בגרות 35571 — קיץ 2026, מועד ב׳

On elev, this lesson comes with:

Every exercise checked the moment it is answered
A hint exactly when it is needed
Progress tracking, chapter by chapter

This lesson is part of the subscription. A full chapter for free: Sequences

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35571 (5 יחידות לימוד, שאלון ראשון, תוכנית חדשה), קיץ תשפ״ו, 2026, מועד ב׳. משך הבחינה: ארבע שעות ועשרים דקות. עונים על חמש מן השאלות 1–8, לבחירתכם (לכל שאלה – 22 נקודות), וסך הכול אפשר לצבור 100 נקודות לכל היותר. פרק ראשון – שאלות קצרות: שאלה 1. פרק שני – אינדוקצייה, סדרות והסתברות: שאלות 2–3. פרק שלישי – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור: שאלות 4–5. פרק רביעי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות טריגונומטריות: שאלות 6–8. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־5 יחידות לימוד.

כאן כתובות כל שמונה השאלות, ב־43 סעיפים, כדי שאפשר יהיה להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים חמש, ובשאלה 1 עונים על שניים מארבעת הסעיפים. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, לקבוע, להסביר או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים, לבדיקת טענה או לבניית הוכחה, וסעיף שמבקש ביטוי הפך לבחירה בין ביטויים או להשלמת מקדמים. הפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercises

שאלה 1 — שאלות קצרות

Exercise 1

א. נתון כי השוויון $1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{b}$ מתקיים בעבור $n = 2$ . $b$ הוא פרמטר שונה מ־ $0$ . (1) מצאו את הערך של $b$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

1^3 + 2^3 = \frac{2^2 \cdot (2 + 1)^2}{b}

מציבים $n = 2$ בשני האגפים: באגף שמאל שני האיברים הראשונים

1 + 8 = \frac{4 \cdot 9}{b}

מחשבים

9 = \frac{36}{b}

\begin{aligned}b &= \frac{36}{9} \\ &= 4\end{aligned}

כופלים ב־ $b \neq 0$ ומחלקים ב־ $9$

$b = 4$ .

Check the answer on elev — Exercise 1

Exercise 2

א. נתון כי השוויון $1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{b}$ מתקיים בעבור $n = 2$ . $b$ הוא פרמטר שונה מ־ $0$ . (2) הציבו $b = 4$ והוכיחו באינדוקצייה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי השוויון הנתון מתקיים לכל $n$ טבעי.

$n$ מספר טבעי
$b = 4$

$1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{4}$

Show the answer and the solution

$1^3 = 1 = \frac{1^2 \cdot 2^2}{4}$ — בדיקה עבור $n = 1$
$1^3 + \ldots + k^3 = \frac{k^2(k + 1)^2}{4}$ — הנחת האינדוקצייה: השוויון מתקיים עבור $n = k$
$1^3 + \ldots + (k + 1)^3 = \frac{k^2(k + 1)^2}{4} + (k + 1)^3$ — מוסיפים את האיבר ה־ $(k+1)$ ומציבים את הנחת האינדוקצייה
$\frac{k^2(k + 1)^2}{4} + (k + 1)^3 = \frac{(k + 1)^2(k^2 + 4k + 4)}{4}$ — מכנה משותף $4$ , והוצאת הגורם המשותף $(k + 1)^2$
$1^3 + \ldots + (k + 1)^3 = \frac{(k + 1)^2(k + 2)^2}{4}$ — $k^2 + 4k + 4 = (k + 2)^2$ : זה אגף ימין עבור $n = k + 1$ ; לפי עקרון האינדוקצייה השוויון מתקיים לכל $n$ טבעי

Worked solution:

\begin{aligned}1^3 &= 1 \\ &= \frac{1^2 \cdot 2^2}{4}\end{aligned}

הבדיקה עבור $n = 1$ : שני האגפים שווים

1^3 + \ldots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{k^2(k + 1)^2}{4} + (k + 1)^3

הנחת האינדוקצייה עבור $n = k$ , ועוד האיבר ה־ $(k+1)$

= \frac{(k + 1)^2\left(k^2 + 4(k + 1)\right)}{4} = \frac{(k + 1)^2(k^2 + 4k + 4)}{4}

מכנה משותף, והוצאת הגורם המשותף $(k + 1)^2$

= \frac{(k + 1)^2(k + 2)^2}{4}

זה אגף ימין של השוויון עבור $n = k + 1$ : $\frac{(k+1)^2\left((k+1) + 1\right)^2}{4}$

השוויון נכון עבור $n = 1$ , ומנכונותו עבור $n = k$ נובעת נכונותו עבור $n = k + 1$ ; לכן הוא נכון לכל $n$ טבעי.

Check the answer on elev — Exercise 2

Exercise 3

ב. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה $f(x)$ המוגדרת בתחום $x \le 6$ . אחד מן הביטויים I–IV שלפניכם מייצג את הפונקצייה $f(x)$ . I. $f(x) = x\sqrt{6 - x}$ II. $f(x) = -x\sqrt{6 - x}$ III. $f(x) = x\sqrt{x - 6}$ IV. $f(x) = -x\sqrt{x - 6}$ (1) קבעו איזה מן הביטויים מייצג את הפונקצייה $f(x)$ . נמקו את קביעתכם.

Aביטוי IV
Bביטוי III
Cביטוי II
Dביטוי I

Show the answer and the solution

Answer: C ביטוי II

Worked solution:

x - 6 \ge 0 \iff x \ge 6

הביטויים III ו־IV מוגדרים רק בתחום $x \ge 6$ , והפונקצייה מוגדרת בתחום $x \le 6$

6 - x \ge 0 \iff x \le 6

הביטויים I ו־II מוגדרים בתחום הנכון

x < 0: \ f(x) > 0

בסרטוט, משמאל לציר ה־ $y$ הגרף נמצא מעל ציר ה־ $x$

\begin{aligned}x &= -1: \ x\sqrt{6 - x} \\ &= -\sqrt{7} < 0 \\ \quad -x\sqrt{6 - x} &= \sqrt{7} > 0\end{aligned}

בודקים נקודה: רק ביטוי II חיובי שם

0 < x < 6: \ -x\sqrt{6 - x} < 0

ובין $0$ ל־ $6$ ביטוי II שלילי, כמו בסרטוט

ביטוי II: $f(x) = -x\sqrt{6 - x}$ . ביטויים III ו־IV אינם מוגדרים בתחום $x < 6$ , וביטוי I שלילי בתחום $x < 0$ .

Check the answer on elev — Exercise 3

Exercise 4

ב. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה $f(x)$ המוגדרת בתחום $x \le 6$ . אחד מן הביטויים I–IV שלפניכם מייצג את הפונקצייה $f(x)$ . I. $f(x) = x\sqrt{6 - x}$ II. $f(x) = -x\sqrt{6 - x}$ III. $f(x) = x\sqrt{x - 6}$ IV. $f(x) = -x\sqrt{x - 6}$ נתונה הפונקצייה $g(x) = (f(x))^2$ המוגדרת בתחום $x \le 6$ . (2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה $g(x)$ ועל ידי ציר ה־ $x$ .

Show the answer and the solution

Answer: 108

Worked solution:

\begin{aligned}g(x) &= \left(-x\sqrt{6 - x}\right)^2 \\ &= x^2(6 - x) \\ &= 6x^2 - x^3\end{aligned}

מעלים בריבוע; בתחום $x \le 6$ מתקיים $6 - x \ge 0$

\begin{aligned}g(x) &= 0 \iff x \\ &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 6\end{aligned}

נקודות החיתוך עם ציר ה־ $x$

0 \le x \le 6: \ g(x) \ge 0

השטח הסגור נמצא בין $x = 0$ ל־ $x = 6$ , מעל ציר ה־ $x$ ; בתחום $x < 0$ הגרף עולה בלי גבול

\begin{aligned}S &= \int_0^6 (6x^2 - x^3)\,dx \\ &= \left[2x^3 - \frac{x^4}{4}\right]_0^6\end{aligned}

אינטגרל מסוים

\begin{aligned}S &= 2 \cdot 216 - \frac{1296}{4} \\ &= 432 - 324 \\ &= 108\end{aligned}

השטח הוא $108$ יחידות שטח.

Check the answer on elev — Exercise 4

Exercise 5

ג. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$ . לפונקצייה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד ואסימפטוטה אופקית אחת בלבד שמשוואתה היא $y = 0$ . שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה $f(x)$ ושיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה $f(x)$ עם ציר ה־ $y$ מוצגים בסרטוט. נתונה הפונקצייה $g(x) = \frac{1}{f(x) - 2}$ . (1) כמה אסימפטוטות המאונכות לציר ה־ $x$ יש לפונקצייה $g(x)$ ? נמקו את תשובתכם.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}f(x) - 2 &= 0 \iff f(x) \\ &= 2\end{aligned}

$f(x)$ מוגדרת ורציפה לכל $x$ : אסימפטוטה אנכית של $g$ יש רק במקום שבו המכנה מתאפס

\begin{aligned}\lim_{x \to -\infty} f(x) &= 0 \\ \quad f(3) &= 4\end{aligned}

משמאל לנקודת המקסימום $(3, 4)$ הפונקצייה עולה מן האסימפטוטה $y = 0$ אל $4$ (ו־ $f(0) = 1$ )

\begin{aligned}f(3) &= 4 \\ \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) &= 0\end{aligned}

מימין לנקודת המקסימום היא יורדת מ־ $4$ אל האסימפטוטה $y = 0$

0 < 2 < 4

הערך $2$ מתקבל פעם אחת בכל צד: פעם אחת בתחום $0 < x < 3$ ופעם אחת בתחום $x > 3$

לפונקצייה $g(x)$ יש $2$ אסימפטוטות אנכיות: הישר $y = 2$ חותך את גרף הפונקצייה $f(x)$ בשתי נקודות, ובהן המכנה $f(x) - 2$ מתאפס והמונה הוא $1$ .

Check the answer on elev — Exercise 5

Exercise 6

ג. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$ . לפונקצייה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד ואסימפטוטה אופקית אחת בלבד שמשוואתה היא $y = 0$ . שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה $f(x)$ ושיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה $f(x)$ עם ציר ה־ $y$ מוצגים בסרטוט. נתונה הפונקצייה $g(x) = \frac{1}{f(x) - 2}$ . (2) מצאו את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה־ $y$ של הפונקצייה $g(x)$ .

$y =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $y =$ -0.5

Worked solution:

x \to \pm\infty: \ f(x) \to 0

האסימפטוטה האופקית של $f(x)$ היא $y = 0$ , בשני הכיוונים

\begin{aligned}g(x) &= \frac{1}{f(x) - 2} \to \frac{1}{0 - 2} \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

האסימפטוטה האופקית של $g(x)$ : $y = -\frac{1}{2}$ .

Check the answer on elev — Exercise 6

Exercise 7

גרף הפונקצייה

f(x)

, ומתחתיו הגרפים I–IV

ג. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$ . לפונקצייה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד ואסימפטוטה אופקית אחת בלבד שמשוואתה היא $y = 0$ . שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה $f(x)$ ושיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה $f(x)$ עם ציר ה־ $y$ מוצגים בסרטוט. נתונה הפונקצייה $g(x) = \frac{1}{f(x) - 2}$ . (3) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $g(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף II
Bגרף I
Cגרף IV
Dגרף III

Show the answer and the solution

Answer: D גרף III

Worked solution:

\begin{aligned}x &= x_1 \\ \ x &= x_2 \\ \quad y &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

שתי אסימפטוטות אנכיות, משני צדי $x = 3$ , ואסימפטוטה אופקית (סעיפים (1)–(2))

f(x) < 2 \Rightarrow g(x) < 0

בשני הענפים החיצוניים: הגרף מתחת לציר ה־ $x$ , בין $-\frac{1}{2}$ ל־ $-\infty$

\begin{aligned}g(0) &= \frac{1}{1 - 2} \\ &= -1\end{aligned}

נקודת החיתוך עם ציר ה־ $y$

x_1 < x < x_2: \ 0 < f(x) - 2 \le 2 \Rightarrow g(x) \ge \frac{1}{2}

בענף האמצעי הגרף מעל ציר ה־ $x$

\left(3, \frac{1}{2}\right)

נקודת מינימום: שם $f(x) - 2$ מקסימלי, $4 - 2 = 2$

גרף III: שני ענפים שליליים, היורדים מן האסימפטוטה $y = -\frac{1}{2}$ אל $-\infty$ , וביניהם ענף חיובי עם מינימום $\left(3, \frac{1}{2}\right)$ . גרף I הוא $-g(x)$ , בגרף II יש אסימפטוטה אנכית אחת בלבד, ובגרף IV האסימפטוטה האופקית היא $y = \frac{1}{2}$ .

Check the answer on elev — Exercise 7

Exercise 8

ד. בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית $ABC$ $(\angle CAB = 90^\circ)$ . נתון כי אורכי צלעות המשולש הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה הנדסית. האיבר הראשון בסדרה שווה לאורך הצלע $AB$ . נתון: $AB = 1$ . (1) האם ייתכן שהאיבר השני בסדרה שווה לאורך הצלע $BC$ ? נמקו את תשובתכם. יש לקבוע אם הטענה נכונה: ייתכן שהאיבר השני בסדרה שווה לאורך הצלע $BC$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

BC > AB, \quad BC > AC

$BC$ מול הזווית הישרה: היתר הוא הצלע הארוכה ביותר במשולש

1, \ BC, \ AC

אילו האיבר השני היה $BC$ , האיבר השלישי היה $AC$

\begin{aligned}q &= \frac{BC}{AB} \\ &= BC > 1\end{aligned}

המנה גדולה מ־ $1$

AC = BC \cdot q > BC

האיבר השלישי גדול מן השני: $AC$ ארוך מ־ $BC$ , בסתירה ליתר

הטענה לא נכונה: אם $BC$ הוא האיבר השני, המנה גדולה מ־ $1$ והאיבר השלישי $AC$ ארוך מן היתר $BC$ — זה בלתי אפשרי.

Check the answer on elev — Exercise 8

Exercise 9

ד. בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית $ABC$ $(\angle CAB = 90^\circ)$ . נתון כי אורכי צלעות המשולש הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה הנדסית. האיבר הראשון בסדרה שווה לאורך הצלע $AB$ . נתון: $AB = 1$ . (2) מצאו את אורך הצלע $BC$ (בתשובתכם תוכלו להשאיר שורש; כאן יש לכתוב אותה כמספר עשרוני).

Show the answer and the solution

Answer: 1.618

Worked solution:

1, \ q, \ q^2

שלושת האיברים: $AB = 1$ , ואחריו $q$ ו־ $q^2$

q > 1

אילו $q < 1$ , האיבר $AB = 1$ היה הארוך ביותר, אבל היתר $BC$ ארוך ממנו; ו־ $q = 1$ נותן משולש שווה צלעות

\begin{aligned}AC &= q \\ \quad BC &= q^2\end{aligned}

לפי סעיף (1), $BC$ אינו האיבר השני; הוא הארוך ביותר, האיבר השלישי

1^2 + q^2 = (q^2)^2

משפט פיתגורס: $AB^2 + AC^2 = BC^2$

\begin{aligned}q^4 - q^2 - 1 &= 0 \Rightarrow q^2 \\ &= \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\end{aligned}

משוואה ריבועית ב־ $q^2$ ; $q^2 > 0$

\begin{aligned}BC &= q^2 \\ &= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618\end{aligned}

$BC = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$ .

Check the answer on elev — Exercise 9

Did your child get it?

On elev, every exercise is checked the moment your child answers, and a hint comes right when they get stuck.

Practise on elev

שאלה 2 — סדרות הנדסיות

Exercise 10

א. לפניכם שלוש טענות I–III. קבעו איזו מן הטענות נכונה ונמקו את קביעתכם. I. $-1 < q < 0$ II. $0 < q < 1$ III. $1 < q$

Aטענה I
Bטענה III
Cטענה II

Show the answer and the solution

Answer: C טענה II

Worked solution:

\begin{aligned}a_{n+1} &= a_n \cdot q \\ \quad a_n > 0\end{aligned}

כל האיברים חיוביים

q = \frac{a_{n+1}}{a_n} > 0

מנה של שני מספרים חיוביים: טענה I לא נכונה

a_{n+1} < a_n \Rightarrow q = \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1

הסדרה יורדת: טענה III לא נכונה

טענה II: $0 < q < 1$ .

Check the answer on elev — Exercise 10

Exercise 11

$b_n$ היא סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים $b_n = a_n + a_{n+1} + a_{n+2}$ לכל $n$ טבעי. ב. הוכיחו כי הסדרה $b_n$ היא הנדסית ומנתה היא $q$ .

$a_{n+1} = a_n \cdot q$ לכל $n$ טבעי
$a_n > 0$ לכל $n$ טבעי
$b_n = a_n + a_{n+1} + a_{n+2}$ לכל $n$ טבעי

$b_n$ סדרה הנדסית שמנתה $q$

Show the answer and the solution

$b_{n+1} = a_{n+1} + a_{n+2} + a_{n+3}$ — הגדרת הסדרה $b_n$ , עבור $n + 1$
$a_{n+1} + a_{n+2} + a_{n+3} = q(a_n + a_{n+1} + a_{n+2})$ — כל איבר בסדרה $a_n$ הוא האיבר שלפניו כפול $q$
$b_{n+1} = q \cdot b_n$ — מציבים את הגדרת $b_n$
$b_n > 0$ — סכום של שלושה איברים חיוביים
$\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$ — מחלקים ב־ $b_n \neq 0$ ; המנה אינה תלויה ב־ $n$ , ולכן $b_n$ סדרה הנדסית שמנתה $q$

Worked solution:

b_{n+1} = a_{n+1} + a_{n+2} + a_{n+3}

הגדרת הסדרה $b_n$ , עבור $n + 1$

b_{n+1} = a_n q + a_{n+1} q + a_{n+2} q

כל איבר בסדרה ההנדסית $a_n$ הוא האיבר שלפניו כפול $q$

\begin{aligned}b_{n+1} &= q(a_n + a_{n+1} + a_{n+2}) \\ &= q \cdot b_n\end{aligned}

מוציאים גורם משותף

\frac{b_{n+1}}{b_n} = q

מחלקים ב־ $b_n > 0$ (סכום של איברים חיוביים)

היחס בין כל שני איברים סמוכים בסדרה $b_n$ הוא הקבוע $q$ , ולכן $b_n$ סדרה הנדסית שמנתה $q$ .

Check the answer on elev — Exercise 11

Exercise 12

$b_n$ היא סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים $b_n = a_n + a_{n+1} + a_{n+2}$ לכל $n$ טבעי. נתון כי סכום הסדרה $b_n$ גדול פי $1.96$ מסכום הסדרה $a_n$ . ג. מצאו את הערך של $q$ .

Show the answer and the solution

Answer: 0.6

Worked solution:

\begin{aligned}b_1 &= a_1 + a_1 q + a_1 q^2 \\ &= a_1(1 + q + q^2)\end{aligned}

האיבר הראשון של $b_n$

\begin{aligned}S_b &= \frac{a_1(1 + q + q^2)}{1 - q} \\ \quad S_a &= \frac{a_1}{1 - q}\end{aligned}

שתי הסדרות הנדסיות עם אותה מנה $q$ , ו־ $0 < q < 1$ (סעיף א)

1 + q + q^2 = 1.96

$S_b = 1.96 \cdot S_a$ ; מחלקים ב־ $\frac{a_1}{1 - q} > 0$

q^2 + q - 0.96 = 0

\begin{aligned}q &= \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 3.84}}{2} \\ &= \frac{-1 \pm 2.2}{2}\end{aligned}

נוסחת השורשים

q = 0.6

$0 < q < 1$ : הפתרון $q = -1.6$ נפסל

$q = 0.6$ .

Check the answer on elev — Exercise 12

Exercise 13

$a_{n+1} = a_n \cdot q$ לכל $n$ טבעי
$b_n = a_n + a_{n+1} + a_{n+2}$
$c_n = \frac{b_n}{4 \cdot a_n}$
$q = 0.6$

$c_n$ סדרה קבועה

Show the answer and the solution

$b_n = a_n + a_n q + a_n q^2 = a_n(1 + q + q^2)$ — $a_{n+1} = a_n q$ ו־ $a_{n+2} = a_n q^2$
$c_n = \frac{a_n(1 + q + q^2)}{4a_n} = \frac{1 + q + q^2}{4}$ — מצמצמים ב־ $a_n > 0$
$1 + q + q^2 = 1.96$ — מסעיף ג
$c_n = 0.49$ לכל $n$ טבעי — $\frac{1.96}{4} = 0.49$ : הביטוי אינו תלוי ב־ $n$

Worked solution:

\begin{aligned}b_n &= a_n + a_n q + a_n q^2 \\ &= a_n(1 + q + q^2)\end{aligned}

כל איבר בסדרה $a_n$ הוא הקודם כפול $q$

\begin{aligned}c_n &= \frac{a_n(1 + q + q^2)}{4a_n} \\ &= \frac{1 + q + q^2}{4}\end{aligned}

מצמצמים ב־ $a_n > 0$

\begin{aligned}c_n &= \frac{1.96}{4} \\ &= 0.49\end{aligned}

$1 + q + q^2 = 1.96$ (סעיף ג)

כל איברי הסדרה שווים ל־ $0.49$ , ולכן $c_n$ סדרה קבועה.

Check the answer on elev — Exercise 13

Exercise 14

Show the answer and the solution

Answer: 71

Worked solution:

c_n = 0.49

סעיף ד (1)

S_k = 0.49k

סכום של $k$ איברים שווים

\begin{aligned}0.49k &= 34.79 \Rightarrow k \\ &= 71\end{aligned}

$k = 71$ .

Check the answer on elev — Exercise 14

Exercise 15

$b_n$ היא סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים $b_n = a_n + a_{n+1} + a_{n+2}$ לכל $n$ טבעי. נתון כי סכום הסדרה $b_n$ גדול פי $1.96$ מסכום הסדרה $a_n$ . $c_n$ היא סדרה שאיבריה מקיימים $c_n = \frac{b_n}{4 \cdot a_n}$ לכל $n$ טבעי. נתון כי סכום $k$ האיברים הראשונים בסדרה הוא $34.79$ . החליפו את הסימן של כל אחד מן האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה $c_n$ . ה. מצאו את סכום $k$ האיברים הראשונים בסדרה $c_n$ לאחר החלפת הסימנים. נמקו את תשובתכם.

Show the answer and the solution

Answer: 0.49

Worked solution:

0.49 - 0.49 + 0.49 - 0.49 + \ldots

אחרי החלפת הסימנים

\begin{aligned}k &= 71 \\ &= 2 \cdot 35 + 1\end{aligned}

$35$ זוגות של איבר במקום אי־זוגי ואיבר במקום זוגי, ועוד האיבר ה־ $71$

35 \cdot (0.49 - 0.49) + 0.49 = 0.49

סכום כל זוג הוא $0$ ; האיבר האחרון במקום אי־זוגי, וסימנו לא הוחלף

הסכום הוא $0.49$ .

Check the answer on elev — Exercise 15

שאלה 3 — הסתברות: שלבי קבלה לעבודה

Exercise 16

א. מצאו את ההסתברות שמועמד שעבר את שני המבחנים יעבור את הריאיון.

Show the answer and the solution

Answer: 0.75

Worked solution:

\begin{aligned}P(A_1 \cap A_2) &= p \cdot 2p \\ &= 2p^2\end{aligned}

$A_1$ : המועמד עובר את מבחן א׳; $A_2$ : עובר את מבחן ב׳. מי שעבר את א׳ עובר את ב׳ בהסתברות $2p$

\begin{aligned}P(J) &= 2p^2 r \\ \quad P(A_1 \cap A_2 \cap \overline{J}) &= 2p^2(1 - r)\end{aligned}

$J$ : המועמד מתקבל לעבודה; $r$ : ההסתברות שמועמד שעבר את שני המבחנים יעבור את הריאיון

2p^2 r = 3 \cdot 2p^2 (1 - r)

הנתון; מחלקים ב־ $2p^2 > 0$

\begin{aligned}r &= 3 - 3r \Rightarrow 4r \\ &= 3 \Rightarrow r \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

ההסתברות היא $\frac{3}{4} = 0.75$ .

Check the answer on elev — Exercise 16

Exercise 17

$94\%$ מן המועמדים לא מתקבלים לעבודה. ב. מצאו את הערך של $p$ .

Show the answer and the solution

Answer: 0.2

Worked solution:

\begin{aligned}P(J) &= 1 - 0.94 \\ &= 0.06\end{aligned}

$J$ : המועמד מתקבל לעבודה

\begin{aligned}2p^2 \cdot \frac{3}{4} &= \frac{3}{2}p^2 \\ &= 0.06\end{aligned}

מסעיף א

\begin{aligned}p^2 &= 0.04 \Rightarrow p \\ &= 0.2\end{aligned}

$p > 0$ ; ואכן $2p = 0.4 < 1$

$p = 0.2$ .

Check the answer on elev — Exercise 17

Exercise 18

$94\%$ מן המועמדים לא מתקבלים לעבודה. ג. ידוע כי מועמד לא התקבל לעבודה. מהי ההסתברות שמועמד זה עבר את מבחן א׳?

Show the answer and the solution

Answer: 0.1489

Worked solution:

\begin{aligned}P(A_1 \cap \overline{J}) &= P(A_1) - P(J) \\ &= 0.2 - 0.06 \\ &= 0.14\end{aligned}

$A_1$ : עבר את מבחן א׳, $J$ : מתקבל. כל מי שמתקבל עבר את מבחן א׳

\begin{aligned}P(A_1 \mid \overline{J}) &= \frac{0.14}{0.94} \\ &= \frac{7}{47}\end{aligned}

הסתברות מותנית

\frac{7}{47} \approx 0.149

ההסתברות היא $\frac{7}{47} \approx 0.149$ .

Check the answer on elev — Exercise 18

Exercise 19

$94\%$ מן המועמדים לא מתקבלים לעבודה. מבין כל המועמדים שלא התקבלו לעבודה בוחרים באקראי $5$ מועמדים. ד. מהי ההסתברות שלפחות שניים מהם עברו את מבחן א׳?

Show the answer and the solution

Answer: 0.1628

Worked solution:

P(A_1 \mid \overline{J}) = \frac{7}{47}

מסעיף ג: לכל אחד מן החמישה, באופן בלתי תלוי

P(X = 0) = \left(\frac{40}{47}\right)^5 \approx 0.4464

$X$ : מספר המועמדים שעברו את מבחן א׳ — התפלגות בינומית, $n = 5$

P(X = 1) = 5 \cdot \frac{7}{47} \cdot \left(\frac{40}{47}\right)^4 \approx 0.3907

P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \approx 0.1628

המאורע המשלים

ההסתברות היא $\approx 0.163$ .

Check the answer on elev — Exercise 19

שאלה 4 — משולש שווה צלעות החסום במעגל

Exercise 20

א. הוכיחו: $\angle AEB = \angle BEC = \angle CED = 60^\circ$ .

$ABC$ משולש שווה צלעות החסום במעגל
$D$ על המשך הצלע $BC$
$E$ על המעגל ועל הקטע $AD$

$\angle AEB = \angle BEC = \angle CED = 60^\circ$

Show the answer and the solution

$\angle BAC = \angle ACB = \angle ABC = 60^\circ$ — במשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות ל־ $60^\circ$
$\angle AEB = \angle ACB = 60^\circ$ — זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת $AB$
$\angle BEC = \angle BAC = 60^\circ$ — זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת $BC$
$\angle AEC = 180^\circ - \angle ABC = 120^\circ$ — במרובע $ABCE$ החסום במעגל, סכום זוויות נגדיות הוא $180^\circ$
$\angle CED = 60^\circ$ — זוויות צמודות: $A$ , $E$ , $D$ על ישר אחד, $180^\circ - 120^\circ$

Worked solution:

\begin{aligned}\angle BAC &= \angle ACB \\ &= \angle ABC \\ &= 60^\circ\end{aligned}

המשולש $ABC$ שווה צלעות

\begin{aligned}\angle AEB &= \angle ACB \\ &= 60^\circ\end{aligned}

זוויות היקפיות הנשענות על הקשת $AB$

\begin{aligned}\angle BEC &= \angle BAC \\ &= 60^\circ\end{aligned}

זוויות היקפיות הנשענות על הקשת $BC$

\begin{aligned}\angle AEC &= 180^\circ - \angle ABC \\ &= 120^\circ\end{aligned}

המרובע $ABCE$ חסום במעגל: זוויות נגדיות משלימות ל־ $180^\circ$

\begin{aligned}\angle CED &= 180^\circ - 120^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

זוויות צמודות

שלוש הזוויות שוות ל־ $60^\circ$ .

Check the answer on elev — Exercise 20

Exercise 21

ב. הוכיחו: $\triangle AEB \sim \triangle CED$ .

$ABC$ משולש שווה צלעות החסום במעגל
$D$ על המשך הצלע $BC$
$E$ על המעגל ועל הקטע $AD$

$\triangle AEB \sim \triangle CED$

Show the answer and the solution

$\angle AEB = \angle CED = 60^\circ$ — סעיף א
$\angle BAE + \angle BCE = 180^\circ$ — במרובע $ABCE$ החסום במעגל, סכום זוויות נגדיות הוא $180^\circ$
$\angle ECD = 180^\circ - \angle BCE$ — זוויות צמודות: $B$ , $C$ , $D$ על ישר אחד
$\angle BAE = \angle ECD$ — שתיהן משלימות את $\angle BCE$ ל־ $180^\circ$
$\triangle AEB \sim \triangle CED$ — משפט הדמיון ז״ז: $A \leftrightarrow C$ , $E \leftrightarrow E$ , $B \leftrightarrow D$

Worked solution:

\begin{aligned}\angle AEB &= \angle CED \\ &= 60^\circ\end{aligned}

סעיף א

\angle BAE = 180^\circ - \angle BCE

המרובע $ABCE$ חסום במעגל

\angle ECD = 180^\circ - \angle BCE

זוויות צמודות

\angle BAE = \angle ECD

זווית חיצונית למרובע חסום שווה לזווית הפנימית הנגדית

\triangle AEB \sim \triangle CED

ז.ז

שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן $\triangle AEB \sim \triangle CED$ ( $A \leftrightarrow C$ , $E \leftrightarrow E$ , $B \leftrightarrow D$ ).

Check the answer on elev — Exercise 21

Exercise 22

ג. הוכיחו: $\frac{AE}{CE} = \frac{BC}{CD}$ .

$ABC$ משולש שווה צלעות החסום במעגל
$D$ על המשך הצלע $BC$
$E$ על המעגל ועל הקטע $AD$
$\triangle AEB \sim \triangle CED$ (סעיף ב)

$\frac{AE}{CE} = \frac{BC}{CD}$

Show the answer and the solution

$\triangle AEB \sim \triangle CED$ — סעיף ב
$\frac{AE}{CE} = \frac{AB}{CD}$ — במשולשים דומים, הצלעות המתאימות באותו יחס: $AE \leftrightarrow CE$ , $AB \leftrightarrow CD$
$AB = BC$ — המשולש $ABC$ שווה צלעות
$\frac{AE}{CE} = \frac{BC}{CD}$ — מציבים $AB = BC$

Worked solution:

\triangle AEB \sim \triangle CED

סעיף ב, בהתאמה $A \leftrightarrow C$ , $E \leftrightarrow E$ , $B \leftrightarrow D$

\begin{aligned}\frac{AE}{CE} &= \frac{EB}{ED} \\ &= \frac{AB}{CD}\end{aligned}

יחס הדמיון

AB = BC

המשולש $ABC$ שווה צלעות

\frac{AE}{CE} = \frac{BC}{CD}

מיחס הדמיון ומ־ $AB = BC$ .

Check the answer on elev — Exercise 22

Exercise 23

נתון כי שטח המשולש $AEB$ גדול פי $2.25$ משטח המשולש $CED$ . ד. מצאו פי כמה גדול שטח המשולש $ABD$ משטח המשולש $CED$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4.75

Worked solution:

\begin{aligned}\left(\frac{AB}{CD}\right)^2 &= 2.25 \Rightarrow \frac{AB}{CD} \\ &= 1.5\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון (סעיף ב)

\begin{aligned}AB &= BC \\ &= s \\ \quad CD &= \frac{2s}{3} \\ \quad BD &= \frac{5s}{3}\end{aligned}

נסמן ב־ $s$ את צלע המשולש שווה הצלעות

\begin{aligned}\angle DEC &= \angle DBA \\ &= 60^\circ\end{aligned}

סעיף א, ו־ $\angle ABC = 60^\circ$ ; הזווית $D$ משותפת

\triangle DCE \sim \triangle DAB

ז.ז, בהתאמה $D \leftrightarrow D$ , $C \leftrightarrow A$ , $E \leftrightarrow B$

\begin{aligned}AD^2 &= s^2 + \frac{25s^2}{9} - 2 \cdot s \cdot \frac{5s}{3} \cdot \cos 60^\circ \\ &= \frac{19s^2}{9}\end{aligned}

משפט הקוסינוסים במשולש $ABD$

\begin{aligned}\frac{S_{ABD}}{S_{CED}} &= \left(\frac{AD}{CD}\right)^2 \\ &= \frac{19s^2/9}{4s^2/9} \\ &= \frac{19}{4}\end{aligned}

ריבוע יחס הדמיון

שטח המשולש $ABD$ גדול פי $\frac{19}{4} = 4.75$ משטח המשולש $CED$ .

Check the answer on elev — Exercise 23

שאלה 5 — משולש שווה שוקיים ושני אנכים

Exercise 24

א. הביעו באמצעות $k$ ו־ $\alpha$ את אורכי הקטעים $DE$ ו־ $ME$ .

A $DE = k\sin\alpha$ , $ME = 3k\sin\alpha$
B $DE = k\tan\alpha$ , $ME = 3k\tan\alpha$
C $DE = k\sin\alpha$ , $ME = 4k\sin\alpha$
D $DE = k\cos\alpha$ , $ME = 3k\cos\alpha$

Show the answer and the solution

Answer: A $DE = k\sin\alpha$ , $ME = 3k\sin\alpha$

Worked solution:

\begin{aligned}\angle ACB &= \angle ABC \\ &= \alpha\end{aligned}

במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות

\begin{aligned}DE &= EC \cdot \sin\angle C \\ &= k\sin\alpha\end{aligned}

במשולש ישר הזווית $EDC$ ( $\angle D = 90^\circ$ ): $DE$ מול הזווית $C$ , ו־ $EC$ יתר

BE = 3k

נתון

\begin{aligned}ME &= BE \cdot \sin\angle B \\ &= 3k\sin\alpha\end{aligned}

במשולש ישר הזווית $EMB$ ( $\angle M = 90^\circ$ )

$DE = k\sin\alpha$ , $ME = 3k\sin\alpha$ .

Check the answer on elev — Exercise 24

Exercise 25

נתון כי סכום שטחי המשולשים $CED$ ו־ $BEM$ הוא $1.6k^2$ . ב. מצאו את הערך של $\alpha$ (בדרגות).

Show the answer and the solution

Answer: 70.1041

Worked solution:

S_{CED} = \frac{1}{2} \cdot k\sin\alpha \cdot k\cos\alpha

ניצבים $DE = k\sin\alpha$ ו־ $DC = k\cos\alpha$

S_{BEM} = \frac{1}{2} \cdot 3k\sin\alpha \cdot 3k\cos\alpha

ניצבים $ME = 3k\sin\alpha$ ו־ $MB = 3k\cos\alpha$

5k^2 \sin\alpha\cos\alpha = 1.6k^2

סכום השטחים: $\frac{1}{2} + \frac{9}{2} = 5$

\sin 2\alpha = 0.64

$2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$ ; מחלקים ב־ $2.5k^2$

\begin{aligned}2\alpha &= 39.79^\circ \ \text{או} \ 2\alpha \\ &= 140.21^\circ\end{aligned}

שני הפתרונות בתחום $0^\circ < 2\alpha < 180^\circ$

\alpha \approx 70.1^\circ

$30^\circ < \alpha < 90^\circ$ : $\alpha \approx 19.9^\circ$ נפסל

$\alpha \approx 70.1^\circ$ .

Check the answer on elev — Exercise 25

Exercise 26

נתון כי סכום שטחי המשולשים $CED$ ו־ $BEM$ הוא $1.6k^2$ . נתון כי אורך רדיוס המעגל החוסם את המשולש $AED$ הוא $29$ . ג. מצאו את הערך של $k$ .

Show the answer and the solution

Answer: 10.3278

Worked solution:

\begin{aligned}\angle ADE &= 90^\circ \Rightarrow AE \\ &= 2R \\ &= 58\end{aligned}

במשולש ישר זווית, מרכז המעגל החוסם הוא אמצע היתר

\begin{aligned}BC &= 4k \\ \quad BH &= 2k \\ \quad HE &= 3k - 2k \\ &= k\end{aligned}

$H$ אמצע הבסיס $BC$ ; במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא גובה

\begin{aligned}AH &= BH \cdot \tan\alpha \\ &= 2k\tan\alpha\end{aligned}

במשולש ישר הזווית $ABH$

\begin{aligned}AE^2 &= AH^2 + HE^2 \\ &= k^2(4\tan^2\alpha + 1)\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $AHE$

\tan\alpha \approx 2.763 \Rightarrow 4\tan^2\alpha + 1 \approx 31.54

$\alpha \approx 70.1^\circ$ (סעיף ב)

k = \frac{58}{\sqrt{31.54}} \approx 10.33

$k \approx 10.33$ .

Check the answer on elev — Exercise 26

שאלה 6 — פונקצייה רציונלית עם פרמטר

Exercise 27

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה $f(x)$ .

A $x \neq \pm\sqrt{a}$
B $x \neq 1$
C $x > -a$
Dכל $x$

Show the answer and the solution

Answer: D כל $x$

Worked solution:

\begin{aligned}x^2 + a &= 0 \iff x^2 \\ &= -a\end{aligned}

המכנה מתאפס רק כאשר $x^2 = -a$

x^2 \ge 0 > -a

$a > 0$ : למשוואה אין פתרון, והמכנה חיובי תמיד

הפונקצייה מוגדרת לכל $x$ .

Check the answer on elev — Exercise 27

Exercise 28

א (2). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה $f(x)$ (אם יש כאלה).

A $x = \pm\sqrt{a}$ ו־ $y = 6$
B $y = 0$ בלבד
C $x = 1$ ו־ $y = 6$
D $y = 6$ בלבד

Show the answer and the solution

Answer: D $y = 6$ בלבד

Worked solution:

x^2 + a > 0

המכנה אינו מתאפס (סעיף א (1)): אין אסימפטוטות אנכיות

f(x) = \frac{6\left(1 - \frac{1}{x}\right)^2}{1 + \frac{a}{x^2}} \xrightarrow[x \to \pm\infty]{} 6

מחלקים מונה ומכנה ב־ $x^2$

יש אסימפטוטה אופקית אחת, $y = 6$ , ואין אסימפטוטות אנכיות.

Check the answer on elev — Exercise 28

Exercise 29

ב. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה $f(x)$ , וקבעו את סוגן. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ אם יש צורך.

Aמקסימום $\left(-a, \frac{6(a + 1)}{a}\right)$ ; מינימום $(1, 0)$
Bמינימום $(1, 0)$ בלבד
Cמקסימום $\left(a, \frac{6(a - 1)^2}{a(a + 1)}\right)$ ; מינימום $(1, 0)$
Dמינימום $\left(-a, \frac{6(a + 1)}{a}\right)$ ; מקסימום $(1, 0)$

Show the answer and the solution

Answer: A מקסימום $\left(-a, \frac{6(a + 1)}{a}\right)$ ; מינימום $(1, 0)$

Worked solution:

f'(x) = \frac{12(x - 1)(x^2 + a) - 6(x - 1)^2 \cdot 2x}{(x^2 + a)^2}

נגזרת של מנה

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{12(x - 1)\left(x^2 + a - x^2 + x\right)}{(x^2 + a)^2} \\ &= \frac{12(x - 1)(x + a)}{(x^2 + a)^2}\end{aligned}

מוציאים גורם משותף $12(x - 1)$

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \iff x \\ &= 1 \ \text{או} \ x \\ &= -a\end{aligned}

x < -a: \ f' > 0; \quad -a < x < 1: \ f' < 0; \quad x > 1: \ f' > 0

טבלת סימנים ( $-a < 0 < 1$ )

\begin{aligned}f(-a) &= \frac{6(a + 1)^2}{a^2 + a} \\ &= \frac{6(a + 1)}{a}\end{aligned}

מציבים; $a^2 + a = a(a + 1)$

f(1) = 0

מקסימום $\left(-a, \frac{6(a + 1)}{a}\right)$ ומינימום $(1, 0)$ .

Check the answer on elev — Exercise 29

Exercise 30

נתון כי שיעור ה־ $y$ של נקודת המקסימום של הפונקצייה $f(x)$ הוא $7.5$ . ג. מצאו את הערך של $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\frac{6(a + 1)}{a} = 7.5

סעיף ב

\begin{aligned}6a + 6 &= 7.5a \Rightarrow 1.5a \\ &= 6 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

$a = 4$ .

Check the answer on elev — Exercise 30

Exercise 31

הגרפים I–IV

נתון כי שיעור ה־ $y$ של נקודת המקסימום של הפונקצייה $f(x)$ הוא $7.5$ . בעבור הערך של $a$ שמצאתם ענו על הסעיפים ד–ה. ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $f(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף IV
Bגרף III
Cגרף II
Dגרף I

Show the answer and the solution

Answer: C גרף II

Worked solution:

f(x) = \frac{6(x - 1)^2}{x^2 + 4}

מציבים $a = 4$

y = 6

אסימפטוטה אופקית, ואין אסימפטוטות אנכיות

(-4, 7.5), \quad (1, 0)

מקסימום ומינימום (סעיף ב)

f(0) = 1.5

נקודת החיתוך עם ציר ה־ $y$

f(x) - 6 = \frac{-6(2x + 3)}{x^2 + 4}

משמאל ל־ $x = -1.5$ הגרף מעל האסימפטוטה, ומימין לה מתחתיה

גרף II: מן האסימפטוטה $y = 6$ (מלמעלה) עולה אל המקסימום $(-4, 7.5)$ , יורד אל המינימום $(1, 0)$ ועולה שוב אל $y = 6$ . בגרף I אין מקסימום, גרף III הוא $f(-x)$ , ובגרף IV יש אסימפטוטות אנכיות.

Check the answer on elev — Exercise 31

Exercise 32

נתון כי שיעור ה־ $y$ של נקודת המקסימום של הפונקצייה $f(x)$ הוא $7.5$ . בעבור הערך של $a$ שמצאתם ענו על הסעיפים ד–ה. $f'(x)$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקצייה $f(x)$ . $g(x)$ היא פונקצייה המקיימת $g(x) = \frac{-f'(x)}{(f(x))^2}$ . ה (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה $g(x)$ .

$x \neq$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x \neq$ 1

Worked solution:

f'(x) = \frac{12(x - 1)(x + 4)}{(x^2 + 4)^2}

מוגדרת לכל $x$

\begin{aligned}(f(x))^2 &= 0 \iff x \\ &= 1\end{aligned}

המכנה מתאפס רק באפס של $f$

$x \neq 1$ .

Check the answer on elev — Exercise 32

Exercise 33

נתון כי שיעור ה־ $y$ של נקודת המקסימום של הפונקצייה $f(x)$ הוא $7.5$ . בעבור הערך של $a$ שמצאתם ענו על הסעיפים ד–ה. $f'(x)$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקצייה $f(x)$ . $g(x)$ היא פונקצייה המקיימת $g(x) = \frac{-f'(x)}{(f(x))^2}$ . ה (2). מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקצייה $g(x)$ .

Aחיובית: $-4 < x < 0$ ; שלילית: $x < -4$ או $0 < x < 1$ או $x > 1$
Bחיובית: לכל $x \neq 1$ ; שלילית: אין
Cחיובית: $x < -4$ או $x > 1$ ; שלילית: $-4 < x < 1$
Dחיובית: $-4 < x < 1$ ; שלילית: $x < -4$ או $x > 1$

Show the answer and the solution

Answer: D חיובית: $-4 < x < 1$ ; שלילית: $x < -4$ או $x > 1$

Worked solution:

(f(x))^2 > 0 \quad (x \neq 1)

המכנה חיובי בכל התחום

\operatorname{sign} g(x) = -\operatorname{sign} f'(x)

בגלל המינוס במונה

x < -4: \ f' > 0; \quad -4 < x < 1: \ f' < 0; \quad x > 1: \ f' > 0

סעיף ב, עם $a = 4$

חיובית בתחום $-4 < x < 1$ , שלילית בתחומים $x < -4$ ו־ $x > 1$ .

Check the answer on elev — Exercise 33

Exercise 34

נתון כי שיעור ה־ $y$ של נקודת המקסימום של הפונקצייה $f(x)$ הוא $7.5$ . בעבור הערך של $a$ שמצאתם ענו על הסעיפים ד–ה. $f'(x)$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקצייה $f(x)$ . $g(x)$ היא פונקצייה המקיימת $g(x) = \frac{-f'(x)}{(f(x))^2}$ . ה (3). חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה $g(x)$ ועל ידי ציר ה־ $x$ בתחום $-a \le x \le 0$ .

Show the answer and the solution

Answer: 0.5333

Worked solution:

\begin{aligned}\left(\frac{1}{f(x)}\right)' &= \frac{-f'(x)}{(f(x))^2} \\ &= g(x)\end{aligned}

$\frac{1}{f(x)}$ היא פונקצייה קדומה של $g(x)$

-4 \le x \le 0: \ g(x) \ge 0

סעיף ה (2): הגרף מעל ציר ה־ $x$

\begin{aligned}S &= \int_{-4}^{0} g(x)\,dx \\ &= \frac{1}{f(0)} - \frac{1}{f(-4)}\end{aligned}

\begin{aligned}f(0) &= \frac{6}{4} \\ &= 1.5 \\ \quad f(-4) &= 7.5\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{1}{1.5} - \frac{1}{7.5} \\ &= \frac{2}{3} - \frac{2}{15} \\ &= \frac{8}{15}\end{aligned}

השטח הוא $\frac{8}{15} \approx 0.533$ .

Check the answer on elev — Exercise 34

שאלה 7 — פונקצייה טריגונומטרית

Exercise 35

א. הוכיחו כי הפונקצייה $f(x)$ היא זוגית.

$f(x) = (\sin x)^2 \cdot \cos(2x)$
$-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$

$f(-x) = f(x)$ לכל $x$ בתחום

Show the answer and the solution

התחום $-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$ סימטרי ביחס ל־ $0$ — אם $x$ בתחום, גם $-x$ בתחום
$(\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = (\sin x)^2$ — סינוס היא פונקצייה אי־זוגית
$\cos(-2x) = \cos(2x)$ — קוסינוס היא פונקצייה זוגית
$f(-x) = f(x)$ — מציבים $-x$ בפונקצייה

Worked solution:

-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4} \iff -\frac{\pi}{4} \le -x \le \frac{\pi}{4}

התחום סימטרי

f(-x) = (\sin(-x))^2 \cdot \cos(-2x)

מציבים $-x$

\begin{aligned}(-\sin x)^2 \cdot \cos(2x) &= (\sin x)^2 \cdot \cos(2x) \\ &= f(x)\end{aligned}

$\sin(-x) = -\sin x$ , $\cos(-t) = \cos t$

$f(-x) = f(x)$ לכל $x$ בתחום הסימטרי, ולכן $f(x)$ זוגית.

Check the answer on elev — Exercise 35

Exercise 36

ב. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקצייה $f(x)$ , וקבעו את סוגן.

Aמקסימום $\left(\pm\frac{\pi}{6}, \frac{1}{8}\right)$ ; מינימום $(0, 0)$
Bמקסימום $\left(\pm\frac{\pi}{6}, \frac{1}{4}\right)$ ; מינימום $(0, 0)$ ו־ $\left(\pm\frac{\pi}{4}, 0\right)$ ; פיתול $\left(\pm\frac{\pi}{12}, 0\right)$
Cמינימום $\left(\pm\frac{\pi}{6}, -\frac{1}{8}\right)$ ; מקסימום $(0, 0)$ ו־ $\left(\pm\frac{\pi}{4}, 0\right)$
Dמקסימום $\left(\pm\frac{\pi}{6}, \frac{1}{8}\right)$ ; מינימום $(0, 0)$ ו־ $\left(\pm\frac{\pi}{4}, 0\right)$

Show the answer and the solution

Answer: D מקסימום $\left(\pm\frac{\pi}{6}, \frac{1}{8}\right)$ ; מינימום $(0, 0)$ ו־ $\left(\pm\frac{\pi}{4}, 0\right)$

Worked solution:

f'(x) = 2\sin x\cos x \cdot \cos 2x - 2\sin^2 x \cdot \sin 2x

נגזרת של מכפלה

\begin{aligned}f'(x) &= \sin 2x\,(\cos 2x - 2\sin^2 x) \\ &= \sin 2x\,(1 - 4\sin^2 x)\end{aligned}

$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \iff x \\ &= 0 \ \text{או} \ \sin^2 x \\ &= \frac{1}{4} \iff x \\ &= 0 \\ \ \pm\frac{\pi}{6}\end{aligned}

בתחום $-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$

0 < x < \frac{\pi}{6}: \ f' > 0; \quad \frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{4}: \ f' < 0

טבלת סימנים; הצד השני לפי הזוגיות

\begin{aligned}f\left(\pm\frac{\pi}{6}\right) &= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{8} \\ \quad f(0) &= 0 \\ \quad f\left(\pm\frac{\pi}{4}\right) &= \frac{1}{2} \cdot 0 \\ &= 0\end{aligned}

מקסימום $\left(\pm\frac{\pi}{6}, \frac{1}{8}\right)$ ; מינימום $(0, 0)$ , ומינימום בקצות התחום $\left(\pm\frac{\pi}{4}, 0\right)$ .

Check the answer on elev — Exercise 36

Exercise 37

הגרפים I–IV

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $f(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף III
Bגרף I
Cגרף IV
Dגרף II

Show the answer and the solution

Answer: A גרף III

Worked solution:

\left(\pm\frac{\pi}{6}, \frac{1}{8}\right)

שתי נקודות מקסימום (סעיף ב)

(0, 0), \ \left(\pm\frac{\pi}{4}, 0\right)

מינימום באמצע ובשני קצות התחום

f(x) \ge 0

$\sin^2 x \ge 0$ ו־ $\cos 2x \ge 0$ בתחום: הגרף אינו יורד מתחת לציר ה־ $x$

גרף III: שתי "גבעות" סימטריות, בין $0$ לבין $\pm\frac{\pi}{4}$ . גרף I הוא $-f(x)$ , בגרף II מקסימום אחד ב־ $x = 0$ , ובגרף IV הפונקצייה עולה עד קצות התחום.

Check the answer on elev — Exercise 37

Exercise 38

פונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרת בתחום $-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$ . נתונה הפונקצייה $g(x) = \sqrt{a \cdot f'(x)}$ . $a$ הוא פרמטר שלילי. ד (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה $g(x)$ .

A $-\frac{\pi}{4} \le x \le -\frac{\pi}{6}$ או $x = 0$ או $\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{4}$
B $-\frac{\pi}{6} \le x \le 0$ או $\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{4}$
C $-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$
D $-\frac{\pi}{4} \le x \le -\frac{\pi}{6}$ או $0 \le x \le \frac{\pi}{6}$

Show the answer and the solution

Answer: B $-\frac{\pi}{6} \le x \le 0$ או $\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{4}$

Worked solution:

a \cdot f'(x) \ge 0 \iff f'(x) \le 0

$a < 0$

f'(x) = \sin 2x\,(1 - 4\sin^2 x)

סעיף ב

-\frac{\pi}{6} \le x \le 0: \ \sin 2x \le 0, \ 1 - 4\sin^2 x \ge 0 \Rightarrow f' \le 0

\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{4}: \ \sin 2x > 0, \ 1 - 4\sin^2 x \le 0 \Rightarrow f' \le 0

-\frac{\pi}{4} \le x < -\frac{\pi}{6} \ \text{או} \ 0 < x < \frac{\pi}{6}: \ f' > 0

שם $g$ אינה מוגדרת

$-\frac{\pi}{6} \le x \le 0$ או $\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{4}$ : התחומים שבהם הפונקצייה $f(x)$ יורדת.

Check the answer on elev — Exercise 38

Exercise 39

פונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרת בתחום $-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$ . נתונה הפונקצייה $g(x) = \sqrt{a \cdot f'(x)}$ . $a$ הוא פרמטר שלילי. ד (2). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה $g(x)$ עם ציר ה־ $x$ .

$x =$ ____ $\pi$ , $x =$ ____ $\pi$ , $x =$ ____ $\pi$ (מהקטן לגדול; בכולן $y = 0$ )

Show the answer and the solution

Answer: $x =$ -0.1667 $\pi$ , $x =$ 0 $\pi$ , $x =$ 0.1667 $\pi$ (מהקטן לגדול; בכולן $y = 0$ )

Worked solution:

\begin{aligned}g(x) &= 0 \iff f'(x) \\ &= 0\end{aligned}

$a \neq 0$

\begin{aligned}x &= -\frac{\pi}{6} \\ \ 0 \\ \ \frac{\pi}{6}\end{aligned}

סעיף ב; שלושתן בתחום ההגדרה של $g$

$\left(-\frac{\pi}{6}, 0\right)$ , $(0, 0)$ , $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$ .

Check the answer on elev — Exercise 39

Exercise 40

הגרפים I–IV

פונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרת בתחום $-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$ . נתונה הפונקצייה $g(x) = \sqrt{a \cdot f'(x)}$ . $a$ הוא פרמטר שלילי. נתון כי לפונקצייה $f(x)$ יש נקודת פיתול אחת בלבד בתחום ההגדרה של הפונקצייה $g(x)$ . ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה $g(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף IV
Bגרף II
Cגרף III
Dגרף I

Show the answer and the solution

Answer: D גרף I

Worked solution:

g(x) \ge 0

שורש ריבועי אינו שלילי

\begin{aligned}g\left(-\frac{\pi}{6}\right) &= g(0) \\ &= g\left(\frac{\pi}{6}\right) \\ &= 0\end{aligned}

סעיף ד (2)

-\frac{\pi}{6} < x < 0

בין שני אפסים $g > 0$ : הגרף עולה ויורד. שם נמצאת נקודת הפיתול של $f$ , נקודת הקיצון של $f'$

\begin{aligned}f'\left(\frac{\pi}{6}\right) &= 0 \\ \quad f'\left(\frac{\pi}{4}\right) &= -1\end{aligned}

בתחום $\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{4}$ אין נקודת פיתול, ולכן $f'$ מונוטונית: יורדת מ־ $0$ אל $-1$

g\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{-a}

$g$ עולה מ־ $0$ עד קצה התחום

גרף I: "גבעה" בין $-\frac{\pi}{6}$ ל־ $0$ , וענף עולה בין $\frac{\pi}{6}$ ל־ $\frac{\pi}{4}$ . גרף II הוא $g(-x)$ , גרף III הוא $-g(x)$ , ובגרף IV הענף הימני יורד.

Check the answer on elev — Exercise 40

שאלה 8 — פונקציית חזקה ובעיית קיצון

Exercise 41

א. הביעו באמצעות $b$ ו־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $B$ . (אפשר לכתוב את המקדמים כשברים או כמספרים עשרוניים.)

$x_B =$ ____ $\cdot (4t - 2)^3 +$ ( ____ ) $\cdot b$

Show the answer and the solution

Answer: $x_B =$ 0.33333 $\cdot (4t - 2)^3 +$ ( -0.33333 ) $\cdot b$

Worked solution:

y_A = (4t - 2)^3

$A$ על גרף הפונקצייה

y_B = y_A

$AB$ מקביל לציר ה־ $x$

3x_B + b = (4t - 2)^3

$B$ על הישר

\begin{aligned}x_B &= \frac{(4t - 2)^3 - b}{3} \\ &= \frac{1}{3}(4t - 2)^3 - \frac{1}{3}b\end{aligned}

$x_B = \frac{(4t - 2)^3 - b}{3}$ .

Check the answer on elev — Exercise 41

Exercise 42

ב (1). מצאו את הערך של $t$ שבעבורו אורך הקטע $AB$ הוא מינימלי.

Show the answer and the solution

Answer: 0.375

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= x_A - x_B \\ &= t - \frac{(4t - 2)^3 - b}{3}\end{aligned}

$A$ משמאל לנקודת החיתוך: שם הישר מעל הגרף, ו־ $B$ משמאל ל־ $A$

\begin{aligned}L'(t) &= 1 - \frac{3(4t - 2)^2 \cdot 4}{3} \\ &= 1 - 4(4t - 2)^2\end{aligned}

גוזרים לפי $t$ ; $b$ קבוע

\begin{aligned}L'(t) &= 0 \iff (4t - 2)^2 \\ &= \frac{1}{4} \iff t \\ &= \frac{3}{8} \ \text{או} \ t \\ &= \frac{5}{8}\end{aligned}

$4t - 2 = \pm\frac{1}{2}$

0 < t < \frac{3}{8}: \ L' < 0; \quad \frac{3}{8} < t < \frac{5}{8}: \ L' > 0; \quad \frac{5}{8} < t < 0.7: \ L' < 0

טבלת סימנים

\begin{aligned}L(0) &= \frac{8 + b}{3} \\ \ L\left(\frac{3}{8}\right) &= \frac{1.25 + b}{3} \\ \ L\left(\frac{5}{8}\right) &= \frac{1.75 + b}{3} \\ \ L(0.7) &= \frac{1.588 + b}{3}\end{aligned}

משווים את הקיצונים המקומיים לקצות הקטע

$t = \frac{3}{8} = 0.375$ : הערך הקטן ביותר מבין ארבעת הערכים, $\frac{1.25 + b}{3}$ .

Check the answer on elev — Exercise 42

Exercise 43

ב (2). מצאו את הערך של $t$ שבעבורו אורך הקטע $AB$ הוא מקסימלי.

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= x_A - x_B \\ &= t - \frac{(4t - 2)^3 - b}{3}\end{aligned}

$A$ משמאל לנקודת החיתוך: שם הישר מעל הגרף, ו־ $B$ משמאל ל־ $A$

\begin{aligned}L'(t) &= 1 - \frac{3(4t - 2)^2 \cdot 4}{3} \\ &= 1 - 4(4t - 2)^2\end{aligned}

גוזרים לפי $t$ ; $b$ קבוע

\begin{aligned}L'(t) &= 0 \iff (4t - 2)^2 \\ &= \frac{1}{4} \iff t \\ &= \frac{3}{8} \ \text{או} \ t \\ &= \frac{5}{8}\end{aligned}

$4t - 2 = \pm\frac{1}{2}$

0 < t < \frac{3}{8}: \ L' < 0; \quad \frac{3}{8} < t < \frac{5}{8}: \ L' > 0; \quad \frac{5}{8} < t < 0.7: \ L' < 0

טבלת סימנים

\begin{aligned}L(0) &= \frac{8 + b}{3} \\ \ L\left(\frac{3}{8}\right) &= \frac{1.25 + b}{3} \\ \ L\left(\frac{5}{8}\right) &= \frac{1.75 + b}{3} \\ \ L(0.7) &= \frac{1.588 + b}{3}\end{aligned}

משווים את הקיצונים המקומיים לקצות הקטע

$t = 0$ : המקסימום של הקטע מתקבל בקצה, $\frac{8 + b}{3}$ גדול מ־ $\frac{1.75 + b}{3}$ .

Check the answer on elev — Exercise 43

Words in this lesson

משך: meshekh duration, length of time
שעה: sha’a hour
דקה: daka minute
סך הכול: sakh ha-kol in total, altogether
לכל היותר: le-khol ha-yoter at most
אינדוקציה: induktsia proof by induction
סדרה: sidra sequence
הסתברות: histabrut probability
מישור: mishor plane
פולינום: polinom polynomial
פונקציית שורש: funktsiyat shoresh square-root function
פונקציה רציונלית: funktsia ratsyonalit rational function
פונקציה: funktsia function
טריגונומטריה: trigonometria trigonometry
נוסחה: nusḥa formula
סעיף: se’if part (of a question)
הסבירו: hasbiru explain
הוכיחו: hokhiḥu prove
טענה: ta’ana claim
הוכחה: hokhaḥa proof
ביטוי אלגברי: bitui algebri algebraic expression
מקדם: mekadem coefficient
פתרון: pitaron solution
נתון: natun given
שוויון: shivyon equality
מתקיים: mitkayem holds, is true
פרמטר: parameter parameter
מצאו: mits’u find
להציב: lehatsiv to substitute
אגף: agaf side (of an equation)
איבר: ever term
מספר טבעי: mispar tiv’i natural number
מכנה משותף: mekhane meshutaf common denominator
גורם משותף: gorem meshutaf common factor
נכון: nakhon true, correct
נובע: nove’a follows
גרף: graf graph
מוגדרת: mugderet defined
קבעו: kiv’u determine, decide
נמקו: namku justify, explain why
ציר: tsir axis
נקודה: nekuda point
חיובי: ḥiyuvi positive
שלילי: shlili negative
חשבו: ḥishvu calculate
שטח: shetaḥ area
נקודת חיתוך: nekudat khitukh intersection point
פונקציה עולה: funktsia ola increasing function
אינטגרל: integral integral
יחידת שטח: yeḥidat shetaḥ unit of area
נקודת קיצון: nekudat kitson extremum
אסימפטוטה אופקית: asimptota ofkit horizontal asymptote
שיעורים (של נקודה): shiurim coordinates
אסימפטוטה: asimptota asymptote
מאונכים: me’unakhim perpendicular
אסימפטוטה אנכית: asimptota anakhit vertical asymptote
מכנה: mekhane denominator
מתאפס: mitapes equals zero, vanishes
מקסימום: maksimum maximum
פונקציה יורדת: funktsia yoredet decreasing function
ישר: yashar line
חותך: khotekh cuts, intersects; transversal
מונה: moneh numerator
משוואה: mishva’a equation
סקיצה: skitsa sketch
מינימום: minimum minimum
משולש ישר זווית: meshulash yeshar zavit right triangle
צלע: tsela side
משולש: meshulash triangle
סדרה הנדסית: sidra hendesit geometric sequence
איבר ראשון: ever rishon first term
זווית ישרה: zavit yeshara right angle
יתר: yeter hypotenuse
מנה: mana quotient
סתירה: stira contradiction
לא נכון: lo nakhon false, incorrect
בלתי אפשרי: bilti efshari impossible
אורך: orekh length
שורש: shoresh square root
מספר עשרוני: mispar esroni decimal number
משולש שווה צלעות: meshulash shve tsla’ot equilateral triangle
משפט פיתגורס: mishpat Pitagoras Pythagorean theorem
משוואה ריבועית: mishva’a ribu’it quadratic equation
הגדרה: hagdara definition
כפול: kaful times
סכום: skhum sum
יחס: yaḥas ratio
קבוע: kavua constant
פי: pi times (as many)
נוסחת השורשים: nusḥat ha-shorashim quadratic formula
נפסל: nifsal rejected
צמצום: tsimtsum reducing
מספר זוגי: mispar zugi even number
מספר אי-זוגי: mispar i-zugi odd number
הסתברות מותנית: histabrut mutnit conditional probability
אקראי: akra’i random, at random
לפחות: lefaḥot at least
בלתי תלויים: bilti tluyim independent
התפלגות בינומית: hitpalgut binomit binomial distribution
מאורע משלים: me’ora mashlim complementary event
זווית היקפית: zavit hekefit inscribed angle
נשענת על: nish’enet al subtends (stands on)
קשת: keshet arc
מרובע: meruba quadrilateral
חסום: ḥasum inscribed
מעגל: ma’agal circle
נגדיות: negdiyot opposite (sides, angles)
זוויות משלימות: zaviyot mashlimot supplementary (or complementary) angles
זוויות צמודות: zaviyot tsmudot adjacent (linear pair) angles
זווית: zavit angle
זווית חיצונית: zavit ḥitsonit exterior angle
מרובע חסום: meruba ḥasum cyclic quadrilateral
יחס הדמיון: yaḥas ha-dimyon similarity ratio
יחס השטחים: yaḥas ha-shetaḥim ratio of areas
משולשים דומים: meshulashim domim similar triangles
ריבוע: ribua square
משפט הקוסינוסים: mishpat ha-kosinusim law of cosines
הביעו: habi’u express
קטע: keta line segment
משולש שווה שוקיים: meshulash shve shokayim isosceles triangle
זוויות הבסיס: zaviyot ha-basis base angles
ניצב: nitsav leg
רדיוס: radius radius
מעגל חוסם: ma’agal ḥosem circumscribed circle (circumcircle)
מרכז: merkaz centre
חוסם: ḥosem circumscribed
אמצע קטע: emtsa keta midpoint
תיכון: tikhon median
בסיס: basis base
גובה: gova height
תחום ההגדרה: tḥum ha-hagdara domain of definition
אין פתרון: ein pitaron no solution
כלל המנה: klal ha-mana quotient rule
טבלת סימנים: tavlat simanim sign chart
נגזרת: nigzeret derivative
תחום חיוביות: tḥum ḥiyuviyut where the function is positive
פונקציה קדומה: funktsia kduma antiderivative
סימטריה: simetria symmetry
כלל המכפלה: klal ha-makhpela product rule
נקודת פיתול: nekudat pitul point of inflection
שבר: shever fraction
מקבילים: makbilim parallel
גזירה: gzira differentiation

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elev Discover elev for this grade

This lesson is part of the subscription. A full chapter for free: Sequences