Bagrut simulation 3

Exercise 1

הנקודה $A$ נעה על המעגל $x^2 + y^2 = 16$, $B$ ההיטל שלה על ציר ה-$x$, ו-$P$ אמצע $AB$. א. מהי משוואת המקום הגאומטרי של $P$?

1. A$x^2 + y^2 = 4$
2. B$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$
3. C$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{8} = 1$
4. D$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1$

Exercise 2

הנקודה $A$ נעה על המעגל $x^2 + y^2 = 16$, $B$ ההיטל שלה על ציר ה-$x$, ו-$P$ אמצע $AB$. המקום הגאומטרי הוא $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$. ב. מהו $c$, המרחק של מוקד מהראשית? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Exercise 3

הנקודה $A$ נעה על המעגל $x^2 + y^2 = 16$, $B$ ההיטל שלה על ציר ה-$x$, ו-$P$ אמצע $AB$. המקום הגאומטרי הוא $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$. ג. $Q$ נקודה עליו, ו-$F_1, F_2$ המוקדים. חשבו את ההיקף של המשולש $QF_1F_2$. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Exercise 4

הנקודה $A$ נעה על המעגל $x^2 + y^2 = 16$, $B$ ההיטל שלה על ציר ה-$x$, ו-$P$ אמצע $AB$. המקום הגאומטרי הוא $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$. ד. הישר $y = \frac{x}{2} + k$, $k > 0$, משיק לו. מצאו את $k$. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Exercise 5

הנקודה $A$ נעה על המעגל $x^2 + y^2 = 16$, $B$ ההיטל שלה על ציר ה-$x$, ו-$P$ אמצע $AB$. המשיק $y = \frac{x}{2} + 2\sqrt 2$. ה. חשבו את שטח המשולש שהמשיק יוצר עם הצירים.

Exercise 6

בפירמידה $SABCD$ הבסיס $ABCD$ ריבוע. $\underline{u} = \overrightarrow{AB}$, $\underline{v} = \overrightarrow{AD}$, $\underline{w} = \overrightarrow{AS}$. א. הביעו את $\overrightarrow{SC}$ בעזרת $\underline{u}, \underline{v}, \underline{w}$.

1. A$\underline{u} - \underline{v} - \underline{w}$
2. B$\underline{u} + \underline{v} - \underline{w}$
3. C$\underline{w} - \underline{u} - \underline{v}$
4. D$\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}$

Exercise 7

בפירמידה $SABCD$ הבסיס $ABCD$ ריבוע. $\underline{u} = \overrightarrow{AB}$, $\underline{v} = \overrightarrow{AD}$, $\underline{w} = \overrightarrow{AS}$. $K$ אמצע $SC$. ב. הביעו את $\overrightarrow{AK}$.

1. A$\underline{w} + \underline{u} + \underline{v}$
2. B$\underline{u} + \underline{v} + \tfrac{1}{2}\underline{w}$
3. C$\tfrac{1}{2}(\underline{u} + \underline{v} + \underline{w})$
4. D$\tfrac{1}{2}(\underline{u} + \underline{v} - \underline{w})$

Exercise 8

בפירמידה $SABCD$ הבסיס $ABCD$ ריבוע. $\underline{u} = \overrightarrow{AB}$, $\underline{v} = \overrightarrow{AD}$, $\underline{w} = \overrightarrow{AS}$. מציבים מערכת צירים: $A(0, 0, 0)$, $B(4, 0, 0)$, $D(0, 4, 0)$, $S(2, 2, 3)$. ג. חשבו את הזווית בין $SA$ לבסיס, במעלות. עגלו לעשירית.

Exercise 9

בפירמידה $SABCD$ הבסיס $ABCD$ ריבוע. $\underline{u} = \overrightarrow{AB}$, $\underline{v} = \overrightarrow{AD}$, $\underline{w} = \overrightarrow{AS}$. $A(0, 0, 0)$, $B(4, 0, 0)$, $D(0, 4, 0)$, $S(2, 2, 3)$. ד. חשבו את הזווית בין $SC$ ל-$BD$, במעלות.

Exercise 10

בפירמידה $SABCD$ הבסיס $ABCD$ ריבוע. $\underline{u} = \overrightarrow{AB}$, $\underline{v} = \overrightarrow{AD}$, $\underline{w} = \overrightarrow{AS}$. $A(0, 0, 0)$, $B(4, 0, 0)$, $C(4, 4, 0)$, $S(2, 2, 3)$. ה. חשבו את המרחק מ-$A$ למישור $SBC$. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Exercise 11

$z_1$ ו-$z_2$ הם הפתרונות של $z^2 - 2z + 5 = 0$, ו-$\operatorname{Im} z_1 > 0$. א. מהו החלק המדומה של $z_1$?

Exercise 12

$z_1$ ו-$z_2$ הם הפתרונות של $z^2 - 2z + 5 = 0$, ו-$\operatorname{Im} z_1 > 0$. ב. חשבו את $|z_1|$. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Exercise 13

$z_1$ ו-$z_2$ הם הפתרונות של $z^2 - 2z + 5 = 0$, ו-$\operatorname{Im} z_1 > 0$. ג. מהו החלק הממשי של $\frac{z_1}{z_2}$?

Exercise 14

$z_1$ ו-$z_2$ הם הפתרונות של $z^2 - 2z + 5 = 0$, ו-$\operatorname{Im} z_1 > 0$. ד. מהו הארגומנט של $\frac{z_1}{z_2}$, במעלות? עגלו לעשירית.

Exercise 15

$z_1$ ו-$z_2$ הם הפתרונות של $z^2 - 2z + 5 = 0$, ו-$\operatorname{Im} z_1 > 0$. ה. מהו המקום הגאומטרי של המספרים $z$ שמקיימים $|z - z_1| = |z - z_2|$?

1. Aהציר המדומה
2. Bמעגל שמרכזו $1$
3. Cהציר הממשי
4. Dהישר $x = 1$

Exercise 16

מספר הדגים באגם הוא $P(t) = 2000\, e^{kt}$, כש-$t$ בשנים. אחרי $5$ שנים יש $3000$ דגים. א. מצאו את $k$. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Exercise 17

מספר הדגים באגם הוא $P(t) = 2000\, e^{kt}$, כש-$t$ בשנים. אחרי $5$ שנים יש $3000$ דגים. ב. כמה דגים יהיו אחרי $10$ שנים?

Exercise 18

מספר הדגים באגם הוא $P(t) = 2000\, e^{kt}$, כש-$t$ בשנים. אחרי $5$ שנים יש $3000$ דגים. ג. אחרי כמה שנים מספר הדגים מוכפל? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Exercise 19

מספר הדגים באגם הוא $P(t) = 2000\, e^{kt}$, כש-$t$ בשנים. אחרי $5$ שנים יש $3000$ דגים. ד. חשבו את קצב הגדילה ברגע $t = 5$, בדגים לשנה. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Exercise 20

מספר הדגים באגם הוא $P(t) = 2000\, e^{kt}$, כש-$t$ בשנים. אחרי $5$ שנים יש $3000$ דגים. ה. הממוצע של $P$ בעשר השנים הראשונות הוא $\frac{1}{10}\int_0^{10} P(t)\, dt$. חשבו אותו. עגלו למספר שלם.

Exercise 21

נתונה הפונקציה $f(x) = \ln\left(x^2 - 4x + 5\right)$. א. לפניכם טענה: $f$ מוגדרת לכל $x$. האם הטענה נכונה?

Exercise 22

נתונה הפונקציה $f(x) = \ln\left(x^2 - 4x + 5\right)$. ב. באיזה $x$ יש ל-$f$ מינימום?

Exercise 23

נתונה הפונקציה $f(x) = \ln\left(x^2 - 4x + 5\right)$. ג. מהו שיפוע המשיק לגרף בנקודה $x = 3$?

Exercise 24

נתונה הפונקציה $f(x) = \ln\left(x^2 - 4x + 5\right)$. נתון ש-$f''(x) = \frac{-2(x - 1)(x - 3)}{\left(x^2 - 4x + 5\right)^2}$. ד. לגרף שתי נקודות פיתול. מהו שיעור ה-$x$ הגדול?

Exercise 25

נתונה הפונקציה $f(x) = \ln\left(x^2 - 4x + 5\right)$. ה. חשבו את השטח בין הגרף של $f'$, ציר ה-$x$ והישרים $x = 2$ ו-$x = 3$. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.