Set 3 — bagrut level · Calculus of eˣ · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שתי שאלות בנוסח הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותה פתיחה: פונקציה עם פרמטר שמוצאים מתוך קיצון, ופונקציה עם פרמטר שמוצאים מתוך אסימפטוטה.

אחרי סעיף א, כתבו את $f$ עם הערך של $a$ . סעיף מאוחר משתמש בתשובה של סעיף מוקדם: אם נתקעתם, חזרו לטבלת הסימנים.

Exercises

Exercise 1

נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-a)e^{-x}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $x=3$ . א. מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 2xe^{-x}-(x^2-a)e^{-x} \\ &= (2x-x^2+a)e^{-x}\end{aligned}

כלל המכפלה

\begin{aligned}f'(3) &= (6-9+a)e^{-3} \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

מציבים

$a=3$ . מי שכתב $a=9$ איפס את $f$ במקום את $f'$ : $9-a=0$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-a)e^{-x}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $x=3$ . ב. הציבו $a=3$ . מצאו את נקודות החיתוך של $f$ עם הצירים. עגלו לשתי ספרות.

עם ציר ה- $y$ : $y=$ ____ ; עם ציר ה- $x$ , בצד החיובי: $x\approx$ ____

Show the answer and the solution

Answer: עם ציר ה- $y$ : $y=$ -3 ; עם ציר ה- $x$ , בצד החיובי: $x\approx$ 1.73

Worked solution:

\begin{aligned}f(0) &= (0-3)\cdot 1 \\ &= -3\end{aligned}

$x=0$

\begin{aligned}x^2-3 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm\sqrt{3}\approx\pm 1.73\end{aligned}

$e^{-x}\neq 0$

יש שתי נקודות על ציר ה- $x$ : $\pm\sqrt{3}$ . ב- $f(0)$ , $e^0=1$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-a)e^{-x}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $x=3$ . ג. הציבו $a=3$ . מצאו את נקודות הקיצון של $f$ וקבעו את סוגן.

מינימום $(1,-2e)$ , מקסימום $\left(3,\frac{6}{e^3}\right)$
מינימום $(-1,-2e)$ , מקסימום $\left(3,\frac{6}{e^3}\right)$
מקסימום $(-1,-2e)$ , מינימום $\left(3,\frac{6}{e^3}\right)$
מקסימום $\left(3,\frac{6}{e^3}\right)$ בלבד

Show the answer and the solution

Answer: B מינימום $(-1,-2e)$ , מקסימום $\left(3,\frac{6}{e^3}\right)$

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= (-x^2+2x+3)e^{-x} \\ &= -(x-3)(x+1)e^{-x}\end{aligned}

מציבים $a=3$

-\ ,\ +\ ,\ -

הסימנים בשלושת התחומים

\begin{aligned}f(-1) &= -2e \\ \ f(3) &= 6e^{-3}\end{aligned}

הערכים

שתי נקודות. מי שבחר «מקסימום בלבד» שכח את האפס השני של $-x^2+2x+3$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-a)e^{-x}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $x=3$ . ד. הציבו $a=3$ . באיזה תחום $f$ עולה?

$x>3$
$-1<x<3$
$-\sqrt{3}<x<\sqrt{3}$
$x<-1$ או $x>3$

Show the answer and the solution

Answer: B $-1<x<3$

Worked solution:

-1<x<3:\ f'>0

בין שני הקיצונים

$-1<x<3$ : מהמינימום עד המקסימום. $\pm\sqrt{3}$ הם חיתוכים עם הציר, לא גבולות של תחום עלייה.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-a)e^{-x}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $x=3$ . ה. הציבו $a=3$ . קבעו: לגרף של $f$ יש אסימפטוטה אופקית $y=0$ כאשר $x\to+\infty$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

x\to+\infty:\ e^{-x}\to 0

$e^{-x}$ מנצח את $x^2-3$

x\to-\infty:\ f\to\infty

משמאל אין אסימפטוטה

נכון, ורק מימין. משמאל $e^{-x}$ גדל מאוד, ו- $f\to\infty$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-a)e^{-x}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $x=3$ . ו. הציבו $a=3$ . היעזרו בסעיפים הקודמים: כמה פתרונות יש למשוואה $f(x)=0.2$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x<-1:\ \infty\searrow -2e

פתרון אחד

-1<x<3:\ -2e\nearrow 0.30

$\frac{6}{e^3}\approx 0.30>0.2$ : פתרון אחד

x>3:\ 0.30\searrow 0

עוד פתרון אחד

שלושה. המקסימום $\frac{6}{e^3}\approx 0.30$ גבוה מ- $0.2$ , ומימין הגרף יורד לאסימפטוטה $y=0$ , מעל $0$ : עוד חיתוך אחד.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^x}{e^x+a}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש אסימפטוטה אנכית $x=\ln 2$ . א. מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: -2

Worked solution:

e^{\ln 2}+a=0

המכנה מתאפס

\begin{aligned}2+a &= 0 \Rightarrow a \\ &= -2\end{aligned}

$e^{\ln 2}=2$

$a=-2$ . מי שכתב $a=2$ שכח שהמכנה הוא $e^x+a$ , ולכן $a=-e^x$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^x}{e^x+a}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש אסימפטוטה אנכית $x=\ln 2$ . ב. הציבו $a=-2$ . מהו תחום ההגדרה של $f$ ?

$x\neq\ln 2$
$x\neq 2$
כל $x$
$x>\ln 2$

Show the answer and the solution

Answer: A $x\neq\ln 2$

Worked solution:

e^x-2\neq 0 \Rightarrow x\neq\ln 2

המכנה

$x\neq\ln 2$ . $x\neq 2$ מבלבל בין $e^x=2$ ל- $x=2$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^x}{e^x+a}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש אסימפטוטה אנכית $x=\ln 2$ . ג. הציבו $a=-2$ . קבעו: $f$ יורדת בכל אחד מתחומי ההגדרה שלה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{e^x(e^x-2)-e^x\cdot e^x}{(e^x-2)^2} \\ &= \frac{-2e^x}{(e^x-2)^2}\end{aligned}

כלל המנה

-2e^x<0 ,\ (e^x-2)^2>0

שלילית

נכון. הנגזרת שלילית בכל התחום. אבל $f$ לא יורדת «לכל $x$ »: יש קפיצה באסימפטוטה $x=\ln 2$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^x}{e^x+a}$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש אסימפטוטה אנכית $x=\ln 2$ . ד. הציבו $a=-2$ . מצאו את האסימפטוטות האופקיות.

כאשר $x\to-\infty$ : $y=$ ____ ; כאשר $x\to+\infty$ : $y=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: כאשר $x\to-\infty$ : $y=$ 0 ; כאשר $x\to+\infty$ : $y=$ 1

Worked solution:

x\to-\infty:\ \frac{0}{0-2}=0

$e^x\to 0$

x\to+\infty:\ \frac{1}{1-2e^{-x}}\to 1

מחלקים ב- $e^x$

שתי אסימפטוטות שונות, אחת בכל צד. מי שכתב $y=-1$ הציב $x=0$ , ולא בדק מה קורה כאשר $e^x\to 0$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev