בגרות 35472 — חורף 2025 · Paper 35472 — winter 2025, Kita יב — lesson and practice problems with answers

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35472 (4 יחידות לימוד, שאלון שני, תוכנית חדשה), חורף תשפ״ה, 2025. משך הבחינה: שעתיים ורבע. יש לענות על שלוש מן השאלות 1–5, לפחות על שאלה אחת מכל פרק (לכל שאלה – $33\frac{1}{3}$ נקודות). פרק ראשון – סדרות, גאומטרייה במרחב וגדילה ודעיכה: שאלות 1–3. פרק שני – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: שאלות 4–5. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־4 יחידות לימוד.

כאן כתובות כל חמש השאלות, ב־29 סעיפים, כדי שאפשר יהיה להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים שלוש. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר, להראות או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, וסעיף שמבקש ביטוי הפך להשלמת מקדמים. הפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercises

שאלה 1 — סדרות: סדרה הנדסית וסדרה חשבונית

Exercise 1

א. מצאו את שני הערכים של $q$ . (מהערך הקטן לגדול.)

$q_1 =$ ____ , $q_2 =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $q_1 =$ -3 , $q_2 =$ 3

Worked solution:

a_1 q^5 = 81 \cdot a_1 q

האיבר השישי והאיבר השני

q^4 = 81

$a_1 \neq 0$ , $q \neq 0$

\begin{aligned}q &= -3 \\ \quad q &= 3\end{aligned}

$q = -3$ או $q = 3$ .

Check the answer on elev — Exercise 1

Exercise 2

נתון כי סכום שני האיברים האמצעיים בסדרה $A$ הוא $1{,}944$ , וכי כל איבריה הם חיוביים. ב. מצאו את האיבר הראשון בסדרה.

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

q = 3

כל האיברים חיוביים

\begin{aligned}a_5 + a_6 &= a_1 \cdot 3^4 + a_1 \cdot 3^5 \\ &= 324a_1 \\ &= 1944\end{aligned}

בסדרה $10$ איברים: האיברים האמצעיים הם החמישי והשישי

a_1 = 6

האיבר הראשון הוא $6$ .

Check the answer on elev — Exercise 2

Exercise 3

נתון כי סכום שני האיברים האמצעיים בסדרה $A$ הוא $1{,}944$ , וכי כל איבריה הם חיוביים. נתונה סדרה חשבונית $B$ . סכום הסדרה $A$ גדול פי $11$ מסכום הסדרה $B$ . ג. מצאו את סכום הסדרה $B$ .

Show the answer and the solution

Answer: 16104

Worked solution:

\begin{aligned}S_A &= \frac{6\,(3^{10} - 1)}{3 - 1} \\ &= 3 \cdot 59048 \\ &= 177144\end{aligned}

סכום סדרה הנדסית

\begin{aligned}S_B &= \frac{177144}{11} \\ &= 16104\end{aligned}

סכום הסדרה $B$ הוא $16{,}104$ .

Check the answer on elev — Exercise 3

Exercise 4

נתון כי סכום שני האיברים האמצעיים בסדרה $A$ הוא $1{,}944$ , וכי כל איבריה הם חיוביים. נתונה סדרה חשבונית $B$ . סכום הסדרה $A$ גדול פי $11$ מסכום הסדרה $B$ . בסדרה $B$ יש $33$ איברים. נתון כי האיבר השני בסדרה $B$ גדול פי $46$ מן ההפרש שלה. ד. מצאו את הפרש הסדרה $B$ .

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

\begin{aligned}b_1 + d &= 46d \Rightarrow b_1 \\ &= 45d\end{aligned}

\begin{aligned}S_{33} &= \frac{33}{2}\left(2 \cdot 45d + 32d\right) \\ &= 33 \cdot 61d \\ &= 2013d\end{aligned}

סכום סדרה חשבונית

\begin{aligned}2013d &= 16104 \Rightarrow d \\ &= 8\end{aligned}

סעיף ג

הפרש הסדרה $B$ הוא $8$ .

Check the answer on elev — Exercise 4

Did your child get it?

On elev, every exercise is checked the moment your child answers, and a hint comes right when they get stuck.

Practise on elev

שאלה 2 — תיבה, וקטורים ומערכת צירים

Exercise 5

א. הביעו את הווקטורים $\overrightarrow{AP}$ ו־ $\overrightarrow{MP}$ באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ ו־ $\underline{w}$ .

A $\overrightarrow{AP} = \underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}$ , $\overrightarrow{MP} = -\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \frac{1}{6}\underline{w}$
B $\overrightarrow{AP} = \underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}$ , $\overrightarrow{MP} = \underline{u} - \frac{1}{2}\underline{v} + \frac{1}{6}\underline{w}$
C $\overrightarrow{AP} = \underline{v} + \frac{2}{3}\underline{w}$ , $\overrightarrow{MP} = -\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} + \frac{1}{6}\underline{w}$
D $\overrightarrow{AP} = \underline{u} + \frac{1}{3}\underline{w}$ , $\overrightarrow{MP} = -\underline{v} + \frac{1}{2}\underline{u} - \frac{1}{6}\underline{w}$

Show the answer and the solution

Answer: A $\overrightarrow{AP} = \underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}$ , $\overrightarrow{MP} = -\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \frac{1}{6}\underline{w}$

Worked solution:

\begin{aligned}\overrightarrow{AP} &= \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DP} \\ &= \underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}\end{aligned}

$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = \underline{v}$ , $\overrightarrow{DP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{DD'} = \frac{1}{3}\underline{w}$

\begin{aligned}\overrightarrow{AM} &= \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC'} \\ &= \underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} + \frac{1}{2}\underline{w}\end{aligned}

$M$ אמצע האלכסון $BC'$

\begin{aligned}\overrightarrow{MP} &= \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AM} \\ &= -\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \frac{1}{6}\underline{w}\end{aligned}

$\overrightarrow{AP} = \underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}$ , $\overrightarrow{MP} = -\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \frac{1}{6}\underline{w}$ .

Check the answer on elev — Exercise 5

Exercise 6

נתון: $|\underline{v}| = 6$ , $|\underline{w}| = |\underline{u}| = 18$ . ב (1). הוכיחו כי הווקטור $\overrightarrow{AP}$ מאונך לווקטור $\overrightarrow{MP}$ .

$\overrightarrow{AP} = \underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}$ , $\overrightarrow{MP} = -\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \frac{1}{6}\underline{w}$
$|\underline{v}| = 6$ , $|\underline{w}| = |\underline{u}| = 18$ , $\underline{u} \cdot \underline{v} = \underline{u} \cdot \underline{w} = \underline{v} \cdot \underline{w} = 0$

$\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{MP}$

Show the answer and the solution

$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}|\underline{v}|^2 - \frac{1}{18}|\underline{w}|^2$ — פתיחת סוגריים; המכפלות של וקטורים מאונכים מתאפסות
$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{MP} = 18 - 18 = 0$ — מציבים $|\underline{v}|^2 = 36$ , $|\underline{w}|^2 = 324$
$\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{MP}$ — מכפלה סקלרית אפס של וקטורים שונים מאפס

Worked solution:

\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{MP} = -\underline{u} \cdot \underline{v} + \tfrac{1}{2}\underline{v}^2 - \tfrac{1}{6}\underline{v} \cdot \underline{w} - \tfrac{1}{3}\underline{u} \cdot \underline{w} + \tfrac{1}{6}\underline{v} \cdot \underline{w} - \tfrac{1}{18}\underline{w}^2

= 0 + 18 - 0 - 0 + 0 - 18 = 0

בתיבה המקצועות מאונכים זה לזה

המכפלה הסקלרית היא $0$ : $\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{MP}$ .

Check the answer on elev — Exercise 6

Exercise 7

נתון: $|\underline{v}| = 6$ , $|\underline{w}| = |\underline{u}| = 18$ . ב (2). חשבו את שטח המשולש $APM$ . (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 78.46

Worked solution:

\begin{aligned}|\overrightarrow{AP}|^2 &= 36 + \tfrac{1}{9} \cdot 324 \\ &= 72 \Rightarrow AP \\ &= 6\sqrt{2}\end{aligned}

\begin{aligned}|\overrightarrow{MP}|^2 &= 324 + \tfrac{1}{4} \cdot 36 + \tfrac{1}{36} \cdot 324 \\ &= 342 \Rightarrow MP \\ &= \sqrt{342}\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{AP \cdot MP}{2} \\ &= \frac{\sqrt{72 \cdot 342}}{2} \\ &= 18\sqrt{19} \approx 78.46\end{aligned}

הזווית $APM$ ישרה (סעיף ב (1))

שטח המשולש $APM$ : $18\sqrt{19} \approx 78.46$ .

Check the answer on elev — Exercise 7

Exercise 8

נתון: $|\underline{v}| = 6$ , $|\underline{w}| = |\underline{u}| = 18$ . נתון: $D(0, 0, 0)$ . הקודקוד $A$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $y$ והקודקוד $D'$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $z$ . ג (1). מצאו את שיעורי הקודקודים $C'$ , $B$ , $C$ .

$C($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$ , $B($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$ , $C'($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $C($ 0 $,$ 18 $,$ 0 $)$ , $B($ 6 $,$ 18 $,$ 0 $)$ , $C'($ 0 $,$ 18 $,$ 18 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}DA &= BC \\ &= 6 \\ \quad DC &= AB \\ &= 18 \\ \quad DD' &= AA' \\ &= 18\end{aligned}

מקצועות נגדיים בתיבה שווים

A(6, 0, 0), \quad C(0, 18, 0), \quad D'(0, 0, 18)

\begin{aligned}B &= A + \overrightarrow{DC} \\ &= (6, 18, 0) \\ \quad C' &= C + \overrightarrow{DD'} \\ &= (0, 18, 18)\end{aligned}

$C(0, 18, 0)$ , $B(6, 18, 0)$ , $C'(0, 18, 18)$ .

Check the answer on elev — Exercise 8

Exercise 9

נתון: $|\underline{v}| = 6$ , $|\underline{w}| = |\underline{u}| = 18$ . נתון: $D(0, 0, 0)$ . הקודקוד $A$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $y$ והקודקוד $D'$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $z$ . ג (2). מצאו את שיעורי הנקודה $M$ .

$M($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $M($ 3 $,$ 18 $,$ 9 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}M &= \frac{B + C'}{2} \\ &= \left(\frac{6 + 0}{2}, \frac{18 + 18}{2}, \frac{0 + 18}{2}\right) \\ &= (3, 18, 9)\end{aligned}

$M$ אמצע האלכסון $BC'$

$M(3, 18, 9)$ .

Check the answer on elev — Exercise 9

Exercise 10

נתון: $|\underline{v}| = 6$ , $|\underline{w}| = |\underline{u}| = 18$ . נתון: $D(0, 0, 0)$ . הקודקוד $A$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $y$ והקודקוד $D'$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $z$ . ד. מצאו את גודל הזווית $PMB$ . (במעלות, בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 84.11

Worked solution:

\begin{aligned}P &= \left(0, 0, \tfrac{1}{3} \cdot 18\right) \\ &= (0, 0, 6)\end{aligned}

$DP = \frac{1}{3}DD'$

\begin{aligned}\overrightarrow{MP} &= (-3, -18, -3) \\ \quad \overrightarrow{MB} &= (3, 0, -9)\end{aligned}

\begin{aligned}\cos\angle PMB &= \frac{-9 + 0 + 27}{\sqrt{342} \cdot \sqrt{90}} \\ &= \frac{18}{\sqrt{30780}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{95}}\end{aligned}

\angle PMB \approx 84.11^\circ

$\angle PMB \approx 84.11^\circ$ .

Check the answer on elev — Exercise 10

שאלה 3 — דעיכה וגדילה: גלגל ים ומזרן ים

Exercise 11

א. קבעו בעבור כל אחת מן הטענות $I$ – $II$ אם היא נכונה או לא נכונה. I. כעבור $6$ ימים מיום הקנייה היה נפח הגלגל גדול מנפח המזרן. II. כעבור $8$ ימים מיום הקנייה היה נפח הגלגל גדול מנפח המזרן.

AI נכונה, II לא נכונה
BI לא נכונה, II נכונה
Cשתי הטענות לא נכונות
Dשתי הטענות נכונות

Show the answer and the solution

Answer: B I לא נכונה, II נכונה

Worked solution:

\begin{aligned}4900\,q_1^{\,7} &= 9800\,q_2^{\,7} \Rightarrow \left(\frac{q_2}{q_1}\right)^7 \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

$q_1$ : הגלגל, $q_2$ : המזרן

\frac{q_2}{q_1} < 1

המזרן מתרוקן מהר יותר

\begin{aligned}\frac{9800\,q_2^{\,t}}{4900\,q_1^{\,t}} &= 2\left(\frac{q_2}{q_1}\right)^t \\ &= 2^{1 - t/7}\end{aligned}

היחס בין נפח המזרן לנפח הגלגל

\begin{aligned}t &= 6: \ 2^{1/7} > 1 \\ \qquad t &= 8: \ 2^{-1/7} < 1\end{aligned}

I לא נכונה: כעבור $6$ ימים נפח המזרן עדיין גדול. II נכונה: כעבור $8$ ימים נפח הגלגל גדול.

Check the answer on elev — Exercise 11

Exercise 12

נתון כי נפח הגלגל קטן ב־ $4\%$ בכל יום. ב. מצאו את האחוז שבו נפח המזרן קטן בכל יום. (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 13.05

Worked solution:

4900 \cdot 0.96^7 = 9800\,q^7

q = 0.96 \cdot \sqrt[7]{0.5} \approx 0.86949

(1 - 0.86949) \cdot 100 \approx 13.05

נפח המזרן קטן בכ־ $13.05\%$ בכל יום.

Check the answer on elev — Exercise 12

Exercise 13

נתון כי נפח הגלגל קטן ב־ $4\%$ בכל יום. כעבור $t$ ימים מיום הקנייה היה נפח המזרן $\frac{1}{3}$ מנפח הגלגל. ג. מצאו את הערך של $t$ . (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 18.09

Worked solution:

9800 \cdot q^t = \frac{1}{3} \cdot 4900 \cdot 0.96^t

\begin{aligned}\left(\frac{q}{0.96}\right)^t &= \frac{1}{6} \Rightarrow 0.5^{t/7} \\ &= \frac{1}{6}\end{aligned}

$\frac{q}{0.96} = \sqrt[7]{0.5}$

t = \frac{7\log 6}{\log 2} \approx 18.09

$t \approx 18.09$ ימים.

Check the answer on elev — Exercise 13

Exercise 14

נתון כי נפח הגלגל קטן ב־ $4\%$ בכל יום. כעבור $t$ ימים מיום הקנייה היה נפח המזרן $\frac{1}{3}$ מנפח הגלגל. לאחר כמה שבועות החליט אמיר לנפח את המזרן. במהלך הניפוח גדל נפח המזרן בכל דקה ב־ $23\%$ . בסיום הניפוח היה נפח המזרן גדול פי $7.5$ מן הנפח שלו בתחילת הניפוח. ד. מצאו את מספר הדקות שנמשך ניפוח המזרן. (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 9.73

Worked solution:

V_0 \cdot 1.23^n = 7.5\,V_0

n = \frac{\log 7.5}{\log 1.23} \approx 9.73

הניפוח נמשך כ־ $9.73$ דקות.

Check the answer on elev — Exercise 14

שאלה 4 — פונקציה מעריכית

Exercise 15

א. קבעו איזה מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , ונמקו את קביעתכם.

Aגרף II: הוא עובר מחיובי לשלילי משמאל לציר ה־ $y$
Bשני הגרפים מתאימים: לשניהם שתי נקודות חיתוך עם ציר ה־ $x$
Cגרף II: הוא חיובי בקצה הימני של הסרטוט
Dגרף I: הוא עובר מחיובי לשלילי רק מימין לציר ה־ $y$

Show the answer and the solution

Answer: D גרף I: הוא עובר מחיובי לשלילי רק מימין לציר ה־ $y$

Worked solution:

f' : + \to -

מקסימום של $f$

x_{\max} > 0

הנתון

\text{I}: \ - \to + \ (x < 0), \quad + \to - \ (x > 0)

גרף I: המעבר היחיד מחיובי לשלילי הוא מימין לציר ה־ $y$ . בגרף II המעבר מחיובי לשלילי הוא משמאל לציר ה־ $y$ : מקסימום ב־ $x$ שלילי.

Check the answer on elev — Exercise 15

Exercise 16

נתון: $f(x) = (x^2 - 2) \cdot e^{-2x + 1}$ . ב (1). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ . (מהקטנה ל־ $x$ לגדולה; בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

$($ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $($ -1.414 $,$ 0 $)$ , $($ 1.414 $,$ 0 $)$

Worked solution:

e^{-2x + 1} > 0

חזקה של בסיס חיובי

\begin{aligned}x^2 - 2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm\sqrt{2} \approx \pm 1.414\end{aligned}

נקודות החיתוך: $(-\sqrt{2}, 0)$ , $(\sqrt{2}, 0)$ .

Check the answer on elev — Exercise 16

Exercise 17

נתון: $f(x) = (x^2 - 2) \cdot e^{-2x + 1}$ . ב (2). מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגן. (מהקטנה ל־ $x$ לגדולה; את $y$ בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

$($ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $($ -1 $,$ -20.086 $)$ , $($ 2 $,$ 0.1 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 2x \cdot e^{-2x + 1} - 2(x^2 - 2)\,e^{-2x + 1} \\ &= -2(x^2 - x - 2)\,e^{-2x + 1}\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

\begin{aligned}f'(x) &= -2(x + 1)(x - 2)\,e^{-2x + 1} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1 \\ \ x &= 2\end{aligned}

x < -1: f' < 0, \quad -1 < x < 2: f' > 0, \quad x > 2: f' < 0

(-1, -e^3) \approx (-1, -20.086): \ \min, \qquad \left(2, \tfrac{2}{e^3}\right) \approx (2, 0.100): \ \max

מינימום ב־ $(-1, -e^3)$ , מקסימום ב־ $\left(2, \frac{2}{e^3}\right)$ .

Check the answer on elev — Exercise 17

Exercise 18

הגרפים I–IV

נתון: $f(x) = (x^2 - 2) \cdot e^{-2x + 1}$ . ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף III
Bגרף IV
Cגרף I
Dגרף II

Show the answer and the solution

Answer: D גרף II

Worked solution:

x \to -\infty: f \to \infty, \qquad x \to \infty: f \to 0

\min(-1, -e^3), \ \max\left(2, \tfrac{2}{e^3}\right), \ (\pm\sqrt{2}, 0)

סעיף ב

f(0) = -2e < 0

גרף II: יורד מ־ $+\infty$ אל מינימום עמוק ב־ $x = -1$ , עולה אל מקסימום נמוך ב־ $x = 2$ , ומתקרב לציר ה־ $x$ מלמעלה. גרף I הוא $-f$ , גרף III הוא $f(-x)$ , וגרף IV הוא $|f|$ . (בגרפים הציר האנכי מכווץ.)

Check the answer on elev — Exercise 18

Exercise 19

נתון: $f(x) = (x^2 - 2) \cdot e^{-2x + 1}$ . נתונה הפונקציה $g(x) = 7 \cdot e^{-2x + 1}$ המוגדרת לכל $x$ . ד (1). הסבירו מדוע הפונקציה $g(x)$ חיובית לכל $x$ .

Aכי $e^{-2x + 1} > 0$ לכל $x$ , ו־ $7 > 0$
Bכי $-2x + 1 > 0$ לכל $x$ , ולכן החזקה חיובית
Cכי $g(0) = 7e > 0$ , ו־ $g$ יורדת לכל $x$
Dכי $e > 1$ , ולכן $e^{-2x + 1} > 1$ לכל $x$

Show the answer and the solution

Answer: A כי $e^{-2x + 1} > 0$ לכל $x$ , ו־ $7 > 0$

Worked solution:

e^{-2x + 1} > 0

חזקה של בסיס חיובי חיובית לכל מעריך

g(x) = 7 \cdot e^{-2x + 1} > 0

$g(x) > 0$ לכל $x$ .

Check the answer on elev — Exercise 19

Exercise 20

נתון: $f(x) = (x^2 - 2) \cdot e^{-2x + 1}$ . נתונה הפונקציה $g(x) = 7 \cdot e^{-2x + 1}$ המוגדרת לכל $x$ . ד (2). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם גרף הפונקציה $g(x)$ . (מהקטנה ל־ $x$ לגדולה; הנקודות הן $(x_1, 7e^{k_1})$ ו־ $(x_2, 7e^{k_2})$ .)

$x_1 =$ ____ , $k_1 =$ ____ , $x_2 =$ ____ , $k_2 =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x_1 =$ -3 , $k_1 =$ 7 , $x_2 =$ 3 , $k_2 =$ -5

Worked solution:

(x^2 - 2)\,e^{-2x + 1} = 7\,e^{-2x + 1}

מחלקים ב־ $e^{-2x + 1} > 0$

\begin{aligned}x^2 &= 9 \Rightarrow x \\ &= \pm 3\end{aligned}

\begin{aligned}g(-3) &= 7e^{7} \approx 7676.43 \\ \qquad g(3) &= 7e^{-5} \approx 0.047\end{aligned}

נקודות החיתוך: $(-3, 7e^7)$ , $(3, 7e^{-5})$ .

Check the answer on elev — Exercise 20

Exercise 21

נתון: $f(x) = (x^2 - 2) \cdot e^{-2x + 1}$ . נתונה הפונקציה $g(x) = 7 \cdot e^{-2x + 1}$ המוגדרת לכל $x$ . דרך כל אחת מן הנקודות שמצאתם בסעיף ד העבירו אנך לציר ה־ $x$ . ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)$ , על ידי ציר ה־ $x$ ועל ידי האנכים. (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 3838.19

Worked solution:

\begin{aligned}S &= \int_{-3}^{3} 7e^{-2x + 1}\,dx \\ &= \left[-\frac{7}{2}e^{-2x + 1}\right]_{-3}^{3}\end{aligned}

$g > 0$ (סעיף ד (1))

S = \frac{7}{2}\left(e^{7} - e^{-5}\right) \approx 3838.19

השטח: $\frac{7}{2}\left(e^7 - e^{-5}\right) \approx 3838.19$ .

Check the answer on elev — Exercise 21

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית

Exercise 22

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

A $x \neq 1$
B $x > 0$ , $x \neq 1$
C $x > 1$
D $x > 0$

Show the answer and the solution

Answer: B $x > 0$ , $x \neq 1$

Worked solution:

x > 0

תחום ההגדרה של $\ln x$

(\ln x)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1

המכנה שונה מ־ $0$

תחום ההגדרה: $x > 0$ , $x \neq 1$ .

Check the answer on elev — Exercise 22

Exercise 23

א (2). מצאו את משוואת האסימפטוטה האנכית לציר ה־ $x$ של הפונקציה $f(x)$ .

$x =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x =$ 1

Worked solution:

x \to 1: \ (\ln x)^2 \to 0^+, \quad 12x \to 12 \Rightarrow f(x) \to \infty

האסימפטוטה: $x = 1$ .

Check the answer on elev — Exercise 23

Exercise 24

א (3). האם לגרף הפונקציה $f(x)$ יש נקודות חיתוך עם הצירים? נמקו את תשובתכם.

Aכן: בראשית הצירים, כי $f(0) = 0$
Bכן: עם ציר ה־ $y$ בלבד, כי $12x$ מתאפס
Cכן: עם ציר ה־ $x$ בנקודה שבה $x = 1$
Dלא: $x = 0$ אינו בתחום, ו־ $12x > 0$ בתחום

Show the answer and the solution

Answer: D לא: $x = 0$ אינו בתחום, ו־ $12x > 0$ בתחום

Worked solution:

x > 0

תחום ההגדרה: $x = 0$ אינו בתחום, ולכן אין חיתוך עם ציר ה־ $y$

\begin{aligned}f(x) &= 0 \iff 12x \\ &= 0 \iff x \\ &= 0\end{aligned}

אין חיתוך עם ציר ה־ $x$

לא: לגרף אין נקודות חיתוך עם הצירים.

Check the answer on elev — Exercise 24

Exercise 25

ב (1). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגה. (בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

$($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $($ 7.389 $,$ 22.167 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{12(\ln x)^2 - 12x \cdot 2\ln x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^4} \\ &= \frac{12(\ln x - 2)}{(\ln x)^3}\end{aligned}

נגזרת של מנה

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow \ln x \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= e^2\end{aligned}

1 < x < e^2: f' < 0, \quad x > e^2: f' > 0

מינימום

\begin{aligned}f(e^2) &= \frac{12e^2}{4} \\ &= 3e^2 \approx 22.167\end{aligned}

מינימום ב־ $(e^2, 3e^2) \approx (7.389, 22.167)$ .

Check the answer on elev — Exercise 25

Exercise 26

ב (2). מצאו את תחומי העלייה של הפונקציה $f(x)$ .

A $0 < x < 1$ , $x > e^2$
B $x > e^2$ בלבד
C $0 < x < 1$ , $1 < x < e^2$
D $1 < x < e^2$

Show the answer and the solution

Answer: A $0 < x < 1$ , $x > e^2$

Worked solution:

0 < x < 1: \ \frac{(-)}{(-)} > 0

$\ln x - 2 < 0$ , $(\ln x)^3 < 0$

1 < x < e^2: \ \frac{(-)}{(+)} < 0, \qquad x > e^2: \ \frac{(+)}{(+)} > 0

$f(x)$ עולה ב־ $0 < x < 1$ וב־ $x > e^2$ .

Check the answer on elev — Exercise 26

Exercise 27

הגרפים I–IV

ג. קבעו איזה מן הגרפים $I$ – $IV$ שבסוף השאלה מתאר את הפונקציה $f(x)$ .

Aגרף I: עולה מראשית הצירים אל האסימפטוטה
Bגרף III: יש לו מקסימום מימין לאסימפטוטה
Cגרף II: יש לו מינימום מימין לאסימפטוטה
Dגרף IV: חיובי משני צדי האסימפטוטה

Show the answer and the solution

Answer: D גרף IV: חיובי משני צדי האסימפטוטה

Worked solution:

f(x) = \frac{12x}{(\ln x)^2} > 0

בכל התחום

x \to 0^+: f \to 0, \qquad x \to 1: f \to \infty

\min(e^2, 3e^2)

סעיף ב

גרף IV: עולה מראשית הצירים אל האסימפטוטה $x = 1$ , ומימינה יורד אל המינימום $(e^2, 3e^2)$ ועולה. בגרפים I, II ו־III יש ענף שלילי.

Check the answer on elev — Exercise 27

Exercise 28

$g(x)$ היא פונקציה שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ . נגזרת הפונקציה $g(x)$ מקיימת $g'(x) = f(x) - c$ , $c$ הוא פרמטר. ד (1). מצאו בעבור $c = 4$ כמה נקודות קיצון יש לפונקציה $g(x)$ , וקבעו את סוגן (אם יש כאלה). נמקו את תשובתכם.

Aאין נקודות קיצון, כי $f(x) > 4$ לכל $x$ בתחום
Bנקודת קיצון אחת, מקסימום, בקטע $0 < x < 1$
Cנקודת קיצון אחת, מינימום, בקטע $0 < x < 1$
Dשלוש נקודות קיצון: שני מינימומים ומקסימום אחד

Show the answer and the solution

Answer: C נקודת קיצון אחת, מינימום, בקטע $0 < x < 1$

Worked solution:

g'(x) = f(x) - 4

0 < x < 1: \ f(x) \nearrow, \quad f \to 0 \ (x \to 0^+), \quad f \to \infty \ (x \to 1^-)

$f$ עולה ומקבלת את הערך $4$ פעם אחת: $g'$ עוברת משלילי לחיובי

x > 1: \ f(x) \ge 3e^2 \approx 22.17 > 4 \Rightarrow g' > 0

המינימום של $f$ (סעיף ב)

לפונקציה $g(x)$ נקודת קיצון אחת, מינימום, בקטע $0 < x < 1$ .

Check the answer on elev — Exercise 28

Exercise 29

$g(x)$ היא פונקציה שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ . נגזרת הפונקציה $g(x)$ מקיימת $g'(x) = f(x) - c$ , $c$ הוא פרמטר. ד (2). רשמו ערך כלשהו של $c$ שבעבורו יש לפונקציה $g(x)$ שלוש נקודות קיצון. נמקו את תשובתכם. (בחרו ערך מתאים.)

A $c = 3e^2$
B $c = 0$
C $c = 22$
D $c = 30$

Show the answer and the solution

Answer: D $c = 30$

Worked solution:

\begin{aligned}g'(x) &= 0 \iff f(x) \\ &= c\end{aligned}

c > 3e^2 \approx 22.17

הישר $y = c$ חותך את הענף השמאלי פעם אחת ואת הענף הימני פעמיים

c = 30 > 22.17

למשל $c = 30$ : $f(x) = 30$ בשלוש נקודות, ובכל אחת $g'$ מחליפה סימן.

Check the answer on elev — Exercise 29

Exercises

שאלה 1 — סדרות: סדרה הנדסית וסדרה חשבונית

Exercise 1

Exercise 2

Exercise 3

Exercise 4

שאלה 2 — תיבה, וקטורים ומערכת צירים

Exercise 5

Exercise 6

Exercise 7

Exercise 8

Exercise 9

Exercise 10

שאלה 3 — דעיכה וגדילה: גלגל ים ומזרן ים

Exercise 11

Exercise 12

Exercise 13

Exercise 14

שאלה 4 — פונקציה מעריכית

Exercise 15

Exercise 16

Exercise 17

Exercise 18

Exercise 19

Exercise 20

Exercise 21

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית

Exercise 22

Exercise 23

Exercise 24

Exercise 25

Exercise 26

Exercise 27

Exercise 28

Exercise 29

Keep practising on elev