The ellipse as a locus · Ellipse and hyperbola · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

אליפסה היא המקום הגאומטרי של הנקודות שסכום המרחקים שלהן משתי נקודות קבועות הוא קבוע.

שתי הנקודות הן המוקדים $F_1$ ו- $F_2$ , והסכום הקבוע הוא $2a$ .

\begin{aligned}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} &= 1 \ \\ \ \ c^2 &= a^2 - b^2\end{aligned}

המוקדים $(\pm c, 0)$ , והסכום $2a$

מוקדים $(\pm 4, 0)$ , וסכום המרחקים $10$

\begin{aligned}2a &= 10 \Rightarrow a \\ &= 5 \ ; \ c \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}b^2 &= 25 - 16 \\ &= 9\end{aligned}

\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1

למה $b^2 = a^2 - c^2$ ? חשבו על הנקודה $(0, b)$ .

Show the answer and the solution

היא באותו מרחק משני המוקדים, ולכן כל מרחק הוא $a$ . פיתגורס: $a^2 = b^2 + c^2$ .

באליפסה $a$ הוא הגדול.

c^2 = a^2 + b^2

c^2 = a^2 - b^2

המוקדים בתוך האליפסה: $c < a$ . הסימן $+$ שייך להיפרבולה.

Exercises

Exercise 1

מהו $a$ באליפסה $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

a^2 = 25

$5$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו $c$ באליפסה $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

c^2 = 25 - 9

$4$ : המוקדים $(\pm 4, 0)$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

$P$ על $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1$ . מהו $PF_1 + PF_2$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

2a = 2 \cdot 4

$8$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

מהי משוואת האליפסה שהמוקדים שלה $(\pm 3, 0)$ וסכום המרחקים שלה $10$ ?

$\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{91} = 1$
$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$
$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$
$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$

Show the answer and the solution

Answer: C $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$

Worked solution:

\begin{aligned}a &= 5 \ ; \ b^2 \\ &= 25 - 9\end{aligned}

$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

הנקודה $(0, 3)$ על האליפסה $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

0 + 1 = 1

נכון.

Check the answer on elev

Exercise 6

$P$ על $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ , ו- $PF_1 = 7$ . חשבו את $PF_2$ .

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

10 - 7

$3$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

באליפסה המוקדים $(\pm 2, 0)$ ו- $a = 3$ . מהו $b^2$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

9 - 4

$5$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

סדרו את השלבים של מציאת משוואת אליפסה מהמוקדים ומהסכום.

כותבים $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
מוצאים $a$ מהסכום $2a$
מוצאים $c$ מהמוקדים
מחשבים $b^2 = a^2 - c^2$

Show the answer and the solution

Answer: מוצאים $a$ מהסכום $2a$ · מוצאים $c$ מהמוקדים · מחשבים $b^2 = a^2 - c^2$ · כותבים $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Worked solution:

a,\ c,\ b

סכום, מוקדים, $b$ , משוואה.

Check the answer on elev

Exercise 9

מיינו: אילו משוואות מתארות אליפסה?

אליפסה
לא אליפסה

$\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} = 1$
$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$
$4x^2 + y^2 = 4$
$x^2 - y^2 = 1$
$y^2 = 4x$

Show the answer and the solution

Answer: $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ — אליפסה · $4x^2 + y^2 = 4$ — אליפסה · $x^2 - y^2 = 1$ — לא אליפסה · $y^2 = 4x$ — לא אליפסה · $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} = 1$ — אליפסה

Worked solution:

\text{שני ריבועים, שני מקדמים חיוביים}

$x^2 - y^2 = 1$ היפרבולה; $y^2 = 4x$ פרבולה.

Check the answer on elev

Exercise 10

חשבו את המרחק בין שני הקדקודים שעל ציר ה- $x$ של $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1$ .

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

2a = 12

$12$ : הציר הגדול.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev