The area under the graph of f′

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בסעיף האחרון של שאלות החקירה מבקשים לעתים קרובות שטח מתחת לגרף של הנגזרת f′f'.

לא צריך לחפש פונקציה קדומה. ff עצמה היא פונקציה קדומה של f′f'.

∫abf′(x) dx=f(b)−f(a)\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)

איפה הגרף של f′(x)=2e2x−4exf'(x)=2e^{2x}-4e^x מתחת לציר ה-xx?

Show the answer and the solution

כאשר x<ln⁡2x<\ln 2. שם ff יורדת. פותרים 2ex(ex−2)<02e^x(e^x-2)<0: ex<2e^x<2.

השטח מתחת לגרף של f′f'

השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx וציר ה-yy

עבור f(x)=e2x−4exf(x)=e^{2x}-4e^x. בקטע [0,ln⁡2][0,\ln 2] הגרף של f′f' מתחת לציר.

f′(x)=0 ⇒ x=ln⁡2\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 2\end{aligned}

הגבול השני

S=−∫0ln⁡2f′(x) dx=f(0)−f(ln⁡2)\begin{aligned}S &= -\int_0^{\ln 2} f'(x)\,dx \\ &= f(0)-f(\ln 2)\end{aligned}

מתחת לציר: מחליפים את הסדר

f(0)=1−4=−3f(ln⁡2)=4−8=−4\begin{aligned}f(0) &= 1-4 \\ &= -3 \qquad f(\ln 2) \\ &= 4-8 \\ &= -4\end{aligned}

מציבים ב-ff, לא ב-f′f'

S=−3−(−4)=1\begin{aligned}S &= -3-(-4) \\ &= 1\end{aligned}

התוצאה

בלי לחשב: האם השטח בין x=ln⁡2x=\ln 2 ל-x=1x=1 שווה ל-f(1)−f(ln⁡2)f(1)-f(\ln 2) או ל-f(ln⁡2)−f(1)f(\ln 2)-f(1)?

Show the answer and the solution

f(1)−f(ln⁡2)f(1)-f(\ln 2). שם f′>0f'>0: ff עולה, ולכן f(1)>f(ln⁡2)f(1)>f(\ln 2), וההפרש חיובי.

כשהנגזרת קשה לאינטגרל

לפעמים f′f' היא שבר שאין לנו כלל עבורו, כמו 2xx2+1\frac{2x}{x^2+1}. אבל אם ff נתונה, לא צריך כלל.

f(x)=ln⁡(x2+1)f(x)=\ln(x^2+1): השטח מתחת לגרף של f′f', מ-x=0x=0 עד x=2x=2

בקטע הזה f′(x)=2xx2+1≥0f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}\ge 0.

∫02f′(x) dx=f(2)−f(0)\int_0^2 f'(x)\,dx=f(2)-f(0)

האינטגרל של הנגזרת

=ln⁡5−ln⁡1=ln⁡5≈1.61=\ln 5-\ln 1=\ln 5\approx 1.61

מציבים ב-ff

הסימן של f′f' קובע. איפה ש-ff עולה, השטח הוא f(b)−f(a)f(b)-f(a). איפה ש-ff יורדת, הוא f(a)−f(b)f(a)-f(b).

שתי טעויות בשטח מתחת ל-f′f'.

S=f′(ln⁡2)−f′(0)S=f'(\ln 2)-f'(0)
S=f(0)−f(ln⁡2)S=f(0)-f(\ln 2)

מציבים ב-ff, הפונקציה הקדומה, לא בנגזרת.

S=f(ln⁡2)−f(0)=−1\begin{aligned}S &= f(\ln 2)-f(0) \\ &= -1\end{aligned}
S=f(0)−f(ln⁡2)=1\begin{aligned}S &= f(0)-f(\ln 2) \\ &= 1\end{aligned}

בקטע הזה f′f' מתחת לציר. שטח לא יכול להיות שלילי: הופכים את הסדר.

Exercises

Exercise 1

נתונה f(x)=ex+x2f(x)=e^x+x^2. חשבו את ∫01f′(x) dx\int_0^1 f'(x)\,dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 2.72

Worked solution:

∫01f′(x) dx=f(1)−f(0)\int_0^1 f'(x)\,dx=f(1)-f(0)

האינטגרל של הנגזרת

=(e+1)−(1+0)=e≈2.72=(e+1)-(1+0)=e\approx 2.72

מציבים ב-ff

אין צורך לגזור ואז לחפש קדומה: ff כבר כאן. ובגבול 00: f(0)=e0=1f(0)=e^0=1.

Check the answer on elev

Exercise 2

למה שווה ∫abf′(x) dx\int_a^b f'(x)\,dx?

  1. f(a)−f(b)f(a)-f(b)
  2. f(b)−f(a)f(b)-f(a)
  3. f′(b)⋅(b−a)f'(b)\cdot(b-a)
  4. f′(b)−f′(a)f'(b)-f'(a)
Show the answer and the solution

Answer: B f(b)−f(a)f(b)-f(a)

Worked solution:

(f(x))′=f′(x)\big(f(x)\big)'=f'(x)

ff היא פונקציה קדומה של f′f'

הנכונה: f(b)−f(a)f(b)-f(a). ff היא הפונקציה הקדומה של f′f', ובה מציבים. הצבה ב-f′f' היא הטעות הנפוצה.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה f(x)=ln⁡(x2+3)f(x)=\ln(x^2+3). חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx והישר x=1x=1. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.29

Worked solution:

f′(x)=2xx2+3=0 ⇒ x=0\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x}{x^2+3} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

הגבול השני

0<x<1: f′(x)>00<x<1: \ f'(x)>0

הגרף מעל הציר

S=f(1)−f(0)=ln⁡4−ln⁡3=ln⁡43≈0.29\begin{aligned}S &= f(1)-f(0) \\ &= \ln 4-\ln 3 \\ &= \ln\frac{4}{3}\approx 0.29\end{aligned}

מציבים ב-ff

הגבול השמאלי הוא החיתוך של f′f' עם הציר, x=0x=0. ואת 2xx2+3\frac{2x}{x^2+3} לא צריך לבצע עליו אינטגרל.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה f(x)=ln⁡(x2+1)f(x)=\ln(x^2+1). כדי לחשב את ∫03f′(x) dx\int_0^3 f'(x)\,dx, צריך קודם למצוא את f′(x)f'(x).

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

∫03f′(x) dx=f(3)−f(0)=ln⁡10−ln⁡1=ln⁡10\begin{aligned}\int_0^3 f'(x)\,dx &= f(3)-f(0) \\ &= \ln 10-\ln 1 \\ &= \ln 10\end{aligned}

מציבים ישר ב-ff

לא נכון. התשובה היא f(3)−f(0)=ln⁡10f(3)-f(0)=\ln 10. את f′f' צריך רק כדי לדעת איפה הגרף שלה מעל הציר.

Check the answer on elev

Exercise 5

−2−11xyf'y = 0O

נתונה f(x)=e2x−2exf(x)=e^{2x}-2e^x. בסרטוט הגרף של f′f'. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx והישר x=−1x=-1. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.4

Worked solution:

f′(x)=2ex(ex−1)=0 ⇒ x=0\begin{aligned}f'(x) &= 2e^x(e^x-1) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

החיתוך עם הציר

−1<x<0: f′(x)<0-1<x<0: \ f'(x)<0

מתחת לציר

S=f(−1)−f(0)=(e−2−2e−1)−(1−2)\begin{aligned}S &= f(-1)-f(0) \\ &= (e^{-2}-2e^{-1})-(1-2)\end{aligned}

מציבים ב-ff

=e−2−2e−1+1≈0.40=e^{-2}-2e^{-1}+1\approx 0.40

התוצאה

הגרף של f′f' מתחת לציר, ולכן השטח הוא f(−1)−f(0)f(-1)-f(0) ולא f(0)−f(−1)≈−0.40f(0)-f(-1)\approx -0.40.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה f(x)=x−ln⁡xf(x)=x-\ln x, כאשר x>0x>0. השלימו.

f′(x)=0f'(x)=0 כאשר x=x= ____ ; f(1)=f(1)= ____

Show the answer and the solution

Answer: f′(x)=0f'(x)=0 כאשר x=x= 1 ; f(1)=f(1)= 1

Worked solution:

f′(x)=1−1x=0 ⇒ x=1\begin{aligned}f'(x) &= 1-\frac{1}{x} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

הנגזרת

f(1)=1−ln⁡1=1\begin{aligned}f(1) &= 1-\ln 1 \\ &= 1\end{aligned}

ln⁡1=0\ln 1=0

ב-x=1x=1 יש ל-ff מינימום: משמאל f′<0f'<0, מימין f′>0f'>0.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה f(x)=x−ln⁡xf(x)=x-\ln x. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx והישר x=ex=e. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.72

Worked solution:

f′(1)=0f'(1)=0

הגבול השמאלי

1<x<e: f′(x)>01<x<e: \ f'(x)>0

מעל הציר

S=f(e)−f(1)=(e−1)−1=e−2≈0.72\begin{aligned}S &= f(e)-f(1) \\ &= (e-1)-1 \\ &= e-2\approx 0.72\end{aligned}

ln⁡e=1\ln e=1

הגבולות: החיתוך x=1x=1 והישר x=ex=e. מי שהתחיל מ-x=0x=0 נתקע: ln⁡0\ln 0 לא מוגדר.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה f(x)=e2x−4exf(x)=e^{2x}-4e^x, עם מינימום ב-x=ln⁡2x=\ln 2. לכל קטע [a,b][a,b]: למה שווה השטח בין הגרף של f′f' לציר ה-xx?

  • f(b)−f(a)f(b)-f(a)
  • f(a)−f(b)f(a)-f(b)
  • [−1, 0][-1,\,0]
  • [−2, ln⁡2][-2,\,\ln 2]
  • [ln⁡2, 1][\ln 2,\,1]
  • [ln⁡2, 3][\ln 2,\,3]
  • [0, ln⁡2][0,\,\ln 2]
  • [1, 2][1,\,2]
Show the answer and the solution

Answer: [ln⁡2, 1][\ln 2,\,1] — f(b)−f(a)f(b)-f(a) · [0, ln⁡2][0,\,\ln 2] — f(a)−f(b)f(a)-f(b) · [1, 2][1,\,2] — f(b)−f(a)f(b)-f(a) · [−1, 0][-1,\,0] — f(a)−f(b)f(a)-f(b) · [ln⁡2, 3][\ln 2,\,3] — f(b)−f(a)f(b)-f(a) · [−2, ln⁡2][-2,\,\ln 2] — f(a)−f(b)f(a)-f(b)

Worked solution:

x>ln⁡2: f′>0x>\ln 2: \ f'>0

ff עולה

x<ln⁡2: f′<0x<\ln 2: \ f'<0

ff יורדת

מימין למינימום ff עולה, ולכן f(b)>f(a)f(b)>f(a). משמאל לו ff יורדת, וההפרש מתהפך.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתון: f(1)=2f(1)=2, f(3)=7f(3)=7, ו-f′(x)>0f'(x)>0 לכל xx בקטע [1,3][1,3]. מהו השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx והישרים x=1x=1, x=3x=3?

  1. 3.53.5
  2. 99
  3. 55
  4. −5-5
Show the answer and the solution

Answer: C 55

Worked solution:

S=∫13f′(x) dx=f(3)−f(1)\begin{aligned}S &= \int_1^3 f'(x)\,dx \\ &= f(3)-f(1)\end{aligned}

הגרף של f′f' מעל הציר

=7−2=5=7-2=5

מציבים

הנכונה: 55. לא צריך לדעת מה ff: מספיקים שני ערכים שלה. 99 מחבר במקום לחסר.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה f(x)=2x−exf(x)=2x-e^x. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f' והצירים, ברביע הראשון. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.39

Worked solution:

f′(x)=2−ex=0 ⇒ x=ln⁡2\begin{aligned}f'(x) &= 2-e^x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 2\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה-xx

0<x<ln⁡2: f′(x)>00<x<\ln 2: \ f'(x)>0

מעל הציר

S=f(ln⁡2)−f(0)=(2ln⁡2−2)−(0−1)=2ln⁡2−1≈0.39\begin{aligned}S &= f(\ln 2)-f(0) \\ &= (2\ln 2-2)-(0-1) \\ &= 2\ln 2-1\approx 0.39\end{aligned}

מציבים ב-ff

הגבולות: ציר ה-yy (x=0x=0) והחיתוך x=ln⁡2x=\ln 2. f(0)=−e0=−1f(0)=-e^0=-1, ולא 00.

Check the answer on elev

Exercise 11

נתונה f(x)=ln⁡(x2−2x+5)f(x)=\ln(x^2-2x+5). חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx וציר ה-yy. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.22

Worked solution:

f′(x)=2x−2x2−2x+5=0 ⇒ x=1\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x-2}{x^2-2x+5} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

החיתוך

0<x<1: f′(x)<00<x<1: \ f'(x)<0

מתחת לציר

S=f(0)−f(1)=ln⁡5−ln⁡4=ln⁡1.25≈0.22\begin{aligned}S &= f(0)-f(1) \\ &= \ln 5-\ln 4 \\ &= \ln 1.25\approx 0.22\end{aligned}

מציבים ב-ff

את השבר 2x−2x2−2x+5\frac{2x-2}{x^2-2x+5} אין צורך לבצע עליו אינטגרל: מציבים ב-ff. והגרף מתחת לציר, ולכן f(0)−f(1)f(0)-f(1).

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade