Set 3 — bagrut level

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שלוש שאלות בנוסח הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותה פתיחה: פונקציה עם ee, פונקציה עם ln⁡\ln, ושני גרפים.

כמו בבחינה: כל סעיף משתמש בסעיף שלפניו. לפני שמתחילים סעיף, חפשו מה כבר מצאתם: חיתוך, קיצון, תחום.

Exercises

Exercise 1

−2−11−1123xyfy = 3

נתונה הפונקציה f(x)=e2x−4ex+3f(x)=e^{2x}-4e^x+3. א. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף של ff עם ציר ה-xx.

x=0x=0 ; x=ln⁡x=\ln ____

Show the answer and the solution

Answer: x=0x=0 ; x=ln⁡x=\ln 3

Worked solution:

t=ex: t2−4t+3=0\begin{aligned}t &= e^x: \ t^2-4t+3 \\ &= 0\end{aligned}

הצבה

t=1 t=3 ⇒ x=0 x=ln⁡3\begin{aligned}t &= 1 \\ \ t &= 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= \ln 3\end{aligned}

חוזרים ל-xx

הגרף עובר דרך ראשית הצירים: f(0)=1−4+3=0f(0)=1-4+3=0. זה יהיה גבול בסעיף ד.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה f(x)=e2x−4ex+3f(x)=e^{2x}-4e^x+3. ב. מצאו את נקודת הקיצון של ff וקבעו את סוגה.

מינימום: x=ln⁡x=\ln ____ , y=y= ____

Show the answer and the solution

Answer: מינימום: x=ln⁡x=\ln 2 , y=y= -1

Worked solution:

f′(x)=2e2x−4ex=2ex(ex−2)=0 ⇒ x=ln⁡2\begin{aligned}f'(x) &= 2e^{2x}-4e^x \\ &= 2e^x(e^x-2) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 2\end{aligned}

הנגזרת

f′(0)=−2<0f′(1)=2e2−4e>0\begin{aligned}f'(0) &= -2<0 \qquad f'(1) \\ &= 2e^2-4e>0\end{aligned}

מ-−- ל-++

f(ln⁡2)=4−8+3=−1\begin{aligned}f(\ln 2) &= 4-8+3 \\ &= -1\end{aligned}

המינימום

ה-xx של המינימום בין שני החיתוכים 00 ו-ln⁡3\ln 3, ו-yy שלילי: הגרף יורד מתחת לציר ביניהם.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה f(x)=e2x−4ex+3f(x)=e^{2x}-4e^x+3. ג. מצאו את האסימפטוטה האופקית של ff כאשר x→−∞x\to-\infty. רשמו את ערך ה-yy שלה.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x→−∞: e2x→0, ex→0x\to-\infty: \ e^{2x}\to 0, \ e^x\to 0

החזקות של ee דועכות

f(x)→3f(x)\to 3

האסימפטוטה y=3y=3

כאשר x→−∞x\to-\infty רק הקבוע נשאר. כאשר x→∞x\to\infty אין אסימפטוטה: e2xe^{2x} גדל בלי גבול.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה הפונקציה f(x)=e2x−4ex+3f(x)=e^{2x}-4e^x+3. ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של ff וציר ה-xx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.7

Worked solution:

0≤x≤ln⁡3: f(x)≤00\le x\le\ln 3: \ f(x)\le 0

בין החיתוכים, מתחת לציר

S=−[12e2x−4ex+3x]0ln⁡3S=-\Big[\frac{1}{2}e^{2x}-4e^x+3x\Big]_0^{\ln 3}

אפס פחות ff

=−[(4.5−12+3ln⁡3)−(0.5−4)]=4−3ln⁡3≈0.70=-\left[(4.5-12+3\ln 3)-(0.5-4)\right]=4-3\ln 3\approx 0.70

מציבים

הגבולות הם שני החיתוכים מסעיף א. האינטגרל עצמו יוצא 3ln⁡3−4<03\ln 3-4<0; השטח הוא המספר החיובי.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(4x−x2)f(x)=\ln(4x-x^2). א. מהו תחום ההגדרה של ff?

  1. x≠0x\ne 0 וגם x≠4x\ne 4
  2. 0<x<40<x<4
  3. x<0x<0 או x>4x>4
  4. x>0x>0
Show the answer and the solution

Answer: B 0<x<40<x<4

Worked solution:

4x−x2>0 ⇒ x(4−x)>04x-x^2>0 \ \Rightarrow \ x(4-x)>0

הביטוי בתוך ln⁡\ln חיובי

0<x<40<x<4

פרבולה בוכה: חיובית בין השורשים

הנכונה: 0<x<40<x<4. התשובה x<0x<0 או x>4x>4 היא איפה שהביטוי שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(4x−x2)f(x)=\ln(4x-x^2). ב. לגרף של ff יש אסימפטוטה אנכית אחת בלבד: x=0x=0.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

x→0+: 4x−x2→0+x\to 0^+: \ 4x-x^2\to 0^+

ובאותה דרך x→4−x\to 4^-

ln⁡(0+)→−∞\ln(0^+)\to-\infty

שתי אסימפטוטות: x=0x=0, x=4x=4

לא נכון. בשני הקצוות של התחום הביטוי שבתוך ln⁡\ln שואף ל-00. לכן יש שתי אסימפטוטות אנכיות.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(4x−x2)f(x)=\ln(4x-x^2). ג. מצאו את נקודת הקיצון של ff וקבעו את סוגה.

מקסימום: x=x= ____ , y=ln⁡y=\ln ____

Show the answer and the solution

Answer: מקסימום: x=x= 2 , y=ln⁡y=\ln 4

Worked solution:

f′(x)=4−2x4x−x2=0 ⇒ x=2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{4-2x}{4x-x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

הנגזרת

f′(1)>0f′(3)<0f'(1)>0 \qquad f'(3)<0

מ-++ ל-−-

f(2)=ln⁡4f(2)=\ln 4

המקסימום

המכנה 4x−x24x-x^2 חיובי בכל התחום, ולכן הסימן של f′f' הוא הסימן של 4−2x4-2x.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(4x−x2)f(x)=\ln(4x-x^2). ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=3x=3. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.58

Worked solution:

1<x<2: f′>02<x<3: f′<01<x<2: \ f'>0 \qquad 2<x<3: \ f'<0

הגרף של f′f' חותך את הציר ב-x=2x=2

S=(f(2)−f(1))+(f(2)−f(3))S=\big(f(2)-f(1)\big)+\big(f(2)-f(3)\big)

כל חלק לבד

=(ln⁡4−ln⁡3)+(ln⁡4−ln⁡3)=2ln⁡43≈0.58=(\ln 4-\ln 3)+(\ln 4-\ln 3)=2\ln\frac{4}{3}\approx 0.58

f(1)=f(3)=ln⁡3f(1)=f(3)=\ln 3

אינטגרל אחד מ-11 עד 33 נותן f(3)−f(1)=0f(3)-f(1)=0. שני החלקים מתבטלים, ולכן חותכים ב-x=2x=2.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונות הפונקציות f(x)=exf(x)=e^x ו-g(x)=e2−xg(x)=e^{2-x}. א. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך של הגרפים.

x=x= ____

Show the answer and the solution

Answer: x=x= 1

Worked solution:

ex=e2−x ⇒ x=2−x\begin{aligned}e^x &= e^{2-x} \ \Rightarrow \ x \\ &= 2-x\end{aligned}

בסיס שווה, מעריכים שווים

x=1x=1

פותרים

אין צורך ב-ln⁡\ln: שני האגפים חזקות של ee, ולכן משווים את המעריכים.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונות הפונקציות f(x)=exf(x)=e^x ו-g(x)=e2−xg(x)=e^{2-x}. ב. חשבו את השטח המוגבל על ידי שני הגרפים וציר ה-yy. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 2.95

Worked solution:

x=0: g(0)=e2>f(0)=1\begin{aligned}x &= 0: \ g(0) \\ &= e^2>f(0) \\ &= 1\end{aligned}

gg למעלה בין 00 ל-11

∫e2−x dx=−e2−x\int e^{2-x}\,dx=-e^{2-x}

המקדם של xx הוא −1-1

S=[−e2−x−ex]01=(−e−e)−(−e2−1)=e2−2e+1\begin{aligned}S &= \Big[-e^{2-x}-e^x\Big]_0^1 \\ &= (-e-e)-(-e^2-1) \\ &= e^2-2e+1\end{aligned}

מציבים

=(e−1)2≈2.95=(e-1)^2\approx 2.95

התוצאה

הקדומה של e2−xe^{2-x} היא −e2−x-e^{2-x}: המינוס מגיע מהמקדם −1-1 של xx.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade