בגרות 35581 — קיץ 2026

On elev, this lesson comes with:

A short video that explains the lesson
Every exercise checked the moment it is answered
Progress tracking, chapter by chapter

This lesson is part of the subscription. A full chapter for free: Sequences

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35581 (5 יחידות לימוד, שאלון ראשון), קיץ תשפ״ו, 2026. בשאלון המודפס: משך הבחינה שלוש שעות וחצי, ועונים על חמש שאלות, לפחות על שאלה אחת מכל פרק (לכל שאלה – 20 נקודות). למועד קיץ תשפ״ו («שאגת הארי») עדכן משרד החינוך את ההנחיות: משך הבחינה ארבע שעות, עונים על חמש שאלות ללא הגבלת פרקים, לכל שאלה 22 נקודות, וסך הכול 100 נקודות לכל היותר. פרק ראשון – אלגברה והסתברות: שאלות 1–3. פרק שני – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור: שאלות 4–5. פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות טריגונומטריות: שאלות 6–8. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־5 יחידות לימוד.

כאן כתובות כל שמונה השאלות, ב־37 סעיפים, כדי שאפשר יהיה להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים חמש. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר, להראות או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, וסעיף שמבקש ביטוי הפך להשלמת מקדמים. הפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercises

שאלה 1 — בעיית תנועה: הולך רגל ורוכב אופניים

Exercise 1

א. מצאו פי כמה גדולה המהירות של רוכב האופניים מן המהירות של הולך הרגל.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= BC \\ &= d\end{aligned}

נסמן ב־ $d$ את המרחק, $B$ באמצע הקטע $AC$

t = \frac{2d}{u}

$u$ מהירות רוכב האופניים: הוא רכב מ־ $B$ ל־ $C$ וחזרה, דרך $2d$

v \cdot \frac{2d}{u} = \frac{2}{3}d

$v$ מהירות הולך הרגל: הדרך שעבר באותו הזמן $t$

\frac{2v}{u} = \frac{2}{3}

מחלקים את שני האגפים ב־ $d$

6v = 2u

כופלים בהצלבה

u = 3v

מחלקים את שני האגפים ב־ $2$

המהירות של רוכב האופניים גדולה פי $3$ מן המהירות של הולך הרגל.

Check the answer on elev — Exercise 1

Exercise 2

כאשר הגיע רוכב האופניים חזרה ליישוב $B$ , הוא נח במשך שעה, ולאחר מכן יצא ליישוב $A$ באותה המהירות שבה רכב קודם. כאשר הגיע הולך הרגל ליישוב $A$ הוא מייד יצא חזרה ליישוב $B$ באותה המהירות שבה הלך קודם. $6$ דקות לאחר שיצא רוכב האופניים מן היישוב $B$ ליישוב $A$ הוא פגש את הולך הרגל שהיה בדרכו חזרה מן היישוב $A$ . נסמן ב־ $v$ את המהירות של הולך הרגל. ב. הראו כי המרחק בין היישוב $A$ ליישוב $C$ הוא $2.1v$ .

$AB = BC = d$
המהירות של רוכב האופניים היא $3v$ (סעיף א)
$6$ דקות הן $0.1$ שעה

$AC = 2.1v$

Show the answer and the solution

$t_1 = \frac{2d}{3v}$ — זמן הרכיבה מ־ $B$ ל־ $C$ וחזרה: דרך $2d$ במהירות $3v$
$T = \frac{2d}{3v} + 1 + 0.1$ — שעה של מנוחה ועוד $6$ דקות של רכיבה ליישוב $A$
$3v \cdot 0.1 = 0.3v$ — המרחק של נקודת המפגש מן היישוב $B$ : הדרך של רוכב האופניים ב־ $6$ הדקות
$vT = d + (d - 0.3v)$ — הולך הרגל הלך מ־ $B$ ל־ $A$ , ואז חזר מ־ $A$ עד נקודת המפגש
$\frac{2d}{3} + 1.1v = 2d - 0.3v$ — מציבים את $T$ ופותחים סוגריים
$1.4v = \frac{4d}{3}$ — מעבירים אגפים
$d = 1.05v$ — כופלים את שני האגפים ב־ $\frac{3}{4}$
$AC = 2.1v$ — $AC = 2d$ , כי $B$ באמצע הקטע $AC$

Worked solution:

t_1 = \frac{2d}{3v}

רוכב האופניים חוזר ל־ $B$ : דרך $2d$ במהירות $3v$ (סעיף א)

T = \frac{2d}{3v} + 1 + 0.1

שעה של מנוחה, ועוד $6$ דקות, שהן $0.1$ שעה

3v \cdot 0.1 = 0.3v

המרחק של נקודת המפגש מן היישוב $B$

vT = d + (d - 0.3v)

הולך הרגל הגיע ל־ $A$ וחזר עד נקודת המפגש

v\left(\frac{2d}{3v} + 1.1\right) = 2d - 0.3v

מציבים את $T$

\frac{2d}{3} + 1.1v = 2d - 0.3v

פותחים סוגריים

1.4v = \frac{4d}{3}

מעבירים אגפים

d = 1.05v

כופלים את שני האגפים ב־ $\frac{3}{4}$

\begin{aligned}AC &= 2d \\ &= 2.1v\end{aligned}

$B$ באמצע הקטע $AC$

\begin{aligned}\frac{d}{v} &= 1.05 < T \\ &= 1.8\end{aligned}

בדיקה: הולך הרגל אכן הגיע ל־ $A$ לפני המפגש

המרחק בין היישוב $A$ ליישוב $C$ הוא $2.1v$ .

Check the answer on elev — Exercise 2

Exercise 3

ביום המוחרת, יצאו באותה השעה רוכב האופניים והולך הרגל מן היישוב $C$ ליישוב $A$ . רוכב האופניים רכב במהירות קטנה ב־ $1$ קמ״ש מן המהירות שלו ביום הקודם, והולך הרגל הלך במהירות גדולה ב־ $2$ קמ״ש מן המהירות שלו ביום הקודם. $45$ דקות לפני שהגיע הולך הרגל ליישוב $A$ , הגיע ליישוב זה רוכב האופניים. ג. מצאו את המרחק בין היישוב $A$ ליישוב $C$ .

Show the answer and the solution

Answer: 10.5

Worked solution:

3v - 1, \quad v + 2

המהירויות ביום המוחרת, בקמ״ש: רוכב האופניים, הולך הרגל

\frac{2.1v}{v + 2} - \frac{2.1v}{3v - 1} = \frac{3}{4}

זמן = דרך חלקי מהירות; $45$ דקות הן $\frac{3}{4}$ שעה

8.4v(3v - 1) - 8.4v(v + 2) = 3(v + 2)(3v - 1)

כופלים את שני האגפים ב־ $4(v + 2)(3v - 1)$

25.2v^2 - 8.4v - 8.4v^2 - 16.8v = 9v^2 + 15v - 6

פותחים סוגריים

7.8v^2 - 40.2v + 6 = 0

מעבירים אגפים ומכנסים איברים דומים

13v^2 - 67v + 10 = 0

מחלקים את שני האגפים ב־ $0.6$

\begin{aligned}v &= \frac{67 \pm \sqrt{67^2 - 4 \cdot 13 \cdot 10}}{26} \\ &= \frac{67 \pm 63}{26}\end{aligned}

נוסחת השורשים

\begin{aligned}v &= 5 \\ \quad v &= \frac{2}{13}\end{aligned}

שני הפתרונות

3 \cdot \frac{2}{13} - 1 = -\frac{7}{13} < 0

$v = \frac{2}{13}$ נפסל: המהירות של רוכב האופניים אינה יכולה להיות שלילית

\begin{aligned}AC &= 2.1 \cdot 5 \\ &= 10.5\end{aligned}

מציבים $v = 5$ ב־ $AC = 2.1v$ (סעיף ב)

המרחק בין היישוב $A$ ליישוב $C$ הוא $10.5$ ק״מ. בדיקה: הולך הרגל הלך $1.5$ שעות ( $10.5$ ק״מ ב־ $7$ קמ״ש), ורוכב האופניים רכב $0.75$ שעה ( $10.5$ ק״מ ב־ $14$ קמ״ש): הפרש של $45$ דקות.

Check the answer on elev — Exercise 3

Did your child get it?

On elev, every exercise is checked the moment your child answers, and a hint comes right when they get stuck.

Practise on elev

שאלה 2 — סדרות הנדסיות

Exercise 4

א. הוכיחו כי הסדרה $c_n$ היא הנדסית, והביעו באמצעות $q$ את מנתה.

$a_{n+1} = a_n \cdot q$ לכל $n$ טבעי
$b_{n+1} = b_n \cdot 2q$ לכל $n$ טבעי
$c_n = a_n \cdot b_n$ לכל $n$ טבעי

$c_n$ סדרה הנדסית שמנתה $2q^2$

Show the answer and the solution

$c_{n+1} = a_{n+1} \cdot b_{n+1}$ — הגדרת הסדרה $c_n$ , עבור $n + 1$
$a_{n+1} \cdot b_{n+1} = a_n q \cdot b_n \cdot 2q = 2q^2 \cdot a_n b_n$ — המנות של הסדרות ההנדסיות $a_n$ ו־ $b_n$
$a_n \cdot b_n \neq 0$ — בסדרה הנדסית אין איבר ששווה ל־ $0$
$\frac{c_{n+1}}{c_n} = 2q^2$ — מחלקים ב־ $c_n = a_n b_n \neq 0$ ; המנה אינה תלויה ב־ $n$ , ולכן $c_n$ סדרה הנדסית שמנתה $2q^2$

Worked solution:

c_{n+1} = a_{n+1} \cdot b_{n+1}

הגדרת הסדרה $c_n$ , עבור $n + 1$

\begin{aligned}a_{n+1} &= a_n \cdot q \\ \quad b_{n+1} &= b_n \cdot 2q\end{aligned}

המנות של שתי הסדרות ההנדסיות

c_{n+1} = a_n q \cdot b_n \cdot 2q

מציבים

\begin{aligned}c_{n+1} &= 2q^2 \cdot a_n b_n \\ &= 2q^2 \cdot c_n\end{aligned}

מסדרים את הגורמים

\frac{c_{n+1}}{c_n} = 2q^2

מחלקים ב־ $c_n \neq 0$ : בסדרה הנדסית אין איבר ששווה ל־ $0$

היחס בין כל שני איברים סמוכים הוא הקבוע $2q^2$ , ולכן $c_n$ סדרה הנדסית שמנתה $2q^2$ .

Check the answer on elev — Exercise 4

Exercise 5

נתון: $c_2 = \frac{1}{8} \cdot (a_1)^2$ , $a_1 = b_1$ . ב. מצאו את הערך של $q$ .

Show the answer and the solution

Answer: 0.25

Worked solution:

\begin{aligned}c_1 &= a_1 \cdot b_1 \\ &= (a_1)^2\end{aligned}

$b_1 = a_1$

\begin{aligned}c_2 &= c_1 \cdot 2q^2 \\ &= 2q^2 (a_1)^2\end{aligned}

המנה של $c_n$ מסעיף א

2q^2 (a_1)^2 = \frac{1}{8}(a_1)^2

הנתון

2q^2 = \frac{1}{8}

מחלקים את שני האגפים ב־ $(a_1)^2 \neq 0$

q^2 = \frac{1}{16}

מחלקים את שני האגפים ב־ $2$

q = \pm\frac{1}{4}

מוציאים שורש משני האגפים

q = \frac{1}{4}

$q = -\frac{1}{4}$ נפסל: סדרה הנדסית עם מנה שלילית מחליפה סימן, ולכן אינה עולה

$q = \frac{1}{4} = 0.25$ .

Check the answer on elev — Exercise 5

Exercise 6

נתון: $c_2 = \frac{1}{8} \cdot (a_1)^2$ , $a_1 = b_1$ . ג (1). האם הערך של $a_1$ הוא חיובי או שלילי? נמקו את תשובתכם.

Aשלילי: $q < 0$ , ולכן איברי הסדרה מחליפים סימן
Bחיובי: סדרה עולה מתחילה תמיד באיבר חיובי
Cחיובי: $q > 0$ , ולכן כל איברי הסדרה חיוביים
Dשלילי: $0 < q < 1$ , והסדרה עולה רק אם $a_1 < 0$

Show the answer and the solution

Answer: D שלילי: $0 < q < 1$ , והסדרה עולה רק אם $a_1 < 0$

Worked solution:

0 < q = \frac{1}{4} < 1

המנה מסעיף ב

\begin{aligned}a_{n+1} - a_n &= a_n q - a_n \\ &= a_n(q - 1)\end{aligned}

מוציאים גורם משותף

a_{n+1} - a_n = -\frac{3}{4}a_n

מציבים $q = \frac{1}{4}$

a_{n+1} > a_n \iff -\frac{3}{4}a_n > 0 \iff a_n < 0

הסדרה עולה

a_1 < 0

כל האיברים באותו סימן כמו $a_1$ , כי $q > 0$

$a_1$ שלילי: ב־ $0 < q < 1$ האיברים מתקרבים ל־ $0$ , והם עולים רק כשהם שליליים.

Check the answer on elev — Exercise 6

Exercise 7

נתון: $c_2 = \frac{1}{8} \cdot (a_1)^2$ , $a_1 = b_1$ . ג (2). האם הסדרה $c_n$ עולה או יורדת? נמקו את תשובתכם.

Aעולה: $c_1 = (a_1)^2 > 0$ והמנה $2q^2 = \frac{1}{8}$ חיובית
Bעולה: מכפלה של שתי סדרות עולות היא תמיד סדרה עולה
Cיורדת: $c_1 = (a_1)^2 > 0$ והמנה $\frac{1}{8}$ נמצאת בין $0$ ל־ $1$
Dיורדת: $c_1 < 0$ כי $a_1$ שלילי, והמנה היא $\frac{1}{8}$

Show the answer and the solution

Answer: C יורדת: $c_1 = (a_1)^2 > 0$ והמנה $\frac{1}{8}$ נמצאת בין $0$ ל־ $1$

Worked solution:

c_1 = (a_1)^2 > 0

$b_1 = a_1 \neq 0$

\begin{aligned}2q^2 &= 2 \cdot \frac{1}{16} \\ &= \frac{1}{8}\end{aligned}

המנה של $c_n$ מסעיף א

c_{n+1} = \frac{1}{8}c_n

כל איבר הוא שמינית מקודמו

c_{n+1} < c_n

כל האיברים חיוביים, ו־ $\frac{1}{8} < 1$

הסדרה $c_n$ יורדת: איברים חיוביים שכל אחד מהם הוא שמינית מקודמו. מכפלה של שתי סדרות עולות ושליליות אינה סדרה עולה.

Check the answer on elev — Exercise 7

Exercise 8

נתון: $c_2 = \frac{1}{8} \cdot (a_1)^2$ , $a_1 = b_1$ . נסמן ב־ $S_1$ את סכום הסדרה $a_n$ , ב־ $S_2$ את סכום הסדרה $b_n$ וב־ $S_3$ את סכום הסדרה $c_n$ . נתון: $S_1 + S_2 + S_3 = 434$ . ד. מצאו את הערך של $a_1$ .

Show the answer and the solution

Answer: -21

Worked solution:

\begin{aligned}S_1 &= \frac{a_1}{1 - \frac{1}{4}} \\ &= \frac{4a_1}{3}\end{aligned}

סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת: $-1 < q < 1$

\begin{aligned}S_2 &= \frac{a_1}{1 - \frac{1}{2}} \\ &= 2a_1\end{aligned}

$b_1 = a_1$ , והמנה $2q = \frac{1}{2}$

\begin{aligned}S_3 &= \frac{(a_1)^2}{1 - \frac{1}{8}} \\ &= \frac{8(a_1)^2}{7}\end{aligned}

$c_1 = (a_1)^2$ , והמנה $\frac{1}{8}$

\frac{4a_1}{3} + 2a_1 + \frac{8(a_1)^2}{7} = 434

הנתון

28a_1 + 42a_1 + 24(a_1)^2 = 9114

כופלים את שני האגפים ב־ $21$

24(a_1)^2 + 70a_1 - 9114 = 0

מכנסים איברים דומים ומעבירים אגפים

12(a_1)^2 + 35a_1 - 4557 = 0

מחלקים את שני האגפים ב־ $2$

\begin{aligned}a_1 &= \frac{-35 \pm \sqrt{35^2 + 4 \cdot 12 \cdot 4557}}{24} \\ &= \frac{-35 \pm 469}{24}\end{aligned}

נוסחת השורשים: $\sqrt{219961} = 469$

\begin{aligned}a_1 &= -21 \\ \quad a_1 &= \frac{217}{12}\end{aligned}

שני הפתרונות

a_1 = -21

$a_1$ שלילי (סעיף ג), ולכן הפתרון החיובי נפסל

$a_1 = -21$ : מסעיף ג, $a_1$ שלילי, ולכן הפתרון החיובי נפסל.

Check the answer on elev — Exercise 8

שאלה 3 — הסתברות: כדורים בשני שקים

Exercise 9

א. מצאו את הערך של $x$ .

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

P(R) = \frac{1}{2}\left(\frac{4}{10}\right)^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{x}{12}\right)^2

$R$ : שני כדורים רכים. נוסחת ההסתברות השלמה: כל שק בהסתברות $\frac{1}{2}$ , ושתי ההוצאות בלתי תלויות

P(R) = 0.08 + \frac{x^2}{288}

מחשבים: $\frac{1}{2} \cdot 0.16 = 0.08$

0.08 + \frac{x^2}{288} = 0.205

הנתון: $\frac{41}{200} = 0.205$

\frac{x^2}{288} = 0.125

מחסרים $0.08$ משני האגפים

x^2 = 36

כופלים את שני האגפים ב־ $288$

x = 6

מוציאים שורש; $x$ הוא מספר כדורים, ולכן $x > 0$

בשק ב׳ יש $6$ כדורים רכים ו־ $6$ כדורים קשים.

Check the answer on elev — Exercise 9

Exercise 10

ב. ידוע שגלית הוציאה שני כדורים מאותו הסוג. מהי ההסתברות שהיא הוציאה שני כדורים משק א׳?

Show the answer and the solution

Answer: 0.5098

Worked solution:

\begin{aligned}P(T \mid A) &= 0.4^2 + 0.6^2 \\ &= 0.52\end{aligned}

$T$ : שני כדורים מאותו הסוג. בשק א׳: שני רכים או שני קשים

\begin{aligned}P(T \mid B) &= 0.5^2 + 0.5^2 \\ &= 0.5\end{aligned}

בשק ב׳ יש $6$ רכים ו־ $6$ קשים

\begin{aligned}P(T) &= \frac{1}{2} \cdot 0.52 + \frac{1}{2} \cdot 0.5 \\ &= 0.51\end{aligned}

נוסחת ההסתברות השלמה

\begin{aligned}P(A \cap T) &= \frac{1}{2} \cdot 0.52 \\ &= 0.26\end{aligned}

בוחרים בשק א׳ ומוציאים שני כדורים מאותו הסוג

\begin{aligned}P(A \mid T) &= \frac{0.26}{0.51} \\ &= \frac{26}{51} \approx 0.5098\end{aligned}

הסתברות מותנית

$\frac{26}{51} \approx 0.51$ .

Check the answer on elev — Exercise 10

Exercise 11

גלית מבצעת את התהליך המתואר לפניכם $4$ פעמים: היא בוחרת באקראי שק ומוציאה ממנו באקראי כדור אחד. לאחר מכן היא מחזירה את הכדור לשק ומוציאה באקראי כדור שני מאותו השק (הוצאה עם החזרה). ג. מהי ההסתברות שגלית הוציאה בדיוק בשתיים מן הפעמים רק כדורים קשים?

Show the answer and the solution

Answer: 0.2696

Worked solution:

\begin{aligned}P(H \mid A) &= 0.6^2 \\ &= 0.36\end{aligned}

$H$ : שני כדורים קשים. בשק א׳ יש $6$ קשים מתוך $10$

\begin{aligned}P(H \mid B) &= 0.5^2 \\ &= 0.25\end{aligned}

בשק ב׳ יש $6$ קשים מתוך $12$

\begin{aligned}p &= \frac{1}{2} \cdot 0.36 + \frac{1}{2} \cdot 0.25 \\ &= 0.305\end{aligned}

נוסחת ההסתברות השלמה: שני קשים בפעם אחת

P = \binom{4}{2} p^2 (1 - p)^2

נוסחת ברנולי: $4$ פעמים בלתי תלויות

P = 6 \cdot 0.305^2 \cdot 0.695^2 \approx 0.2696

מציבים

ההסתברות היא בערך $0.27$ .

Check the answer on elev — Exercise 11

Exercise 12

גלית מבצעת את התהליך המתואר לפניכם $4$ פעמים: היא בוחרת באקראי שק ומוציאה ממנו באקראי כדור אחד. לאחר מכן היא מחזירה את הכדור לשק ומוציאה באקראי כדור שני מאותו השק (הוצאה עם החזרה). ד. מהי ההסתברות שגלית הוציאה בשתיים מן הפעמים רק כדורים קשים ובשתיים מן הפעמים רק כדורים רכים? (יש לכתוב שלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.)

Show the answer and the solution

Answer: 0.023456

Worked solution:

p_1 = 0.305

שני כדורים קשים בפעם אחת (סעיף ג)

\begin{aligned}p_2 &= \frac{41}{200} \\ &= 0.205\end{aligned}

שני כדורים רכים בפעם אחת (נתון)

\binom{4}{2} = 6

בוחרים את שתי הפעמים של הקשים; בשתי האחרות רכים

P = 6 \cdot p_1^2 \cdot p_2^2

כל סידור באותה הסתברות

P = 6 \cdot 0.305^2 \cdot 0.205^2 \approx 0.0235

מציבים

ההסתברות היא בערך $0.023$ .

Check the answer on elev — Exercise 12

שאלה 4 — מעגל ודלתון

Exercise 13

א. הוכיחו כי $BC \parallel EK$ .

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$
$C$ על המעגל
$E$ על $BO$ , $K$ על $CO$
$OK = OE$

$BC \parallel EK$

Show the answer and the solution

$OB = OC$ — רדיוסים במעגל
$\frac{OE}{OB} = \frac{OK}{OC}$ — $OE = OK$ ו־ $OB = OC$
$\triangle OEK \sim \triangle OBC$ — משפט הדמיון צ״ז״צ: הזווית $\angle EOK = \angle BOC$ משותפת, והצלעות שלידה באותו יחס
$\angle OEK = \angle OBC$ — במשולשים דומים, הזוויות המתאימות שוות
$BC \parallel EK$ — זוויות מתאימות שוות בין הישרים $EK$ ו־ $BC$ והחותך $OB$

Worked solution:

OK = OE

נתון: $EMKO$ דלתון

OC = OB

רדיוסים במעגל

\begin{aligned}\angle OEK &= \angle OKE \\ &= \frac{180^\circ - \angle BOC}{2}\end{aligned}

המשולש $OEK$ שווה שוקיים: זוויות הבסיס שוות

\begin{aligned}\angle OBC &= \angle OCB \\ &= \frac{180^\circ - \angle BOC}{2}\end{aligned}

המשולש $OBC$ שווה שוקיים, עם אותה זווית ראש

\angle OEK = \angle OBC

שתי הזוויות שוות לאותו ביטוי

BC \parallel EK

זוויות מתאימות שוות

$\angle OEK = \angle OBC$ הן זוויות מתאימות, ולכן $BC \parallel EK$ .

Check the answer on elev — Exercise 13

Exercise 14

ב. הוכיחו כי $OM \parallel AC$ .

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$
$C$ על המעגל
$E$ על $BO$ , $K$ על $CO$
$MK = ME$ , $OK = OE$

$OM \parallel AC$

Show the answer and the solution

$\triangle OME \cong \triangle OMK$ — משפט החפיפה צ״צ״צ: $OE = OK$ , $ME = MK$ , והצלע $OM$ משותפת
$\angle MOB = \angle MOC$ — זוויות מתאימות במשולשים חופפים ( $E$ על $OB$ , $K$ על $OC$ )
$\angle MOC = \frac{1}{2}\angle BOC$ — $OM$ חוצה את $\angle BOC$
$\angle OAC = \angle OCA$ — $OA = OC$ (רדיוסים): במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
$\angle BOC = 2\angle OCA$ — זווית חיצונית למשולש $AOC$ שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
$\angle MOC = \angle OCA$ — מצרפים את שני השוויונים
$OM \parallel AC$ — זוויות מתחלפות שוות בין הישרים $OM$ ו־ $AC$ והחותך $OC$

Worked solution:

\begin{aligned}OK &= OE \\ \quad MK &= ME \\ \quad OM &= OM\end{aligned}

נתון, וצלע משותפת

\triangle OME \cong \triangle OMK

חפיפה לפי צ.צ.צ

\begin{aligned}\angle MOB &= \angle MOC \\ &= \frac{\angle BOC}{2}\end{aligned}

זוויות מתאימות במשולשים חופפים

\angle OAC = \angle OCA

$OA = OC$ רדיוסים: המשולש $AOC$ שווה שוקיים

\begin{aligned}\angle BOC &= \angle OAC + \angle OCA \\ &= 2\angle OCA\end{aligned}

זווית חיצונית למשולש $AOC$

\angle MOC = \angle OCA

מחלקים ב־ $2$

OM \parallel AC

זוויות מתחלפות שוות

$\angle MOC$ ו־ $\angle OCA$ הן זוויות מתחלפות שוות, ולכן $OM \parallel AC$ .

Check the answer on elev — Exercise 14

Exercise 15

נתון: $\frac{BC}{EK} = \frac{5}{3}$ . ג. מצאו את הערך של $\frac{OM}{AC}$ .

Show the answer and the solution

Answer: 1.5

Worked solution:

\triangle OEK \sim \triangle OBC

דמיון לפי ז.ז: זווית משותפת $O$ , וזוויות מתאימות כי $BC \parallel EK$

\begin{aligned}\frac{OK}{OC} &= \frac{EK}{BC} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

יחס הדמיון, והנתון

OK = \frac{3}{5}R

$OC = R$ , רדיוס המעגל

\begin{aligned}KC &= R - \frac{3}{5}R \\ &= \frac{2}{5}R\end{aligned}

חיסור קטעים

\triangle KOM \sim \triangle KCA

דמיון לפי ז.ז: זוויות קודקודיות ב־ $K$ , וזוויות מתחלפות כי $OM \parallel AC$

\frac{OM}{AC} = \frac{OK}{KC}

יחס הדמיון

\begin{aligned}\frac{OM}{AC} &= \frac{\frac{3}{5}R}{\frac{2}{5}R} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

מציבים ומצמצמים ב־ $R$

$\frac{OM}{AC} = \frac{3}{2} = 1.5$ .

Check the answer on elev — Exercise 15

Exercise 16

נתון: $\frac{BC}{EK} = \frac{5}{3}$ . נסמן ב־ $S$ את שטח הדלתון $EMKO$ . ד. הביעו באמצעות $S$ את שטח המשולש $AOC$ . (יש לכתוב את המקדם כמספר עשרוני.)

$S_{AOC} =$ ____ $\cdot S$

Show the answer and the solution

Answer: $S_{AOC} =$ 0.5556 $\cdot S$

Worked solution:

S_{OKM} = \frac{S}{2}

האלכסון $OM$ מחלק את הדלתון לשני משולשים חופפים

\frac{KC}{OK} = \frac{2}{3}

מסעיף ג

\begin{aligned}\frac{S_{KCA}}{S_{KOM}} &= \left(\frac{2}{3}\right)^2 \\ &= \frac{4}{9}\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון

\begin{aligned}S_{KCA} &= \frac{4}{9} \cdot \frac{S}{2} \\ &= \frac{2S}{9}\end{aligned}

כופלים ב־ $\frac{S}{2}$

\begin{aligned}\frac{S_{AOK}}{S_{AKC}} &= \frac{OK}{KC} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

אותו גובה מ־ $A$ לישר $OC$

\begin{aligned}S_{AOK} &= \frac{3}{2} \cdot \frac{2S}{9} \\ &= \frac{S}{3}\end{aligned}

כופלים ב־ $\frac{2S}{9}$

\begin{aligned}S_{AOC} &= \frac{S}{3} + \frac{2S}{9} \\ &= \frac{5S}{9}\end{aligned}

חיבור שטחים

\frac{5}{9} \approx 0.556

המקדם כמספר עשרוני

$S_{AOC} = \frac{5}{9}S \approx 0.556 \cdot S$ .

Check the answer on elev — Exercise 16

שאלה 5 — טרפז ומעגל חסום

Exercise 17

א. הראו כי $AC = 2k \cdot \cos\alpha$ .

$AB = BC = k$
$\angle ACB = \alpha$

$AC = 2k \cdot \cos\alpha$

Show the answer and the solution

$\angle BAC = \angle BCA = \alpha$ — במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = BC$ ), זוויות הבסיס שוות
$\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha$ — סכום הזוויות במשולש הוא $180^\circ$
$\frac{AC}{\sin(180^\circ - 2\alpha)} = \frac{k}{\sin\alpha}$ — משפט הסינוסים במשולש $ABC$ : $AC$ מול $\angle ABC$ , $BC = k$ מול $\angle BAC$
$AC = \frac{k \sin 2\alpha}{\sin\alpha} = \frac{2k \sin\alpha \cos\alpha}{\sin\alpha}$ — $\sin(180^\circ - 2\alpha) = \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
$AC = 2k \cdot \cos\alpha$ — מצמצמים ב־ $\sin\alpha \neq 0$

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= BC \\ &= k\end{aligned}

נתון

\begin{aligned}\angle BAC &= \angle BCA \\ &= \alpha\end{aligned}

המשולש $ABC$ שווה שוקיים

\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha

סכום הזוויות במשולש

\frac{AC}{\sin(180^\circ - 2\alpha)} = \frac{k}{\sin\alpha}

משפט הסינוסים במשולש $ABC$

AC = \frac{k\sin 2\alpha}{\sin\alpha}

$\sin(180^\circ - 2\alpha) = \sin 2\alpha$ ; כופלים במכנה

\begin{aligned}AC &= \frac{k \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha} \\ &= 2k\cos\alpha\end{aligned}

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ ; מצמצמים ב־ $\sin\alpha$

דרך אחרת: הגובה מ־ $B$ לבסיס $AC$ חוצה אותו, ובמשולש ישר הזווית שנוצר $\frac{AC}{2} = k\cos\alpha$ .

Check the answer on elev — Exercise 17

Exercise 18

נתון: $DC = 2k$ , $AD = 1.2k$ . ב. מצאו את הערך של $\alpha$ (בדרגות).

Show the answer and the solution

Answer: 36.8699

Worked solution:

\begin{aligned}\angle ACD &= \angle BAC \\ &= \alpha\end{aligned}

זוויות מתחלפות בין המקבילים $AB$ ו־ $DC$

AD^2 = AC^2 + DC^2 - 2 \cdot AC \cdot DC \cdot \cos\alpha

משפט הקוסינוסים במשולש $ACD$

(1.2k)^2 = (2k\cos\alpha)^2 + (2k)^2 - 2 \cdot 2k\cos\alpha \cdot 2k \cdot \cos\alpha

מציבים: $AC = 2k\cos\alpha$ מסעיף א

1.44k^2 = 4k^2\cos^2\alpha + 4k^2 - 8k^2\cos^2\alpha

פותחים סוגריים

1.44k^2 = 4k^2 - 4k^2\cos^2\alpha

מכנסים איברים דומים

1.44 = 4 - 4\cos^2\alpha

מחלקים את שני האגפים ב־ $k^2$

4\cos^2\alpha = 2.56

מעבירים אגפים

\cos^2\alpha = 0.64

מחלקים את שני האגפים ב־ $4$

\cos\alpha = 0.8

מוציאים שורש; $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ , ולכן $\cos\alpha > 0$

\alpha \approx 36.87^\circ

מחשבון

$\alpha \approx 36.87^\circ$ .

Check the answer on elev — Exercise 18

Exercise 19

נתון: $DC = 2k$ , $AD = 1.2k$ . ג. מצאו את גודל הזווית $ADC$ (בדרגות).

Show the answer and the solution

Answer: 53.1301

Worked solution:

\begin{aligned}AC &= 2k \cdot 0.8 \\ &= 1.6k\end{aligned}

מציבים $\cos\alpha = 0.8$

\begin{aligned}AD^2 + AC^2 &= 1.44k^2 + 2.56k^2 \\ &= 4k^2\end{aligned}

מחשבים

\begin{aligned}DC^2 &= (2k)^2 \\ &= 4k^2\end{aligned}

נתון

\angle DAC = 90^\circ

המשפט ההפוך למשפט פיתגורס

\begin{aligned}\angle ADC &= 180^\circ - 90^\circ - \alpha \\ &= 90^\circ - \alpha\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש $ACD$

\angle ADC \approx 90^\circ - 36.87^\circ = 53.13^\circ

מציבים את $\alpha$ מסעיף ב

$\angle ADC \approx 53.13^\circ$ .

Check the answer on elev — Exercise 19

Exercise 20

נתון: $DC = 2k$ , $AD = 1.2k$ . המשכי הצלעות $DA$ ו־ $CB$ נחתכים בנקודה $E$ . נתון כי האורך של רדיוס המעגל החסום במשולש $EDC$ הוא $14$ . ד. מצאו את הערך של $k$ .

Show the answer and the solution

Answer: 23.3333

Worked solution:

\triangle EAB \sim \triangle EDC

$AB \parallel DC$

\begin{aligned}\frac{EA}{ED} &= \frac{EB}{EC} \\ &= \frac{AB}{DC} \\ &= \frac{k}{2k} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

יחס הדמיון

\begin{aligned}ED &= 2 \cdot AD \\ &= 2.4k\end{aligned}

$A$ אמצע הקטע $ED$

\begin{aligned}EC &= 2 \cdot BC \\ &= 2k\end{aligned}

$B$ אמצע הקטע $EC$

\begin{aligned}CE &= CD \\ &= 2k\end{aligned}

המשולש $EDC$ שווה שוקיים

\begin{aligned}h &= AC \\ &= 1.6k\end{aligned}

הגובה מ־ $C$ לבסיס $ED$ : $AC \perp ED$ (סעיף ג)

\begin{aligned}S_{EDC} &= \frac{1}{2} \cdot 2.4k \cdot 1.6k \\ &= 1.92k^2\end{aligned}

שטח משולש

\begin{aligned}p &= \frac{2k + 2k + 2.4k}{2} \\ &= 3.2k\end{aligned}

חצי ההיקף

\begin{aligned}r &= \frac{S}{p} \\ &= \frac{1.92k^2}{3.2k} \\ &= 0.6k\end{aligned}

רדיוס המעגל החסום

0.6k = 14

נתון

\begin{aligned}k &= \frac{14}{0.6} \\ &= \frac{70}{3} \approx 23.33\end{aligned}

מחלקים את שני האגפים ב־ $0.6$

$k = \frac{70}{3} \approx 23.33$ .

Check the answer on elev — Exercise 20

שאלה 6 — פונקציה רציונלית עם פרמטר

Exercise 21

א. ענו על התת־סעיפים (1)–(2). הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך. (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $f(x)$ .

$x =$ ____ , $y =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x =$ 3 , $y =$ 0

Worked solution:

\begin{aligned}(x - 3)^2 &= 0 \iff x \\ &= 3\end{aligned}

המכנה מתאפס

a \cdot 3 = 3a \neq 0

המונה אינו מתאפס ב־ $x = 3$ , כי $a > 0$

x = 3

אסימפטוטה אנכית

\frac{ax}{(x - 3)^2} = \frac{\frac{a}{x}}{\left(1 - \frac{3}{x}\right)^2} \xrightarrow[x \to \pm\infty]{} 0

מחלקים מונה ומכנה ב־ $x^2$

y = 0

אסימפטוטה אופקית

$x = 3$ ו־ $y = 0$ .

Check the answer on elev — Exercise 21

Exercise 22

א. ענו על התת־סעיפים (1)–(2). הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך. (2) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגה.

Aמקסימום $\left(-3, \frac{a}{12}\right)$
Bמקסימום $\left(-3, -\frac{a}{12}\right)$
Cמינימום $\left(3, \frac{a}{12}\right)$
Dמינימום $\left(-3, -\frac{a}{12}\right)$

Show the answer and the solution

Answer: D מינימום $\left(-3, -\frac{a}{12}\right)$

Worked solution:

f'(x) = \frac{a(x - 3)^2 - ax \cdot 2(x - 3)}{(x - 3)^4}

נגזרת של מנה

f'(x) = \frac{a(x - 3) - 2ax}{(x - 3)^3}

מצמצמים ב־ $x - 3$

f'(x) = \frac{-a(x + 3)}{(x - 3)^3}

פותחים סוגריים ומכנסים: $ax - 3a - 2ax = -ax - 3a$

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \iff x \\ &= -3\end{aligned}

$a > 0$

\begin{aligned}f(-3) &= \frac{-3a}{(-6)^2} \\ &= -\frac{a}{12}\end{aligned}

מציבים $x = -3$

x < -3: \ f'(x) < 0; \quad -3 < x < 3: \ f'(x) > 0

טבלת סימנים: ירידה ואחריה עלייה

\left(-3, -\frac{a}{12}\right)

נקודת מינימום

נקודת מינימום $\left(-3, -\frac{a}{12}\right)$ .

Check the answer on elev — Exercise 22

Exercise 23

הגרפים I–IV

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף IV
Bגרף II
Cגרף I
Dגרף III

Show the answer and the solution

Answer: D גרף III

Worked solution:

\begin{aligned}x &= 3 \\ \quad y &= 0\end{aligned}

האסימפטוטות מסעיף א (1)

f(0) = 0

נקודת החיתוך היחידה עם הצירים: $(0, 0)$

\left(-3, -\frac{a}{12}\right)

נקודת המינימום מסעיף א (2): יורדת עד $x = -3$ , ועולה עד האסימפטוטה

x > 3: \ f(x) > 0, \ f'(x) < 0

מימין לאסימפטוטה: הגרף מעל ציר ה־ $x$ , ויורד אל $y = 0$

גרף III. גרף I הוא $-f(x)$ , בגרף II האסימפטוטה האנכית היא $x = -3$ , ובגרף IV יש אסימפטוטה אופקית $y = 1$ ואין נקודת קיצון.

Check the answer on elev — Exercise 23

Exercise 24

נתונה הפונקציה $g(x) = f(x) + 0.5$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . נתון כי לגרף הפונקציה $g(x)$ יש בדיוק נקודה אחת משותפת עם ציר ה־ $x$ . ג. מצאו את הערך של $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

\begin{aligned}g(x) &= 0 \iff f(x) \\ &= -0.5\end{aligned}

מחסרים $0.5$ משני האגפים

x > 3: \ f(x) > 0

אין שם נקודת חיתוך

x < 3: \ f(x) \ge -\frac{a}{12}

המינימום הוא הערך הקטן ביותר של $f$

-\frac{a}{12} = -0.5

נקודה אחת בדיוק: אם $-\frac{a}{12} < -0.5$ יש שתיים, ואם $-\frac{a}{12} > -0.5$ אין אף אחת

a = 6

כופלים את שני האגפים ב־ $-12$

$a = 6$ : גרף $g$ נוגע בציר ה־ $x$ בנקודה $(-3, 0)$ .

Check the answer on elev — Exercise 24

Exercise 25

נתונה הפונקציה $g(x) = f(x) + 0.5$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . נתון כי לגרף הפונקציה $g(x)$ יש בדיוק נקודה אחת משותפת עם ציר ה־ $x$ . הציבו בפונקציה $g(x)$ את הערך של $a$ שמצאתם, וענו על סעיף ד. נתונה הפונקציה $h(x) = g(x) \cdot g'(x)$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . ד (1). רשמו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה $h(x)$ .

Aחיובית: $0 < x < 3$ ; שלילית: $x < 0$ או $x > 3$
Bחיובית: $x < -3$ או $x > 3$ ; שלילית: $-3 < x < 3$
Cחיובית: $-3 < x < 3$ ; שלילית: $x < -3$ או $x > 3$
Dחיובית: $x > -3$ , $x \neq 3$ ; שלילית: $x < -3$

Show the answer and the solution

Answer: C חיובית: $-3 < x < 3$ ; שלילית: $x < -3$ או $x > 3$

Worked solution:

g(x) = \frac{6x}{(x - 3)^2} + 0.5

מציבים $a = 6$

\begin{aligned}g(x) \ge 0 \\ \quad g(-3) &= 0\end{aligned}

ב־ $x > 3$ : $f > 0$ ; ב־ $x < 3$ : $f \ge -0.5$ , והמינימום של $g$ הוא $0$ (סעיף ג)

\begin{aligned}g'(x) &= f'(x) \\ &= \frac{-6(x + 3)}{(x - 3)^3}\end{aligned}

הנגזרת מסעיף א

x < -3: \ g' < 0; \quad -3 < x < 3: \ g' > 0; \quad x > 3: \ g' < 0

טבלת סימנים

h(x) = g(x) \cdot g'(x)

$g > 0$ פרט ל־ $x = -3$ : לפונקציה $h$ הסימן של $g'$

הסימן של $h = g \cdot g'$ הוא הסימן של $g'$ : חיובית ב־ $-3 < x < 3$ , שלילית ב־ $x < -3$ או $x > 3$ .

Check the answer on elev — Exercise 25

Exercise 26

נתונה הפונקציה $g(x) = f(x) + 0.5$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . נתון כי לגרף הפונקציה $g(x)$ יש בדיוק נקודה אחת משותפת עם ציר ה־ $x$ . הציבו בפונקציה $g(x)$ את הערך של $a$ שמצאתם, וענו על סעיף ד. נתונה הפונקציה $h(x) = g(x) \cdot g'(x)$ , המוגדרת בתחום $x \neq 3$ . ד (2). חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $h(x)$ ועל ידי ציר ה־ $x$ בתחום $-9 \le x \le 0$ .

Show the answer and the solution

Answer: 0.1328

Worked solution:

\begin{aligned}h(x) &= g(x) \cdot g'(x) \\ &= \left(\frac{g(x)^2}{2}\right)'\end{aligned}

נגזרת של פונקציה מורכבת

\int h(x)\,dx = \frac{g(x)^2}{2} + C

פונקציה קדומה

\begin{aligned}g(-9) &= \frac{-54}{144} + 0.5 \\ &= 0.125\end{aligned}

מציבים $x = -9$

\begin{aligned}g(-3) &= 0 \\ \quad g(0) &= 0.5\end{aligned}

מציבים $x = -3$ ו־ $x = 0$

\begin{aligned}S_1 &= -\int_{-9}^{-3} h\,dx \\ &= -\left(0 - \frac{0.125^2}{2}\right) \\ &= \frac{1}{128}\end{aligned}

$h < 0$ ב־ $-9 < x < -3$

\begin{aligned}S_2 &= \int_{-3}^{0} h\,dx \\ &= \frac{0.5^2}{2} - 0 \\ &= \frac{1}{8}\end{aligned}

$h > 0$ ב־ $-3 < x < 0$

\begin{aligned}S &= \frac{1}{128} + \frac{1}{8} \\ &= \frac{17}{128} \approx 0.1328\end{aligned}

מחברים את שני השטחים

השטח הוא $\frac{17}{128} \approx 0.133$ .

Check the answer on elev — Exercise 26

שאלה 7 — פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר

Exercise 27

א. האם הפונקציה $f(x)$ היא זוגית או אי־זוגית? נמקו את תשובתכם.

Aגם זוגית וגם אי־זוגית: התחום סימטרי, ו־ $f(0) = 0$
Bלא זוגית ולא אי־זוגית: יש בה גם קבועים וגם $b\cos x$
Cאי־זוגית: $\cos(-x) = -\cos x$ , ולכן $f(-x) = -f(x)$ לכל $x$
Dזוגית: $\cos(-x) = \cos x$ , ולכן $f(-x) = f(x)$ לכל $x$ בתחום

Show the answer and the solution

Answer: D זוגית: $\cos(-x) = \cos x$ , ולכן $f(-x) = f(x)$ לכל $x$ בתחום

Worked solution:

\cos(-x) = \cos x

קוסינוס היא פונקציה זוגית

f(-x) = \left(1 + \cos(-x)\right)\left(-1 + b\cos(-x)\right)

מציבים $-x$ ; התחום $-\pi \le x \le \pi$ סימטרי

\begin{aligned}f(-x) &= (1 + \cos x)(-1 + b\cos x) \\ &= f(x)\end{aligned}

הפונקציה זוגית

f(0) = 2(b - 1) \neq 0

היא אינה אי־זוגית: פונקציה אי־זוגית שמוגדרת ב־ $0$ מקיימת $f(0) = 0$ , ו־ $b < 1$

הפונקציה זוגית. היא לא אי־זוגית: $f(0) = 2(b - 1) \neq 0$ .

Check the answer on elev — Exercise 27

Exercise 28

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ .

A $\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ ו־ $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$
B $(-\pi, 0)$ , $(\pi, 0)$ ו־ $\left(\arccos\frac{1}{b}, 0\right)$
C $(-\pi, 0)$ ו־ $(\pi, 0)$ בלבד
D $(0, 0)$ בלבד

Show the answer and the solution

Answer: C $(-\pi, 0)$ ו־ $(\pi, 0)$ בלבד

Worked solution:

1 + \cos x = 0

הגורם הראשון מתאפס

\begin{aligned}\cos x &= -1 \Rightarrow x \\ &= \pm\pi\end{aligned}

בתחום $-\pi \le x \le \pi$

-1 + b\cos x = 0

הגורם השני מתאפס

\cos x = \frac{1}{b}

מעבירים אגפים ומחלקים ב־ $b \neq 0$

\frac{1}{b} > 1

$0 < b < 1$ : אין פתרון, כי $\cos x \le 1$

(-\pi, 0), \quad (\pi, 0)

נקודות החיתוך עם ציר ה־ $x$

$(-\pi, 0)$ ו־ $(\pi, 0)$ .

Check the answer on elev — Exercise 28

Exercise 29

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x = \frac{\pi}{3}$ . ג. מצאו את הערך של $b$ .

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

f'(x) = -\sin x(-1 + b\cos x) + (1 + \cos x)(-b\sin x)

נגזרת של מכפלה

f'(x) = \sin x - b\sin x\cos x - b\sin x - b\sin x\cos x

פותחים סוגריים

f'(x) = \sin x\,(1 - b - 2b\cos x)

מוציאים גורם משותף

\begin{aligned}f'\left(\frac{\pi}{3}\right) &= \frac{\sqrt{3}}{2}\left(1 - b - 2b \cdot \frac{1}{2}\right) \\ &= 0\end{aligned}

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת

1 - b - b = 0

מחלקים את שני האגפים ב־ $\frac{\sqrt{3}}{2}$

1 - 2b = 0

מכנסים איברים דומים

2b = 1

מעבירים אגפים

b = \frac{1}{2}

מחלקים את שני האגפים ב־ $2$

f'(x) = \sin x\left(\frac{1}{2} - \cos x\right)

בדיקה: מציבים $b = \frac{1}{2}$ בנגזרת

0 < x < \frac{\pi}{3}: \ f' < 0; \quad \frac{\pi}{3} < x < \pi: \ f' > 0

הנגזרת מחליפה סימן: ב־ $x = \frac{\pi}{3}$ יש נקודת קיצון

$b = \frac{1}{2}$ (ואכן $f'$ מחליפה שם סימן).

Check the answer on elev — Exercise 29

Exercise 30

הציבו $b = \frac{1}{2}$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ד–ה. ד (1). מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגן.

Aמקסימום $(0, -1)$ ; מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ ; מקסימום $(\pm\pi, 0)$
Bמינימום $(0, -1)$ ; מקסימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ ; מינימום $(\pm\pi, 0)$
Cמקסימום $(0, -1)$ ; מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ ; מינימום $(\pm\pi, 0)$
Dמקסימום $(0, -1)$ ; מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{3}{4}\right)$ ; מקסימום $(\pm\pi, 0)$

Show the answer and the solution

Answer: A מקסימום $(0, -1)$ ; מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ ; מקסימום $(\pm\pi, 0)$

Worked solution:

f'(x) = \sin x\left(\frac{1}{2} - \cos x\right)

מציבים $b = \frac{1}{2}$ בנגזרת מסעיף ג

\begin{aligned}\sin x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= \pm\pi\end{aligned}

הגורם הראשון מתאפס

\begin{aligned}\cos x &= \frac{1}{2} \Rightarrow x \\ &= \pm\frac{\pi}{3}\end{aligned}

הגורם השני מתאפס

\begin{aligned}f(0) &= 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \\ &= -1\end{aligned}

מציבים $x = 0$

\begin{aligned}f\left(\pm\frac{\pi}{3}\right) &= \frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) \\ &= -\frac{9}{8}\end{aligned}

מציבים $x = \pm\frac{\pi}{3}$

f(\pm\pi) = 0

קצות התחום

0 < x < \frac{\pi}{3}: \ f' < 0; \quad \frac{\pi}{3} < x < \pi: \ f' > 0

טבלת סימנים; הפונקציה זוגית, ולכן הגרף סימטרי סביב ציר ה־ $y$

מקסימום $(0, -1)$ , מינימום $\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)$ , ומקסימום בקצות התחום $(\pm\pi, 0)$ .

Check the answer on elev — Exercise 30

Exercise 31

הגרפים I–IV

הציבו $b = \frac{1}{2}$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ד–ה. ד (2). סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . יש לבחור את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף III
Bגרף I
Cגרף II
Dגרף IV

Show the answer and the solution

Answer: C גרף II

Worked solution:

(\pm\pi, 0)

מקסימום בקצות התחום (סעיף ד (1))

\left(\pm\frac{\pi}{3}, -\frac{9}{8}\right)

שתי נקודות מינימום

(0, -1)

מקסימום נמוך בין שתי נקודות המינימום

f(x) \le 0

הגרף אינו עולה מעל ציר ה־ $x$

גרף II: שני מינימומים ב־ $\pm\frac{\pi}{3}$ ומקסימום נמוך $(0, -1)$ ביניהם. גרף IV הוא $-f(x)$ , גרף I הוא $f(x + \pi)$ , וגרף III הוא $-\sin^2 x$ .

Check the answer on elev — Exercise 31

Exercise 32

הציבו $b = \frac{1}{2}$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ד–ה. נתונה הפונקציה $h(x) = f(x) + \left|f(x)\right|$ , המוגדרת בתחום $-\pi \le x \le \pi$ . נקודה $A$ היא נקודה כלשהי הנמצאת על גרף הפונקציה $h(x)$ . ה. האם שיעור ה־ $y$ של נקודה $A$ הוא חיובי, שלילי, שווה אפס או שאי אפשר לקבוע? נמקו את תשובתכם.

Aשלילי: $f(x) \le 0$ בכל התחום, ולכן $h(x) = 2f(x) < 0$
Bאי אפשר לקבוע: הערך תלוי בנקודה $A$ שנבחרה על הגרף
Cחיובי: $\left|f(x)\right| \ge 0$ , ולכן $h(x) = 2\left|f(x)\right| > 0$
Dשווה אפס: $f(x) \le 0$ בכל התחום, ולכן $\left|f(x)\right| = -f(x)$

Show the answer and the solution

Answer: D שווה אפס: $f(x) \le 0$ בכל התחום, ולכן $\left|f(x)\right| = -f(x)$

Worked solution:

1 + \cos x \ge 0

$\cos x \ge -1$

\frac{1}{2}\cos x - 1 < 0

$b = \frac{1}{2}$ , ו־ $\cos x \le 1$

f(x) \le 0

מכפלה של ביטוי אי־שלילי בביטוי שלילי

\left|f(x)\right| = -f(x)

ערך מוחלט של מספר אי־חיובי

\begin{aligned}h(x) &= f(x) - f(x) \\ &= 0\end{aligned}

מציבים

שיעור ה־ $y$ של $A$ שווה אפס: הגרף של $h(x)$ הוא הקטע $-\pi \le x \le \pi$ על ציר ה־ $x$ .

Check the answer on elev — Exercise 32

שאלה 8 — פונקציית שורש ובעיית קיצון

Exercise 33

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

$x \le$ ____ או $x \ge$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x \le$ -1 או $x \ge$ 1

Worked solution:

x^2 - 1 \ge 0

ביטוי מתחת לשורש ריבועי אינו שלילי

(x - 1)(x + 1) \ge 0

מפרקים לגורמים

x \le -1, \quad x \ge 1

מחוץ לשני השורשים

$x \le -1$ או $x \ge 1$ .

Check the answer on elev — Exercise 33

Exercise 34

ב. מצאו את שיעורי שתי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הישר הנתון. (יש לכתוב קודם את הנקודה ששיעור ה־ $x$ שלה קטן יותר.)

$($ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $($ 1 $,$ 0 $)$ , $($ 2.6 $,$ 4.8 $)$

Worked solution:

2\sqrt{x^2 - 1} = 3x - 3

משווים את הפונקציה לישר

3x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1

שורש אינו שלילי

4(x^2 - 1) = 9(x - 1)^2

מעלים את שני האגפים בריבוע

4x^2 - 4 = 9x^2 - 18x + 9

פותחים סוגריים

5x^2 - 18x + 13 = 0

מעבירים אגפים

\begin{aligned}x &= \frac{18 \pm \sqrt{324 - 260}}{10} \\ &= \frac{18 \pm 8}{10}\end{aligned}

נוסחת השורשים

\begin{aligned}x &= 1 \\ \quad x &= 2.6\end{aligned}

שני הפתרונות מקיימים $x \ge 1$

\begin{aligned}y &= 3 \cdot 1 - 3 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים $x = 1$ בישר

\begin{aligned}y &= 3 \cdot 2.6 - 3 \\ &= 4.8\end{aligned}

מציבים $x = 2.6$ בישר

\begin{aligned}2\sqrt{2.6^2 - 1} &= 2 \cdot 2.4 \\ &= 4.8\end{aligned}

בדיקה: מציבים $x = 2.6$ בפונקציה

$(1, 0)$ ו־ $(2.6, 4.8)$ .

Check the answer on elev — Exercise 34

Exercise 35

הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום שבין שתי הנקודות שמצאתם בסעיף ב. דרך הנקודה $A$ העבירו שני ישרים: ישר המקביל לציר ה־ $y$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $B$ . ישר המקביל לציר ה־ $x$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $C$ . נסמן ב־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $A$ . ג (1). הביעו באמצעות $t$ את אורך הקטע $AB$ .

$AB =$ ____ $\sqrt{t^2 - 1} +$ ( ____ ) $t +$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $AB =$ 2 $\sqrt{t^2 - 1} +$ ( -3 ) $t +$ 3

Worked solution:

A\left(t, 2\sqrt{t^2 - 1}\right)

$A$ על גרף הפונקציה

B(t, 3t - 3)

$B$ על הישר, באותו שיעור $x$ כמו $A$

2\sqrt{t^2 - 1} > 3t - 3

בין שתי נקודות החיתוך הגרף מעל הישר (למשל ב־ $t = 2$ : $3.46 > 3$ )

AB = 2\sqrt{t^2 - 1} - (3t - 3)

הפרש שיעורי ה־ $y$

AB = 2\sqrt{t^2 - 1} - 3t + 3

פותחים סוגריים

$AB = 2\sqrt{t^2 - 1} - 3t + 3$ .

Check the answer on elev — Exercise 35

Exercise 36

הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום שבין שתי הנקודות שמצאתם בסעיף ב. דרך הנקודה $A$ העבירו שני ישרים: ישר המקביל לציר ה־ $y$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $B$ . ישר המקביל לציר ה־ $x$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $C$ . נסמן ב־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $A$ . ג (2). הביעו באמצעות $t$ את אורך הקטע $AC$ . (יש לכתוב את המקדמים כמספרים עשרוניים.)

$AC =$ ____ $\sqrt{t^2 - 1} +$ ( ____ ) $t +$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $AC =$ 0.6667 $\sqrt{t^2 - 1} +$ ( -1 ) $t +$ 1

Worked solution:

y_C = 2\sqrt{t^2 - 1}

$C$ באותו שיעור $y$ כמו $A$

3x_C - 3 = 2\sqrt{t^2 - 1}

$C$ על הישר

3x_C = 2\sqrt{t^2 - 1} + 3

מוסיפים $3$ לשני האגפים

x_C = \frac{2}{3}\sqrt{t^2 - 1} + 1

מחלקים את שני האגפים ב־ $3$

AC = x_C - t

$C$ מימין ל־ $A$ : הישר מתחת לגרף, והוא עולה

AC = \frac{2}{3}\sqrt{t^2 - 1} - t + 1

מציבים

$AC = \frac{2}{3}\sqrt{t^2 - 1} - t + 1$ .

Check the answer on elev — Exercise 36

Exercise 37

הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום שבין שתי הנקודות שמצאתם בסעיף ב. דרך הנקודה $A$ העבירו שני ישרים: ישר המקביל לציר ה־ $y$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $B$ . ישר המקביל לציר ה־ $x$ וחותך את הישר הנתון בנקודה $C$ . נסמן ב־ $t$ את שיעור ה־ $x$ של הנקודה $A$ . ד. מצאו את הערך של $t$ שבעבורו סכום אורכי הקטעים $AB$ ו־ $AC$ הוא מקסימלי.

Show the answer and the solution

Answer: 1.3416

Worked solution:

L(t) = AB + AC

סכום אורכי הקטעים

\begin{aligned}L(t) &= \frac{8}{3}\sqrt{t^2 - 1} - 4t + 4 \\ \quad 1 < t < 2.6\end{aligned}

מחברים את הביטויים מסעיף ג

L'(t) = \frac{8}{3} \cdot \frac{2t}{2\sqrt{t^2 - 1}} - 4

גוזרים: נגזרת של פונקציה מורכבת

L'(t) = \frac{8t}{3\sqrt{t^2 - 1}} - 4

מצמצמים ב־ $2$

\frac{8t}{3\sqrt{t^2 - 1}} = 4

משווים את הנגזרת ל־ $0$

8t = 12\sqrt{t^2 - 1}

כופלים את שני האגפים ב־ $3\sqrt{t^2 - 1}$

2t = 3\sqrt{t^2 - 1}

מחלקים את שני האגפים ב־ $4$

4t^2 = 9(t^2 - 1)

מעלים את שני האגפים בריבוע

4t^2 = 9t^2 - 9

פותחים סוגריים

5t^2 = 9

מעבירים אגפים

t^2 = \frac{9}{5}

מחלקים את שני האגפים ב־ $5$

t = \pm\frac{3}{\sqrt{5}}

מוציאים שורש משני האגפים

t = \frac{3}{\sqrt{5}} \approx 1.342

$1 < t < 2.6$ : הפתרון השלילי נפסל

L'(1.2) > 0, \quad L'(2) < 0

$L$ עולה ואחר כך יורדת: מקסימום

$t = \frac{3}{\sqrt{5}} \approx 1.34$ .

Check the answer on elev — Exercise 37

Words in this lesson

משך: meshekh duration, length of time
שעה: sha’a hour
חצי: ḥetsi half
לפחות: lefaḥot at least
סך הכול: sakh ha-kol in total, altogether
לכל היותר: le-khol ha-yoter at most
הסתברות: histabrut probability
מישור: mishor plane
פולינום: polinom polynomial
פונקציית שורש: funktsiyat shoresh square-root function
פונקציה רציונלית: funktsia ratsyonalit rational function
פונקציה: funktsia function
טריגונומטריה: trigonometria trigonometry
נוסחה: nusḥa formula
סעיף: se’if part (of a question)
הסבירו: hasbiru explain
הראו: har’u show
הוכיחו: hokhiḥu prove
הוכחה: hokhaḥa proof
ביטוי אלגברי: bitui algebri algebraic expression
מקדם: mekadem coefficient
פתרון: pitaron solution
מצאו: mits’u find
פי: pi times (as many)
מהירות: mehirut speed
מרחק: merḥak distance
אמצע קטע: emtsa keta midpoint
זמן: zman time
אגף: agaf side (of an equation)
דקה: daka minute
נקודה: nekuda point
להציב: lehatsiv to substitute
פתיחת סוגריים: ptiḥat sograyim expanding brackets
יום: yom day
קמ״ש: kamash km/h, kilometers per hour
חלקי: ḥalkei divided by
כינוס איברים: kinus evarim collecting like terms
נוסחת השורשים: nusḥat ha-shorashim quadratic formula
נפסל: nifsal rejected
שלילי: shlili negative
ק״מ (קילומטר): kilometer kilometer (km)
הפרש: hefresh difference
סדרה: sidra sequence
הביעו: habi’u express
הגדרה: hagdara definition
גורם: gorem factor
סדרה הנדסית: sidra hendesit geometric sequence
איבר: ever term
יחס: yaḥas ratio
קבוע: kavua constant
נתון: natun given
מנה: mana quotient
שורש: shoresh square root
חיובי: ḥiyuvi positive
נמקו: namku justify, explain why
גורם משותף: gorem meshutaf common factor
פונקציה עולה: funktsia ola increasing function
פונקציה יורדת: funktsia yoredet decreasing function
שמינית: shminit one eighth
מכפלה: makhpela product
סכום: skhum sum
מתכנסת: mitkanesset convergent
נוסחת ההסתברות השלמה: nusḥat ha-histabrut ha-shlema law of total probability
בלתי תלויים: bilti tluyim independent
הסתברות מותנית: histabrut mutnit conditional probability
אקראי: akra’i random, at random
עם החזרה: im ḥazara with replacement
מתוך: mitokh out of
נוסחת ברנולי: nusḥat bernuli binomial formula (Bernoulli)
ספרות אחרי הנקודה: sfarot aḥarei ha-nekuda decimal places
דלתון: delton kite
רדיוס: radius radius
מעגל: ma’agal circle
משולש: meshulash triangle
משולש שווה שוקיים: meshulash shve shokayim isosceles triangle
זוויות הבסיס: zaviyot ha-basis base angles
זווית הראש: zavit ha-rosh vertex angle (apex angle)
זווית: zavit angle
זוויות מתאימות: zaviyot matimot corresponding angles
צלע משותפת: tsela meshutefet common side
חפיפה: ḥafifa congruence
משולשים חופפים: meshulashim ḥoffim congruent triangles
זווית חיצונית: zavit ḥitsonit exterior angle
זוויות מתחלפות: zaviyot mitḥalfot alternate angles
דמיון: dimyon similarity
יחס הדמיון: yaḥas ha-dimyon similarity ratio
חיסור: ḥisur subtraction
קטע: keta line segment
זוויות קודקודיות: zaviyot kodkodiyot vertical angles
צמצום: tsimtsum reducing
שטח: shetaḥ area
מספר עשרוני: mispar esroni decimal number
אלכסון: alakhson diagonal
יחס השטחים: yaḥas ha-shetaḥim ratio of areas
משולשים דומים: meshulashim domim similar triangles
ריבוע: ribua square
גובה: gova height
ישר: yashar line
חיבור: ḥibur addition
משפט הסינוסים: mishpat ha-sinusim law of sines
מכנה: mekhane denominator
בסיס: basis base
חוצה: ḥotse bisects
משולש ישר זווית: meshulash yeshar zavit right triangle
מקבילים: makbilim parallel
משפט הקוסינוסים: mishpat ha-kosinusim law of cosines
משפט הפוך: mishpat hafukh converse
משפט פיתגורס: mishpat Pitagoras Pythagorean theorem
צלע: tsela side
נחתכים: neḥtakhim intersect
אורך: orekh length
מעגל חסום: ma’agal ḥasum inscribed circle (incircle)
היקף: hekef perimeter
משוואה: mishva’a equation
אסימפטוטה: asimptota asymptote
מאונכים: me’unakhim perpendicular
ציר: tsir axis
מתאפס: mitapes equals zero, vanishes
מונה: moneh numerator
אסימפטוטה אנכית: asimptota anakhit vertical asymptote
אסימפטוטה אופקית: asimptota ofkit horizontal asymptote
שיעורים (של נקודה): shiurim coordinates
נקודת קיצון: nekudat kitson extremum
קבעו: kiv’u determine, decide
כלל המנה: klal ha-mana quotient rule
טבלת סימנים: tavlat simanim sign chart
מינימום: minimum minimum
סקיצה: skitsa sketch
גרף: graf graph
נקודת חיתוך: nekudat khitukh intersection point
מוגדרת: mugderet defined
רשמו: rishmu write down
תחום חיוביות: tḥum ḥiyuviyut where the function is positive
נגזרת: nigzeret derivative
חשבו: ḥishvu calculate
פונקציה מורכבת: funktsia murkevet composite function
פונקציה קדומה: funktsia kduma antiderivative
קוסינוס: kosinus cosine
פונקציה זוגית: funktsia zugit even function
סימטריה: simetria symmetry
פונקציה אי-זוגית: funktsia i-zugit odd function
אין פתרון: ein pitaron no solution
כלל המכפלה: klal ha-makhpela product rule
מקסימום: maksimum maximum
ערך מוחלט: erekh muḥlat absolute value
תחום ההגדרה: tḥum ha-hagdara domain of definition
שורשים: shorashim roots, zeros
חותך: khotekh cuts, intersects; transversal
גזירה: gzira differentiation

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elev Discover elev for this grade

This lesson is part of the subscription. A full chapter for free: Sequences