בגרות 35571 — קיץ 2026

On elev, this lesson comes with:

Every exercise checked the moment it is answered
A hint exactly when it is needed
Progress tracking, chapter by chapter

This lesson is part of the subscription. A full chapter for free: Sequences

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35571 (5 יחידות לימוד, שאלון ראשון, תוכנית חדשה), קיץ תשפ״ו, 2026. בשאלון המודפס: משך הבחינה שלוש שעות וארבעים וחמש דקות, ועונים על חמש מן השאלות 1–8, על שאלה אחת לפחות מן הפרק הראשון או השני ועל שאלה אחת לפחות מכל אחד מן הפרקים השלישי והרביעי (לכל שאלה – 20 נקודות). למועד קיץ תשפ״ו («שאגת הארי») עדכן משרד החינוך את ההנחיות: משך הבחינה ארבע שעות ועשרים דקות, עונים על חמש שאלות ללא הגבלת פרקים, לכל שאלה 22 נקודות, וסך הכול 100 נקודות לכל היותר. פרק ראשון – שאלות קצרות: שאלה 1. פרק שני – אינדוקצייה, סדרות והסתברות: שאלות 2–3. פרק שלישי – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור: שאלות 4–5. פרק רביעי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות טריגונומטריות: שאלות 6–8. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־5 יחידות לימוד.

כאן כתובות כל שמונה השאלות, ב־42 סעיפים, כדי שאפשר יהיה להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים חמש, ובשאלה 1 עונים על שניים מארבעת הסעיפים. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר, להראות או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, וסעיף שמבקש ביטוי הפך להשלמת מקדמים. הפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercises

שאלה 1 — שאלות קצרות

Exercise 1

א. הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $\frac{1^2}{1 \cdot 3} + \frac{2^2}{3 \cdot 5} + \ldots + \frac{n^2}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{n(n + 1)}{2(2n + 1)}$

$n$ מספר טבעי

$\frac{1^2}{1 \cdot 3} + \frac{2^2}{3 \cdot 5} + \ldots + \frac{n^2}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{n(n + 1)}{2(2n + 1)}$

Show the answer and the solution

$\frac{1^2}{1 \cdot 3} = \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3}$ — בדיקה עבור $n = 1$
$\frac{1^2}{1 \cdot 3} + \ldots + \frac{k^2}{(2k - 1)(2k + 1)} = \frac{k(k + 1)}{2(2k + 1)}$ — הנחת האינדוקציה
$\frac{1^2}{1 \cdot 3} + \ldots + \frac{(k + 1)^2}{(2k + 1)(2k + 3)} = \frac{k(k + 1)}{2(2k + 1)} + \frac{(k + 1)^2}{(2k + 1)(2k + 3)}$ — מוסיפים את האיבר ה־ $(k+1)$ ומציבים את הנחת האינדוקציה
$\frac{k(k + 1)}{2(2k + 1)} + \frac{(k + 1)^2}{(2k + 1)(2k + 3)} = \frac{(k + 1)\left(k(2k + 3) + 2(k + 1)\right)}{2(2k + 1)(2k + 3)}$ — מכנה משותף $2(2k + 1)(2k + 3)$ , והוצאת הגורם המשותף $k + 1$
$k(2k + 3) + 2(k + 1) = 2k^2 + 5k + 2 = (2k + 1)(k + 2)$ — פתיחת סוגריים ופירוק הטרינום לגורמים
$\frac{1^2}{1 \cdot 3} + \ldots + \frac{(k + 1)^2}{(2k + 1)(2k + 3)} = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2(2k + 3)}$ — מצמצמים ב־ $2k + 1$ ; זו הטענה עבור $n = k + 1$ , ועם הבדיקה עבור $n = 1$ היא נכונה לכל $n$ טבעי

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{1^2}{1 \cdot 3} &= \frac{1}{3} \\ &= \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3}\end{aligned}

הבדיקה עבור $n = 1$ : שני האגפים שווים

\frac{k(k + 1)}{2(2k + 1)} + \frac{(k + 1)^2}{(2k + 1)(2k + 3)} = \frac{(k + 1)\left(2k^2 + 3k + 2k + 2\right)}{2(2k + 1)(2k + 3)}

הנחת האינדוקציה עבור $n = k$ , ועוד האיבר ה־ $(k+1)$ ; מכנה משותף

2k^2 + 5k + 2 = (2k + 1)(k + 2)

פירוק הטרינום

\frac{(k + 1)(2k + 1)(k + 2)}{2(2k + 1)(2k + 3)} = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2(2k + 3)}

זה אגף ימין של הטענה עבור $n = k + 1$ : $\frac{(k+1)\left((k+1) + 1\right)}{2\left(2(k+1) + 1\right)}$

הטענה נכונה עבור $n = 1$ , ומנכונותה עבור $n = k$ נובעת נכונותה עבור $n = k + 1$ ; לכן היא נכונה לכל $n$ טבעי.

Check the answer on elev — Exercise 1

Exercise 2

ב. ליונתן יש בספרייה שבחדרו ספרים משני סוגים: ספרי קומיקס וספרי עיון. $60\%$ מן הספרים הם ספרי קומיקס והשאר ספרי עיון. $70\%$ מן הספרים הם בעברית והשאר באנגלית. לפניכם שתי טענות I–II. קבעו בעבור כל אחת מהן אם היא נכונה או לא נכונה, ונמקו את קביעותיכם. I. ליונתן אין ספרי קומיקס בעברית.

Aאי אפשר לקבוע: הנתונים לא מספיקים כדי לדעת אם יש ספר כזה
Bלא נכונה: בדיוק $42\%$ מן הספרים הם קומיקס בעברית, כי $0.6 \cdot 0.7 = 0.42$
Cנכונה: ספרי הקומיקס והספרים בעברית הם שתי קבוצות נפרדות
Dלא נכונה: $60\% + 70\% > 100\%$ , ולכן לפחות $30\%$ הם קומיקס בעברית

Show the answer and the solution

Answer: D לא נכונה: $60\% + 70\% > 100\%$ , ולכן לפחות $30\%$ הם קומיקס בעברית

Worked solution:

P(K \cup H) = P(K) + P(H) - P(K \cap H) \le 1

$K$ : ספר קומיקס, $H$ : ספר בעברית. הסתברות של איחוד אינה גדולה מ־ $1$

P(K \cap H) \ge 0.6 + 0.7 - 1 = 0.3

לכן החיתוך אינו ריק

הטענה לא נכונה: לפחות $30\%$ מן הספרים הם ספרי קומיקס בעברית. אי אפשר לדעת שהחלק הוא בדיוק $42\%$ : זה נכון רק אם השפה אינה תלויה בסוג הספר, ואין נתון כזה.

Check the answer on elev — Exercise 2

Exercise 3

ב. ליונתן יש בספרייה שבחדרו ספרים משני סוגים: ספרי קומיקס וספרי עיון. $60\%$ מן הספרים הם ספרי קומיקס והשאר ספרי עיון. $70\%$ מן הספרים הם בעברית והשאר באנגלית. לפניכם שתי טענות I–II. קבעו בעבור כל אחת מהן אם היא נכונה או לא נכונה, ונמקו את קביעותיכם. II. ההסתברות לבחור באקראי ספר בעברית מבין ספרי הקומיקס גדולה מן ההסתברות לבחור באקראי ספר קומיקס מבין הספרים שבעברית.

Aלא נכונה: שתי ההסתברויות שוות, כי שתיהן סופרות את אותם ספרי הקומיקס בעברית
Bלא נכונה: ההסתברות השנייה גדולה יותר, כי יש יותר ספרים בעברית מספרי קומיקס
Cנכונה: לשתיהן אותו מונה $p > 0$ , ומכנה הראשונה $0.6$ קטן ממכנה השנייה $0.7$
Dאי אפשר לקבוע: לא ידוע איזה חלק מן הספרים הוא ספרי קומיקס בעברית

Show the answer and the solution

Answer: C נכונה: לשתיהן אותו מונה $p > 0$ , ומכנה הראשונה $0.6$ קטן ממכנה השנייה $0.7$

Worked solution:

p = P(K \cap H) \ge 0.3 > 0

מן הסעיף הקודם: יש ספרי קומיקס בעברית

\begin{aligned}P(H \mid K) &= \frac{p}{0.6} \\ \quad P(K \mid H) &= \frac{p}{0.7}\end{aligned}

הסתברות מותנית

\frac{p}{0.6} > \frac{p}{0.7}

אותו מונה חיובי, ומכנה קטן יותר נותן שבר גדול יותר

הטענה נכונה, ואין צורך לדעת את $p$ : מספיק ש־ $p > 0$ . היחס בין שתי ההסתברויות הוא תמיד $\frac{0.7}{0.6} = \frac{7}{6}$ .

Check the answer on elev — Exercise 3

Exercise 4

ג. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אחת בלבד, שמשוואתה $y = 0$ , ונקודת חיתוך אחת בלבד עם ציר ה־ $x$ , ששיעוריה הם $(12, 0)$ . שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ מוצגים בסרטוט. $a$ הוא פרמטר גדול מ־ $1$ . נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1}{\left(f(x)\right)^2}$ . (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ .

$x \neq$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x \neq$ 12

Worked solution:

\left(f(x)\right)^2 \neq 0 \iff f(x) \neq 0

$f(x)$ מוגדרת לכל $x$ ; צריך רק שהמכנה לא יתאפס

\begin{aligned}f(x) &= 0 \iff x \\ &= 12\end{aligned}

לגרף של $f(x)$ נקודת חיתוך אחת בלבד עם ציר ה־ $x$

תחום ההגדרה של $g(x)$ : $x \neq 12$ .

Check the answer on elev — Exercise 4

Exercise 5

גרף הפונקציה

f(x)

, ומתחתיו הגרפים I–IV

ג. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אחת בלבד, שמשוואתה $y = 0$ , ונקודת חיתוך אחת בלבד עם ציר ה־ $x$ , ששיעוריה הם $(12, 0)$ . שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ מוצגים בסרטוט. $a$ הוא פרמטר גדול מ־ $1$ . נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1}{\left(f(x)\right)^2}$ . (2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף II
Bגרף I
Cגרף IV
Dגרף III

Show the answer and the solution

Answer: B גרף I

Worked solution:

g(x) = \frac{1}{\left(f(x)\right)^2} > 0

הגרף כולו מעל ציר ה־ $x$

x \to 12: \ f(x) \to 0 \Rightarrow g(x) \to +\infty; \quad x \to \pm\infty: \ g(x) \to +\infty

אסימפטוטה אנכית $x = 12$ , ואין אסימפטוטה אופקית: $f(x) \to 0$ בשני הכיוונים

g'(x) = \frac{-2f'(x)}{\left(f(x)\right)^3}

נגזרת של מנה, וכלל השרשרת

(6, \tfrac{1}{a^2}), \quad \left(18, \tfrac{1}{4a^2}\right)

נקודות המינימום של $g$ : שם $\left|f(x)\right|$ מקסימלי, $a$ ו־ $2a$

גרף I: יורד מ־ $+\infty$ אל מינימום ב־ $x = 6$ , עולה אל האסימפטוטה $x = 12$ , יורד ממנה אל מינימום נמוך יותר ב־ $x = 18$ ( $\frac{1}{4a^2} < \frac{1}{a^2}$ ), ועולה שוב. בגרף II המינימום הנמוך הוא ב־ $x = 6$ , גרף III הוא $\frac{1}{f(x)}$ , שיורד מתחת לציר, וגרף IV הוא $\left(f(x)\right)^2$ .

Check the answer on elev — Exercise 5

Exercise 6

ג. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אחת בלבד, שמשוואתה $y = 0$ , ונקודת חיתוך אחת בלבד עם ציר ה־ $x$ , ששיעוריה הם $(12, 0)$ . שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ מוצגים בסרטוט. $a$ הוא פרמטר גדול מ־ $1$ . נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1}{\left(f(x)\right)^2}$ . נתון כי לישר $y = \frac{a}{27}$ ולגרף הפונקציה $g(x)$ יש בדיוק $3$ נקודות משותפות. (3) מצאו את הערך של $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x < 12: \ g \ge \frac{1}{a^2}; \quad x > 12: \ g \ge \frac{1}{4a^2}

שני הענפים של $g$ , כל אחד עם מינימום אחד ושתי עליות אל $+\infty$

c > \frac{1}{a^2}: \ 2 + 2 = 4

ישר אופקי $y = c$ גבוה משני המינימומים חותך כל ענף פעמיים

\begin{aligned}c &= \frac{1}{a^2}: \ 1 + 2 \\ &= 3\end{aligned}

הוא נוגע במינימום השמאלי וחותך את הענף הימני פעמיים, כי $\frac{1}{4a^2} < \frac{1}{a^2}$

\frac{1}{4a^2} < c < \frac{1}{a^2}: \ 0 + 2 = 2

רק את הענף הימני; ונמוך יותר — נקודה אחת או אף אחת

\begin{aligned}\frac{a}{27} &= \frac{1}{a^2} \Rightarrow a^3 \\ &= 27 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

$a > 1$

$a = 3$ : הישר $y = \frac{1}{9}$ נוגע במינימום $(6, \frac{1}{9})$ וחותך את הענף הימני פעמיים.

Check the answer on elev — Exercise 6

Exercise 7

ד. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x) = \frac{-30x^2}{(x^3 - 8)^2}$ , המוגדרת בתחום $x \neq 2$ . בסרטוט מוצגות כל נקודות הקיצון וכל נקודות החיתוך עם ציר ה־ $x$ של גרף הפונקציה $f(x)$ . $g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x) = f(x)$ . הפונקציה $g(x)$ מוגדרת בתחום $x \neq 2$ . נתון כי גרף הפונקציה $g(x)$ עובר דרך הנקודה $(0, 0.75)$ . (1) מצאו פונקציה $g(x)$ המקיימת תנאים אלה.

$g(x) =$ ____ $\cdot \frac{1}{x^3 - 8} +$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $g(x) =$ 10 $\cdot \frac{1}{x^3 - 8} +$ 2

Worked solution:

\begin{aligned}u &= x^3 - 8 \\ \quad du &= 3x^2\,dx\end{aligned}

הצבה: המונה הוא כמעט הנגזרת של $x^3 - 8$

\begin{aligned}\int \frac{-30x^2}{(x^3 - 8)^2}\,dx &= \int \frac{-10}{u^2}\,du \\ &= \frac{10}{u} + C \\ &= \frac{10}{x^3 - 8} + C\end{aligned}

\begin{aligned}g(0) &= \frac{10}{-8} + C \\ &= 0.75 \Rightarrow C \\ &= 2\end{aligned}

הגרף עובר דרך $(0, 0.75)$

$g(x) = \frac{10}{x^3 - 8} + 2$ . (הנקודה $(0, 0.75)$ קובעת את הקבוע רק בתחום $x < 2$ ; עם אותו קבוע גם בתחום $x > 2$ מקבלים את הפונקציה הזאת.)

Check the answer on elev — Exercise 7

Exercise 8

גרף הפונקציה

f(x)

, ומתחתיו הגרפים I–IV

ד. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x) = \frac{-30x^2}{(x^3 - 8)^2}$ , המוגדרת בתחום $x \neq 2$ . בסרטוט מוצגות כל נקודות הקיצון וכל נקודות החיתוך עם ציר ה־ $x$ של גרף הפונקציה $f(x)$ . $g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x) = f(x)$ . הפונקציה $g(x)$ מוגדרת בתחום $x \neq 2$ . נתון כי גרף הפונקציה $g(x)$ עובר דרך הנקודה $(0, 0.75)$ . (2) אחד מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר פונקציה $g(x)$ המקיימת תנאים אלה. קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

Aגרף III
Bגרף IV
Cגרף II
Dגרף I

Show the answer and the solution

Answer: D גרף I

Worked solution:

g'(x) = f(x) \le 0

הגרף של $f$ אינו עולה מעל ציר ה־ $x$ : $g$ יורדת בכל אחד משני תחומיה. בגרפים III ו־IV יש קטעים עולים

\begin{aligned}g'(0) &= f(0) \\ &= 0\end{aligned}

ב־ $(0, 0.75)$ למשיק של $g$ שיפוע $0$ : הגרף נעשה אופקי לרגע וממשיך לרדת

גרף I: יורד בשני הענפים, עם משיק אופקי ב־ $(0, 0.75)$ . גרף II יורד, אבל אין לו משיק אופקי ב־ $x = 0$ .

Check the answer on elev — Exercise 8

Did your child get it?

On elev, every exercise is checked the moment your child answers, and a hint comes right when they get stuck.

Practise on elev

שאלה 2 — סדרות הנדסיות

Exercise 9

א. הוכיחו כי הסדרה $c_n$ היא הנדסית, והביעו באמצעות $q$ את מנתה.

$a_{n+1} = a_n \cdot q$ לכל $n$ טבעי
$b_{n+1} = b_n \cdot 2q$ לכל $n$ טבעי
$c_n = a_n \cdot b_n$ לכל $n$ טבעי

$c_n$ סדרה הנדסית שמנתה $2q^2$

Show the answer and the solution

$c_{n+1} = a_{n+1} \cdot b_{n+1}$ — הגדרת הסדרה $c_n$ , עבור $n + 1$
$a_{n+1} \cdot b_{n+1} = a_n q \cdot b_n \cdot 2q = 2q^2 \cdot a_n b_n$ — המנות של הסדרות ההנדסיות $a_n$ ו־ $b_n$
$a_n \cdot b_n \neq 0$ — בסדרה הנדסית אין איבר ששווה ל־ $0$
$\frac{c_{n+1}}{c_n} = 2q^2$ — מחלקים ב־ $c_n = a_n b_n \neq 0$ ; המנה אינה תלויה ב־ $n$ , ולכן $c_n$ סדרה הנדסית שמנתה $2q^2$

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{c_{n+1}}{c_n} &= \frac{a_{n+1}}{a_n} \cdot \frac{b_{n+1}}{b_n} \\ &= q \cdot 2q \\ &= 2q^2\end{aligned}

המנה של כל סדרה, איבר חלקי האיבר שלפניו

היחס בין כל שני איברים סמוכים הוא הקבוע $2q^2$ , ולכן $c_n$ סדרה הנדסית שמנתה $2q^2$ .

Check the answer on elev — Exercise 9

Exercise 10

נתון: $c_2 = \frac{1}{8} \cdot (a_1)^2$ , $a_1 = b_1$ . ב. מצאו את הערך של $q$ .

Show the answer and the solution

Answer: 0.25

Worked solution:

\begin{aligned}c_2 &= c_1 \cdot 2q^2 \\ &= a_1 b_1 \cdot 2q^2 \\ &= 2q^2 (a_1)^2\end{aligned}

$c_1 = a_1 b_1$ ו־ $b_1 = a_1$

\begin{aligned}2q^2 (a_1)^2 &= \frac{1}{8}(a_1)^2 \Rightarrow q^2 \\ &= \frac{1}{16} \Rightarrow q \\ &= \pm\frac{1}{4}\end{aligned}

$a_1 \neq 0$

q = \frac{1}{4}

סדרה הנדסית עם מנה שלילית מחליפה סימן, ולכן אינה עולה

$q = \frac{1}{4} = 0.25$ .

Check the answer on elev — Exercise 10

Exercise 11

נתון: $c_2 = \frac{1}{8} \cdot (a_1)^2$ , $a_1 = b_1$ . ג (1). האם הערך של $a_1$ הוא חיובי או שלילי? נמקו את תשובתכם.

Aחיובי: סדרה עולה מתחילה תמיד באיבר חיובי
Bחיובי: $q > 0$ , ולכן כל איברי הסדרה חיוביים
Cשלילי: $0 < q < 1$ , והסדרה עולה רק אם $a_1 < 0$
Dשלילי: $q < 0$ , ולכן איברי הסדרה מחליפים סימן

Show the answer and the solution

Answer: C שלילי: $0 < q < 1$ , והסדרה עולה רק אם $a_1 < 0$

Worked solution:

\begin{aligned}a_{n+1} - a_n &= a_n\left(\frac{1}{4} - 1\right) \\ &= -\frac{3}{4}a_n\end{aligned}

$q = \frac{1}{4}$

a_{n+1} > a_n \iff a_n < 0

כל האיברים באותו סימן כמו $a_1$ , כי $q > 0$

$a_1$ שלילי: ב־ $0 < q < 1$ האיברים מתקרבים ל־ $0$ , והם עולים רק כשהם שליליים.

Check the answer on elev — Exercise 11

Exercise 12

נתון: $c_2 = \frac{1}{8} \cdot (a_1)^2$ , $a_1 = b_1$ . ג (2). האם הסדרה $c_n$ עולה או יורדת? נמקו את תשובתכם.

Aעולה: מכפלה של שתי סדרות עולות היא תמיד סדרה עולה
Bעולה: $c_1 = (a_1)^2 > 0$ והמנה $2q^2 = \frac{1}{8}$ חיובית
Cיורדת: $c_1 < 0$ כי $a_1$ שלילי, והמנה היא $\frac{1}{8}$
Dיורדת: $c_1 = (a_1)^2 > 0$ והמנה $\frac{1}{8}$ נמצאת בין $0$ ל־ $1$

Show the answer and the solution

Answer: D יורדת: $c_1 = (a_1)^2 > 0$ והמנה $\frac{1}{8}$ נמצאת בין $0$ ל־ $1$

Worked solution:

\begin{aligned}c_1 &= a_1 b_1 \\ &= (a_1)^2 > 0\end{aligned}

$b_1 = a_1$

\begin{aligned}2q^2 &= 2 \cdot \frac{1}{16} \\ &= \frac{1}{8}\end{aligned}

המנה מסעיף א

c_{n+1} = \frac{1}{8}c_n < c_n

כל האיברים חיוביים

הסדרה $c_n$ יורדת: איברים חיוביים שכל אחד מהם הוא שמינית מקודמו. מכפלה של שתי סדרות עולות ושליליות אינה סדרה עולה.

Check the answer on elev — Exercise 12

Exercise 13

נתון: $c_2 = \frac{1}{8} \cdot (a_1)^2$ , $a_1 = b_1$ . נסמן ב־ $S_1$ את סכום הסדרה $a_n$ , ב־ $S_2$ את סכום הסדרה $b_n$ וב־ $S_3$ את סכום הסדרה $c_n$ . נתון: $S_1 + S_2 + S_3 = 434$ . ד. מצאו את הערך של $a_1$ .

Show the answer and the solution

Answer: -21

Worked solution:

\begin{aligned}S_1 &= \frac{a_1}{1 - \frac{1}{4}} \\ &= \frac{4a_1}{3} \\ \quad S_2 &= \frac{a_1}{1 - \frac{1}{2}} \\ &= 2a_1 \\ \quad S_3 &= \frac{(a_1)^2}{1 - \frac{1}{8}} \\ &= \frac{8(a_1)^2}{7}\end{aligned}

סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת: $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{2}$ ו־ $\frac{1}{8}$ בין $-1$ ל־ $1$

\begin{aligned}\frac{8(a_1)^2}{7} + \frac{10a_1}{3} &= 434 \Rightarrow 12(a_1)^2 + 35a_1 - 4557 \\ &= 0\end{aligned}

כופלים ב־ $21$ ומחלקים ב־ $2$

\begin{aligned}a_1 &= \frac{-35 \pm 469}{24}: \quad a_1 \\ &= -21 \\ \quad a_1 &= \frac{217}{12}\end{aligned}

$\sqrt{35^2 + 4 \cdot 12 \cdot 4557} = \sqrt{219961} = 469$

$a_1 = -21$ : מסעיף ג, $a_1$ שלילי, ולכן הפתרון החיובי נפסל.

Check the answer on elev — Exercise 13

שאלה 3 — הסתברות: כדורים בשני שקים

Exercise 14

א. מצאו את הערך של $x$ .

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

P(R) = \frac{1}{2}\left(\frac{4}{10}\right)^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{x}{12}\right)^2

$R$ : שני כדורים רכים. נוסחת ההסתברות השלמה: כל שק בהסתברות $\frac{1}{2}$ , ושתי הוצאות בלתי תלויות

\begin{aligned}0.08 + \frac{x^2}{288} &= \frac{41}{200} \Rightarrow \frac{x^2}{288} \\ &= 0.125 \Rightarrow x^2 \\ &= 36\end{aligned}

x = 6

$x$ הוא מספר כדורים, $x > 0$

בשק ב׳ יש $6$ כדורים רכים ו־ $6$ כדורים קשים.

Check the answer on elev — Exercise 14

Exercise 15

ב. ידוע שגלית הוציאה שני כדורים מאותו הסוג. מהי ההסתברות שהיא הוציאה שני כדורים משק א׳?

Show the answer and the solution

Answer: 0.5098

Worked solution:

\begin{aligned}P(T \mid A) &= 0.4^2 + 0.6^2 \\ &= 0.52 \\ \quad P(T \mid B) &= 0.5^2 + 0.5^2 \\ &= 0.5\end{aligned}

$T$ : שני כדורים מאותו הסוג, שני רכים או שני קשים

\begin{aligned}P(T) &= \frac{1}{2} \cdot 0.52 + \frac{1}{2} \cdot 0.5 \\ &= 0.51\end{aligned}

\begin{aligned}P(A \mid T) &= \frac{0.26}{0.51} \\ &= \frac{26}{51} \approx 0.5098\end{aligned}

הסתברות מותנית

$\frac{26}{51} \approx 0.51$ .

Check the answer on elev — Exercise 15

Exercise 16

גלית מבצעת את התהליך המתואר לפניכם $4$ פעמים: היא בוחרת באקראי שק ומוציאה ממנו באקראי כדור אחד. לאחר מכן היא מחזירה את הכדור לשק ומוציאה באקראי כדור שני מאותו השק (הוצאה עם החזרה). ג. מהי ההסתברות שגלית הוציאה בדיוק בשתיים מן הפעמים רק כדורים קשים?

Show the answer and the solution

Answer: 0.2696

Worked solution:

\begin{aligned}p &= \frac{1}{2}\left(\frac{6}{10}\right)^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{6}{12}\right)^2 \\ &= 0.18 + 0.125 \\ &= 0.305\end{aligned}

ההסתברות להוציא שני כדורים קשים בפעם אחת

P = \binom{4}{2} \cdot 0.305^2 \cdot 0.695^2 \approx 0.2696

נוסחת ברנולי: $4$ פעמים בלתי תלויות

ההסתברות היא בערך $0.27$ .

Check the answer on elev — Exercise 16

Exercise 17

גלית מבצעת את התהליך המתואר לפניכם $4$ פעמים: היא בוחרת באקראי שק ומוציאה ממנו באקראי כדור אחד. לאחר מכן היא מחזירה את הכדור לשק ומוציאה באקראי כדור שני מאותו השק (הוצאה עם החזרה). ד. מהי ההסתברות שגלית הוציאה בשתיים מן הפעמים רק כדורים קשים ובשתיים מן הפעמים רק כדורים רכים? (יש לכתוב שלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.)

Show the answer and the solution

Answer: 0.023456

Worked solution:

\begin{aligned}p_1 &= 0.305 \\ \quad p_2 &= \frac{41}{200} \\ &= 0.205\end{aligned}

בכל פעם: $p_1$ להוציא שני קשים (סעיף ג), $p_2$ להוציא שני רכים (נתון)

\binom{4}{2} = 6

בוחרים את שתי הפעמים של הקשים; בשתי האחרות — רכים

P = 6 \cdot 0.305^2 \cdot 0.205^2 \approx 0.0235

ההסתברות היא בערך $0.023$ .

Check the answer on elev — Exercise 17

שאלה 4 — מעגל ודלתון

Exercise 18

א. הוכיחו כי $BC \parallel EK$ .

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$
$C$ על המעגל
$E$ על $BO$ , $K$ על $CO$
$OK = OE$

$BC \parallel EK$

Show the answer and the solution

$OB = OC$ — רדיוסים במעגל
$\frac{OE}{OB} = \frac{OK}{OC}$ — $OE = OK$ ו־ $OB = OC$
$\triangle OEK \sim \triangle OBC$ — משפט הדמיון צ״ז״צ: הזווית $\angle EOK = \angle BOC$ משותפת, והצלעות שלידה באותו יחס
$\angle OEK = \angle OBC$ — במשולשים דומים, הזוויות המתאימות שוות
$BC \parallel EK$ — זוויות מתאימות שוות בין הישרים $EK$ ו־ $BC$ והחותך $OB$

Worked solution:

\begin{aligned}OK &= OE \\ \quad OC &= OB\end{aligned}

נתון, ורדיוסים

\begin{aligned}\angle OEK &= \angle OKE \\ &= \frac{180^\circ - \angle BOC}{2} \\ &= \angle OBC \\ &= \angle OCB\end{aligned}

שני משולשים שווי שוקיים עם אותה זווית ראש

$\angle OEK = \angle OBC$ הן זוויות מתאימות, ולכן $BC \parallel EK$ .

Check the answer on elev — Exercise 18

Exercise 19

ב. הוכיחו כי $OM \parallel AC$ .

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$
$C$ על המעגל
$E$ על $BO$ , $K$ על $CO$
$MK = ME$ , $OK = OE$

$OM \parallel AC$

Show the answer and the solution

$\triangle OME \cong \triangle OMK$ — משפט החפיפה צ״צ״צ: $OE = OK$ , $ME = MK$ , והצלע $OM$ משותפת
$\angle MOB = \angle MOC$ — זוויות מתאימות במשולשים חופפים ( $E$ על $OB$ , $K$ על $OC$ )
$\angle MOC = \frac{1}{2}\angle BOC$ — $OM$ חוצה את $\angle BOC$
$\angle OAC = \angle OCA$ — $OA = OC$ (רדיוסים): במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
$\angle BOC = 2\angle OCA$ — זווית חיצונית למשולש $AOC$ שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
$\angle MOC = \angle OCA$ — מצרפים את שני השוויונים
$OM \parallel AC$ — זוויות מתחלפות שוות בין הישרים $OM$ ו־ $AC$ והחותך $OC$

Worked solution:

\begin{aligned}\triangle OME \cong \triangle OMK \Rightarrow \angle MOB &= \angle MOC \\ &= \frac{\angle BOC}{2}\end{aligned}

צ״צ״צ: האלכסון $OM$ של הדלתון חוצה את זווית הראש

\begin{aligned}\angle BOC &= \angle OAC + \angle OCA \\ &= 2\angle OCA\end{aligned}

זווית חיצונית למשולש שווה השוקיים $AOC$

\angle MOC = \angle OCA

$\angle MOC$ ו־ $\angle OCA$ הן זוויות מתחלפות שוות, ולכן $OM \parallel AC$ .

Check the answer on elev — Exercise 19

Exercise 20

נתון: $\frac{BC}{EK} = \frac{5}{3}$ . ג. מצאו את הערך של $\frac{OM}{AC}$ .

Show the answer and the solution

Answer: 1.5

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{OK}{OC} &= \frac{EK}{BC} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

הדמיון $\triangle OEK \sim \triangle OBC$ מסעיף א

\begin{aligned}OK &= \frac{3}{5}R \\ \quad KC &= \frac{2}{5}R\end{aligned}

$R$ רדיוס המעגל

\triangle KOM \sim \triangle KCA

ז״ז: זוויות קודקודיות ב־ $K$ , וזוויות מתחלפות כי $OM \parallel AC$ (סעיף ב)

\begin{aligned}\frac{OM}{AC} &= \frac{OK}{KC} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

$\frac{OM}{AC} = \frac{3}{2} = 1.5$ .

Check the answer on elev — Exercise 20

Exercise 21

נתון: $\frac{BC}{EK} = \frac{5}{3}$ . נסמן ב־ $S$ את שטח הדלתון $EMKO$ . ד. הביעו באמצעות $S$ את שטח המשולש $AOC$ . (יש לכתוב את המקדם כמספר עשרוני.)

$S_{AOC} =$ ____ $\cdot S$

Show the answer and the solution

Answer: $S_{AOC} =$ 0.5556 $\cdot S$

Worked solution:

S_{OKM} = \frac{S}{2}

האלכסון $OM$ מחלק את הדלתון לשני משולשים חופפים

\begin{aligned}S_{KCA} &= \left(\frac{2}{3}\right)^2 S_{KOM} \\ &= \frac{4}{9} \cdot \frac{S}{2} \\ &= \frac{2S}{9}\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון $\frac{KC}{OK} = \frac{2}{3}$

\begin{aligned}\frac{S_{AOK}}{S_{AKC}} &= \frac{OK}{KC} \\ &= \frac{3}{2} \Rightarrow S_{AOK} \\ &= \frac{3}{2} \cdot \frac{2S}{9} \\ &= \frac{S}{3}\end{aligned}

אותו גובה מ־ $A$ לישר $OC$

\begin{aligned}S_{AOC} &= \frac{S}{3} + \frac{2S}{9} \\ &= \frac{5S}{9}\end{aligned}

$S_{AOC} = \frac{5}{9}S \approx 0.556 \cdot S$ .

Check the answer on elev — Exercise 21

שאלה 5 — טרפז ומעגל חסום

Exercise 22

א. הראו כי $AC = 2k \cdot \cos\alpha$ .

$AB = BC = k$
$\angle ACB = \alpha$

$AC = 2k \cdot \cos\alpha$

Show the answer and the solution

$\angle BAC = \angle BCA = \alpha$ — במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = BC$ ), זוויות הבסיס שוות
$\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha$ — סכום הזוויות במשולש הוא $180^\circ$
$\frac{AC}{\sin(180^\circ - 2\alpha)} = \frac{k}{\sin\alpha}$ — משפט הסינוסים במשולש $ABC$ : $AC$ מול $\angle ABC$ , $BC = k$ מול $\angle BAC$
$AC = \frac{k \sin 2\alpha}{\sin\alpha} = \frac{2k \sin\alpha \cos\alpha}{\sin\alpha}$ — $\sin(180^\circ - 2\alpha) = \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
$AC = 2k \cdot \cos\alpha$ — מצמצמים ב־ $\sin\alpha \neq 0$

Worked solution:

\begin{aligned}\angle BAC &= \alpha \\ \quad \angle ABC &= 180^\circ - 2\alpha\end{aligned}

משולש שווה שוקיים

\begin{aligned}AC &= \frac{BC \cdot \sin\angle ABC}{\sin\angle BAC} \\ &= \frac{k\sin 2\alpha}{\sin\alpha} \\ &= 2k\cos\alpha\end{aligned}

משפט הסינוסים

דרך אחרת: הגובה מ־ $B$ לבסיס $AC$ חוצה אותו, ובמשולש ישר הזווית שנוצר $\frac{AC}{2} = k\cos\alpha$ .

Check the answer on elev — Exercise 22

Exercise 23

נתון: $DC = 2k$ , $AD = 1.2k$ . ב. מצאו את הערך של $\alpha$ (בדרגות).

Show the answer and the solution

Answer: 36.8699

Worked solution:

\begin{aligned}\angle ACD &= \angle BAC \\ &= \alpha\end{aligned}

זוויות מתחלפות בין המקבילים $AB$ ו־ $DC$

AD^2 = AC^2 + DC^2 - 2 \cdot AC \cdot DC \cdot \cos\alpha

משפט הקוסינוסים במשולש $ACD$

\begin{aligned}1.44k^2 &= 4k^2\cos^2\alpha + 4k^2 - 8k^2\cos^2\alpha \\ &= 4k^2\sin^2\alpha\end{aligned}

$AC = 2k\cos\alpha$ מסעיף א

\sin\alpha = 0.6 \Rightarrow \alpha \approx 36.87^\circ

$0^\circ < \alpha < 90^\circ$

$\alpha \approx 36.87^\circ$ .

Check the answer on elev — Exercise 23

Exercise 24

נתון: $DC = 2k$ , $AD = 1.2k$ . ג. מצאו את גודל הזווית $ADC$ (בדרגות).

Show the answer and the solution

Answer: 53.1301

Worked solution:

\begin{aligned}AC &= 2k\cos\alpha \\ &= 2k \cdot 0.8 \\ &= 1.6k\end{aligned}

$\cos\alpha = 0.8$

\begin{aligned}AD^2 + AC^2 &= 1.44k^2 + 2.56k^2 \\ &= 4k^2 \\ &= DC^2\end{aligned}

המשפט ההפוך למשפט פיתגורס: $\angle DAC = 90^\circ$

\angle ADC = 90^\circ - \alpha \approx 53.13^\circ

סכום הזוויות במשולש $ACD$

$\angle ADC \approx 53.13^\circ$ .

Check the answer on elev — Exercise 24

Exercise 25

נתון: $DC = 2k$ , $AD = 1.2k$ . המשכי הצלעות $DA$ ו־ $CB$ נחתכים בנקודה $E$ . נתון כי האורך של רדיוס המעגל החסום במשולש $EDC$ הוא $14$ . ד. מצאו את הערך של $k$ .

Show the answer and the solution

Answer: 23.3333

Worked solution:

\begin{aligned}\triangle EAB \sim \triangle EDC \\ \quad \frac{EA}{ED} &= \frac{AB}{DC} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

$AB \parallel DC$

\begin{aligned}ED &= 2 \cdot AD \\ &= 2.4k\end{aligned}

$A$ אמצע $ED$

\begin{aligned}\angle DCE &= 2\alpha \\ \quad \angle CED &= 180^\circ - (90^\circ - \alpha) - 2\alpha \\ &= 90^\circ - \alpha \\ &= \angle EDC\end{aligned}

ולכן $CE = CD = 2k$

\begin{aligned}S_{EDC} &= \frac{1}{2} \cdot 2.4k \cdot \sqrt{(2k)^2 - (1.2k)^2} \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2.4k \cdot 1.6k \\ &= 1.92k^2\end{aligned}

גובה לבסיס $ED$ במשולש שווה השוקיים

\begin{aligned}r &= \frac{S}{p} \\ &= \frac{1.92k^2}{3.2k} \\ &= 0.6k\end{aligned}

$p = \frac{2k + 2k + 2.4k}{2} = 3.2k$ חצי ההיקף

\begin{aligned}0.6k &= 14 \Rightarrow k \\ &= \frac{70}{3} \approx 23.33\end{aligned}

$k = \frac{70}{3} \approx 23.33$ .

Check the answer on elev — Exercise 25

שאלה 6 — פונקציה רציונלית עם פרמטר

Exercise 26

א. ענו על התת־סעיפים (1)–(2). הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך. (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $f(x)$ .

$x =$ ____ , $y =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x =$ 3 , $y =$ 0

Worked solution:

x \to 3: \ (x - 3)^2 \to 0^+, \ ax \to 3a > 0

המכנה מתאפס והמונה לא: אסימפטוטה אנכית

x \to \pm\infty: \ \frac{ax}{(x - 3)^2} \to 0

מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה

$x = 3$ ו־ $y = 0$ .

Check the answer on elev — Exercise 26

Exercise 27

א. ענו על התת־סעיפים (1)–(2). הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך. (2) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגה.

Aמינימום $\left(3, \frac{a}{12}\right)$
Bמקסימום $\left(-3, -\frac{a}{12}\right)$
Cמקסימום $\left(-3, \frac{a}{12}\right)$
Dמינימום $\left(-3, -\frac{a}{12}\right)$

Show the answer and the solution

Answer: D מינימום $\left(-3, -\frac{a}{12}\right)$

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{a(x - 3)^2 - ax \cdot 2(x - 3)}{(x - 3)^4} \\ &= \frac{a(-x - 3)}{(x - 3)^3}\end{aligned}

נגזרת של מנה, וצמצום ב־ $x - 3$

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \iff x \\ &= -3 \\ \quad f(-3) &= \frac{-3a}{36} \\ &= -\frac{a}{12}\end{aligned}

$a > 0$

x < -3: f' < 0; \quad -3 < x < 3: f' > 0

הסימן של המונה ושל $(x - 3)^3$

נקודת מינימום $\left(-3, -\frac{a}{12}\right)$ .

Check the answer on elev — Exercise 27

Exercise 28

הגרפים I–IV

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף III
Bגרף I
Cגרף IV
Dגרף II

Show the answer and the solution

Answer: A גרף III

Worked solution:

\begin{aligned}x &= 3 \\ \quad y &= 0\end{aligned}

האסימפטוטות מסעיף א

\searrow \left(-3, -\tfrac{a}{12}\right) \nearrow (0, 0) \nearrow +\infty \ \big| \ +\infty \searrow 0

תחומי עלייה וירידה מסעיף א, וחיתוך עם הצירים ב־ $(0, 0)$

גרף III. גרף I הוא $-f(x)$ , בגרף II האסימפטוטה האנכית היא $x = -3$ , ובגרף IV יש אסימפטוטה אופקית $y = 1$ ואין נקודת קיצון.

Check the answer on elev — Exercise 28

Exercise 29

נתונה הפונקציה $g(x) = f(x) + 0.5$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . נתון כי לגרף הפונקציה $g(x)$ יש בדיוק נקודה אחת משותפת עם ציר ה־ $x$ . ג. מצאו את הערך של $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

\begin{aligned}g(x) &= 0 \iff f(x) \\ &= -0.5\end{aligned}

x > 3: f > 0; \quad x < 3: \ f \ge -\frac{a}{12}

המינימום מסעיף א הוא הערך הקטן ביותר של $f$

\begin{aligned}-\frac{a}{12} &= -0.5 \Rightarrow a \\ &= 6\end{aligned}

אם $-\frac{a}{12} < -0.5$ יש שתי נקודות חיתוך, ואם $-\frac{a}{12} > -0.5$ אין אף אחת

$a = 6$ : גרף $g$ נוגע בציר ה־ $x$ בנקודה $(-3, 0)$ .

Check the answer on elev — Exercise 29

Exercise 30

נתונה הפונקציה $g(x) = f(x) + 0.5$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . נתון כי לגרף הפונקציה $g(x)$ יש בדיוק נקודה אחת משותפת עם ציר ה־ $x$ . הציבו בפונקציה $g(x)$ את הערך של $a$ שמצאתם, וענו על סעיף ד. נתונה הפונקציה $h(x) = g(x) \cdot g'(x)$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . ד (1). רשמו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה $h(x)$ .

Aחיובית: $-3 < x < 3$ ; שלילית: $x < -3$ או $x > 3$
Bחיובית: $0 < x < 3$ ; שלילית: $x < 0$ או $x > 3$
Cחיובית: $x > -3$ , $x \neq 3$ ; שלילית: $x < -3$
Dחיובית: $x < -3$ או $x > 3$ ; שלילית: $-3 < x < 3$

Show the answer and the solution

Answer: A חיובית: $-3 < x < 3$ ; שלילית: $x < -3$ או $x > 3$

Worked solution:

\begin{aligned}g(x) &= \frac{6x}{(x - 3)^2} + 0.5 \ge 0 \\ \quad g(x) &= 0 \iff x \\ &= -3\end{aligned}

המינימום של $g$ הוא $0$ , בנקודה $(-3, 0)$

\begin{aligned}g'(x) &= f'(x) \\ &= \frac{6(-x - 3)}{(x - 3)^3}\end{aligned}

$g'$ חיובית ב־ $-3 < x < 3$ ושלילית ב־ $x < -3$ וב־ $x > 3$

הסימן של $h = g \cdot g'$ הוא הסימן של $g'$ : חיובית ב־ $-3 < x < 3$ , שלילית ב־ $x < -3$ או $x > 3$ .

Check the answer on elev — Exercise 30

Exercise 31

נתונה הפונקציה $g(x) = f(x) + 0.5$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . נתון כי לגרף הפונקציה $g(x)$ יש בדיוק נקודה אחת משותפת עם ציר ה־ $x$ . הציבו בפונקציה $g(x)$ את הערך של $a$ שמצאתם, וענו על סעיף ד. נתונה הפונקציה $h(x) = g(x) \cdot g'(x)$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . ד (2). חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $h(x)$ ועל ידי ציר ה־ $x$ בתחום $-9 \le x \le 0$ .

Show the answer and the solution

Answer: 0.1328

Worked solution:

\int g(x) g'(x)\,dx = \frac{\left(g(x)\right)^2}{2} + C

$g \cdot g'$ היא הנגזרת של $\frac{g^2}{2}$

\begin{aligned}g(-9) &= \frac{-54}{144} + 0.5 \\ &= 0.125 \\ \quad g(-3) &= 0 \\ \quad g(0) &= 0.5\end{aligned}

\begin{aligned}S &= -\int_{-9}^{-3} h\,dx + \int_{-3}^{0} h\,dx \\ &= \frac{0.125^2}{2} + \frac{0.5^2}{2}\end{aligned}

$h < 0$ ב־ $-9 < x < -3$ ו־ $h > 0$ ב־ $-3 < x < 0$

\begin{aligned}S &= \frac{1}{128} + \frac{1}{8} \\ &= \frac{17}{128} \approx 0.1328\end{aligned}

השטח הוא $\frac{17}{128} \approx 0.133$ .

Check the answer on elev — Exercise 31

שאלה 7 — פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר

Exercise 32

א. האם הפונקציה $f(x)$ היא זוגית או אי־זוגית? נמקו את תשובתכם.

Aלא זוגית ולא אי־זוגית: יש בה גם קבועים וגם $b\cos x$
Bאי־זוגית: $\cos(-x) = -\cos x$ , ולכן $f(-x) = -f(x)$ לכל $x$
Cזוגית: $\cos(-x) = \cos x$ , ולכן $f(-x) = f(x)$ לכל $x$ בתחום
Dגם זוגית וגם אי־זוגית: התחום סימטרי, ו־ $f(0) = 0$

Show the answer and the solution

Answer: C זוגית: $\cos(-x) = \cos x$ , ולכן $f(-x) = f(x)$ לכל $x$ בתחום

Worked solution:

\begin{aligned}f(-x) &= \left(1 + \cos(-x)\right)\left(-1 + b\cos(-x)\right) \\ &= (1 + \cos x)(-1 + b\cos x) \\ &= f(x)\end{aligned}

קוסינוס היא פונקציה זוגית, והתחום $-\pi \le x \le \pi$ סימטרי

הפונקציה זוגית. היא לא אי־זוגית: $f(0) = 2(b - 1) \neq 0$ .

Check the answer on elev — Exercise 32

Exercise 33

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ .

A $\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ ו־ $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$
B $(-\pi, 0)$ ו־ $(\pi, 0)$ בלבד
C $(-\pi, 0)$ , $(\pi, 0)$ ו־ $\left(\arccos\frac{1}{b}, 0\right)$
D $(0, 0)$ בלבד

Show the answer and the solution

Answer: B $(-\pi, 0)$ ו־ $(\pi, 0)$ בלבד

Worked solution:

\begin{aligned}1 + \cos x &= 0 \iff \cos x \\ &= -1 \iff x \\ &= \pm\pi\end{aligned}

בתחום $-\pi \le x \le \pi$

\begin{aligned}-1 + b\cos x &= 0 \iff \cos x \\ &= \frac{1}{b} > 1\end{aligned}

$0 < b < 1$ : אין פתרון

$(-\pi, 0)$ ו־ $(\pi, 0)$ .

Check the answer on elev — Exercise 33

Exercise 34

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x = \frac{\pi}{3}$ . ג. מצאו את הערך של $b$ .

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= -\sin x(-1 + b\cos x) + (1 + \cos x)(-b\sin x) \\ &= \sin x\,(1 - b - 2b\cos x)\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

\begin{aligned}f'\left(\tfrac{\pi}{3}\right) &= \frac{\sqrt{3}}{2}(1 - b - b) \\ &= 0 \Rightarrow b \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$b = \frac{1}{2}$ (ואכן $f'$ מחליפה שם סימן).

Check the answer on elev — Exercise 34

Exercise 35

הציבו $b = \frac{1}{2}$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ד–ה. ד (1). מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגן.

Aמקסימום $(0, -1)$ ; מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{3}{4}\right)$ ; מקסימום $(\pm\pi, 0)$
Bמינימום $(0, -1)$ ; מקסימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ ; מינימום $(\pm\pi, 0)$
Cמקסימום $(0, -1)$ ; מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ ; מינימום $(\pm\pi, 0)$
Dמקסימום $(0, -1)$ ; מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ ; מקסימום $(\pm\pi, 0)$

Show the answer and the solution

Answer: D מקסימום $(0, -1)$ ; מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ ; מקסימום $(\pm\pi, 0)$

Worked solution:

\begin{aligned}f(x) &= (1 + \cos x)\left(\tfrac{1}{2}\cos x - 1\right) \\ \quad f'(x) &= \sin x\left(\tfrac{1}{2} - \cos x\right)\end{aligned}

$b = \frac{1}{2}$ בנגזרת מסעיף ג

\begin{aligned}f'(x) &= 0: \quad x \\ &= 0 \\ \ x &= \pm\frac{\pi}{3} \\ \ x &= \pm\pi\end{aligned}

$\sin x = 0$ או $\cos x = \frac{1}{2}$

\begin{aligned}f(0) &= 2 \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right) \\ &= -1 \\ \quad f\left(\pm\tfrac{\pi}{3}\right) &= \tfrac{3}{2} \cdot \left(-\tfrac{3}{4}\right) \\ &= -\tfrac{9}{8} \\ \quad f(\pm\pi) &= 0\end{aligned}

0 < x < \tfrac{\pi}{3}: f' < 0; \quad \tfrac{\pi}{3} < x < \pi: f' > 0

והפונקציה זוגית, ולכן הגרף סימטרי סביב ציר ה־ $y$

מקסימום $(0, -1)$ , מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ , ומקסימום בקצות התחום $(\pm\pi, 0)$ .

Check the answer on elev — Exercise 35

Exercise 36

הגרפים I–IV

הציבו $b = \frac{1}{2}$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ד–ה. ד (2). סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף I
Bגרף IV
Cגרף II
Dגרף III

Show the answer and the solution

Answer: C גרף II

Worked solution:

(-\pi, 0) \searrow \left(-\tfrac{\pi}{3}, -\tfrac{9}{8}\right) \nearrow (0, -1) \searrow \left(\tfrac{\pi}{3}, -\tfrac{9}{8}\right) \nearrow (\pi, 0)

מסעיף ד (1)

f(x) \le 0

הגרף אינו עולה מעל ציר ה־ $x$

גרף II: שני מינימומים ב־ $\pm\frac{\pi}{3}$ ומקסימום נמוך $(0, -1)$ ביניהם. גרף IV הוא $-f(x)$ , גרף I הוא $f(x + \pi)$ , וגרף III הוא $-\sin^2 x$ .

Check the answer on elev — Exercise 36

Exercise 37

הציבו $b = \frac{1}{2}$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ד–ה. נתונה הפונקציה $h(x) = f(x) + \left|f(x)\right|$ , המוגדרת בתחום $-\pi \le x \le \pi$ . נקודה $A$ היא נקודה כלשהי הנמצאת על גרף הפונקציה $h(x)$ . ה. האם שיעור ה־ $y$ של נקודה $A$ הוא חיובי, שלילי, שווה אפס או שאי אפשר לקבוע? נמקו את תשובתכם.

Aחיובי: $\left|f(x)\right| \ge 0$ , ולכן $h(x) = 2\left|f(x)\right| > 0$
Bשווה אפס: $f(x) \le 0$ בכל התחום, ולכן $\left|f(x)\right| = -f(x)$
Cשלילי: $f(x) \le 0$ בכל התחום, ולכן $h(x) = 2f(x) < 0$
Dאי אפשר לקבוע: הערך תלוי בנקודה $A$ שנבחרה על הגרף

Show the answer and the solution

Answer: B שווה אפס: $f(x) \le 0$ בכל התחום, ולכן $\left|f(x)\right| = -f(x)$

Worked solution:

1 + \cos x \ge 0, \quad \tfrac{1}{2}\cos x - 1 < 0 \ \Rightarrow \ f(x) \le 0

אפשר לראות זאת גם בגרף מסעיף ד

\begin{aligned}\left|f(x)\right| &= -f(x) \Rightarrow h(x) \\ &= f(x) - f(x) \\ &= 0\end{aligned}

שיעור ה־ $y$ של $A$ שווה אפס: הגרף של $h(x)$ הוא הקטע $-\pi \le x \le \pi$ על ציר ה־ $x$ .

Check the answer on elev — Exercise 37

שאלה 8 — פונקציית שורש ובעיית קיצון

Exercise 38

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

$x \le$ ____ או $x \ge$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x \le$ -1 או $x \ge$ 1

Worked solution:

x^2 - 1 \ge 0 \iff (x - 1)(x + 1) \ge 0

ביטוי מתחת לשורש ריבועי אינו שלילי

$x \le -1$ או $x \ge 1$ .

Check the answer on elev — Exercise 38

Exercise 39

ב. מצאו את שיעורי שתי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הישר הנתון. (יש לכתוב קודם את הנקודה ששיעור ה־ $x$ שלה קטן יותר.)

$($ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $($ 1 $,$ 0 $)$ , $($ 2.6 $,$ 4.8 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}2\sqrt{x^2 - 1} &= 3x - 3 \\ \quad 3x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1\end{aligned}

שורש אינו שלילי

\begin{aligned}4(x^2 - 1) &= 9(x - 1)^2 \Rightarrow 5x^2 - 18x + 13 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בריבוע

\begin{aligned}x &= \frac{18 \pm 8}{10}: \quad x \\ &= 1 \\ \ x &= 2.6\end{aligned}

שני הפתרונות מקיימים $x \ge 1$

\begin{aligned}y(1) &= 0 \\ \quad y(2.6) &= 3 \cdot 2.6 - 3 \\ &= 4.8\end{aligned}

בדיקה: $2\sqrt{2.6^2 - 1} = 2 \cdot 2.4 = 4.8$

$(1, 0)$ ו־ $(2.6, 4.8)$ .

Check the answer on elev — Exercise 39

Exercise 40

הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום שבין שתי הנקודות שמצאתם בסעיף ב. דרך הנקודה $A$ העבירו שני ישרים: ישר המקביל לציר ה־ $y$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $B$ . ישר המקביל לציר ה־ $x$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $C$ . נסמן ב־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $A$ . ג (1). הביעו באמצעות $t$ את אורך הקטע $AB$ .

$AB =$ ____ $\sqrt{t^2 - 1} +$ ( ____ ) $t +$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $AB =$ 2 $\sqrt{t^2 - 1} +$ ( -3 ) $t +$ 3

Worked solution:

A\left(t, 2\sqrt{t^2 - 1}\right), \quad B(t, 3t - 3)

$B$ על הישר, באותו שיעור $x$ כמו $A$

1 < t < 2.6: \ 2\sqrt{t^2 - 1} > 3t - 3

בין שתי נקודות החיתוך גרף $f$ מעל הישר (למשל ב־ $t = 2$ : $3.46 > 3$ )

AB = 2\sqrt{t^2 - 1} - (3t - 3)

$AB = 2\sqrt{t^2 - 1} - 3t + 3$ .

Check the answer on elev — Exercise 40

Exercise 41

הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום שבין שתי הנקודות שמצאתם בסעיף ב. דרך הנקודה $A$ העבירו שני ישרים: ישר המקביל לציר ה־ $y$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $B$ . ישר המקביל לציר ה־ $x$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $C$ . נסמן ב־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $A$ . ג (2). הביעו באמצעות $t$ את אורך הקטע $AC$ . (יש לכתוב את המקדמים כמספרים עשרוניים.)

$AC =$ ____ $\sqrt{t^2 - 1} +$ ( ____ ) $t +$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $AC =$ 0.6667 $\sqrt{t^2 - 1} +$ ( -1 ) $t +$ 1

Worked solution:

\begin{aligned}3x_C - 3 &= 2\sqrt{t^2 - 1} \Rightarrow x_C \\ &= \frac{2}{3}\sqrt{t^2 - 1} + 1\end{aligned}

$C$ על הישר, באותו שיעור $y$ כמו $A$

\begin{aligned}AC &= x_C - t \\ &= \frac{2}{3}\sqrt{t^2 - 1} + 1 - t\end{aligned}

$C$ מימין ל־ $A$ : הישר מתחת לגרף, והוא עולה

$AC = \frac{2}{3}\sqrt{t^2 - 1} - t + 1$ .

Check the answer on elev — Exercise 41

Exercise 42

הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום שבין שתי הנקודות שמצאתם בסעיף ב. דרך הנקודה $A$ העבירו שני ישרים: ישר המקביל לציר ה־ $y$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $B$ . ישר המקביל לציר ה־ $x$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $C$ . נסמן ב־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $A$ . ד. מצאו את הערך של $t$ שבעבורו סכום אורכי הקטעים $AB$ ו־ $AC$ הוא מקסימלי.

Show the answer and the solution

Answer: 1.3416

Worked solution:

\begin{aligned}L(t) &= AB + AC \\ &= \frac{8}{3}\sqrt{t^2 - 1} - 4t + 4 \\ \quad 1 < t < 2.6\end{aligned}

מסעיף ג

\begin{aligned}L'(t) &= \frac{8t}{3\sqrt{t^2 - 1}} - 4 \\ &= 0 \Rightarrow 2t \\ &= 3\sqrt{t^2 - 1}\end{aligned}

\begin{aligned}4t^2 &= 9t^2 - 9 \Rightarrow t^2 \\ &= \frac{9}{5} \Rightarrow t \\ &= \frac{3}{\sqrt{5}} \approx 1.342\end{aligned}

$t > 0$

L'(1.2) > 0, \quad L'(2) < 0

$L$ עולה ואחר כך יורדת: מקסימום

$t = \frac{3}{\sqrt{5}} \approx 1.34$ .

Check the answer on elev — Exercise 42

Words in this lesson

משך: meshekh duration, length of time
שעה: sha’a hour
דקה: daka minute
לפחות: lefaḥot at least
סך הכול: sakh ha-kol in total, altogether
לכל היותר: le-khol ha-yoter at most
אינדוקציה: induktsia proof by induction
סדרה: sidra sequence
הסתברות: histabrut probability
מישור: mishor plane
פולינום: polinom polynomial
פונקציית שורש: funktsiyat shoresh square-root function
פונקציה רציונלית: funktsia ratsyonalit rational function
פונקציה: funktsia function
טריגונומטריה: trigonometria trigonometry
נוסחה: nusḥa formula
סעיף: se’if part (of a question)
הסבירו: hasbiru explain
הראו: har’u show
הוכיחו: hokhiḥu prove
הוכחה: hokhaḥa proof
ביטוי אלגברי: bitui algebri algebraic expression
מקדם: mekadem coefficient
פתרון: pitaron solution
מספר טבעי: mispar tiv’i natural number
מתקיים: mitkayem holds, is true
אגף: agaf side (of an equation)
הנחת האינדוקציה: hanaḥat ha-induktsia inductive hypothesis
איבר: ever term
מכנה משותף: mekhane meshutaf common denominator
טרינום: trinom quadratic (trinomial)
טענה: ta’ana claim
נכון: nakhon true, correct
נובע: nove’a follows
קבעו: kiv’u determine, decide
לא נכון: lo nakhon false, incorrect
נמקו: namku justify, explain why
איחוד: iḥud union (“or”)
נתון: natun given
אקראי: akra’i random, at random
הסתברות מותנית: histabrut mutnit conditional probability
מונה: moneh numerator
חיובי: ḥiyuvi positive
מכנה: mekhane denominator
שבר: shever fraction
יחס: yaḥas ratio
גרף: graf graph
מוגדרת: mugderet defined
אסימפטוטה: asimptota asymptote
נקודת חיתוך: nekudat khitukh intersection point
ציר: tsir axis
שיעורים (של נקודה): shiurim coordinates
נקודת קיצון: nekudat kitson extremum
פרמטר: parameter parameter
מצאו: mits’u find
תחום ההגדרה: tḥum ha-hagdara domain of definition
סקיצה: skitsa sketch
אסימפטוטה אנכית: asimptota anakhit vertical asymptote
אסימפטוטה אופקית: asimptota ofkit horizontal asymptote
כלל המנה: klal ha-mana quotient rule
כלל השרשרת: klal ha-sharsheret chain rule
נקודה: nekuda point
מינימום: minimum minimum
ישר: yashar line
אופקי: ofki horizontal
חותך: khotekh cuts, intersects; transversal
נגזרת: nigzeret derivative
תנאי: tnai condition
הצבה: hatsava substitution
קבוע: kavua constant
פונקציה יורדת: funktsia yoredet decreasing function
קטע: keta line segment
משיק: mashik tangent
שיפוע: shipua slope
הביעו: habi’u express
מנה: mana quotient
חלקי: ḥalkei divided by
סדרה הנדסית: sidra hendesit geometric sequence
שלילי: shlili negative
שמינית: shminit one eighth
מכפלה: makhpela product
פונקציה עולה: funktsia ola increasing function
סכום: skhum sum
מתכנסת: mitkanesset convergent
נפסל: nifsal rejected
נוסחת ההסתברות השלמה: nusḥat ha-histabrut ha-shlema law of total probability
בלתי תלויים: bilti tluyim independent
עם החזרה: im ḥazara with replacement
נוסחת ברנולי: nusḥat bernuli binomial formula (Bernoulli)
ספרות אחרי הנקודה: sfarot aḥarei ha-nekuda decimal places
רדיוס: radius radius
משולש שווה שוקיים: meshulash shve shokayim isosceles triangle
זווית הראש: zavit ha-rosh vertex angle (apex angle)
זוויות מתאימות: zaviyot matimot corresponding angles
אלכסון: alakhson diagonal
דלתון: delton kite
חוצה: ḥotse bisects
זווית חיצונית: zavit ḥitsonit exterior angle
זוויות מתחלפות: zaviyot mitḥalfot alternate angles
דמיון: dimyon similarity
מעגל: ma’agal circle
זוויות קודקודיות: zaviyot kodkodiyot vertical angles
שטח: shetaḥ area
משולש: meshulash triangle
מספר עשרוני: mispar esroni decimal number
משולשים חופפים: meshulashim ḥoffim congruent triangles
יחס השטחים: yaḥas ha-shetaḥim ratio of areas
משולשים דומים: meshulashim domim similar triangles
ריבוע: ribua square
יחס הדמיון: yaḥas ha-dimyon similarity ratio
גובה: gova height
משפט הסינוסים: mishpat ha-sinusim law of sines
בסיס: basis base
משולש ישר זווית: meshulash yeshar zavit right triangle
מקבילים: makbilim parallel
משפט הקוסינוסים: mishpat ha-kosinusim law of cosines
זווית: zavit angle
משפט הפוך: mishpat hafukh converse
משפט פיתגורס: mishpat Pitagoras Pythagorean theorem
צלע: tsela side
נחתכים: neḥtakhim intersect
אורך: orekh length
מעגל חסום: ma’agal ḥasum inscribed circle (incircle)
חצי: ḥetsi half
היקף: hekef perimeter
משוואה: mishva’a equation
מאונכים: me’unakhim perpendicular
מתאפס: mitapes equals zero, vanishes
צמצום: tsimtsum reducing
תחום עלייה: tḥum aliya interval of increase
להציב: lehatsiv to substitute
רשמו: rishmu write down
תחום חיוביות: tḥum ḥiyuviyut where the function is positive
חשבו: ḥishvu calculate
קוסינוס: kosinus cosine
פונקציה זוגית: funktsia zugit even function
סימטריה: simetria symmetry
אין פתרון: ein pitaron no solution
כלל המכפלה: klal ha-makhpela product rule
מקסימום: maksimum maximum
שורש: shoresh square root

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elev Discover elev for this grade

This lesson is part of the subscription. A full chapter for free: Sequences