The definite integral with e and ln

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

אינטגרל מסוים מחשבים כמו בכיתה יא: ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).

ההבדל: עכשיו התוצאה כוללת הרבה פעמים ee או ln⁡\ln. מתחילים מהשטח מתחת ל-exe^x.

למה השטח המדויק הוא eb−1e^b-1 ולא ebe^b?

Show the answer and the solution

כי מחסרים את הערך בגבול התחתון: F(0)=e0=1F(0)=e^0=1. השטח הוא eb−e0=eb−1e^b-e^0=e^b-1.

חישוב עם ee

∫01e2x dx\int_0^1 e^{2x}\,dx

פונקציה קדומה, ואז עליון פחות תחתון.

F(x)=12e2xF(x)=\frac{1}{2}e^{2x}

מחלקים במקדם 22

F(1)=12e2F(0)=12e0=12\begin{aligned}F(1) &= \frac{1}{2}e^2 \qquad F(0) \\ &= \frac{1}{2}e^0 \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

e0=1e^0=1

12e2−12=e2−12≈3.19\frac{1}{2}e^2-\frac{1}{2}=\frac{e^2-1}{2}\approx 3.19

תשובה מדויקת, ואחריה ערך מקורב

זהירות עם הגבול 00. e0=1e^0=1, ולא 00. לכן F(0)F(0) של emxe^{mx} לא מתאפס.

חשבו את ∫0ln⁡3ex dx\int_0^{\ln 3} e^x\,dx.

Show the answer and the solution

eln⁡3−e0=3−1=2e^{\ln 3}-e^0=3-1=2. הכלל eln⁡a=ae^{\ln a}=a הופך את התשובה למספר שלם.

חישוב עם ln⁡\ln

באינטגרל של 1x\frac{1}{x} מופיע ln⁡\ln. שני ערכים עוזרים: ln⁡1=0\ln 1=0 ו-ln⁡e=1\ln e=1.

∫251x−1 dx\int_2^5 \frac{1}{x-1}\,dx

בקטע [2,5][2,5] המכנה x−1x-1 חיובי, ולכן כותבים ln⁡\ln בלי ערך מוחלט.

F(x)=ln⁡(x−1)F(x)=\ln(x-1)

המקדם של xx הוא 11

F(5)−F(2)=ln⁡4−ln⁡1F(5)-F(2)=\ln 4-\ln 1

מציבים

=ln⁡4−0=ln⁡4≈1.39=\ln 4-0=\ln 4\approx 1.39

ln⁡1=0\ln 1=0

חשבו את ∫0432x+1 dx\int_0^4 \frac{3}{2x+1}\,dx. השאירו תשובה מדויקת.

Show the answer and the solution

F(x)=32ln⁡(2x+1)F(x)=\frac{3}{2}\ln(2x+1). לכן 32ln⁡9−32ln⁡1=32ln⁡9=3ln⁡3≈3.30\frac{3}{2}\ln 9-\frac{3}{2}\ln 1=\frac{3}{2}\ln 9=3\ln 3\approx 3.30.

תשובה מדויקת, תשובה מעוגלת

תשובה מדויקת נשארת עם ee ו-ln⁡\ln: ln⁡4\ln 4, e2−12\frac{e^2-1}{2}. אם השאלה מבקשת לעגל, מחשבים במחשבון בסוף.

שלוש טעויות בשורה האחרונה.

[ln⁡x]14=ln⁡4−1\Big[\ln x\Big]_1^4=\ln 4-1
[ln⁡x]14=ln⁡4−0\Big[\ln x\Big]_1^4=\ln 4-0

ln⁡1=0\ln 1=0. המספר 11 הוא ln⁡e\ln e, לא ln⁡1\ln 1.

[ex]02=e2−0\Big[e^x\Big]_0^2=e^2-0
[ex]02=e2−1\Big[e^x\Big]_0^2=e^2-1

e0=1e^0=1: הגבול התחתון לא מתאפס.

∫01e2x dx=e2−1\int_0^1 e^{2x}\,dx=e^2-1
∫01e2x dx=e2−12\int_0^1 e^{2x}\,dx=\frac{e^2-1}{2}

שכחו לחלק במקדם 22 של xx.

Exercises

Exercise 1

חשבו את ∫01e2x dx\int_0^1 e^{2x}\,dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 3.19

Worked solution:

F(x)=12e2xF(x)=\frac{1}{2}e^{2x}

פונקציה קדומה

12e2−12e0=e2−12≈3.19\frac{1}{2}e^2-\frac{1}{2}e^0=\frac{e^2-1}{2}\approx 3.19

עליון פחות תחתון

שתי טעויות אפשריות: לשכוח את החצי (6.396.39), או לכתוב e0=0e^0=0 (3.693.69).

Check the answer on elev

Exercise 2

חשבו את ∫141x dx\int_1^4 \frac{1}{x}\,dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 1.39

Worked solution:

[ln⁡x]14=ln⁡4−ln⁡1\Big[\ln x\Big]_1^4=\ln 4-\ln 1

פונקציה קדומה

=ln⁡4≈1.39=\ln 4\approx 1.39

ln⁡1=0\ln 1=0

ln⁡1=0\ln 1=0, ולכן התשובה היא ln⁡4\ln 4 בדיוק. מי שכתב ln⁡1=1\ln 1=1 קיבל 0.390.39.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהו ∫0ln⁡3ex dx\int_0^{\ln 3} e^x\,dx?

  1. 33
  2. e3−1e^3-1
  3. ln⁡3\ln 3
  4. 22
Show the answer and the solution

Answer: D 22

Worked solution:

[ex]0ln⁡3=eln⁡3−e0\Big[e^x\Big]_0^{\ln 3}=e^{\ln 3}-e^0

מציבים

=3−1=2=3-1=2

eln⁡a=ae^{\ln a}=a

הנכונה: 22. התשובה 33 שוכחת את e0=1e^0=1. התשובה e3−1e^3-1 מציבה 33 במקום ln⁡3\ln 3.

Check the answer on elev

Exercise 4

חשבו את ∫371x−2 dx\int_3^7 \frac{1}{x-2}\,dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 1.61

Worked solution:

F(x)=ln⁡(x−2)F(x)=\ln(x-2)

בקטע המכנה חיובי

ln⁡5−ln⁡1=ln⁡5≈1.61\ln 5-\ln 1=\ln 5\approx 1.61

מציבים

מציבים בפונקציה הקדומה את x=7x=7 ואת x=3x=3: 7−2=57-2=5, 3−2=13-2=1. מי שהציב ln⁡7−ln⁡3\ln 7-\ln 3 שכח את ה-−2-2.

Check the answer on elev

Exercise 5

חשבו את ∫0232x+1 dx\int_0^2 \frac{3}{2x+1}\,dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 2.41

Worked solution:

F(x)=3⋅12ln⁡(2x+1)=32ln⁡(2x+1)\begin{aligned}F(x) &= 3\cdot\frac{1}{2}\ln(2x+1) \\ &= \frac{3}{2}\ln(2x+1)\end{aligned}

מחלקים במקדם 22

32ln⁡5−32ln⁡1=32ln⁡5≈2.41\frac{3}{2}\ln 5-\frac{3}{2}\ln 1=\frac{3}{2}\ln 5\approx 2.41

מציבים

בלי החלוקה ב-22 מקבלים 3ln⁡5≈4.833\ln 5\approx 4.83, כפול מהתשובה.

Check the answer on elev

Exercise 6

חשבו את ∫01(ex+2x) dx\int_0^1 (e^x+2x)\,dx. הפונקציה הקדומה היא F(x)=ex+x2F(x)=e^x+x^2. השלימו.

F(1)=e+F(1)=e+ ____ ; F(0)=F(0)= ____ ; לכן האינטגרל שווה ל-ee.

Show the answer and the solution

Answer: F(1)=e+F(1)=e+ 1 ; F(0)=F(0)= 1 ; לכן האינטגרל שווה ל-ee.

Worked solution:

F(1)=e1+12=e+1\begin{aligned}F(1) &= e^1+1^2 \\ &= e+1\end{aligned}

הגבול העליון

F(0)=e0+0=1\begin{aligned}F(0) &= e^0+0 \\ &= 1\end{aligned}

הגבול התחתון

(e+1)−1=e(e+1)-1=e

ההפרש

גם כאן F(0)F(0) לא מתאפס: e0=1e^0=1. התשובה היא בדיוק e≈2.72e\approx 2.72.

Check the answer on elev

Exercise 7

האינטגרל ∫01e−x dx\int_0^1 e^{-x}\,dx הוא מספר שלילי, כי במעריך יש מינוס.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

[−e−x]01=−e−1+1=1−1e≈0.63\begin{aligned}\Big[-e^{-x}\Big]_0^1 &= -e^{-1}+1 \\ &= 1-\frac{1}{e}\approx 0.63\end{aligned}

מחשבים

לא נכון. e−x>0e^{-x}>0 לכל xx, ולכן האינטגרל חיובי. המינוס במעריך לא הופך את הפונקציה לשלילית.

Check the answer on elev

Exercise 8

חשבו את ∫1e(2x+1)dx\int_1^e \left(\frac{2}{x}+1\right)dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 3.72

Worked solution:

F(x)=2ln⁡x+xF(x)=2\ln x+x

פונקציה קדומה

F(e)=2ln⁡e+e=2+e\begin{aligned}F(e) &= 2\ln e+e \\ &= 2+e\end{aligned}

ln⁡e=1\ln e=1

F(1)=0+1=1\begin{aligned}F(1) &= 0+1 \\ &= 1\end{aligned}

ln⁡1=0\ln 1=0

(2+e)−1=e+1≈3.72(2+e)-1=e+1\approx 3.72

ההפרש

כאן שני הכללים יחד: ln⁡e=1\ln e=1 ו-ln⁡1=0\ln 1=0. ואל תשכחו את F(1)=1F(1)=1 של המחובר xx.

Check the answer on elev

Exercise 9

סדרו את האינטגרלים מהקטן לגדול.

  • ∫01e2x dx\int_0^1 e^{2x}\,dx
  • ∫01ex dx\int_0^1 e^x\,dx
  • ∫121x dx\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx
  • ∫1e1x dx\int_1^e \frac{1}{x}\,dx
Show the answer and the solution

Answer: ∫121x dx\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx · ∫1e1x dx\int_1^e \frac{1}{x}\,dx · ∫01ex dx\int_0^1 e^x\,dx · ∫01e2x dx\int_0^1 e^{2x}\,dx

Worked solution:

ln⁡2≈0.691e−1≈1.72e2−12≈3.19\ln 2\approx 0.69 \quad 1 \quad e-1\approx 1.72 \quad \frac{e^2-1}{2}\approx 3.19

מחשבים כל אחד

השניים הראשונים: ln⁡2<ln⁡e=1\ln 2<\ln e=1. ו-e2x>exe^{2x}>e^x כאשר x>0x>0, ולכן האינטגרל האחרון הכי גדול.

Check the answer on elev

Exercise 10

מצאו את השורה השגויה בחישוב של ∫02ex dx\int_0^2 e^x\,dx.

∫02ex dx=[ex]02\int_0^2 e^x\,dx=\Big[e^x\Big]_0^2
=e2−0=e^2-0
=e2≈7.39=e^2\approx 7.39
Show the answer and the solution

Answer: =e2−0=e^2-0 → =e2−e0=e2−1=e^2-e^0=e^2-1

Worked solution:

e0=1e^0=1

הגבול התחתון

e2−1≈6.39e^2-1\approx 6.39

התשובה הנכונה

הטעות בשורה 2: e0=1e^0=1, לא 00. התשובה הנכונה היא e2−1≈6.39e^2-1\approx 6.39.

Check the answer on elev

Exercise 11

חשבו את ∫−11ex+1 dx\int_{-1}^{1} e^{x+1}\,dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 6.39

Worked solution:

F(x)=ex+1F(x)=e^{x+1}

המקדם של xx הוא 11

F(1)−F(−1)=e2−e0=e2−1≈6.39\begin{aligned}F(1)-F(-1) &= e^2-e^0 \\ &= e^2-1\approx 6.39\end{aligned}

מציבים

בגבול −1-1 המעריך הוא −1+1=0-1+1=0, ולכן F(−1)=1F(-1)=1. מי שכתב e−1e^{-1} שכח את ה-+1+1.

Check the answer on elev

Exercise 12

מהו ∫0ln⁡2e2x dx\int_0^{\ln 2} e^{2x}\,dx?

  1. 1.51.5
  2. 0.50.5
  3. 33
  4. 11
Show the answer and the solution

Answer: A 1.51.5

Worked solution:

[12e2x]0ln⁡2=12e2ln⁡2−12\Big[\frac{1}{2}e^{2x}\Big]_0^{\ln 2}=\frac{1}{2}e^{2\ln 2}-\frac{1}{2}

מציבים

e2ln⁡2=(eln⁡2)2=4\begin{aligned}e^{2\ln 2} &= \left(e^{\ln 2}\right)^2 \\ &= 4\end{aligned}

חוקי חזקות

12⋅4−12=1.5\frac{1}{2}\cdot 4-\frac{1}{2}=1.5

התוצאה

הנכונה: 1.51.5. התשובה 33 שוכחת את החצי. התשובה 0.50.5 כותבת e2ln⁡2=2e^{2\ln 2}=2 במקום 44.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade