Set 3 — bagrut level

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שתי שאלות בנוסח הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותה פתיחה.

סעיף מאוחר משתמש בתשובה של סעיף מוקדם. בשאלה השנייה, סעיף ה נפתר בעזרת סעיפים א ו-ב.

Exercises

Exercise 1

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2−8x+15)f(x)=\ln(x^2-8x+15). א. מצאו את תחום ההגדרה של ff ואת האסימפטוטות האנכיות שלה.

התחום: x<x< ____ או x>x> ____

Show the answer and the solution

Answer: התחום: x<x< 3 או x>x> 5

Worked solution:

(x−3)(x−5)>0(x-3)(x-5)>0
x<3 או x>5x<3 \ \text{או} \ x>5

מחוץ לשורשים

x=3 x=5\begin{aligned}x &= 3 \\ \ x &= 5\end{aligned}

האסימפטוטות, בקצוות

האסימפטוטות x=3x=3 ו-x=5x=5 הן בדיוק קצוות התחום. x=4x=4 (הקודקוד) אינו אסימפטוטה.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2−8x+15)f(x)=\ln(x^2-8x+15). ב. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים. עגלו לשתי ספרות.

ציר ה-yy: y≈y\approx ____ ; ציר ה-xx: x≈x\approx ____ , x≈x\approx ____

Show the answer and the solution

Answer: ציר ה-yy: y≈y\approx 2.71 ; ציר ה-xx: x≈x\approx 2.59 , x≈x\approx 5.41

Worked solution:

f(0)=ln⁡15≈2.71f(0)=\ln 15\approx 2.71

00 בתחום

x2−8x+15=1⇒x2−8x+14=0\begin{aligned}x^2-8x+15 &= 1 \Rightarrow x^2-8x+14 \\ &= 0\end{aligned}

ln⁡t=0  ⟺  t=1\ln t=0 \iff t=1

x=4±2x=4\pm\sqrt2

שני הפתרונות בתחום

ב-f(x)=0f(x)=0 משווים את מה שבפנים ל-11, לא ל-00: x2−8x+15=0x^2-8x+15=0 נותן את האסימפטוטות.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2−8x+15)f(x)=\ln(x^2-8x+15). ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה של ff.

  1. יורדת ב-x<3x<3, עולה ב-x>5x>5
  2. עולה בכל התחום
  3. יורדת ב-x<4x<4, עולה ב-x>4x>4
  4. עולה ב-x<3x<3, יורדת ב-x>5x>5
Show the answer and the solution

Answer: A יורדת ב-x<3x<3, עולה ב-x>5x>5

Worked solution:

f′(x)=2x−8x2−8x+15f^{\prime}(x)=\frac{2x-8}{x^2-8x+15}
x<3:−+<0,x>5:++>0x<3: \frac{-}{+}<0 ,\quad x>5: \frac{+}{+}>0

המכנה חיובי בתחום

יורדת ב-x<3x<3 ועולה ב-x>5x>5. התשובה עם x=4x=4 שוכחת שבין 33 ל-55 אין פונקציה.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2−8x+15)f(x)=\ln(x^2-8x+15). ד. לפונקציה יש נקודת מינימום ב-x=4x=4.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f′(4)=0f^{\prime}(4)=0

מועמד

16−32+15=−1<016-32+15=-1<0

x=4x=4 מחוץ לתחום

לא נכון. אין ל-ff נקודות קיצון בכלל: המועמד היחיד מחוץ לתחום.

Check the answer on elev

Exercise 5

xyx = 3x = 5I
xyx = 3x = 5II
xyx = 3x = 5III
xyx = 3x = 5IV

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2−8x+15)f(x)=\ln(x^2-8x+15). ה. קבעו איזה מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x)f^{\prime}(x).

  1. גרף I
  2. גרף III
  3. גרף IV
  4. גרף II
Show the answer and the solution

Answer: C גרף IV

Worked solution:

Df′:x<3 או x>5D_{f^{\prime}}: x<3 \ \text{או} \ x>5

בין 33 ל-55 אין גרף: I נפסל

x<3:f′<0x<3: f^{\prime}<0

מתחת לציר משמאל: II ו-III נפסלים

x>5:f′>0x>5: f^{\prime}>0

מעל הציר מימין

גרף IV. שלוש בדיקות: התחום (שני חלקים), הסימן משמאל, הסימן מימין.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2−2ln⁡xf(x)=(\ln x)^2-2\ln x. א. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx. עגלו לשתי ספרות.

x=x= ____ , x≈x\approx ____

Show the answer and the solution

Answer: x=x= 1 , x≈x\approx 7.39

Worked solution:

ln⁡x (ln⁡x−2)=0\ln x\,(\ln x-2)=0

מוציאים גורם משותף

ln⁡x=0⇒x=1\begin{aligned}\ln x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}
ln⁡x=2⇒x=e2≈7.39\begin{aligned}\ln x &= 2 \Rightarrow x \\ &= e^2\approx 7.39\end{aligned}

x=1x=1 ו-x=e2x=e^2. מי שחילק ב-ln⁡x\ln x איבד את הפתרון x=1x=1.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2−2ln⁡xf(x)=(\ln x)^2-2\ln x. ב. מצאו את נקודת הקיצון של ff. עגלו לשתי ספרות.

x≈x\approx ____ , y=y= ____

Show the answer and the solution

Answer: x≈x\approx 2.72 , y=y= -1

Worked solution:

f′(x)=2ln⁡xx−2x=2(ln⁡x−1)x\begin{aligned}f^{\prime}(x) &= \frac{2\ln x}{x}-\frac2x \\ &= \frac{2(\ln x-1)}{x}\end{aligned}
ln⁡x=1⇒x=e\begin{aligned}\ln x &= 1 \Rightarrow x \\ &= e\end{aligned}
f(e)=1−2=−1\begin{aligned}f(e) &= 1-2 \\ &= -1\end{aligned}

(e, −1)(e,\,-1). yy בא מ-f(e)=12−2⋅1f(e)=1^2-2\cdot 1, לא מהנגזרת.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2−2ln⁡xf(x)=(\ln x)^2-2\ln x. ג. מהו סוג הקיצון, ומהם תחומי העלייה והירידה?

  1. מינימום; יורדת ב-1<x<e21<x<e^2
  2. מינימום; יורדת ב-0<x<e0<x<e, עולה ב-x>ex>e
  3. מקסימום; עולה ב-0<x<e0<x<e, יורדת ב-x>ex>e
  4. מינימום; יורדת ב-x<ex<e, עולה ב-x>ex>e
Show the answer and the solution

Answer: B מינימום; יורדת ב-0<x<e0<x<e, עולה ב-x>ex>e

Worked solution:

f′(1)=2(0−1)1=−2<0\begin{aligned}f^{\prime}(1) &= \frac{2(0-1)}{1} \\ &= -2<0\end{aligned}
f′(e2)=2(2−1)e2>0f^{\prime}(e^2)=\frac{2(2-1)}{e^2}>0

מינימום. התשובה "x<ex<e" שוכחת את התחום x>0x>0. 1<x<e21<x<e^2 הוא תחום השליליות, לא הירידה.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2−2ln⁡xf(x)=(\ln x)^2-2\ln x. ד. בעבור איזה ערך של kk יש למשוואה f(x)=kf(x)=k פתרון אחד בלבד?

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

f(x)≥f(e)=−1f(x)\ge f(e)=-1

המינימום הוא הערך הקטן ביותר

k=−1k=-1

הקו y=ky=k נוגע במינימום

k=−1k=-1. ליד x=0x=0 ובקצה הימני הגרף עולה בלי סוף, ולכן כל k>−1k>-1 נותן שני פתרונות.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2−2ln⁡xf(x)=(\ln x)^2-2\ln x. ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′(x)f^{\prime}(x), ציר ה-xx והישרים x=ex=e ו-x=e2x=e^2.

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

e≤x≤e2:f′(x)≥0e\le x\le e^2: f^{\prime}(x)\ge 0

מעל הציר

S=f(e2)−f(e)S=f(e^2)-f(e)

הקדומה של f′f^{\prime} היא ff

=0−(−1)=1=0-(-1)=1

משתמשים בסעיפים א ו-ב

S=1S=1. בלי לחפש קדומה: הערכים f(e2)=0f(e^2)=0 ו-f(e)=−1f(e)=-1 כבר חושבו בסעיפים הקודמים.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade