The function ln x · Calculus of ln x · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

$\ln x$ הוא לוגריתם בבסיס $e$ . כלומר $\ln x=\log_e x$ .

$e\approx 2.718$ הוא המספר שהכרנו בפונקציה $e^x$ . במחשבון יש ל- $\ln$ מקש משלו.

\ln 1=0

כי $e^0=1$

\ln e=1

כי $e^1=e$

\ln e^2=2

המעריך של $e$ הוא התשובה

\ln \tfrac{1}{e}=-1

כי $e^{-1}=\frac1e$

כמה זה $\ln e^5$ ? וכמה זה $e^{\ln 7}$ ?

Show the answer and the solution

$\ln e^5=5$ , ו- $e^{\ln 7}=7$ . הפעולות $\ln$ ו- $e^{\square}$ מבטלות זו את זו.

הגרף של $y=\ln x$

f(x)=\ln x

ו-

g(x)=e^x

. הקו המקווקו הוא

y=x

. שני הגרפים סימטריים סביבו: הנקודה

(0,\,1)

על

g

, והנקודה

(1,\,0)

על

f

התכונות של $y=\ln x$

x>0

תחום הגדרה: רק מספרים חיוביים

(1,\,0)

נקודת החיתוך עם ציר ה- $x$ : $\ln 1=0$

x=0

אסימפטוטה אנכית: כאשר $x$ מתקרב ל- $0$ , הגרף יורד בלי סוף

\text{עולה}

ככל ש- $x$ גדל, $\ln x$ גדל. בלי נקודות קיצון

לאילו ערכים של $x$ מתקיים $\ln x<0$ ?

Show the answer and the solution

ל- $0<x<1$ : שם הגרף מתחת לציר ה- $x$ . למשל $\ln 0.5\approx -0.69$ .

שתי טעויות על התחום.

\ln 0=0

\ln 1=0

$\ln 0$ לא מוגדר: אין חזקה של $e$ ששווה $0$ . האפס של $\ln$ נמצא ב- $x=1$ .

\ln(-2)=-\ln 2

-\ln 2=\ln\tfrac12

$\ln$ של מספר שלילי לא מוגדר. מינוס לפני ה- $\ln$ מותר: $-\ln 2=\ln\frac12$ .

הזזות של $\ln x$

מה שבתוך ה- $\ln$ מזיז ימינה ושמאלה, ומשנה את התחום. מה שמחוץ לו מזיז למעלה ולמטה.

y=\ln(x-2)

ימינה $2$ . התחום $x>2$ , האסימפטוטה $x=2$

y=\ln x+1

למעלה $1$ . האסימפטוטה נשארת $x=0$

y=-\ln x

שיקוף בציר ה- $x$ : הפונקציה יורדת

y=\ln(-x)

שיקוף בציר ה- $y$ : התחום $x<0$

Interactive activity

איזה גרף מתאר את $y=\ln(x+2)$ ?

בדקו את האסימפטוטה, את הנקודה שבה מה שבפנים שווה $1$ , ואת הכיוון. לחצו על הגרף המתאים.

Show the answer and the solution

לא. האסימפטוטה כאן $x=2$ : זה $y=\ln(x-2)$ . הפלוס בפנים מזיז שמאלה.

נכון. $x+2>0$ נותן $x>-2$ . האסימפטוטה $x=-2$ , והגרף עובר ב- $(-1,\,0)$ , כי שם $x+2=1$ .

לא. כאן ה- $2$ מחוץ ל- $\ln$ : הגרף זז למעלה, והאסימפטוטה נשארה $x=0$ .

כמעט. האסימפטוטה נכונה, אבל הגרף יורד. זה $y=-\ln(x+2)$ .

שלוש בדיקות לכל גרף של $\ln$ : איפה האסימפטוטה, איפה מה שבפנים שווה $1$ , ואם הגרף עולה או יורד.

Do the activity on elev

מה האסימפטוטה של $y=\ln(x+2)-3$ , ואיפה הגרף חותך את ציר ה- $y$ ?

Show the answer and the solution

האסימפטוטה $x=-2$ . ב- $x=0$ : $y=\ln 2-3\approx -2.31$ .

Interactive activity

פותרים יחד: תחום, אסימפטוטה וחיתוכים

y=\ln(x-1)+2

תחום

מה תחום ההגדרה?

x>1

x>-1

Show the answer and the solution

$x-1>0$ נותן $x>1$ . המינוס בפנים מזיז ימינה.

x>-2

Show the answer and the solution

המספר $2$ נמצא מחוץ ל- $\ln$ . הוא לא משנה את התחום.

מה שבפנים חיובי.

x-1>0 \Rightarrow x>1

אסימפטוטה

מה האסימפטוטה?

x=1

y=2

Show the answer and the solution

ל- $\ln$ אין אסימפטוטה אופקית. הוא ממשיך לעלות.

x=0

Show the answer and the solution

האסימפטוטה זזה עם התחום: היא בגבול שלו.

אסימפטוטה אנכית, בגבול התחום.

ציר ה-x

איפה הגרף חותך את ציר ה- $x$ ?

x=1+e^{-2}\approx 1.14

x=2

Show the answer and the solution

$y=0$ נותן $\ln(x-1)=-2$ , ולא $0$ .

x=1-e^{2}

Show the answer and the solution

$x-1=e^{-2}$ : החזקה שלילית, והתוצאה בתוך התחום.

$y=0$ נותן $\ln(x-1)=-2$ .

\begin{aligned}\ln(x-1) &= -2 \Rightarrow x-1 \\ &= e^{-2} \Rightarrow x\approx 1.14\end{aligned}

ציר ה-y

איפה הגרף חותך את ציר ה- $y$ ?

\text{אין חיתוך}

y=2

Show the answer and the solution

ב- $x=0$ מקבלים $\ln(-1)$ , שלא מוגדר.

$x=0$ מחוץ לתחום $x>1$ .

תחום, אסימפטוטה, חיתוכים: מספיק כדי לשרטט.

Do the activity on elev

כל שאלה על $\ln$ מתחילה בתחום. בלעדיו אי אפשר לדעת איזו תשובה לפסול.

Exercises

Exercise 1

חשבו: $\ln e^3+\ln 1$ .

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\ln e^3=3

ה- $\ln$ מבטל את $e$

\ln 1=0

כי $e^0=1$

התשובה $3$ . מי שכתב $\ln 1=1$ בלבל בין $\ln 1$ ל- $\ln e$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

חשבו: $e^{\ln 4}+\ln 1$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

e^{\ln 4}=4

הפעולות מבטלות זו את זו

\ln 1=0

התשובה $4$ . $e^{\ln 4}$ אינו $e\cdot 4$ : זו חזקה שהמעריך שלה $\ln 4$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

חשבו במחשבון את $\ln 5$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 1.61

Worked solution:

\ln 5\approx 1.609

מקש $\ln$ במחשבון

\approx 1.61

לשתי ספרות אחרי הנקודה

התשובה $1.61$ . מקש $\log$ נותן $\log 5\approx 0.70$ : זה בסיס $10$ , לא $e$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

מהו תחום ההגדרה של $y=\ln(x+4)$ ?

$x>0$
$x\ge -4$
$x>-4$
$x>4$

Show the answer and the solution

Answer: C $x>-4$

Worked solution:

x+4>0

מה שבתוך ה- $\ln$ חיובי

x>-4

$x>-4$ . לא $x\ge -4$ : ב- $x=-4$ מקבלים $\ln 0$ , שלא מוגדר.

Check the answer on elev

Exercise 5

התאימו לכל פונקציה את האסימפטוטה האנכית שלה.

$y=\ln(x-3)$
$y=\ln(x+5)$
$y=\ln x-2$
$y=\ln(2x-8)$

$x=-5$
$x=0$
$x=3$
$x=4$

Show the answer and the solution

Answer: $y=\ln(x-3)$ — $x=3$ · $y=\ln(x+5)$ — $x=-5$ · $y=\ln x-2$ — $x=0$ · $y=\ln(2x-8)$ — $x=4$

Worked solution:

\begin{aligned}x-3 &= 0 \\ \ x+5 &= 0 \\ \ x &= 0 \\ \ 2x-8 &= 0\end{aligned}

מה שבפנים מתאפס

ב- $\ln x-2$ ה- $2$ מחוץ ל- $\ln$ : הוא מזיז למטה, והאסימפטוטה נשארת $x=0$ . ב- $\ln(2x-8)$ האסימפטוטה $x=4$ , לא $x=8$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

לכל $0<x<1$ מתקיים $\ln x<0$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\ln 1=0

ו- $\ln x$ עולה

x<1 \Rightarrow \ln x<\ln 1=0

נכון. הגרף עולה וחוצה את ציר ה- $x$ ב- $x=1$ . משמאל ל- $1$ הוא מתחת לציר. שלילי אינו "לא מוגדר".

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה הפונקציה $y=\ln(x-3)+1$ . השלימו. עגלו לשתי ספרות.

האסימפטוטה: $x=$ ____ ; החיתוך עם ציר ה- $x$ : $x\approx$ ____

Show the answer and the solution

Answer: האסימפטוטה: $x=$ 3 ; החיתוך עם ציר ה- $x$ : $x\approx$ 3.37

Worked solution:

\begin{aligned}x-3 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

האסימפטוטה

\begin{aligned}\ln(x-3) &= -1 \Rightarrow x-3 \\ &= e^{-1}\end{aligned}

$y=0$

x=3+\tfrac1e\approx 3.37

ב- $y=0$ מעבירים קודם את $1$ : $\ln(x-3)=-1$ . מי שכתב $x-3=-1$ שכח את $e$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

איזו נקודה נמצאת על הגרף של $y=\ln x$ ?

$(0,\,1)$
$(e^2,\,2)$
$(2,\,e^2)$
$(e,\,0)$

Show the answer and the solution

Answer: B $(e^2,\,2)$

Worked solution:

\ln e^2=2

מציבים $x=e^2$

$(e^2,\,2)$ . הנקודה $(2,\,e^2)$ על הגרף של $e^x$ : החליפו את $x$ ואת $y$ . $(0,\,1)$ מחוץ לתחום.

Check the answer on elev

Exercise 9

מיינו: איזה ביטוי מוגדר?

מוגדר
לא מוגדר

$\ln 0.5$
$\ln 0$
$\ln 1$
$\ln e^{-3}$
$\ln(-1)$
$\ln(-e)$

Show the answer and the solution

Answer: $\ln 0.5$ — מוגדר · $\ln(-1)$ — לא מוגדר · $\ln 0$ — לא מוגדר · $\ln e^{-3}$ — מוגדר · $\ln 1$ — מוגדר · $\ln(-e)$ — לא מוגדר

Worked solution:

\ln t \iff t>0

רק מה שבפנים קובע

$\ln e^{-3}=-3$ : התוצאה שלילית, אבל מה שבפנים חיובי. $\ln 0$ לא מוגדר.

Check the answer on elev

Exercise 10

פתרו את $\ln(x-2)=1$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

x-2>0 \Rightarrow x>2

x-2=e^1

x=e-2

Show the answer and the solution

Answer: $x=e-2$ → $x=e+2$

Worked solution:

x=e+2\approx 4.72

מעבירים את $2$ לצד השני

4.72>2

בתוך התחום

בשורה 3 העבירו את $-2$ בלי להפוך סימן. $x=e-2\approx 0.72$ אפילו מחוץ לתחום.

Check the answer on elev

Exercise 11

איפה חותך הגרף של $y=\ln(x+5)-1$ את ציר ה- $y$ ? כתבו את ערך ה- $y$ , עגלו לשתי ספרות.

Show the answer and the solution

Answer: 0.61

Worked solution:

x=0

ציר ה- $y$

y=\ln 5-1\approx 0.61

$y\approx 0.61$ . מציבים $x=0$ , לא $y=0$ : $y=0$ נותן את החיתוך עם ציר ה- $x$ .

Check the answer on elev

הגרף של y=ln⁡xy=\ln xy=lnx

התכונות של y=ln⁡xy=\ln xy=lnx

הזזות של ln⁡x\ln xlnx

Exercises

Keep practising on elev

הגרף של $y=\ln x$

התכונות של $y=\ln x$

הזזות של $\ln x$