Practice · Vectors and geometry in space · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבעה-עשר תרגילים על כל הפרק: חשבון עם וקטורים, מכפלה סקלרית, ישרים, מישורים, מרחקים וזוויות. מתחילים בקל ומסיימים ברמת הבגרות.

Exercises

סדרה א — קל

Exercise 1

השלימו.

$(2, -1, 3) + 2(1, 4, -2) =$ (____, ____, ____)

Show the answer and the solution

Answer: $(2, -1, 3) + 2(1, 4, -2) =$ (4, 7, -1)

Worked solution:

2(1, 4, -2) = (2, 8, -4)

קודם כפל בסקלר

(2 + 2,\ -1 + 8,\ 3 - 4) = (4, 7, -1)

אחר כך חיבור רכיב רכיב

כופלים את כל הרכיבים ב- $2$ , גם את השלילי.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו האורך של הווקטור $(2, -3, 6)$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

\begin{aligned}\sqrt{4 + 9 + 36} &= \sqrt{49} \\ &= 7\end{aligned}

$(-3)^2 = 9$ : ריבוע תמיד חיובי.

Check the answer on elev

Exercise 3

הווקטורים $(1, 2, -1)$ ו- $(3, -1, 1)$ ניצבים זה לזה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}1 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 &= 3 - 2 - 1 \\ &= 0\end{aligned}

ניצבים ⇔ המכפלה הסקלרית שווה $0$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

מהי נקודת האמצע של הקטע בין $A(1, 5, -2)$ ל- $B(3, -1, 4)$ ?

$(4, 4, 2)$
$(2, 3, 1)$
$(1, -3, 3)$
$(2, 2, 1)$

Show the answer and the solution

Answer: D $(2, 2, 1)$

Worked solution:

\begin{aligned}M &= \left(\tfrac{1 + 3}{2},\ \tfrac{5 - 1}{2},\ \tfrac{-2 + 4}{2}\right) \\ &= (2, 2, 1)\end{aligned}

$(1, -3, 3)$ הוא חצי של $\underline{AB}$ , לא האמצע. האמצע הוא ממוצע השיעורים.

Check the answer on elev

Exercise 5

$ABCD$ מקבילית במרחב, עם $A(1, 0, 2)$ , $B(3, 1, 0)$ , $C(4, 4, 1)$ . מצאו את $D$ .

$D$ = (____, ____, ____)

Show the answer and the solution

Answer: $D$ = (2, 3, 3)

Worked solution:

\begin{aligned}\underline{AD} &= \underline{BC} \Rightarrow D \\ &= A + C - B\end{aligned}

במקבילית צלעות נגדיות הן וקטורים שווים

\begin{aligned}D &= (1 + 4 - 3,\ 0 + 4 - 1,\ 2 + 1 - 0) \\ &= (2, 3, 3)\end{aligned}

הסדר $ABCD$ קובע ש- $\underline{AD} = \underline{BC}$ , לא $\underline{AC}$ .

Check the answer on elev

סדרה ב — בינוני

Exercise 6

לאיזה $k$ הווקטורים $(k, 2, 1)$ ו- $(3, -1, k)$ ניצבים?

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

3k - 2 + k = 0

המכפלה הסקלרית שווה $0$

\begin{aligned}4k &= 2 \Rightarrow k \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

הפרמטר מופיע בשני הווקטורים: אוספים את שני האיברים עם $k$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

הנקודה $(5, 0, 7)$ נמצאת על הישר $\underline{x} = (1, 2, 3) + t(2, -1, 2)$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}1 + 2t &= 5 \Rightarrow t \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}2 - 2 &= 0 \\ \ 3 + 4 &= 7\ \checkmark\end{aligned}

מוצאים $t$ מרכיב אחד, ובודקים אותו בשניים האחרים.

Check the answer on elev

Exercise 8

מהי הזווית בין $(1, 0, 1)$ ל- $(0, 1, 1)$ , במעלות?

Show the answer and the solution

Answer: 60

Worked solution:

\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{1}{\sqrt{2}\,\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

\alpha = 60^\circ

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ , ולכן הקוסינוס הוא חצי.

Check the answer on elev

Exercise 9

מהי משוואת המישור שעובר דרך $(1, -1, 2)$ וניצב לווקטור $(3, 0, -1)$ ?

$3x - z - 1 = 0$
$3x - z + 1 = 0$
$3x - y - z = 0$
$x - y + 2z - 1 = 0$

Show the answer and the solution

Answer: A $3x - z - 1 = 0$

Worked solution:

3x + 0y - z + d = 0

הווקטור הוא הנורמל

\begin{aligned}3 - 2 + d &= 0 \Rightarrow d \\ &= -1\end{aligned}

מציבים את הנקודה

הנקודה נותנת את $d$ בלבד. המקדמים באים מהנורמל.

Check the answer on elev

Exercise 10

מה המצב ההדדי של $\underline{x} = t(1, 2, 3)$ ושל $\underline{x} = (1, 0, 0) + s(2, 4, 6)$ ?

מתלכדים
מקבילים
נחתכים
מצטלבים

Show the answer and the solution

Answer: B מקבילים

Worked solution:

(2, 4, 6) = 2(1, 2, 3)

הכיוונים פרופורציונליים

\begin{aligned}(1, 0, 0) &= t(1, 2, 3)\ ?\quad t \\ &= 1 \Rightarrow (1, 2, 3) \neq (1, 0, 0)\end{aligned}

הנקודה לא על הישר הראשון

כיוונים פרופורציונליים נותנים מקבילים או מתלכדים. נקודה משותפת מכריעה.

Check the answer on elev

סדרה ג — אתגר

Exercise 11

מהו המרחק של $(3, -2, 1)$ מהמישור $x + 2y + 2z + 4 = 0$ ? עגלו לשתי ספרות.

Show the answer and the solution

Answer: 1.67

Worked solution:

\begin{aligned}d &= \frac{|3 - 4 + 2 + 4|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} \\ &= \frac{5}{3} \approx 1.67\end{aligned}

הערך המוחלט של כל המונה, לא של כל איבר בנפרד.

Check the answer on elev

Exercise 12

מצאו את נקודת החיתוך של הישר $\underline{x} = (1, 1, 0) + t(1, 0, 1)$ עם המישור $x + y + z - 8 = 0$ .

(____, ____, ____)

Show the answer and the solution

Answer: (4, 1, 3)

Worked solution:

(1 + t) + 1 + t - 8 = 0

מציבים נקודה כללית של הישר

\begin{aligned}2t &= 6 \Rightarrow t \\ &= 3\end{aligned}

(4, 1, 3)

רכיב ה- $y$ קבוע ( $1$ ), אבל עדיין מציבים אותו במשוואה.

Check the answer on elev

Exercise 13

מה המצב ההדדי של $\underline{x} = (1, 0, 0) + t(0, 1, 0)$ ושל $\underline{x} = (0, 0, 1) + s(1, 1, 0)$ ?

מקבילים
מצטלבים
נחתכים
מתלכדים

Show the answer and the solution

Answer: B מצטלבים

Worked solution:

(0, 1, 0) \neq k(1, 1, 0)

לא מקבילים

z:\ 0 = 1

ברכיב $z$ המערכת סותרת: אין נקודה משותפת

לא מקבילים ולא נפגשים: מצטלבים. ברכיב $z$ רואים מיד שאין פתרון.

Check the answer on elev

Exercise 14

מהי הזווית בין הישר $\underline{x} = t(1, 0, 1)$ למישור $z = 0$ , במעלות?

Show the answer and the solution

Answer: 45

Worked solution:

\begin{aligned}\sin\alpha &= \frac{|(1, 0, 1)\cdot(0, 0, 1)|}{\sqrt{2} \cdot 1} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\end{aligned}

\alpha = 45^\circ

הנורמל של $z = 0$ הוא $(0, 0, 1)$ , וזווית עם מישור היא סינוס.

Check the answer on elev

Exercises

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — אתגר

Keep practising on elev