בגרות 35472 — קיץ 2025 · Paper 35472 — summer 2025, Kita יב — lesson and practice problems with answers

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35472 (4 יחידות לימוד, שאלון שני, תוכנית חדשה), קיץ תשפ״ה, 2025. משך הבחינה: שעתיים ורבע. יש לענות על שלוש מן השאלות 1–5, על שאלה אחת לפחות מכל פרק (לכל שאלה – $33\frac{1}{3}$ נקודות). פרק ראשון – סדרות, גאומטרייה במרחב וגדילה ודעיכה: שאלות 1–3. פרק שני – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: שאלות 4–5. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־4 יחידות לימוד.

כאן כתובות כל חמש השאלות, ב־24 סעיפים, כדי שאפשר יהיה להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים שלוש. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר, להראות או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, וסעיף שמבקש ביטוי הפך להשלמת מקדמים. הפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercises

שאלה 1 — סדרות: סדרה חשבונית וסדרה הנדסית

Exercise 1

א. מצאו את הפרש הסדרה ואת $a_1$ .

$d =$ ____ ; $a_1 =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $d =$ 3 ; $a_1 =$ 3

Worked solution:

\begin{aligned}(a_1 + d) + (a_1 + 3d) &= a_1 + 5d \Rightarrow a_1 \\ &= d\end{aligned}

$a_2 + a_4 = a_6$

\begin{aligned}a_{57} &= a_1 + 56d \\ &= 57d \\ &= 171 \Rightarrow d \\ &= 3\end{aligned}

האיבר האחרון הוא $a_{57}$

\begin{aligned}a_1 &= d \\ &= 3\end{aligned}

הפרש הסדרה $d = 3$ , ו־ $a_1 = 3$ .

Check the answer on elev — Exercise 1

Exercise 2

נתונה סדרה הנדסית אין־סופית $B$ שאיבריה הם: $b_1 , b_2 , b_3 , \ldots$ . נתון: $b_1 = a_6$ , $3 \cdot b_3 = a_8$ . ב. מצאו את המנה של הסדרה $B$ (מצאו את שתי האפשרויות). (הערך השלילי ראשון.)

$q =$ ____ או $q =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $q =$ -0.667 או $q =$ 0.667

Worked solution:

\begin{aligned}a_6 &= 3 + 5 \cdot 3 \\ &= 18 \\ \quad a_8 &= 3 + 7 \cdot 3 \\ &= 24\end{aligned}

\begin{aligned}b_1 &= 18 \\ \quad b_3 &= \frac{24}{3} \\ &= 8\end{aligned}

\begin{aligned}q^2 &= \frac{b_3}{b_1} \\ &= \frac{8}{18} \\ &= \frac{4}{9} \Rightarrow q \\ &= \pm\frac{2}{3}\end{aligned}

$q = -\frac{2}{3}$ או $q = \frac{2}{3}$ .

Check the answer on elev — Exercise 2

Exercise 3

נתונה סדרה הנדסית אין־סופית $B$ שאיבריה הם: $b_1 , b_2 , b_3 , \ldots$ . נתון: $b_1 = a_6$ , $3 \cdot b_3 = a_8$ . נתון כי הסדרה $B$ אינה עולה ואינה יורדת. ג. מצאו את סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה $B$ .

Show the answer and the solution

Answer: -21.6

Worked solution:

q = -\frac{2}{3}

סדרה שאינה עולה ואינה יורדת: מנה שלילית

\begin{aligned}b_2 &= 18 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) \\ &= -12\end{aligned}

האיברים $b_2 , b_4 , b_6 , \ldots$ הם סדרה הנדסית שמנתה $q^2 = \frac{4}{9}$

\begin{aligned}S &= \frac{-12}{1 - \frac{4}{9}} \\ &= -12 \cdot \frac{9}{5} \\ &= -21.6\end{aligned}

סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדת

סכום האיברים במקומות הזוגיים הוא $-21.6$ .

Check the answer on elev — Exercise 3

Did your child get it?

On elev, every exercise is checked the moment your child answers, and a hint comes right when they get stuck.

Practise on elev

שאלה 2 — פירמידה, וקטורים

Exercise 4

א. הביעו באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ ו־ $\underline{w}$ את הווקטורים $\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{ED}$ ו־ $\overrightarrow{AM}$ .

A $\overrightarrow{ED} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}$ , $\overrightarrow{BC} = \underline{u} - \underline{v}$ , $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{1}{3}\underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}$
B $\overrightarrow{ED} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}$ , $\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}$ , $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{1}{3}\underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}$
C $\overrightarrow{ED} = \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{u} - \frac{1}{2}\underline{v}$ , $\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}$ , $\overrightarrow{AM} = -\frac{1}{3}\underline{u} - \frac{1}{3}\underline{v} + \frac{5}{3}\underline{w}$
D $\overrightarrow{ED} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}$ , $\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}$ , $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{6}\underline{u} + \frac{1}{6}\underline{v} + \frac{2}{3}\underline{w}$

Show the answer and the solution

Answer: B $\overrightarrow{ED} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}$ , $\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}$ , $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{1}{3}\underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}$

Worked solution:

\begin{aligned}\overrightarrow{BC} &= \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} \\ &= \underline{v} - \underline{u}\end{aligned}

\begin{aligned}\overrightarrow{AD} &= \frac{1}{2}\left(\underline{u} + \underline{v}\right) \\ \quad \overrightarrow{ED} &= \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AE} \\ &= \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}\end{aligned}

$D$ אמצע $BC$

\begin{aligned}\overrightarrow{AM} &= \overrightarrow{AE} + \frac{2}{3}\overrightarrow{ED} \\ &= \underline{w} + \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{1}{3}\underline{v} - \frac{2}{3}\underline{w} \\ &= \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{1}{3}\underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}\end{aligned}

$\overrightarrow{ED} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}$ , $\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}$ , $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{1}{3}\underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}$ .

Check the answer on elev — Exercise 4

Exercise 5

נתון: $|\underline{w}| = |\underline{v}| = |\underline{u}| = 12$ . ב (1). הוכיחו כי $\overrightarrow{AM}$ מאונך ל־ $\overrightarrow{ED}$ .

$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{1}{3}\underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}$ , $\overrightarrow{ED} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}$
$AE \perp ABC$ , $\angle BAC = 90^\circ$
$|\underline{w}| = |\underline{v}| = |\underline{u}| = 12$

$\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{ED}$

Show the answer and the solution

$\underline{u} \cdot \underline{v} = \underline{u} \cdot \underline{w} = \underline{v} \cdot \underline{w} = 0$ — שלושת המקצועות $AB$ , $AC$ ו־ $AE$ מאונכים זה לזה
$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{ED} = \frac{1}{6}|\underline{u}|^2 + \frac{1}{6}|\underline{v}|^2 - \frac{1}{3}|\underline{w}|^2$ — פתיחת סוגריים במכפלה סקלרית
$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{ED} = 24 + 24 - 48 = 0$ — מציבים $|\underline{u}|^2 = |\underline{v}|^2 = |\underline{w}|^2 = 144$
$\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{ED}$ — מכפלה סקלרית אפס של וקטורים שונים מאפס

Worked solution:

\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{ED} = \frac{1}{3}\left(\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}\right)

= \frac{1}{3}\left(\frac{144}{2} + \frac{144}{2} - 144\right) = 0

המכפלות המעורבות מתאפסות: $\angle BAC = 90^\circ$ ו־ $AE$ גובה

המכפלה הסקלרית היא $0$ : $\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{ED}$ .

Check the answer on elev — Exercise 5

Exercise 6

נתון: $|\underline{w}| = |\underline{v}| = |\underline{u}| = 12$ . ב (2). הוכיחו כי $\overrightarrow{AM}$ מאונך למישור $BEC$ .

$\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{ED}$ (סעיף ב (1))
$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\underline{u} + \frac{1}{3}\underline{v} + \frac{1}{3}\underline{w}$ , $\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}$
$|\underline{u}| = |\underline{v}| = 12$ , $\underline{u} \cdot \underline{v} = \underline{u} \cdot \underline{w} = \underline{v} \cdot \underline{w} = 0$

$\overrightarrow{AM}$ מאונך למישור $BEC$

Show the answer and the solution

$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{1}{3}|\underline{v}|^2 - \frac{1}{3}|\underline{u}|^2$ — פתיחת סוגריים; המכפלות המעורבות מתאפסות
$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC} = 48 - 48 = 0$ — מציבים $|\underline{u}|^2 = |\underline{v}|^2 = 144$
$\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{BC}$ — מכפלה סקלרית אפס של וקטורים שונים מאפס
$ED$ ו־ $BC$ הם שני ישרים נחתכים במישור $BEC$ — הנקודה $D$ נמצאת על $BC$ , והנקודה $E$ במישור $BEC$
$\overrightarrow{AM}$ מאונך למישור $BEC$ — ישר המאונך לשני ישרים נחתכים במישור מאונך למישור

Worked solution:

\begin{aligned}\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC} &= \frac{1}{3}\left(\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}\right) \cdot \left(\underline{v} - \underline{u}\right) \\ &= \frac{1}{3}\left(144 - 144\right) \\ &= 0\end{aligned}

\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{ED}, \quad \overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{BC}

סעיף ב (1), ו־ $ED$ , $BC$ נחתכים ב־ $D$

$\overrightarrow{AM}$ מאונך לשני ישרים נחתכים במישור $BEC$ , ולכן הוא מאונך למישור $BEC$ .

Check the answer on elev — Exercise 6

Exercise 7

נתון: $|\underline{w}| = |\underline{v}| = |\underline{u}| = 12$ . נתון: $A(0 , 0 , 0)$ . הקודקוד $B$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $y$ , והקודקוד $E$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $z$ . ג (1). מה הם שיעורי הנקודות $B$ , $C$ ו־ $E$ ?

$B($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$ , $C($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$ , $E($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $B($ 12 $,$ 0 $,$ 0 $)$ , $C($ 0 $,$ 12 $,$ 0 $)$ , $E($ 0 $,$ 0 $,$ 12 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= AC \\ &= AE \\ &= 12\end{aligned}

אורכי המקצועות

B(12, 0, 0), \quad C(0, 12, 0), \quad E(0, 0, 12)

כל קודקוד על החלק החיובי של ציר אחר

$B(12, 0, 0)$ , $C(0, 12, 0)$ , $E(0, 0, 12)$ .

Check the answer on elev — Exercise 7

Exercise 8

נתון: $|\underline{w}| = |\underline{v}| = |\underline{u}| = 12$ . נתון: $A(0 , 0 , 0)$ . הקודקוד $B$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $y$ , והקודקוד $E$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $z$ . ג (2). מצאו את שיעורי הנקודות $D$ ו־ $M$ .

$D($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$ , $M($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $D($ 6 $,$ 6 $,$ 0 $)$ , $M($ 4 $,$ 4 $,$ 4 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}D &= \frac{B + C}{2} \\ &= (6, 6, 0)\end{aligned}

$D$ אמצע $BC$

\begin{aligned}\overrightarrow{AM} &= \frac{1}{3}\left(\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}\right) \\ &= \frac{1}{3}(12, 12, 12) \\ &= (4, 4, 4)\end{aligned}

סעיף א

M(4, 4, 4)

$D(6, 6, 0)$ , $M(4, 4, 4)$ .

Check the answer on elev — Exercise 8

Exercise 9

נתון: $|\underline{w}| = |\underline{v}| = |\underline{u}| = 12$ . נתון: $A(0 , 0 , 0)$ . הקודקוד $B$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $y$ , והקודקוד $E$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $z$ . ד. חשבו את שטח המשולש $AMD$ . (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 16.97

Worked solution:

\angle AMD = 90^\circ

$\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{ED}$ (סעיף ב (1)), ו־ $M$ על $ED$

\begin{aligned}AM &= \sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2} \\ &= 4\sqrt{3} \\ \quad MD &= \sqrt{2^2 + 2^2 + (-4)^2} \\ &= 2\sqrt{6}\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6}}{2} \\ &= 4\sqrt{18} \\ &= 12\sqrt{2} \approx 16.97\end{aligned}

שטח המשולש $AMD$ הוא $12\sqrt{2} \approx 16.97$ .

Check the answer on elev — Exercise 9

שאלה 3 — גדילה ודעיכה: צמחים בשתי משתלות

Exercise 10

א. לפניכם שתי טענות, $I$ – $II$ . קבעו איזו טענה נכונה. נמקו את קביעתכם. I. $a < 600$ II. $a > 600$

Aטענה II נכונה: כדי שהמספרים ישתוו, ב׳ צריכה להתחיל גבוה יותר
Bטענה II נכונה: משתלה ב׳ גדלה מהר יותר, ולכן התחילה גבוה יותר
Cאי אפשר לקבוע בלי לדעת כעבור כמה שבועות המספרים השתוו
Dטענה I נכונה: משתלה ב׳ גדלה מהר יותר, ולכן התחילה נמוך יותר

Show the answer and the solution

Answer: D טענה I נכונה: משתלה ב׳ גדלה מהר יותר, ולכן התחילה נמוך יותר

Worked solution:

a \cdot 1.1^t = 600 \cdot 1.05^t

השוויון כעבור $t > 0$ שבועות

a = 600 \cdot \left(\frac{1.05}{1.1}\right)^t < 600

$\frac{1.05}{1.1} < 1$

טענה I נכונה: $a < 600$ , כי משתלה ב׳ גדלה מהר יותר, ולכן היא השיגה את משתלה א׳ רק אם התחילה עם פחות צמחים.

Check the answer on elev — Exercise 10

Exercise 11

כעבור $17$ שבועות מתחילת השתילה היה מספר הצמחים במשתלה ב׳ גדול פי $2$ ממספר הצמחים במשתלה א׳. ב. מצאו את הערך של $a$ . (עגלו למספר שלם.)

Show the answer and the solution

Answer: 544

Worked solution:

a \cdot 1.1^{17} = 2 \cdot 600 \cdot 1.05^{17}

a = 1200 \cdot \left(\frac{1.05}{1.1}\right)^{17} \approx 544.16

$a \approx 544$ צמחים.

Check the answer on elev — Exercise 11

Exercise 12

כעבור $17$ שבועות מתחילת השתילה היה מספר הצמחים במשתלה ב׳ גדול פי $2$ ממספר הצמחים במשתלה א׳. כעבור $17$ שבועות מתחילת השתילה, בשתי המשתלות הפסיקו את השתילה והחלו למכור את הצמחים. מאותו היום שבו החלו למכור, קטן מספר הצמחים במשתלה ב׳ בכל שבוע באחוז קבוע. כעבור $5$ שבועות מן היום שבו החלו למכור, היה מספר הצמחים במשתלה ב׳ $53\%$ ממספר הצמחים בתחילת המכירה. ג. מצאו בכמה אחוזים קטן מספר הצמחים במשתלה ב׳ בכל שבוע. (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 11.92

Worked solution:

q^5 = 0.53

q = \sqrt[5]{0.53} \approx 0.88076

(1 - 0.88076) \cdot 100 \approx 11.92

מספר הצמחים במשתלה ב׳ קטן בכ־ $11.92\%$ בכל שבוע.

Check the answer on elev — Exercise 12

Exercise 13

כעבור $17$ שבועות מתחילת השתילה היה מספר הצמחים במשתלה ב׳ גדול פי $2$ ממספר הצמחים במשתלה א׳. כעבור $17$ שבועות מתחילת השתילה, בשתי המשתלות הפסיקו את השתילה והחלו למכור את הצמחים. מאותו היום שבו החלו למכור, קטן מספר הצמחים במשתלה ב׳ בכל שבוע באחוז קבוע. כעבור $5$ שבועות מן היום שבו החלו למכור, היה מספר הצמחים במשתלה ב׳ $53\%$ ממספר הצמחים בתחילת המכירה. מאותו היום שבו החלו למכור, קטן מספר הצמחים במשתלה א׳ בכל שבוע ב־ $8\%$ . ד. מצאו כעבור כמה זמן מן היום שבו החלו למכור, היה מספר הצמחים במשתלה א׳ שווה למספר הצמחים במשתלה ב׳. (בשבועות, בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 15.9

Worked solution:

N_B(0) = 2 N_A(0)

בתחילת המכירה (סעיף ב)

N_A(0) \cdot 0.92^t = 2 N_A(0) \cdot 0.88076^t

\begin{aligned}\left(\frac{0.92}{0.88076}\right)^t &= 2 \Rightarrow t \\ &= \frac{\log 2}{\log(0.92 / 0.88076)} \approx 15.90\end{aligned}

כעבור כ־ $15.90$ שבועות מן היום שבו החלו למכור.

Check the answer on elev — Exercise 13

שאלה 4 — פונקציה מעריכית עם פרמטר

Exercise 14

א. מצאו את הערך של $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}2^2 - 4 \cdot 2 + a &= 0 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

המכנה מתאפס ב־ $x = 2$

e^{4} \neq 0

המונה אינו מתאפס ב־ $x = 2$

$a = 4$ .

Check the answer on elev — Exercise 14

Exercise 15

הציבו $a = 4$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ב–ד. ב (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

$x \neq$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x \neq$ 2

Worked solution:

x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2

תחום ההגדרה: $x \neq 2$ .

Check the answer on elev — Exercise 15

Exercise 16

הציבו $a = 4$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ב–ד. ב (2). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים (אם יש כאלה).

A $\left(0, -\frac{1}{4}\right)$ בלבד
B $\left(0, \frac{1}{4}\right)$ ו־ $(2, 0)$
C $\left(0, \frac{1}{4}\right)$ בלבד
Dאין נקודות חיתוך עם הצירים

Show the answer and the solution

Answer: C $\left(0, \frac{1}{4}\right)$ בלבד

Worked solution:

\begin{aligned}f(0) &= \frac{e^0}{4} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

e^{2x} > 0

אין חיתוך עם ציר ה־ $x$

חיתוך עם ציר ה־ $y$ : $\left(0, \frac{1}{4}\right)$ ; אין חיתוך עם ציר ה־ $x$ .

Check the answer on elev — Exercise 16

Exercise 17

הציבו $a = 4$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ב–ד. ב (3). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגה. (את $y$ בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

$($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $($ 3 $,$ 403.43 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2e^{2x}(x - 2)^2 - e^{2x} \cdot 2(x - 2)}{(x - 2)^4} \\ &= \frac{2e^{2x}(x - 3)}{(x - 2)^3}\end{aligned}

נגזרת של מנה

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

2 < x < 3: f' < 0, \quad x > 3: f' > 0

מינימום

\begin{aligned}f(3) &= \frac{e^6}{1} \\ &= e^6 \approx 403.43\end{aligned}

מינימום ב־ $(3, e^6) \approx (3, 403.43)$ .

Check the answer on elev — Exercise 17

Exercise 18

הגרפים I–IV

הציבו $a = 4$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ב–ד. ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף III
Bגרף II
Cגרף I
Dגרף IV

Show the answer and the solution

Answer: C גרף I

Worked solution:

f(x) > 0

מונה חיובי ומכנה $(x - 2)^2$ חיובי

x \to -\infty: f \to 0^+, \quad x \to 2: f \to +\infty

אסימפטוטות $y = 0$ ו־ $x = 2$

x < 2: f' > 0, \quad \min(3, 403.43)

סעיף ב

גרף I: עולה מעל ציר ה־ $x$ מ־ $y = 0$ אל האסימפטוטה $x = 2$ , ומימינה יורד מ־ $+\infty$ אל המינימום $(3, 403.43)$ ועולה שוב. גרף II הוא $-f(x)$ , גרף III הוא שיקופו סביב $x = 2$ (המינימום משמאל לאסימפטוטה), ובגרף IV הפונקציה שלילית משמאל ל־ $x = 2$ .

Check the answer on elev — Exercise 18

Exercise 19

הציבו $a = 4$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ב–ד. נתונה הפונקציה $h(x) = -f(x) + e^8$ שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ . ד. כמה נקודות חיתוך יש לגרף הפונקציה $h(x)$ עם ציר ה־ $x$ ? נמקו את תשובתכם.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\begin{aligned}h(x) &= 0 \iff f(x) \\ &= e^8 \approx 2981\end{aligned}

x < 2: \quad 0 \nearrow +\infty

$f$ עולה: פתרון אחד משמאל ל־ $x = 2$

x > 2: \quad +\infty \searrow e^6 \nearrow +\infty, \quad e^6 \approx 403 < e^8

$f$ יורדת עד המינימום ועולה: שני פתרונות מימין ל־ $x = 2$

לגרף $h(x)$ יש $3$ נקודות חיתוך עם ציר ה־ $x$ .

Check the answer on elev — Exercise 19

שאלה 5 — גרף הנגזרת, פונקציה לוגריתמית

Exercise 20

א. אחד מן הגרפים $I$ – $IV$ שבסוף השאלה מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

Aגרף II: הנגזרת חיובית, שלילית ושוב חיובית
Bגרף I: הנגזרת שלילית, חיובית ושוב שלילית
Cגרף III: הנגזרת מחליפה סימן שלוש פעמים
Dגרף IV: הנגזרת אינה שלילית בכל התחום

Show the answer and the solution

Answer: A גרף II: הנגזרת חיובית, שלילית ושוב חיובית

Worked solution:

f' > 0 \ \to \ f' < 0

מעבר ראשון: מקסימום של $f$

f' < 0 \ \to \ f' > 0

מעבר שני, מימין: מינימום של $f$

גרף II: הנגזרת מחליפה סימן פעמיים, מחיובי לשלילי ואחר כך משלילי לחיובי, ולכן המקסימום משמאל והמינימום מימין. בגרף I המינימום משמאל, בגרף III יש שלוש נקודות קיצון, ובגרף IV אין אף אחת.

Check the answer on elev — Exercise 20

Exercise 21

נתון כי $f(x) = 3x \cdot (\ln x)^2$ . ב (1). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים (אם יש כאלה).

$($ ____ $, 0)$

Show the answer and the solution

Answer: $($ 1 $, 0)$

Worked solution:

\begin{aligned}3x(\ln x)^2 &= 0 \Rightarrow \ln x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

$x > 0$

x = 0 \notin D

אין חיתוך עם ציר ה־ $y$

נקודת חיתוך אחת: $(1, 0)$ , עם ציר ה־ $x$ בלבד.

Check the answer on elev — Exercise 21

Exercise 22

נתון כי $f(x) = 3x \cdot (\ln x)^2$ . ב (2). מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגן. (הנקודה שבה $x$ קטן יותר ראשונה; מספרים עשרוניים בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

$($ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $($ 0.135 $,$ 1.624 $)$ , $($ 1 $,$ 0 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 3(\ln x)^2 + 3x \cdot 2\ln x \cdot \frac{1}{x} \\ &= 3\ln x\,(\ln x + 2)\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow \ln x \\ &= -2 \ \vee \ \ln x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= e^{-2} \\ \ x &= 1\end{aligned}

\left(e^{-2}, \tfrac{12}{e^2}\right) \approx (0.135, 1.624): \ \max, \qquad (1, 0): \ \min

סימני הנגזרת: $+, -, +$

מקסימום ב־ $\left(e^{-2}, \frac{12}{e^2}\right) \approx (0.135, 1.624)$ , מינימום ב־ $(1, 0)$ .

Check the answer on elev — Exercise 22

Exercise 23

נתון כי $f(x) = 3x \cdot (\ln x)^2$ . ג. קבעו איזה מן הגרפים $I$ – $IV$ שבסוף השאלה מתאר את הפונקציה $f(x)$ .

Aגרף III
Bגרף I
Cגרף IV
Dגרף II

Show the answer and the solution

Answer: C גרף IV

Worked solution:

f(x) = 3x(\ln x)^2 \ge 0

בתחום $x > 0$

x \to 0^+: f \to 0

\max(0.135, 1.624), \ \min(1, 0)

סעיף ב

גרף IV: יוצא מ־ $(0, 0)$ (נקודה ריקה), עולה עד המקסימום, יורד ומשיק לציר ה־ $x$ ב־ $(1, 0)$ , ועולה. בגרפים I , II ו־III יש ערכים שליליים.

Check the answer on elev — Exercise 23

Exercise 24

נתון כי $f(x) = 3x \cdot (\ln x)^2$ . ד. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ ועל ידי ציר ה־ $x$ . (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 1.62

Worked solution:

e^{-2} < x < 1: f'(x) < 0

השטח הסגור היחיד הוא בין שתי נקודות האפס של $f'$

\begin{aligned}S &= -\int_{e^{-2}}^{1} f'(x)\,dx \\ &= f\left(e^{-2}\right) - f(1)\end{aligned}

$f$ היא פונקציה קדומה של $f'$

= \frac{12}{e^2} - 0 \approx 1.62

השטח: $\frac{12}{e^2} \approx 1.62$ .

Check the answer on elev — Exercise 24

Exercises

שאלה 1 — סדרות: סדרה חשבונית וסדרה הנדסית

Exercise 1

Exercise 2

Exercise 3

שאלה 2 — פירמידה, וקטורים

Exercise 4

Exercise 5

Exercise 6

Exercise 7

Exercise 8

Exercise 9

שאלה 3 — גדילה ודעיכה: צמחים בשתי משתלות

Exercise 10

Exercise 11

Exercise 12

Exercise 13

שאלה 4 — פונקציה מעריכית עם פרמטר

Exercise 14

Exercise 15

Exercise 16

Exercise 17

Exercise 18

Exercise 19

שאלה 5 — גרף הנגזרת, פונקציה לוגריתמית

Exercise 20

Exercise 21

Exercise 22

Exercise 23

Exercise 24

Keep practising on elev