Logarithmic inequalities · Logarithms and the logarithmic function · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ב- $\log_2 x>2$ שואלים: איפה הגרף של $y=\log_2 x$ מעל הקו $y=2$ ? התשובה תלויה בבסיס.

בבסיס $2$ יצא $x>4$ , ובבסיס $\frac12$ יצא $0<x<\frac14$ . למה הצד התהפך?

Show the answer and the solution

כי $\log_{\frac12} x$ יורדת: ככל ש- $x$ גדל, הערך קטן. לכן היא מעל הקו דווקא ל- $x$ קטנים.

הכלל

a>1: \quad \log_a A>\log_a B \iff A>B

הסימן נשאר

0<a<1: \quad \log_a A>\log_a B \iff A<B

הסימן מתהפך

ולפני הכול, תמיד: מה שבתוך כל לוגריתם חיובי. זה התחום, והפתרון חייב להיות בתוכו.

Interactive activity

\log_3(x+1)\le 2

תחום

מה צריך להיות חיובי?

x+1>0

x+1\le 2

Show the answer and the solution

זה כבר אי-השוויון. קודם בודקים איפה הלוגריתם מוגדר.

x>0

Show the answer and the solution

בתוך הלוגריתם יש $x+1$ , לא $x$ .

כלומר $x>-1$ .

x+1>0 \Rightarrow x>-1

מספר כלוגריתם

את $2$ כותבים כלוגריתם בבסיס $3$ . איזה?

2=\log_3 9

2=\log_3 6

Show the answer and the solution

$3^2=9$ , לא $3 \cdot 2$ .

2=\log_3 8

Show the answer and the solution

$8=2^3$ . כאן הבסיס $3$ : $3^2=9$ .

כי $3^2=9$ .

הבסיס מחליט

הבסיס $3$ גדול מ- $1$ . מה כותבים בלי הלוגריתמים?

x+1\le 9

x+1\ge 9

Show the answer and the solution

בסיס גדול מ- $1$ : הפונקציה עולה, והסימן נשאר.

כלומר $x\le 8$ .

x+1\le 9 \Rightarrow x\le 8

חותכים

מה החלק המשותף לשתי השורות?

-1<x\le 8

x\le 8

Show the answer and the solution

גם $x=-5$ מקיים $x\le 8$ , אבל שם $\log_3(-4)$ לא מוגדר.

-1\le x\le 8

Show the answer and the solution

ב- $x=-1$ מקבלים $\log_3 0$ , שלא מוגדר. הקצה הזה לא בפתרון.

זה הפתרון.

ארבעה צעדים: תחום, מספר כלוגריתם, הבסיס מחליט, חותכים.

פותרים יחד: בסיס גדול מ-1

Do the activity on elev

למה $x=8$ בפתרון, ו- $x=-1$ לא?

Show the answer and the solution

ב- $x=8$ : $\log_3 9=2$ , ו- $2\le 2$ ✓. ב- $x=-1$ : $\log_3 0$ לא מוגדר. קצה של התחום אף פעם לא בפתרון.

בסיס קטן מ-1

Interactive activity

\log_{\frac12}(x-2)>-3

תחום

מה התחום?

x>2

x>-3

Show the answer and the solution

$-3$ נמצא מחוץ ללוגריתם. בפנים יש $x-2$ .

מה שבפנים חיובי.

x-2>0 \Rightarrow x>2

מספר כלוגריתם

את $-3$ כותבים כלוגריתם בבסיס $\frac12$ . איזה?

-3=\log_{\frac12} 8

-3=\log_{\frac12} \tfrac18

Show the answer and the solution

$\left(\frac12\right)^{3}=\frac18$ , אבל המעריך הוא $-3$ : $\left(\frac12\right)^{-3}=2^3=8$ .

-3=\log_{\frac12} (-8)

Show the answer and the solution

בתוך לוגריתם יש תמיד מספר חיובי.

כי $\left(\frac12\right)^{-3}=8$ .

הבסיס מחליט

הבסיס $\frac12$ קטן מ- $1$ . מה כותבים בלי הלוגריתמים?

x-2<8

x-2>8

Show the answer and the solution

בסיס קטן מ- $1$ : הפונקציה יורדת, והסימן מתהפך.

הסימן התהפך: $>$ הפך ל- $<$ .

x-2<8 \Rightarrow x<10

חותכים

מה החלק המשותף?

2<x<10

x<10

Show the answer and the solution

גם $x=0$ מקיים $x<10$ , אבל שם $\log_{\frac12}(-2)$ לא מוגדר.

x>10

Show the answer and the solution

בדקו את $x=18$ : $\log_{\frac12} 16=-4$ , וזה לא גדול מ- $-3$ .

זה הפתרון.

בבסיס קטן מ- $1$ אותם ארבעה צעדים. רק הסימן מתהפך.

פותרים יחד: בסיס קטן מ-1

Do the activity on elev

שתי טעויות שחוזרות בכל מבחן.

\log_{0.5} x>1 \Rightarrow x>0.5

\log_{0.5} x>1 \Rightarrow 0<x<0.5

בסיס קטן מ- $1$ : הסימן מתהפך. בדיקה: $\log_{0.5} 1=0$ , וזה לא גדול מ- $1$ .

\log(x-4)<1 \Rightarrow x<14

\log(x-4)<1 \Rightarrow 4<x<14

שכחו את התחום. $x=0$ מקיים $x<14$ , אבל $\log(-4)$ לא מוגדר.

שני לוגריתמים באותו בסיס

פתרו $\log_2(2x-1)<\log_2(x+3)$

שני ביטויים בפנים: שני תנאים לתחום.

2x-1>0 ,\ x+3>0 \Rightarrow x>\tfrac{1}{2}

תחום

2x-1<x+3 \Rightarrow x<4

בסיס $2>1$ : הסימן נשאר

\tfrac{1}{2}<x<4

חותכים

פתרו $\ln x>0$ .

Show the answer and the solution

$0=\ln 1$ , והבסיס $e>1$ . לכן $x>1$ . התחום $x>0$ כבר בתוך הפתרון.

בדיקה מהירה: הציבו מספר אחד מתוך הפתרון ומספר אחד מחוץ לו. הראשון צריך לקיים את אי-השוויון, והשני לא.

Exercises

Exercise 1

פתרו את אי-השוויון $\log_2 x<3$ .

$x>8$
$0<x<8$
$0<x<6$
$x<8$

Show the answer and the solution

Answer: B $0<x<8$

Worked solution:

x>0

תחום

\log_2 x<\log_2 8 \Rightarrow x<8

בסיס גדול מ- $1$ : הסימן נשאר

0<x<8

חותכים

$x<8$ כולל מספרים שליליים, ושם הלוגריתם לא מוגדר. $0<x<6$ בא מ- $2 \cdot 3$ במקום $2^3$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

פתרו את אי-השוויון $\log_{\frac13} x\ge -1$ .

$0<x\le 3$
$x\ge 3$
$0<x\le \frac13$
$x\le 3$

Show the answer and the solution

Answer: A $0<x\le 3$

Worked solution:

-1=\log_{\frac13} 3

$\left(\frac13\right)^{-1}=3$

x\le 3

בסיס קטן מ- $1$ : הסימן מתהפך

0<x\le 3

עם התחום

$x\ge 3$ שוכח להפוך את הסימן. $\frac13$ בא מ- $\left(\frac13\right)^{1}$ במקום $\left(\frac13\right)^{-1}$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

פתרו את אי-השוויון $\log_5(x-1)<2$ . השלימו.

____ $<x<$ ____

Show the answer and the solution

Answer: 1 $<x<$ 26

Worked solution:

x-1>0 \Rightarrow x>1

תחום

x-1<25 \Rightarrow x<26

$2=\log_5 25$ , הסימן נשאר

1<x<26

חותכים

הגבול התחתון בא מהתחום, לא מאי-השוויון. מי שכתב $x<11$ חישב $5 \cdot 2$ במקום $5^2$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

כמה מספרים שלמים מקיימים את אי-השוויון $\log_2(x+3)\le 3$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

x+3>0 \Rightarrow x>-3

תחום

x+3\le 8 \Rightarrow x\le 5

בסיס $2$

-3<x\le 5

השלמים: $-2,-1,0,\dots,5$

$-3$ לא בפתרון ( $\log_2 0$ לא מוגדר), אבל $5$ כן. מי שספר $9$ כלל את $-3$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

$x=0.5$ מקיים את אי-השוויון $\log_{0.2} x>0$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\log_{0.2} x>\log_{0.2} 1

$0=\log_{0.2} 1$

0<x<1

בסיס קטן מ- $1$ : הסימן מתהפך

0<0.5<1

✓

נכון. בבסיס קטן מ- $1$ הלוגריתם חיובי דווקא בין $0$ ל- $1$ . מי שחשב « $x<1$ נותן לוג שלילי» שכח את הבסיס.

Check the answer on elev

Exercise 6

פתרו את אי-השוויון $\log(x+2)>\log(2x-3)$ . השלימו.

____ $<x<$ ____

Show the answer and the solution

Answer: 1.5 $<x<$ 5

Worked solution:

x+2>0 ,\ 2x-3>0 \Rightarrow x>1.5

תחום: שני התנאים

x+2>2x-3 \Rightarrow x<5

בסיס $10$ : הסימן נשאר

1.5<x<5

חותכים

התנאי $x>-2$ חלש יותר מ- $x>1.5$ , ולכן החזק קובע. מי שכתב $-2<x<5$ בדק רק לוגריתם אחד.

Check the answer on elev

Exercise 7

מהו המספר השלם הקטן ביותר שמקיים $\ln(x-3)>1$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

1=\ln e

$e\approx 2.718$

x-3>e \Rightarrow x>3+e\approx 5.72

בסיס $e>1$

x=6

השלם הראשון

מי שענה $5$ לא בדק: $\ln 2\approx 0.69<1$ . ומי שענה $4$ פתר $x-3>1$ , כאילו $\ln$ הוא המספר עצמו.

Check the answer on elev

Exercise 8

מיינו: איזה ערך של $x$ מקיים $\log_{\frac12} x>-2$ ?

מקיים
לא מקיים

$x=-1$
$x=0.5$
$x=1$
$x=3$
$x=4$
$x=6$

Show the answer and the solution

Answer: $x=1$ — מקיים · $x=3$ — מקיים · $x=4$ — לא מקיים · $x=-1$ — לא מקיים · $x=0.5$ — מקיים · $x=6$ — לא מקיים

Worked solution:

-2=\log_{\frac12} 4

$\left(\frac12\right)^{-2}=4$

0<x<4

הסימן מתהפך, ועם התחום

$x=4$ נותן בדיוק $-2$ , ואי-השוויון חזק. $x=-1$ מחוץ לתחום.

Check the answer on elev

Exercise 9

פתרו את $\log_{0.5}(x+1)>2$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

x+1>0 \Rightarrow x>-1

2=\log_{0.5} 0.25

x+1>0.25 \Rightarrow x>-0.75

x>-0.75

Show the answer and the solution

Answer: $x+1>0.25 \Rightarrow x>-0.75$ → $x+1<0.25 \Rightarrow x<-0.75$

Worked solution:

x+1<0.25

בסיס $0.5<1$ : הסימן מתהפך

-1<x<-0.75

חותכים עם התחום

בשורה 3 הסימן לא התהפך. בדיקה: $x=0$ נותן $\log_{0.5} 1=0$ , וזה לא גדול מ- $2$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

כמה מספרים שלמים מקיימים את אי-השוויון $\log_3(x^2)<2$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

x^2>0 \Rightarrow x\neq 0

תחום: $x^2$ חיובי לכל $x$ חוץ מ- $0$

x^2<9 \Rightarrow -3<x<3

$2=\log_3 9$

\begin{aligned}x &= -2 \\ \,-1 \\ \,1 \\ \,2\end{aligned}

בלי $0$

מי שספר $5$ כלל את $x=0$ , ושם $\log_3 0$ לא מוגדר. ומי שכתב רק $x>0$ איבד את השליליים: $x^2$ חיובי גם בהם.

Check the answer on elev

Exercise 11

פתרו את אי-השוויון $\log_2(x-1)+\log_2(x+1)<3$ .

$x>1$
$1<x<3$
$-3<x<3$
$x<3$

Show the answer and the solution

Answer: B $1<x<3$

Worked solution:

x>1

תחום: שני התנאים

\log_2(x^2-1)<\log_2 8 \Rightarrow x^2<9

חוק המכפלה

-3<x<3

אי-שוויון ריבועי

1<x<3

חותכים עם התחום

$-3<x<3$ הוא רק הפתרון של $x^2<9$ . התחום $x>1$ חותך ממנו את החלק השמאלי.

Check the answer on elev

הכלל

בסיס קטן מ-1

שני לוגריתמים באותו בסיס

Exercises

Keep practising on elev