Practice · Sequences · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות מכל הפרק, בסדר מעורבב. בכל שאלה מחליטים לבד: איזו סדרה, ואיזו נוסחה.

Exercises

Exercise 1

נתונה הסדרה $a_n=4n-7$ . חשבו את $a_{25}$ .

Show the answer and the solution

Answer: 93

Worked solution:

\begin{aligned}a_{25} &= 4 \cdot 25-7 \\ &= 93\end{aligned}

באיבר כללי מציבים את $n$ ישר. אין כאן קפיצות לספור.

Check the answer on elev

Exercise 2

בסדרה חשבונית האיבר הראשון הוא $6$ , האיבר האחרון הוא $96$ , וסכום כל האיברים הוא $1071$ . כמה איברים יש בסדרה?

Show the answer and the solution

Answer: 21

Worked solution:

\frac{n(6+96)}{2}=1071

הנוסחה עם האיבר האחרון

\begin{aligned}51n &= 1071 \ \Rightarrow \ n \\ &= 21\end{aligned}

לא צריך את $d$ : הנוסחה $\frac{n(a_1+a_n)}{2}$ מספיקה. ובדיקה: $d=\frac{96-6}{20}=4.5$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

בסדרה ההנדסית $2, -4, 8, \ldots$ : מהו $a_7$ ?

$-128$
$128$
$256$
$-256$

Show the answer and the solution

Answer: B $128$

Worked solution:

q=-2

\begin{aligned}a_7 &= 2 \cdot (-2)^6 \\ &= 2 \cdot 64 \\ &= 128\end{aligned}

חזקה זוגית של מספר שלילי היא חיובית

התשובה: $128$ . האיברים במקומות האי-זוגיים חיוביים. $-256$ ו- $256$ מחשבים $(-2)^7$ ו- $2^8$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

סכום סדרה הנדסית אינסופית הוא $\frac{20}{3}$ , והאיבר הראשון הוא $5$ . מצאו את מנת הסדרה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.25

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{5}{1-q} &= \frac{20}{3} \ \Rightarrow \ 1-q \\ &= \frac{15}{20} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

\begin{aligned}q &= \frac{1}{4} \\ &= 0.25\end{aligned}

מי שענה $0.75$ מצא את $1-q$ . בודקים: $\frac{5}{0.75}=\frac{20}{3}$ ✓ עם $q=0.25$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

הסדרה $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots$ היא סדרה הנדסית.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{a_2}{a_1} &= \frac{1}{2} \\ \quad \frac{a_3}{a_2} &= \frac{2}{3}\end{aligned}

המנות שונות

לא נכון. האיברים קטנים, אבל לא פי אותו מספר. סדרה יורדת היא לא בהכרח הנדסית.

Check the answer on elev

Exercise 6

סדרה מוגדרת על ידי $a_1=1$ , $a_{n+1}=a_n+n$ . חשבו את $a_5$ .

Show the answer and the solution

Answer: 11

Worked solution:

\begin{aligned}a_2 &= 1+1 \\ &= 2 \\ \quad a_3 &= 2+2 \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}a_4 &= 4+3 \\ &= 7 \\ \quad a_5 &= 7+4 \\ &= 11\end{aligned}

הקפיצה משתנה: $+1, +2, +3, +4$ . לכן זו לא סדרה חשבונית, ואין לה $d$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

הסדרה $x, 10, y$ היא סדרה חשבונית, והסדרה $x, 6, y$ היא סדרה הנדסית. ידוע ש- $x<y$ . מצאו את $x$ ואת $y$ .

$x=$ ____ ; $y=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x=$ 2 ; $y=$ 18

Worked solution:

\begin{aligned}x+y &= 2 \cdot 10 \\ &= 20\end{aligned}

חשבונית

\begin{aligned}x \cdot y &= 6^2 \\ &= 36\end{aligned}

הנדסית

\begin{aligned}t^2-20t+36 &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 2 \\ \ t &= 18\end{aligned}

שני מספרים שסכומם $20$ ומכפלתם $36$

שתי התכונות יחד נותנות סכום ומכפלה. התנאי $x<y$ בוחר את הסדר: $2, 10, 18$ ו- $2, 6, 18$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

כדור נופל מגובה $10$ מטר. אחרי כל פגיעה ברצפה הוא עולה ל- $\frac{3}{5}$ מהגובה הקודם. איזה מרחק (במטרים) יעבור הכדור בסך הכול?

Show the answer and the solution

Answer: 40

Worked solution:

\begin{aligned}6+3.6+\ldots &= \frac{6}{1-\frac{3}{5}} \\ &= 15\end{aligned}

כל הקפיצות: מתחילות ב- $6$

10+2 \cdot 15=40

נפילה ראשונה, ואז כל קפיצה פעמיים

מי שענה $25$ ספר כל קפיצה פעם אחת. הכדור עולה ויורד.

Check the answer on elev

Exercise 9

בסדרה הנדסית $a_1=1000$ ו- $q=0.9$ . מהו המקום של האיבר הראשון שקטן מ- $100$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 23

Worked solution:

1000 \cdot 0.9^{n-1}<100 \ \Rightarrow \ 0.9^{n-1}<0.1

n-1>\frac{\log 0.1}{\log 0.9} \approx 21.85

$\log 0.9<0$ : הכיוון מתהפך

\begin{aligned}n-1 &= 22 \ \Rightarrow \ n \\ &= 23\end{aligned}

שני מלכודות: הכיוון מתהפך כשמחלקים ב- $\log 0.9$ , והתשובה היא $n$ ולא $n-1$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

בסדרה חשבונית $a_1=3$ , והאיבר השביעי גדול פי $3$ מהאיבר השני. מצאו את $a_{10}$ .

Show the answer and the solution

Answer: 21

Worked solution:

3+6d=3(3+d)

$a_7=3a_2$

\begin{aligned}3+6d &= 9+3d \ \Rightarrow \ d \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}a_{10} &= 3+9 \cdot 2 \\ &= 21\end{aligned}

«פי $3$ » הוא משוואה בין שני איברים. זה לא אומר שהסדרה הנדסית.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev