר חסימה במעגל (סעיף ג (1))
  • DD על BFBF

∠DKC=∠FAC\angle DKC = \angle FAC

Show the answer and the solution
  1. ∠DKC=∠DBC\angle DKC = \angle DBC — במעגל החוסם את BDCKBDCK: זוויות היקפיות הנשענות על הקשת DCDC
  2. ∠DBC=∠FBC\angle DBC = \angle FBC — DD על הקטע BFBF
  3. ∠FBC=∠FAC\angle FBC = \angle FAC — במעגל הנתון: זוויות היקפיות הנשענות על הקשת FCFC
  4. ∠DKC=∠FAC\angle DKC = \angle FAC — כלל המעבר

Worked solution:

∠DKC=∠DBC\angle DKC = \angle DBC

זוויות היקפיות על DCDC במעגל של BDCKBDCK

∠DBC=∠FBC=∠FAC\begin{aligned}\angle DBC &= \angle FBC \\ &= \angle FAC\end{aligned}

זוויות היקפיות על FCFC במעגל הנתון

∠DKC=∠FAC\angle DKC = \angle FAC.

Check the answer on elev — Exercise 21

Exercise 22

המיתרים BFBF ו־ACAC נחתכים בנקודה DD. ד. הוכיחו כי AC⋅AD=KC⋅AFAC \cdot AD = KC \cdot AF.

  • ∠DKC=∠FAC\angle DKC = \angle FAC (סעיף ג (2))
  • ∠ACK=90∘\angle ACK = 90^\circ (סעיף א)
  • DA=DKDA = DK (סעיף ב)

AC⋅AD=KC⋅AFAC \cdot AD = KC \cdot AF

Show the answer and the solution
  1. ∠DCK=∠FCA=90∘\angle DCK = \angle FCA = 90^\circ — ∠DCK=∠ACK\angle DCK = \angle ACK, ו־∠FCA\angle FCA צמודה לה
  2. △DKC∼△FAC\triangle DKC \sim \triangle FAC — משפט הדמיון ז.ז: ∠DKC=∠FAC\angle DKC = \angle FAC ו־∠DCK=∠FCA\angle DCK = \angle FCA
  3. DKFA=KCAC\frac{DK}{FA} = \frac{KC}{AC} — יחס צלעות מתאימות במשולשים דומים
  4. DK⋅AC=KC⋅AFDK \cdot AC = KC \cdot AF — כופלים במכנים
  5. AC⋅AD=KC⋅AFAC \cdot AD = KC \cdot AF — מציבים DK=DADK = DA (סעיף ב)

Worked solution:

△DKC∼△FAC\triangle DKC \sim \triangle FAC

ז.ז: ∠DKC=∠FAC\angle DKC = \angle FAC, ושתי זוויות ישרות ב־CC

DKFA=KCAC⇒DK⋅AC=KC⋅AF\begin{aligned}\frac{DK}{FA} &= \frac{KC}{AC} \Rightarrow DK \cdot AC \\ &= KC \cdot AF\end{aligned}
DK=DADK = DA

סעיף ב

AC⋅AD=KC⋅AFAC \cdot AD = KC \cdot AF.

Check the answer on elev — Exercise 22

שאלה 5 — דלתון ומעגלים חוסמים

Exercise 23

א. הביעו באמצעות kk ו־α\alpha את רדיוס המעגל החוסם את המשולש CDBCDB.

  1. AR=k2cos⁡αR = \frac{k}{2\cos\alpha}
  2. BR=ksin⁡αsin⁡4αR = \frac{k\sin\alpha}{\sin 4\alpha}
  3. CR=ksin⁡2αsin⁡4αR = \frac{k\sin 2\alpha}{\sin 4\alpha}
  4. DR=2ksin⁡αsin⁡4αR = \frac{2k\sin\alpha}{\sin 4\alpha}
Show the answer and the solution

Answer: B R=ksin⁡αsin⁡4αR = \frac{k\sin\alpha}{\sin 4\alpha}

Worked solution:

BD=2ksin⁡αBD = 2k\sin\alpha

במשולש שווה השוקיים ABDABD הגובה מ־AA חוצה את זווית הראש 2α2\alpha ואת הבסיס BDBD

∠CBD=∠CDB=2α∠BCD=180∘−4α\begin{aligned}\angle CBD &= \angle CDB \\ &= 2\alpha \\ \quad \angle BCD &= 180^\circ - 4\alpha\end{aligned}

המשולש CDBCDB שווה שוקיים (CB=CDCB = CD)

2R=BDsin⁡∠BCD=2ksin⁡αsin⁡(180∘−4α)=2ksin⁡αsin⁡4α\begin{aligned}2R &= \frac{BD}{\sin\angle BCD} \\ &= \frac{2k\sin\alpha}{\sin(180^\circ - 4\alpha)} \\ &= \frac{2k\sin\alpha}{\sin 4\alpha}\end{aligned}

משפט הסינוסים במשולש CDBCDB

R=ksin⁡αsin⁡4αR = \frac{k\sin\alpha}{\sin 4\alpha}. הביטוי k2cos⁡α\frac{k}{2\cos\alpha} הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABDABD.

Check the answer on elev — Exercise 23

Exercise 24

נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABDABD גדול פי 43\frac{4}{3} מרדיוס המעגל החוסם את המשולש CDBCDB. ב. מצאו את גודל הזווית BADBAD. (יש לכתוב את התשובה בדרגות.)

Show the answer and the solution

Answer: 48.1897

Worked solution:

RABD=BD2sin⁡2α=2ksin⁡α4sin⁡αcos⁡α=k2cos⁡α\begin{aligned}R_{ABD} &= \frac{BD}{2\sin 2\alpha} \\ &= \frac{2k\sin\alpha}{4\sin\alpha\cos\alpha} \\ &= \frac{k}{2\cos\alpha}\end{aligned}

משפט הסינוסים במשולש ABDABD

k2cos⁡α=43⋅ksin⁡αsin⁡4α\frac{k}{2\cos\alpha} = \frac{4}{3} \cdot \frac{k\sin\alpha}{\sin 4\alpha}

הנתון, עם סעיף א

sin⁡4α=83sin⁡αcos⁡α=43sin⁡2α\begin{aligned}\sin 4\alpha &= \frac{8}{3}\sin\alpha\cos\alpha \\ &= \frac{4}{3}\sin 2\alpha\end{aligned}
2sin⁡2αcos⁡2α=43sin⁡2α⇒cos⁡2α=23\begin{aligned}2\sin 2\alpha\cos 2\alpha &= \frac{4}{3}\sin 2\alpha \Rightarrow \cos 2\alpha \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

sin⁡2α≠0\sin 2\alpha \ne 0

2α≈48.19∘2\alpha \approx 48.19^\circ

0∘<2α<90∘0^\circ < 2\alpha < 90^\circ

∠BAD≈48.19∘\angle BAD \approx 48.19^\circ.

Check the answer on elev — Exercise 24

Exercise 25

נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABDABD גדול פי 43\frac{4}{3} מרדיוס המעגל החוסם את המשולש CDBCDB. הנקודה OO היא מרכז המעגל החוסם את המשולש ABDABD. דרך הנקודה AA העבירו ישר המקביל ל־BDBD וחותך את המשך הצלע CDCD בנקודה EE. נתון כי שטח המשולש AOEAOE הוא 7070. ג. מצאו את הערך של kk.

Show the answer and the solution

Answer: 14.4464

Worked solution:

cos⁡α=1+cos⁡2α2=56sin⁡2α=53\begin{aligned}\cos\alpha &= \sqrt{\frac{1 + \cos 2\alpha}{2}} \\ &= \sqrt{\frac{5}{6}} \\ \quad \sin 2\alpha &= \frac{\sqrt{5}}{3}\end{aligned}

מסעיף ב: cos⁡2α=23\cos 2\alpha = \frac{2}{3}

AO=RABD=k2cos⁡α\begin{aligned}AO &= R_{ABD} \\ &= \frac{k}{2\cos\alpha}\end{aligned}

OO על ציר הסימטריה ACAC של הדלתון

∠OAE=90∘\angle OAE = 90^\circ

AC⊥BDAC \perp BD (אלכסוני דלתון), ו־AE∥BDAE \parallel BD

∠DAE=90∘−α∠ADE=180∘−(90∘−α+2α)=90∘−α\begin{aligned}\angle DAE &= 90^\circ - \alpha \\ \quad \angle ADE &= 180^\circ - (90^\circ - \alpha + 2\alpha) \\ &= 90^\circ - \alpha\end{aligned}

∠ADC=∠ADB+∠BDC\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC, ו־∠ADE\angle ADE צמודה לה

AE=ADsin⁡∠ADEsin⁡∠AED=kcos⁡αsin⁡2α=k2sin⁡α\begin{aligned}AE &= \frac{AD\sin\angle ADE}{\sin\angle AED} \\ &= \frac{k\cos\alpha}{\sin 2\alpha} \\ &= \frac{k}{2\sin\alpha}\end{aligned}

משפט הסינוסים במשולש ADEADE, ש־∠AED=2α\angle AED = 2\alpha

SAOE=12⋅k2cos⁡α⋅k2sin⁡α=k24sin⁡2α=3k245\begin{aligned}S_{AOE} &= \frac{1}{2} \cdot \frac{k}{2\cos\alpha} \cdot \frac{k}{2\sin\alpha} \\ &= \frac{k^2}{4\sin 2\alpha} \\ &= \frac{3k^2}{4\sqrt{5}}\end{aligned}

משולש ישר זווית ב־AA

3k245=70⇒k2=28053≈208.70\begin{aligned}\frac{3k^2}{4\sqrt{5}} &= 70 \Rightarrow k^2 \\ &= \frac{280\sqrt{5}}{3} \approx 208.70\end{aligned}

k≈14.45k \approx 14.45.

Check the answer on elev — Exercise 25

שאלה 6 — פונקציית שורש עם פרמטר

Exercise 26

א. הביעו באמצעות kk את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

  1. Ax≤0x \le 0 או x≥k5x \ge \frac{k}{5}
  2. Bx<0x < 0 או x>k5x > \frac{k}{5}
  3. C0<x≤k50 < x \le \frac{k}{5}
  4. Dx<0x < 0 או x≥k5x \ge \frac{k}{5}
Show the answer and the solution

Answer: D x<0x < 0 או x≥k5x \ge \frac{k}{5}

Worked solution:

5x2−kx=x(5x−k)≥05x^2 - kx = x(5x - k) \ge 0

ביטוי מתחת לשורש: הפרבולה מתאפסת ב־00 וב־k5\frac{k}{5} וחיובית מחוץ להם, ולכן x≤0x \le 0 או x≥k5x \ge \frac{k}{5}

x3≠0⇒x≠0x^3 \ne 0 \Rightarrow x \ne 0

המכנה

תחום ההגדרה: x<0x < 0 או x≥k5x \ge \frac{k}{5}.

Check the answer on elev — Exercise 26

Exercise 27

נתונה הפונקציה h(x)=−f(x)h(x) = -f(x). שיעור ה־xx של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם גרף הפונקציה h(x)h(x) הוא 1.61.6. ב. מצאו את הערך של kk.

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

f(x)=−f(x)⇒f(x)=0\begin{aligned}f(x) &= -f(x) \Rightarrow f(x) \\ &= 0\end{aligned}
5x2−kx=0⇒x=k5\begin{aligned}\sqrt{5x^2 - kx} &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{k}{5}\end{aligned}

x=0x = 0 מחוץ לתחום ההגדרה

k5=1.6⇒k=8\begin{aligned}\frac{k}{5} &= 1.6 \Rightarrow k \\ &= 8\end{aligned}

k=8k = 8.

Check the answer on elev — Exercise 27

Exercise 28

הציבו k=8k = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. ג (1). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x)f(x). (אסימפטוטה אנכית ואסימפטוטה אופקית.)

x=x = ____ , y=y = ____

Show the answer and the solution

Answer: x=x = 0 , y=y = 0

Worked solution:

f(x)=5x2−8xx3f(x) = \frac{\sqrt{5x^2 - 8x}}{x^3}

תחום ההגדרה: x<0x < 0 או x≥1.6x \ge 1.6

lim⁡x→0−f(x)=−∞\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty

כאשר x→0−x \to 0^-: המונה ≈8∣x∣\approx \sqrt{8|x|}, והמכנה x3x^3 שלילי וקטן ממנו בהרבה

lim⁡x→±∞f(x)=lim⁡x→±∞5⋅∣x∣x3=0\begin{aligned}\lim_{x \to \pm\infty} f(x) &= \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\sqrt{5} \cdot |x|}{x^3} \\ &= 0\end{aligned}

המעלה במכנה גבוהה

אסימפטוטה אנכית x=0x = 0, ואסימפטוטה אופקית y=0y = 0.

Check the answer on elev — Exercise 28

Exercise 29

הציבו k=8k = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. ג (2). מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

מקסימום: (( ____ ,, ____ )) ; מינימום (נקודת קצה): (( ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: מקסימום: (( 2 ,, 0.25 )) ; מינימום (נקודת קצה): (( 1.6 ,, 0 ))

Worked solution:

f′(x)=10x−825x2−8x⋅x3−3x25x2−8xx6=−10x(x−2)x45x2−8x\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\frac{10x - 8}{2\sqrt{5x^2 - 8x}} \cdot x^3 - 3x^2\sqrt{5x^2 - 8x}}{x^6} \\ &= \frac{-10x(x - 2)}{x^4\sqrt{5x^2 - 8x}}\end{aligned}

נגזרת של מנה

f′(x)=0⇒x=2\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

x=0x = 0 מחוץ לתחום

1.6<x<2:f′(x)>0,x>2:f′(x)<0,x<0:f′(x)<01.6 < x < 2: f'(x) > 0, \quad x > 2: f'(x) < 0, \quad x < 0: f'(x) < 0

סימן המונה −10x(x−2)-10x(x - 2); המכנה חיובי

f(2)=48=14f(1.6)=0\begin{aligned}f(2) &= \frac{\sqrt{4}}{8} \\ &= \frac{1}{4} \\ \quad f(1.6) &= 0\end{aligned}

מקסימום (2,14)\left(2, \frac{1}{4}\right), ומינימום בקצה התחום (1.6,0)(1.6, 0). בענף השמאלי (x<0x < 0) הפונקציה יורדת, ואין בו נקודת קיצון.

Check the answer on elev — Exercise 29

Exercise 30

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

הציבו k=8k = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. ג (3). סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x). בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

  1. Aגרף IV
  2. Bגרף III
  3. Cגרף II
  4. Dגרף I
Show the answer and the solution

Answer: C גרף II

Worked solution:

x<0:f(x)<0x < 0: \quad f(x) < 0

מונה חיובי ומכנה שלילי: הענף השמאלי מתחת לציר ה־xx

x→−∞:f(x)→0,x→0−:f(x)→−∞x \to -\infty: f(x) \to 0, \quad x \to 0^-: f(x) \to -\infty

הענף השמאלי יורד מ־y=0y = 0 אל האסימפטוטה x=0x = 0

(1.6,0)↗(2,14)↘0(1.6, 0) \nearrow \left(2, \tfrac{1}{4}\right) \searrow 0

הענף הימני, מסעיף ג (2)

גרף II. גרף I הוא −f(x)-f(x), בגרף III הענף השמאלי מעל ציר ה־xx, וגרף IV הוא השיקוף של גרף ff סביב ציר ה־yy.

Check the answer on elev — Exercise 30

Exercise 31

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

הציבו k=8k = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. נתונה הפונקציה g(x)=(f(x))2g(x) = (f(x))^2 שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x). ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x). בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

  1. Aגרף IV
  2. Bגרף I
  3. Cגרף III
  4. Dגרף II
Show the answer and the solution

Answer: B גרף I

Worked solution:

g(x)=(f(x))2≥0g(x) = (f(x))^2 \ge 0

הגרף אינו יורד מתחת לציר ה־xx

x→0−:g(x)→+∞,x→±∞:g(x)→0x \to 0^-: g(x) \to +\infty, \quad x \to \pm\infty: g(x) \to 0

אותן אסימפטוטות כמו ל־ff

g′(x)=2f(x)f′(x)g'(x) = 2f(x)f'(x)

בענף השמאלי f<0f < 0 ו־f′<0f' < 0, ולכן g′>0g' > 0: gg עולה

(1.6,0)↗(2,116)↘0(1.6, 0) \nearrow \left(2, \tfrac{1}{16}\right) \searrow 0

בענף הימני f≥0f \ge 0, ולכן לסימן של g′g' סימן f′f'

גרף I. גרף II הוא −g(x)-g(x), בגרף III המקסימום הוא 14\frac{1}{4} ולא 116\frac{1}{16}, וגרף IV הוא השיקוף של גרף gg סביב ציר ה־yy.

Check the answer on elev — Exercise 31

Exercise 32

הציבו k=8k = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. נתונה הפונקציה g(x)=(f(x))2g(x) = (f(x))^2 שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x). aa הוא פרמטר גדול מ־22. ה. האם ערך הביטוי ∫aa+1g(x) dx\int_a^{a+1} g(x)\,dx שווה, גדול או קטן בהשוואה לערך הביטוי ∫aa+1f(x) dx\int_a^{a+1} f(x)\,dx? נמקו את תשובתכם.

  1. Aגדול
  2. Bקטן
  3. Cשווה
Show the answer and the solution

Answer: B קטן

Worked solution:

x>2:0<f(x)≤14<1x > 2: \quad 0 < f(x) \le \frac{1}{4} < 1

מסעיף ג (2): המקסימום של ff הוא 14\frac{1}{4}, ומימין ל־x=1.6x = 1.6 הפונקציה חיובית

g(x)=f(x)⋅f(x)<f(x)g(x) = f(x) \cdot f(x) < f(x)

מספר בין 00 ל־11 קטן מעצמו כשמעלים אותו בריבוע

∫aa+1g(x) dx<∫aa+1f(x) dx\int_a^{a+1} g(x)\,dx < \int_a^{a+1} f(x)\,dx

אותו קטע, ו־g<fg < f בכל הקטע

ערך הביטוי ∫aa+1g(x) dx\int_a^{a+1} g(x)\,dx קטן מערך הביטוי ∫aa+1f(x) dx\int_a^{a+1} f(x)\,dx.

Check the answer on elev — Exercise 32

Exercise 33

הציבו k=8k = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. נתונה הפונקציה g(x)=(f(x))2g(x) = (f(x))^2 שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x). ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x)g(x), על ידי ציר ה־xx ועל ידי הישרים x=2x = 2 ו־x=6x = 6.

Show the answer and the solution

Answer: 0.0772

Worked solution:

S=∫265x2−8xx6 dx=∫26(5x−4−8x−5)dx\begin{aligned}S &= \int_2^6 \frac{5x^2 - 8x}{x^6}\,dx \\ &= \int_2^6 \left(5x^{-4} - 8x^{-5}\right)dx\end{aligned}

g(x)≥0g(x) \ge 0 בקטע: השטח הוא האינטגרל

=[−53x3+2x4]26= \left[-\frac{5}{3x^3} + \frac{2}{x^4}\right]_2^6

פונקציה קדומה

=(−5648+21296)−(−524+216)=−1162+112= \left(-\frac{5}{648} + \frac{2}{1296}\right) - \left(-\frac{5}{24} + \frac{2}{16}\right) = -\frac{1}{162} + \frac{1}{12}
=25324≈0.0772= \frac{25}{324} \approx 0.0772

השטח הוא 25324≈0.077\frac{25}{324} \approx 0.077.

Check the answer on elev — Exercise 33

שאלה 7 — פונקציה טריגונומטרית

Exercise 34

א. הוכיחו כי הפונקציה f(x)f(x) היא זוגית.

  • f(x)=(sin⁡x)2+cos⁡x−1f(x) = (\sin x)^2 + \cos x - 1
  • התחום −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi סימטרי סביב 00

f(x)f(x) פונקציה זוגית

Show the answer and the solution
  1. sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x) = -\sin x — הסינוס פונקציה אי־זוגית
  2. cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x) = \cos x — הקוסינוס פונקציה זוגית
  3. f(−x)=(−sin⁡x)2+cos⁡x−1=(sin⁡x)2+cos⁡x−1f(-x) = (-\sin x)^2 + \cos x - 1 = (\sin x)^2 + \cos x - 1 — מציבים −x-x בפונקציה
  4. f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) לכל xx בתחום — זו הגדרת פונקציה זוגית; התחום סימטרי, ולכן −x-x בתחום לכל xx בתחום

Worked solution:

f(−x)=(sin⁡(−x))2+cos⁡(−x)−1=(−sin⁡x)2+cos⁡x−1\begin{aligned}f(-x) &= (\sin(-x))^2 + \cos(-x) - 1 \\ &= (-\sin x)^2 + \cos x - 1\end{aligned}
=(sin⁡x)2+cos⁡x−1=f(x)= (\sin x)^2 + \cos x - 1 = f(x)

f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) בכל התחום הסימטרי, ולכן f(x)f(x) זוגית.

Check the answer on elev — Exercise 34

Exercise 35

ב (1). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם ציר ה־xx. (יש לכתוב משמאל לימין, כמספרים עשרוניים.)

(( ____ ,0), 0) , (( ____ ,0), 0) , (( ____ ,0), 0)

Show the answer and the solution

Answer: (( -1.5708 ,0), 0) , (( 0 ,0), 0) , (( 1.5708 ,0), 0)

Worked solution:

(sin⁡x)2=1−(cos⁡x)2(\sin x)^2 = 1 - (\cos x)^2
f(x)=cos⁡x−(cos⁡x)2=cos⁡x(1−cos⁡x)\begin{aligned}f(x) &= \cos x - (\cos x)^2 \\ &= \cos x(1 - \cos x)\end{aligned}
cos⁡x=0⇒x=±π2\begin{aligned}\cos x &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm\frac{\pi}{2}\end{aligned}

בתחום −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi

cos⁡x=1⇒x=0\begin{aligned}\cos x &= 1 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

(−π2,0)\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right), (0,0)(0, 0) ו־(π2,0)\left(\frac{\pi}{2}, 0\right), כלומר x≈−1.571x \approx -1.571, 00, 1.5711.571.

Check the answer on elev — Exercise 35

Exercise 36

ב (2). מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגן. (יש לכתוב כמספרים עשרוניים.)

מקסימום: (±(\pm ____ ,, ____ )) ; מינימום: (( ____ ,, ____ )) ו־(±(\pm ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: מקסימום: (±(\pm 1.0472 ,, 0.25 )) ; מינימום: (( 0 ,, 0 )) ו־(±(\pm 3.1416 ,, -2 ))

Worked solution:

f′(x)=2sin⁡xcos⁡x−sin⁡x=sin⁡x(2cos⁡x−1)\begin{aligned}f'(x) &= 2\sin x\cos x - \sin x \\ &= \sin x(2\cos x - 1)\end{aligned}
sin⁡x=0⇒x=0±π;cos⁡x=12⇒x=±π3\begin{aligned}\sin x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \pm\pi; \quad \cos x &= \frac{1}{2} \Rightarrow x \\ &= \pm\frac{\pi}{3}\end{aligned}
0<x<π3:f′(x)>0,π3<x<π:f′(x)<00 < x < \frac{\pi}{3}: f'(x) > 0, \quad \frac{\pi}{3} < x < \pi: f'(x) < 0

בצד השמאלי ההפך, כי ff זוגית

f(±π3)=34+12−1=14f(0)=0f(±π)=−2\begin{aligned}f\left(\pm\frac{\pi}{3}\right) &= \frac{3}{4} + \frac{1}{2} - 1 \\ &= \frac{1}{4} \\ \quad f(0) &= 0 \\ \quad f(\pm\pi) &= -2\end{aligned}

מקסימום (±π3,14)\left(\pm\frac{\pi}{3}, \frac{1}{4}\right); מינימום (0,0)(0, 0), ומינימום בקצות התחום (±π,−2)(\pm\pi, -2).

Check the answer on elev — Exercise 36

Exercise 37

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x). בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

  1. Aגרף IV
  2. Bגרף II
  3. Cגרף I
  4. Dגרף III
Show the answer and the solution

Answer: D גרף III

Worked solution:

(−π,−2)↗(−π3,14)↘(0,0)↗(π3,14)↘(π,−2)(-\pi, -2) \nearrow \left(-\tfrac{\pi}{3}, \tfrac{1}{4}\right) \searrow (0, 0) \nearrow \left(\tfrac{\pi}{3}, \tfrac{1}{4}\right) \searrow (\pi, -2)

מסעיף ב

f(±π2)=0f\left(\pm\frac{\pi}{2}\right) = 0

הגרף נוגע בציר ה־xx ב־00 וחותך אותו ב־±π2\pm\frac{\pi}{2}

גרף III. בגרף II אין שתי נקודות מקסימום, וגרפים I ו־IV מגיעים ל־−2-2 דווקא ב־x=0x = 0.

Check the answer on elev — Exercise 37

Exercise 38

נתונה הפונקציה g(x)=1f(x)+bg(x) = \frac{1}{f(x) + b},‏ bb הוא פרמטר. נתון כי לפונקציה g(x)g(x) יש בדיוק שתי אסימפטוטות אנכיות. ד. כתבו שני ערכים אפשריים של bb, שאחד מהם חיובי והאחר שלילי. ד (1). מהו הערך השלילי האפשרי של bb?

Show the answer and the solution

Answer: -0.25

Worked solution:

f(x)+b=0⇔f(x)=−b\begin{aligned}f(x) + b &= 0 \Leftrightarrow f(x) \\ &= -b\end{aligned}

אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס, והמונה הוא 11

−2≤f(x)≤14-2 \le f(x) \le \frac{1}{4}

הישר y=−by = -b פוגש את גרף ff בשתי נקודות בדיוק כאשר −b=14-b = \frac{1}{4} (בשתי נקודות המקסימום) או כאשר −2<−b<0-2 < -b < 0 (פעם אחת בכל ענף יורד); כאשר 0≤−b<140 \le -b < \frac{1}{4} הוא פוגש אותו שלוש או ארבע פעמים, וכאשר −b>14-b > \frac{1}{4} או −b<−2-b < -2 אף לא פעם אחת

b<0⇒−b>0⇒−b=14b < 0 \Rightarrow -b > 0 \Rightarrow -b = \frac{1}{4}

הערך השלילי הוא b=−14=−0.25b = -\frac{1}{4} = -0.25. אז f(x)−14=−(cos⁡x−12)2f(x) - \frac{1}{4} = -\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^2 מתאפס רק ב־x=±π3x = \pm\frac{\pi}{3}.

Check the answer on elev — Exercise 38

Exercise 39

נתונה הפונקציה g(x)=1f(x)+bg(x) = \frac{1}{f(x) + b},‏ bb הוא פרמטר. נתון כי לפונקציה g(x)g(x) יש בדיוק שתי אסימפטוטות אנכיות. ד. כתבו שני ערכים אפשריים של bb, שאחד מהם חיובי והאחר שלילי. ד (2). איזה מן הערכים האלה הוא ערך חיובי אפשרי של bb?

  1. Ab=3b = 3
  2. Bb=1b = 1
  3. Cb=4b = 4
  4. Db=52b = \frac{5}{2}
Show the answer and the solution

Answer: B b=1b = 1

Worked solution:

b=1:f(x)=−1\begin{aligned}b &= 1: \quad f(x) \\ &= -1\end{aligned}

הישר y=−by = -b פוגש את גרף ff בשתי נקודות בדיוק כאשר −b=14-b = \frac{1}{4} (בשתי נקודות המקסימום) או כאשר −2<−b<0-2 < -b < 0 (פעם אחת בכל ענף יורד); כאשר 0≤−b<140 \le -b < \frac{1}{4} הוא פוגש אותו שלוש או ארבע פעמים, וכאשר −b>14-b > \frac{1}{4} או −b<−2-b < -2 אף לא פעם אחת

−2<−1<0-2 < -1 < 0

הישר y=−1y = -1 חותך את גרף ff פעם אחת בכל ענף יורד: שתי אסימפטוטות אנכיות

b>2⇒−b<−2b > 2 \Rightarrow -b < -2

הישר y=−by = -b מתחת לגרף כולו: אין אסימפטוטה אנכית

b=1b = 1. כל bb חיובי שקטן מ־22 מתאים; 52\frac{5}{2}, 33 ו־44 גדולים מ־22.

Check the answer on elev — Exercise 39

Exercise 40

נתונה הפונקציה g(x)=1f(x)+bg(x) = \frac{1}{f(x) + b},‏ bb הוא פרמטר. הציבו בפונקציה g(x)g(x) את הערך השלילי של bb שמצאתם, וענו על הסעיפים ה–ו. ה (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)g(x).

  1. A−π≤x≤π-\pi \le x \le \pi, x≠±π3x \ne \pm\frac{\pi}{3}
  2. B−π<x<π-\pi < x < \pi, x≠±π3x \ne \pm\frac{\pi}{3}
  3. C−π≤x≤π-\pi \le x \le \pi, x≠±2π3x \ne \pm\frac{2\pi}{3}
  4. D−π≤x≤π-\pi \le x \le \pi, x≠0x \ne 0, x≠±π2x \ne \pm\frac{\pi}{2}
Show the answer and the solution

Answer: A −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi, x≠±π3x \ne \pm\frac{\pi}{3}

Worked solution:

g(x)=1f(x)−14=−1(cos⁡x−12)2\begin{aligned}g(x) &= \frac{1}{f(x) - \frac{1}{4}} \\ &= \frac{-1}{\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^2}\end{aligned}

f(x)−14=−(cos⁡x)2+cos⁡x−14=−(cos⁡x−12)2f(x) - \frac{1}{4} = -(\cos x)^2 + \cos x - \frac{1}{4} = -\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^2

cos⁡x=12⇒x=±π3\begin{aligned}\cos x &= \frac{1}{2} \Rightarrow x \\ &= \pm\frac{\pi}{3}\end{aligned}

המכנה מתאפס רק שם

תחום ההגדרה: −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi, פרט ל־x=±π3x = \pm\frac{\pi}{3}. בקצוות ±π\pm\pi הפונקציה מוגדרת: g(±π)=−49g(\pm\pi) = -\frac{4}{9}.

Check the answer on elev — Exercise 40

Exercise 41

נתונה הפונקציה g(x)=1f(x)+bg(x) = \frac{1}{f(x) + b},‏ bb הוא פרמטר. הציבו בפונקציה g(x)g(x) את הערך השלילי של bb שמצאתם, וענו על הסעיפים ה–ו. ה (2). מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה g(x)g(x). (יש לכתוב כמספרים עשרוניים.)

(( ____ ,, ____ )) ו־(±(\pm ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: (( 0 ,, -4 )) ו־(±(\pm 3.1416 ,, -0.4444 ))

Worked solution:

g(x)=1f(x)−14=−1(cos⁡x−12)2\begin{aligned}g(x) &= \frac{1}{f(x) - \frac{1}{4}} \\ &= \frac{-1}{\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^2}\end{aligned}

f(x)−14=−(cos⁡x)2+cos⁡x−14=−(cos⁡x−12)2f(x) - \frac{1}{4} = -(\cos x)^2 + \cos x - \frac{1}{4} = -\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^2

g′(x)=−2sin⁡x(cos⁡x−12)3g'(x) = \frac{-2\sin x}{\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^3}

גוזרים −(cos⁡x−12)−2-\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^{-2}

g′(x)=0⇒sin⁡x=0⇒x=0±π\begin{aligned}g'(x) &= 0 \Rightarrow \sin x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \pm\pi\end{aligned}
g(0)=−1(12)2=−4g(±π)=−1(−32)2=−49\begin{aligned}g(0) &= \frac{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} \\ &= -4 \\ \quad g(\pm\pi) &= \frac{-1}{\left(-\frac{3}{2}\right)^2} \\ &= -\frac{4}{9}\end{aligned}

נקודות הקיצון: (0,−4)(0, -4) ו־(±π,−49)\left(\pm\pi, -\frac{4}{9}\right), כלומר y≈−0.444y \approx -0.444 בקצוות.

Check the answer on elev — Exercise 41

Exercise 42

נתונה הפונקציה g(x)=1f(x)+bg(x) = \frac{1}{f(x) + b},‏ bb הוא פרמטר. הציבו בפונקציה g(x)g(x) את הערך השלילי של bb שמצאתם, וענו על הסעיפים ה–ו. ה (2). מה סוג נקודות הקיצון (0,−4)(0, -4) ו־(±π,−49)\left(\pm\pi, -\frac{4}{9}\right) של הפונקציה g(x)g(x)?

  1. A(0,−4)(0, -4) מינימום, ו־(±π,−49)\left(\pm\pi, -\frac{4}{9}\right) מקסימום
  2. Bשלוש הנקודות הן נקודות מינימום
  3. Cשלוש הנקודות הן נקודות מקסימום
  4. D(0,−4)(0, -4) מקסימום, ו־(±π,−49)\left(\pm\pi, -\frac{4}{9}\right) מינימום
Show the answer and the solution

Answer: C שלוש הנקודות הן נקודות מקסימום

Worked solution:

g′(x)=−2sin⁡x(cos⁡x−12)3g'(x) = \frac{-2\sin x}{\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^3}

גוזרים −(cos⁡x−12)−2-\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^{-2}

−π3<x<0:g′(x)>0,0<x<π3:g′(x)<0-\frac{\pi}{3} < x < 0: g'(x) > 0, \quad 0 < x < \frac{\pi}{3}: g'(x) < 0

cos⁡x−12>0\cos x - \frac{1}{2} > 0: הסימן הפוך לסימן של sin⁡x\sin x; ב־x=0x = 0 מקסימום

π3<x<π:g′(x)>0\frac{\pi}{3} < x < \pi: g'(x) > 0

cos⁡x−12<0\cos x - \frac{1}{2} < 0 ו־sin⁡x>0\sin x > 0: gg עולה עד הקצה x=πx = \pi, מקסימום קצה

−π<x<−π3:g′(x)<0-\pi < x < -\frac{\pi}{3}: g'(x) < 0

gg יורדת מן הקצה x=−πx = -\pi: מקסימום קצה

שלוש הנקודות הן נקודות מקסימום. לפונקציה אין מינימום: ליד x=±π3x = \pm\frac{\pi}{3} היא שואפת ל־−∞-\infty.

Check the answer on elev — Exercise 42

Exercise 43

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

נתונה הפונקציה g(x)=1f(x)+bg(x) = \frac{1}{f(x) + b},‏ bb הוא פרמטר. הציבו בפונקציה g(x)g(x) את הערך השלילי של bb שמצאתם, וענו על הסעיפים ה–ו. ו. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x). בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

  1. Aגרף I
  2. Bגרף II
  3. Cגרף IV
  4. Dגרף III
Show the answer and the solution

Answer: B גרף II

Worked solution:

g(x)=−1(cos⁡x−12)2<0g(x) = \frac{-1}{\left(\cos x - \frac{1}{2}\right)^2} < 0

כל הגרף מתחת לציר ה־xx

x=±π3x = \pm\frac{\pi}{3}

האסימפטוטות האנכיות; לידן g→−∞g \to -\infty משני הצדדים

g(0)=−4<−49=g(±π)\begin{aligned}g(0) &= -4 < -\frac{4}{9} \\ &= g(\pm\pi)\end{aligned}

המקסימום של הענף האמצעי נמוך מן הערכים בקצוות

גרף II. בגרף I הענף האמצעי מעל ציר ה־xx, בגרף IV כל הגרף מעליו, ובגרף III האסימפטוטות רחוקות יותר מן הראשית והמקסימום האמצעי גבוה מן הקצוות.

Check the answer on elev — Exercise 43

שאלה 8 — נקודת פיתול ובעיית קיצון

Exercise 44

א. הביעו באמצעות kk את שיעורי הנקודה AA.

  1. AA(1k,8+2k2)A\left(\frac{1}{k}, 8 + \frac{2}{k^2}\right)
  2. BA(1k,8−4k2)A\left(\frac{1}{k}, 8 - \frac{4}{k^2}\right)
  3. CA(2k,16−4k2)A\left(\frac{2}{k}, 16 - \frac{4}{k^2}\right)
  4. DA(1k,8−2k2)A\left(\frac{1}{k}, 8 - \frac{2}{k^2}\right)
Show the answer and the solution

Answer: D A(1k,8−2k2)A\left(\frac{1}{k}, 8 - \frac{2}{k^2}\right)

Worked solution:

f′(x)=3kx2−6x+8kf′′(x)=6kx−6\begin{aligned}f'(x) &= 3kx^2 - 6x + 8k \\ \quad f''(x) &= 6kx - 6\end{aligned}
f′′(x)=0⇒x=1k\begin{aligned}f''(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{1}{k}\end{aligned}

f′′f'' ליניארית ומחליפה סימן ב־x=1kx = \frac{1}{k}

f(1k)=kk3−3k2+8=8−2k2\begin{aligned}f\left(\frac{1}{k}\right) &= \frac{k}{k^3} - \frac{3}{k^2} + 8 \\ &= 8 - \frac{2}{k^2}\end{aligned}

A(1k,8−2k2)A\left(\frac{1}{k}, 8 - \frac{2}{k^2}\right).

Check the answer on elev — Exercise 44

Exercise 45

נתון כי הנקודה AA נמצאת ברביע הראשון. ב. מצאו את תחום הערכים האפשרי של kk.

k>k > ____

Show the answer and the solution

Answer: k>k > 0.5

Worked solution:

1k>0⇒k>0\frac{1}{k} > 0 \Rightarrow k > 0

שיעור ה־xx חיובי

8−2k2>0⇒k2>148 - \frac{2}{k^2} > 0 \Rightarrow k^2 > \frac{1}{4}

שיעור ה־yy חיובי

k>12k > \frac{1}{2}

יחד עם k>0k > 0

k>12k > \frac{1}{2}.

Check the answer on elev — Exercise 45

Exercise 46

נתון כי הנקודה AA נמצאת ברביע הראשון. דרך הנקודה AA העבירו אנך לציר ה־xx החותך אותו בנקודה BB, ואנך לציר ה־yy החותך אותו בנקודה CC. נתון ריבוע I שאורך הצלע שלו שווה לאורך הקטע ABAB, וריבוע II שאורך הצלע שלו שווה לאורך הקטע ACAC. ג. מצאו את הערך של kk שבעבורו סכום שטחי הריבועים I ו־II הוא מינימלי (תוכלו להשאיר שורש בתשובתכם). (כאן יש לכתוב את התשובה כמספר עשרוני.)

Show the answer and the solution

Answer: 0.508

Worked solution:

AB=8−2k2AC=1k\begin{aligned}AB &= 8 - \frac{2}{k^2} \\ \quad AC &= \frac{1}{k}\end{aligned}

B(1k,0)B\left(\frac{1}{k}, 0\right) ו־C(0,8−2k2)C\left(0, 8 - \frac{2}{k^2}\right); AA ברביע הראשון

S(k)=(8−2k2)2+1k2k>12\begin{aligned}S(k) &= \left(8 - \frac{2}{k^2}\right)^2 + \frac{1}{k^2} \\ \quad k > \frac{1}{2}\end{aligned}
t=1k20<t<4:S=4t2−31t+64\begin{aligned}t &= \frac{1}{k^2} \\ \quad 0 < t < 4: \quad S &= 4t^2 - 31t + 64\end{aligned}

הצבה; tt יורד כאשר kk עולה

t=318t = \frac{31}{8}

קודקוד הפרבולה, בתוך הקטע 0<t<40 < t < 4; הפרבולה פתוחה כלפי מעלה: מינימום

k=831≈0.508k = \sqrt{\frac{8}{31}} \approx 0.508

בדיקה: 0.508>120.508 > \frac{1}{2}

k=831≈0.508k = \sqrt{\frac{8}{31}} \approx 0.508.

Check the answer on elev — Exercise 46

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade

This lesson is part of the subscription. A full chapter for free: Sequences