What is a vector · Vectors and geometry in space · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

וקטור הוא חץ. יש לו כיוון, ויש לו אורך (קוראים לו גם גודל).

תזוזה, מהירות, כוח: לא מספיק לומר «5 מטר». צריך לומר גם לאן. בשביל זה יש וקטורים.

מזיזים את הזנב של החץ למקום אחר. האם הווקטור השתנה?

Show the answer and the solution

לא. הכיוון והאורך נשארו, ולכן זה אותו וקטור. וקטור לא «גר» במקום מסוים: כל חץ באותו כיוון ובאותו אורך הוא אותו וקטור.

הרכיבים: כמה ימינה, כמה למעלה

במישור כותבים וקטור בעזרת שני מספרים: $\underline{u} = (a, b)$ .

$a$ אומר כמה זזים ימינה (בכיוון ציר $x$ ), ו- $b$ אומר כמה זזים למעלה. מספר שלילי: שמאלה, או למטה.

הווקטור מנקודה $A$ לנקודה $B$ נכתב $\underline{AB}$ . מוצאים אותו כך: הסוף פחות ההתחלה.

\begin{aligned}\underline{AB} &= B - A \\ &= (x_B - x_A,\ y_B - y_A)\end{aligned}

הווקטור מ- $A(1, 1)$ אל $B(4, 3)$

מחסרים את $A$ מ- $B$ , רכיב אחרי רכיב.

\underline{AB} = (4 - 1,\ 3 - 1)

הסוף פחות ההתחלה

\underline{AB} = (3, 2)

שלוש ימינה, שתיים למעלה

ומהו $\underline{BA}$ , הווקטור מ- $B$ חזרה אל $A$ ?

Show the answer and the solution

$(-3, -2)$ . אותו אורך, כיוון הפוך. זה הוקטור הנגדי: $\underline{BA} = -\underline{AB}$ .

האורך של וקטור

את האורך של $\underline{u} = (a, b)$ מוצאים במשפט פיתגורס: הרכיבים הם הניצבים, והחץ הוא היתר.

|\underline{u}| = \sqrt{a^2 + b^2}

הקווים הישרים מסביב ל- $\underline{u}$ פירושם «האורך של»

האורך של $\underline{u} = (3, -4)$

מעלים כל רכיב בריבוע, גם את השלילי.

|\underline{u}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2}

\begin{aligned}\sqrt{9 + 16} &= \sqrt{25} \\ &= 5\end{aligned}

ריבוע של מספר שלילי הוא חיובי

\underline{u} = \underline{v}

וקטורים שווים: אותו כיוון ואותו אורך, כלומר אותם רכיבים

-\underline{u}

הוקטור הנגדי: אותו אורך, כיוון הפוך. הרכיבים מחליפים סימן

\underline{0} = (0, 0)

וקטור האפס: אורך $0$ , ואין לו כיוון

שתי טעויות שחוזרות בבחינות.

\underline{AB} = A - B

\underline{AB} = B - A

תמיד הסוף פחות ההתחלה. $A - B$ נותן את $\underline{BA}$ , החץ ההפוך.

|(3, -4)| = \sqrt{9 - 16}

\begin{aligned}|(3, -4)| &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}

מעלים בריבוע את הרכיב עם הסימן: $(-4)^2 = 16$ .

Exercises

Exercise 1

נתונות הנקודות $A(2, -1)$ ו- $B(5, 3)$ . מהו הרכיב הראשון (רכיב ה- $x$ ) של $\underline{AB}$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

5 - 2 = 3

הסוף פחות ההתחלה, ברכיב $x$

מחסרים את השיעור של $A$ מזה של $B$ , לא להפך.

Check the answer on elev

Exercise 2

$A(2, -1)$ , $B(5, 3)$ . מהו הרכיב השני (רכיב ה- $y$ ) של $\underline{AB}$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

3 - (-1) = 4

מינוס מינוס הוא פלוס

החיסור $3 - (-1)$ הוא $4$ , לא $2$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

$A(2, -1)$ , $B(5, 3)$ . מהו האורך $|\underline{AB}|$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

\underline{AB} = (3, 4)

\begin{aligned}|\underline{AB}| &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}

קודם הרכיבים, אחר כך פיתגורס.

Check the answer on elev

Exercise 4

מהו הווקטור מ- $A(-1, 4)$ אל $B(2, 0)$ ?

$(1, 4)$
$(3, 4)$
$(-3, 4)$
$(3, -4)$

Show the answer and the solution

Answer: D $(3, -4)$

Worked solution:

\begin{aligned}\underline{AB} &= (2 - (-1),\ 0 - 4) \\ &= (3, -4)\end{aligned}

$(-3, 4)$ הוא $\underline{BA}$ : החיסור נעשה הפוך.

Check the answer on elev

Exercise 5

מהו האורך של הווקטור $(-5, 12)$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 13

Worked solution:

\begin{aligned}\sqrt{(-5)^2 + 12^2} &= \sqrt{25 + 144} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13\end{aligned}

$(-5)^2 = 25$ , לא $-25$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

מהו האורך של הווקטור $(2, 3)$ ? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 3.61

Worked solution:

\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \approx 3.61

האורך לא חייב לצאת מספר שלם. $\sqrt{13}$ הוא תשובה מדויקת.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונות הנקודות $A(0, 0)$ , $B(2, 1)$ , $C(3, 3)$ ו- $D(5, 4)$ . הטענה: הווקטורים $\underline{AB}$ ו- $\underline{CD}$ שווים.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\underline{AB} = (2, 1)

\begin{aligned}\underline{CD} &= (5 - 3,\ 4 - 3) \\ &= (2, 1)\end{aligned}

אותם רכיבים

החיצים במקומות שונים, אבל באותו כיוון ובאותו אורך: אלה וקטורים שווים.

Check the answer on elev

Exercise 8

הטענה: שני וקטורים שווים חייבים להתחיל באותה נקודה.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}\underline{AB} &= \underline{CD} \iff B - A \\ &= D - C\end{aligned}

משווים רכיבים, לא נקודות

וקטור הוא כיוון ואורך. אפשר להזיז את החץ לכל מקום, והוא נשאר אותו וקטור.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה הנקודה $A(1, 2)$ , ו- $\underline{AB} = (4, -3)$ . מהם השיעורים של $B$ ?

$(5, -1)$
$(4, -6)$
$(-3, 5)$
$(3, -5)$

Show the answer and the solution

Answer: A $(5, -1)$

Worked solution:

B = A + \underline{AB}

מתחילים ב- $A$ והולכים לפי החץ

\begin{aligned}B &= (1 + 4,\ 2 + (-3)) \\ &= (5, -1)\end{aligned}

מ- $\underline{AB} = B - A$ מקבלים $B = A + \underline{AB}$ : מחברים, לא מחסרים.

Check the answer on elev

Exercise 10

התאימו כל מושג לתיאור שלו.

וקטור נגדי
וקטורים שווים
וקטור האפס
האורך של וקטור

אורך אפס, בלי כיוון
אותו אורך ואותו כיוון
אותו אורך, כיוון הפוך
שורש של סכום ריבועי הרכיבים

Show the answer and the solution

Answer: וקטור נגדי — אותו אורך, כיוון הפוך · וקטורים שווים — אותו אורך ואותו כיוון · וקטור האפס — אורך אפס, בלי כיוון · האורך של וקטור — שורש של סכום ריבועי הרכיבים

Worked solution:

\begin{aligned}-\underline{u} \\ \quad \underline{u} &= \underline{v} \\ \quad \underline{0} \\ \quad |\underline{u}|\end{aligned}

וקטור נקבע רק על ידי כיוון ואורך.

Check the answer on elev

Exercise 11

השלימו.

נתון $\underline{u} = (6, -8)$ . האורך $|\underline{u}|$ הוא ____, והאורך של הווקטור הנגדי $|-\underline{u}|$ הוא ____.

Show the answer and the solution

Answer: נתון $\underline{u} = (6, -8)$ . האורך $|\underline{u}|$ הוא 10, והאורך של הווקטור הנגדי $|-\underline{u}|$ הוא 10.

Worked solution:

\begin{aligned}|\underline{u}| &= \sqrt{36 + 64} \\ &= 10\end{aligned}

\begin{aligned}-\underline{u} &= (-6, 8) \\ \quad |-\underline{u}| &= 10\end{aligned}

רק הכיוון התהפך

וקטור נגדי הוא באותו אורך.

Check the answer on elev

Exercise 12

האורך של הווקטור $(k, 4)$ הוא $5$ , ו- $k$ חיובי. מהו $k$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

k^2 + 16 = 25

מעלים בריבוע את שני האגפים

\begin{aligned}k^2 &= 9 \\ \quad k &= 3\end{aligned}

לוקחים את הפתרון החיובי

גם $k = -3$ נותן אורך $5$ . השאלה ביקשה את החיובי.

Check the answer on elev

Exercise 13

דנה חישבה את הווקטור מ- $A(3, 5)$ אל $B(1, 2)$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

\underline{AB} = A - B

= (3 - 1,\ 5 - 2)

= (2, 3)

Show the answer and the solution

Answer: $\underline{AB} = A - B$ → $\underline{AB} = B - A = (1 - 3,\ 2 - 5) = (-2, -3)$

Worked solution:

\begin{aligned}\underline{AB} &= B - A \\ &= (-2, -3)\end{aligned}

הסוף פחות ההתחלה

החיסור הפוך נותן את $\underline{BA}$ . הטעות בשורה הראשונה, והשאר רק ממשיך אותה.

Check the answer on elev

הרכיבים: כמה ימינה, כמה למעלה

האורך של וקטור

Exercises

Keep practising on elev