בגרות 35472 — קיץ 2025, מועד ב׳

On elev, this lesson comes with:

  • Every exercise checked the moment it is answered
  • A hint exactly when it is needed
  • Progress tracking, chapter by chapter
Practise on elev

This lesson is part of the subscription. A full chapter for free: The exponential function

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35472 (4 יחידות לימוד, שאלון שני, תוכנית חדשה), קיץ תשפ״ה, 2025, מועד ב׳. משך הבחינה: שעתיים ורבע. ענו על שלוש מן השאלות 1–5, על שאלה אחת לפחות מכל פרק (לכל שאלה – 331333\frac{1}{3} נקודות). פרק ראשון – סדרות, גאומטרייה במרחב וגדילה ודעיכה: שאלות 1–3. פרק שני – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: שאלות 4–5. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־4 יחידות לימוד.

כאן כתובות כל חמש השאלות, ב־29 סעיפים, כדי שאפשר יהיה להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים שלוש. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר או לנמק הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, וסעיף שמבקש ביטוי הפך להשלמת מקדמים. הפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercises

שאלה 1 — סדרות: פיקדונות לחיסכון

Exercise 1

א. מצאו את גובה הפיקדון שהעבירה מיכל בחודש הראשון.

Show the answer and the solution

Answer: 840

Worked solution:

a1+a2=2a1+d=2100\begin{aligned}a_1 + a_2 &= 2a_1 + d \\ &= 2100\end{aligned}

סדרה חשבונית: הפרש קבוע dd

a5=a1+4d=3a1⇒d=a12\begin{aligned}a_5 &= a_1 + 4d \\ &= 3a_1 \Rightarrow d \\ &= \frac{a_1}{2}\end{aligned}
2a1+a12=2100⇒a1=840d=420\begin{aligned}2a_1 + \frac{a_1}{2} &= 2100 \Rightarrow a_1 \\ &= 840 \\ \quad d &= 420\end{aligned}

הפיקדון בחודש הראשון: 840840 שקלים.

Check the answer on elev — Exercise 1

Exercise 2

ב. מצאו לאחר כמה חודשים היה סכום הפיקדונות שהעבירה מיכל 22,68022{,}680 שקלים סך הכול.

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

Sn=n2(2⋅840+(n−1)⋅420)=22680\begin{aligned}S_n &= \frac{n}{2}\left(2 \cdot 840 + (n - 1) \cdot 420\right) \\ &= 22680\end{aligned}

סכום של סדרה חשבונית

210n2+630n=22680⇒n2+3n−108=0\begin{aligned}210n^2 + 630n &= 22680 \Rightarrow n^2 + 3n - 108 \\ &= 0\end{aligned}
(n+12)(n−9)=0⇒n=9\begin{aligned}(n + 12)(n - 9) &= 0 \Rightarrow n \\ &= 9\end{aligned}

nn חיובי

לאחר 99 חודשים.

Check the answer on elev — Exercise 2

Exercise 3

בחודש ה־1212, במקום להפקיד כסף לחיסכון, החליטה מיכל לקנות מקרר שמחירו שווה לגובה הפיקדון שהייתה אמורה להעביר בחודש זה. מיכל שילמה בעבור המקרר בארבעה תשלומים. כל תשלום גדול פי 33 מן התשלום שלפניו. ג. מצאו את התשלום הראשון.

Show the answer and the solution

Answer: 136.5

Worked solution:

a12=840+11⋅420=5460\begin{aligned}a_{12} &= 840 + 11 \cdot 420 \\ &= 5460\end{aligned}

מחיר המקרר

b1+3b1+9b1+27b1=40b1=5460\begin{aligned}b_1 + 3b_1 + 9b_1 + 27b_1 &= 40b_1 \\ &= 5460\end{aligned}

התשלומים: סדרה הנדסית שמנתה 33

b1=136.5b_1 = 136.5

התשלום הראשון: 136.5136.5 שקלים.

Check the answer on elev — Exercise 3

Did your child get it?

On elev, every exercise is checked the moment your child answers, and a hint comes right when they get stuck.

Practise on elev

שאלה 2 — פירמידה משולשת, וקטורים

Exercise 4

א. הביעו באמצעות u‾\underline{u}, v‾\underline{v} ו־w‾\underline{w} את הווקטורים SF→\overrightarrow{SF}, BC→\overrightarrow{BC} ו־SE→\overrightarrow{SE}.

  1. ASF→=34v‾+34w‾\overrightarrow{SF} = \frac{3}{4}\underline{v} + \frac{3}{4}\underline{w} , BC→=v‾−u‾\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u} , SE→=34u‾+34w‾\overrightarrow{SE} = \frac{3}{4}\underline{u} + \frac{3}{4}\underline{w}
  2. BSF→=34v‾−34w‾\overrightarrow{SF} = \frac{3}{4}\underline{v} - \frac{3}{4}\underline{w} , BC→=v‾−u‾\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u} , SE→=34u‾−34w‾\overrightarrow{SE} = \frac{3}{4}\underline{u} - \frac{3}{4}\underline{w}
  3. CSF→=34v‾−34w‾\overrightarrow{SF} = \frac{3}{4}\underline{v} - \frac{3}{4}\underline{w} , BC→=u‾−v‾\overrightarrow{BC} = \underline{u} - \underline{v} , SE→=34u‾−34w‾\overrightarrow{SE} = \frac{3}{4}\underline{u} - \frac{3}{4}\underline{w}
  4. DSF→=34u‾−34w‾\overrightarrow{SF} = \frac{3}{4}\underline{u} - \frac{3}{4}\underline{w} , BC→=v‾−u‾\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u} , SE→=34v‾−34w‾\overrightarrow{SE} = \frac{3}{4}\underline{v} - \frac{3}{4}\underline{w}
Show the answer and the solution

Answer: B SF→=34v‾−34w‾\overrightarrow{SF} = \frac{3}{4}\underline{v} - \frac{3}{4}\underline{w} , BC→=v‾−u‾\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u} , SE→=34u‾−34w‾\overrightarrow{SE} = \frac{3}{4}\underline{u} - \frac{3}{4}\underline{w}

Worked solution:

SC→=SA→+AC→=−w‾+v‾\begin{aligned}\overrightarrow{SC} &= \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AC} \\ &= -\underline{w} + \underline{v}\end{aligned}

מסלול דרך AA

SF→=34SC→=34v‾−34w‾\begin{aligned}\overrightarrow{SF} &= \frac{3}{4}\overrightarrow{SC} \\ &= \frac{3}{4}\underline{v} - \frac{3}{4}\underline{w}\end{aligned}
BC→=BA→+AC→=−u‾+v‾\begin{aligned}\overrightarrow{BC} &= \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} \\ &= -\underline{u} + \underline{v}\end{aligned}
SE→=34(SA→+AB→)=34u‾−34w‾\begin{aligned}\overrightarrow{SE} &= \frac{3}{4}(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AB}) \\ &= \frac{3}{4}\underline{u} - \frac{3}{4}\underline{w}\end{aligned}

SF→=34v‾−34w‾\overrightarrow{SF} = \frac{3}{4}\underline{v} - \frac{3}{4}\underline{w} , BC→=v‾−u‾\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u} , SE→=34u‾−34w‾\overrightarrow{SE} = \frac{3}{4}\underline{u} - \frac{3}{4}\underline{w}.

Check the answer on elev — Exercise 4

Exercise 5

ב (1). הביעו באמצעות u‾\underline{u} ו־v‾\underline{v} את הווקטור EF→\overrightarrow{EF}.

EF→=\overrightarrow{EF} = ____ u‾+\underline{u} + ____ v‾\underline{v}

Show the answer and the solution

Answer: EF→=\overrightarrow{EF} = -0.75 u‾+\underline{u} + 0.75 v‾\underline{v}

Worked solution:

EF→=ES→+SF→=−SE→+SF→\begin{aligned}\overrightarrow{EF} &= \overrightarrow{ES} + \overrightarrow{SF} \\ &= -\overrightarrow{SE} + \overrightarrow{SF}\end{aligned}
=−34u‾+34w‾+34v‾−34w‾= -\frac{3}{4}\underline{u} + \frac{3}{4}\underline{w} + \frac{3}{4}\underline{v} - \frac{3}{4}\underline{w}

סעיף א

=−34u‾+34v‾= -\frac{3}{4}\underline{u} + \frac{3}{4}\underline{v}

EF→=−34u‾+34v‾\overrightarrow{EF} = -\frac{3}{4}\underline{u} + \frac{3}{4}\underline{v}.

Check the answer on elev — Exercise 5

Exercise 6

ב (2). הסבירו מדוע EFEF מקביל ל־BCBC.

  • EF→=−34u‾+34v‾\overrightarrow{EF} = -\frac{3}{4}\underline{u} + \frac{3}{4}\underline{v}
  • BC→=v‾−u‾\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}
  • EE על SBSB ו־FF על SCSC, ושתיהן שונות מ־BB ומ־CC

EF∥BCEF \parallel BC

Show the answer and the solution
  1. EF→=34(v‾−u‾)\overrightarrow{EF} = \frac{3}{4}(\underline{v} - \underline{u}) — הוצאת גורם משותף
  2. EF→=34BC→\overrightarrow{EF} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} — סעיף א: BC→=v‾−u‾\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}
  3. EF∥BCEF \parallel BC — וקטור שהוא כפולה של וקטור אחר מקביל לו, ו־EE אינה על הישר BCBC

Worked solution:

EF→=34(v‾−u‾)=34BC→\begin{aligned}\overrightarrow{EF} &= \frac{3}{4}(\underline{v} - \underline{u}) \\ &= \frac{3}{4}\overrightarrow{BC}\end{aligned}

הווקטור EF→\overrightarrow{EF} הוא כפולה של BC→\overrightarrow{BC}, ולכן EF∥BCEF \parallel BC (הנקודה EE אינה על BCBC, כך שהישרים אינם מתלכדים).

Check the answer on elev — Exercise 6

Exercise 7

נתון: C(13,15,3)C(13, 15, 3) , B(1,−1,3)B(1, -1, 3). ג. מצאו את ההצגה האלגברית של הווקטור BC→\overrightarrow{BC} ושל הווקטור EF→\overrightarrow{EF}.

BC→=(\overrightarrow{BC} = ( ____ ,, ____ ,, ____ )) , EF→=(\overrightarrow{EF} = ( ____ ,, ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: BC→=(\overrightarrow{BC} = ( 12 ,, 16 ,, 0 )) , EF→=(\overrightarrow{EF} = ( 9 ,, 12 ,, 0 ))

Worked solution:

BC→=C−B=(13−1,15+1,3−3)=(12,16,0)\begin{aligned}\overrightarrow{BC} &= C - B \\ &= (13 - 1, 15 + 1, 3 - 3) \\ &= (12, 16, 0)\end{aligned}
EF→=34BC→=(9,12,0)\begin{aligned}\overrightarrow{EF} &= \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} \\ &= (9, 12, 0)\end{aligned}

סעיף ב

BC→=(12,16,0)\overrightarrow{BC} = (12, 16, 0) , EF→=(9,12,0)\overrightarrow{EF} = (9, 12, 0).

Check the answer on elev — Exercise 7

Exercise 8

נתון: C(13,15,3)C(13, 15, 3) , B(1,−1,3)B(1, -1, 3). נתון: E(5,1,6)E(5, 1, 6). ד. מצאו את שיעורי הנקודה FF.

F(F( ____ ,, ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: F(F( 14 ,, 13 ,, 6 ))

Worked solution:

F=E+EF→=(5+9,1+12,6+0)\begin{aligned}F &= E + \overrightarrow{EF} \\ &= (5 + 9, 1 + 12, 6 + 0)\end{aligned}
F=(14,13,6)F = (14, 13, 6)

F(14,13,6)F(14, 13, 6).

Check the answer on elev — Exercise 8

Exercise 9

נתון: C(13,15,3)C(13, 15, 3) , B(1,−1,3)B(1, -1, 3). נתון: E(5,1,6)E(5, 1, 6). נתון: A(4,12,3)A(4, 12, 3). ה (1). מצאו את גודל הזווית EAFEAF. (במעלות, בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 86.18

Worked solution:

AE→=(1,−11,3)AF→=(10,1,3)\begin{aligned}\overrightarrow{AE} &= (1, -11, 3) \\ \quad \overrightarrow{AF} &= (10, 1, 3)\end{aligned}
AE→⋅AF→=10−11+9=8\begin{aligned}\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} &= 10 - 11 + 9 \\ &= 8\end{aligned}

מכפלה סקלרית

∣AE→∣=131∣AF→∣=110\begin{aligned}|\overrightarrow{AE}| &= \sqrt{131} \\ \quad |\overrightarrow{AF}| &= \sqrt{110}\end{aligned}
cos⁡∠EAF=8131⋅110≈0.0666⇒∠EAF≈86.18∘\cos\angle EAF = \frac{8}{\sqrt{131} \cdot \sqrt{110}} \approx 0.0666 \Rightarrow \angle EAF \approx 86.18^\circ

∠EAF≈86.18∘\angle EAF \approx 86.18^\circ.

Check the answer on elev — Exercise 9

Exercise 10

נתון: C(13,15,3)C(13, 15, 3) , B(1,−1,3)B(1, -1, 3). נתון: E(5,1,6)E(5, 1, 6). נתון: A(4,12,3)A(4, 12, 3). ה (2). חשבו את שטח המשולש EAFEAF. (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 59.89

Worked solution:

S=12⋅131⋅110⋅sin⁡86.18∘S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{131} \cdot \sqrt{110} \cdot \sin 86.18^\circ

שטח משולש: חצי מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן

=12131⋅110−82=1214346≈59.89= \frac{1}{2}\sqrt{131 \cdot 110 - 8^2} = \frac{1}{2}\sqrt{14346} \approx 59.89

שטח המשולש EAFEAF: 315942≈59.89\frac{3\sqrt{1594}}{2} \approx 59.89.

Check the answer on elev — Exercise 10

שאלה 3 — גדילה ודעיכה: האזנות לשני שירים

Exercise 11

א. מבין הגרפים II–IIII קבעו איזה גרף מתאים לשיר AA. נמקו את קביעתכם.

  1. Aגרף I: האחוז של BB גדול יותר, וגרף II משיג את גרף I
  2. Bגרף II: הוא מתחיל נמוך יותר, כי האחוז של AA קטן יותר
  3. Cאי אפשר לדעת בלי לדעת את מספר ההאזנות ההתחלתי
  4. Dגרף I: הוא מתחיל גבוה יותר, ולכן הוא תמיד יהיה מעל
Show the answer and the solution

Answer: A גרף I: האחוז של BB גדול יותר, וגרף II משיג את גרף I

Worked solution:

NA(t)=NA(0)⋅qAtNB(t)=NB(0)⋅qBtqB>qA\begin{aligned}N_A(t) &= N_A(0) \cdot q_A^t \\ \quad N_B(t) &= N_B(0) \cdot q_B^t \\ \quad q_B > q_A\end{aligned}

האחוז של BB גדול פי 22

NB(t)NA(t)=NB(0)NA(0)⋅(qBqA)t\frac{N_B(t)}{N_A(t)} = \frac{N_B(0)}{N_A(0)} \cdot \left(\frac{q_B}{q_A}\right)^t

היחס גדל עם הזמן

גרף I מתאר את שיר AA: גרף II מתחיל נמוך יותר, אבל עולה מהר יותר ומשיג את גרף I, ולכן הוא מתאר את שיר BB, שאחוז הגדילה שלו גדול יותר.

Check the answer on elev — Exercise 11

Exercise 12

נתון כי לאחר 55 ימים מיום העלאת השירים, מספר ההאזנות לשיר AA היה 7,3507{,}350. ב. מצאו בכמה אחוזים גדל מספר ההאזנות לשיר AA בכל יום.

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

5000⋅q5=73505000 \cdot q^5 = 7350

גרף I מתחיל ב־5,0005{,}000 (סעיף א)

q5=1.47⇒q=1.475≈1.08\begin{aligned}q^5 &= 1.47 \Rightarrow q \\ &= \sqrt[5]{1.47} \approx 1.08\end{aligned}
1.08−1=0.081.08 - 1 = 0.08

מספר ההאזנות לשיר AA גדל ב־8%8\% בכל יום.

Check the answer on elev — Exercise 12

Exercise 13

נתון כי לאחר 55 ימים מיום העלאת השירים, מספר ההאזנות לשיר AA היה 7,3507{,}350. ג. מצאו בכמה היה גדול מספר ההאזנות לשיר AA ממספר ההאזנות לשיר BB, לאחר 55 ימים מיום העלאת השירים.

Show the answer and the solution

Answer: 981.76

Worked solution:

qB=1+2⋅0.08=1.16\begin{aligned}q_B &= 1 + 2 \cdot 0.08 \\ &= 1.16\end{aligned}

האחוז של BB: 16%16\%

NB(5)=3032⋅1.165≈6368.24N_B(5) = 3032 \cdot 1.16^5 \approx 6368.24

גרף II מתחיל ב־3,0323{,}032

7350−6368.24≈981.767350 - 6368.24 \approx 981.76

מספר ההאזנות לשיר AA היה גדול בכ־982982 (התשובה תלויה מעט בעיגול של האחוז).

Check the answer on elev — Exercise 13

Exercise 14

נתון כי לאחר 55 ימים מיום העלאת השירים, מספר ההאזנות לשיר AA היה 7,3507{,}350. ד. מצאו לאחר כמה זמן מיום העלאת השירים, היה מספר ההאזנות לשיר AA שווה למספר ההאזנות לשיר BB.

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

5000⋅1.08t=3032⋅1.16t5000 \cdot 1.08^t = 3032 \cdot 1.16^t
(1.161.08)t=50003032\left(\frac{1.16}{1.08}\right)^t = \frac{5000}{3032}
t=log⁡50003032log⁡1.161.08≈7t = \frac{\log \frac{5000}{3032}}{\log \frac{1.16}{1.08}} \approx 7

לאחר 77 ימים.

Check the answer on elev — Exercise 14

Exercise 15

נתון כי לאחר 55 ימים מיום העלאת השירים, מספר ההאזנות לשיר AA היה 7,3507{,}350. כאשר מספר ההאזנות לשיר AA היה שווה למספר ההאזנות לשיר BB, החלה ירידה במספר ההאזנות לשיר AA. בכל יום קטן מספר ההאזנות לשיר AA באותו האחוז שבו הוא גדל לפני כן. ה. מצאו לאחר כמה זמן מיום העלאת השירים, מספר ההאזנות לשיר AA היה 2,4502{,}450. (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 22.02

Worked solution:

NA(7)=5000⋅1.087≈8569.15N_A(7) = 5000 \cdot 1.08^7 \approx 8569.15

השיא, אחרי 77 ימים (סעיף ד)

8569.15⋅0.92s=24508569.15 \cdot 0.92^s = 2450

ירידה של 8%8\% בכל יום

s=log⁡24508569.15log⁡0.92≈15.02s = \frac{\log \frac{2450}{8569.15}}{\log 0.92} \approx 15.02
7+15.02=22.027 + 15.02 = 22.02

לאחר כ־22.0222.02 ימים מיום העלאת השירים.

Check the answer on elev — Exercise 15

שאלה 4 — פונקציה מעריכית ושבר

Exercise 16

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x). (התחום הוא x≠ln⁡kx \neq \ln k.)

k=k = ____

Show the answer and the solution

Answer: k=k = 4

Worked solution:

ex−4≠0e^x - 4 \neq 0

המכנה שונה מאפס

ex≠4⇒x≠ln⁡4e^x \neq 4 \Rightarrow x \neq \ln 4

תחום ההגדרה: x≠ln⁡4x \neq \ln 4.

Check the answer on elev — Exercise 16

Exercise 17

א (2). מצאו את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה־xx של הפונקציה f(x)f(x).

  1. Ax=ln⁡8x = \ln 8
  2. Bx=4x = 4
  3. Cx=e4x = e^4
  4. Dx=ln⁡4x = \ln 4
Show the answer and the solution

Answer: D x=ln⁡4x = \ln 4

Worked solution:

x→ln⁡4: ex−4→0,e2x→16x \to \ln 4: \ e^x - 4 \to 0, \quad e^{2x} \to 16

המונה אינו מתאפס

האסימפטוטה המאונכת: x=ln⁡4x = \ln 4.

Check the answer on elev — Exercise 17

Exercise 18

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

  1. A(0,−14)\left(0, -\frac{1}{4}\right) בלבד
  2. B(0,−13)\left(0, -\frac{1}{3}\right) ו־(ln⁡4,0)(\ln 4, 0)
  3. C(0,−13)\left(0, -\frac{1}{3}\right) בלבד
  4. D(0,13)\left(0, \frac{1}{3}\right) בלבד
Show the answer and the solution

Answer: C (0,−13)\left(0, -\frac{1}{3}\right) בלבד

Worked solution:

f(0)=e0e0−4=11−4=−13\begin{aligned}f(0) &= \frac{e^0}{e^0 - 4} \\ &= \frac{1}{1 - 4} \\ &= -\frac{1}{3}\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה־yy

e2x>0⇒f(x)≠0e^{2x} > 0 \Rightarrow f(x) \neq 0

אין חיתוך עם ציר ה־xx

נקודת חיתוך אחת בלבד: (0,−13)\left(0, -\frac{1}{3}\right).

Check the answer on elev — Exercise 18

Exercise 19

xf'(x)B

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). הפונקציה f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) מוגדרות באותו התחום. גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) חותך את ציר ה־xx בנקודה אחת בלבד – הנקודה BB. ג. מצאו את שיעור ה־xx של הנקודה BB. (השיעור הוא x=ln⁡kx = \ln k.)

k=k = ____

Show the answer and the solution

Answer: k=k = 8

Worked solution:

f′(x)=2e2x(ex−4)−e2x⋅ex(ex−4)2=e2x(ex−8)(ex−4)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2e^{2x}(e^x - 4) - e^{2x} \cdot e^x}{(e^x - 4)^2} \\ &= \frac{e^{2x}(e^x - 8)}{(e^x - 4)^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

f′(x)=0⇒ex=8⇒x=ln⁡8\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 8 \Rightarrow x \\ &= \ln 8\end{aligned}

xB=ln⁡8≈2.08x_B = \ln 8 \approx 2.08.

Check the answer on elev — Exercise 19

Exercise 20

xf'(x)B

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). הפונקציה f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) מוגדרות באותו התחום. גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) חותך את ציר ה־xx בנקודה אחת בלבד – הנקודה BB. ד (1). מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x).

  1. Aיורדת ב־x<ln⁡8x < \ln 8, כולל ב־x=ln⁡4x = \ln 4; עולה ב־x>ln⁡8x > \ln 8
  2. Bיורדת ב־x<ln⁡4x < \ln 4 וב־x>ln⁡8x > \ln 8; עולה ב־ln⁡4<x<ln⁡8\ln 4 < x < \ln 8
  3. Cעולה ב־x<ln⁡4x < \ln 4; יורדת ב־ln⁡4<x<ln⁡8\ln 4 < x < \ln 8; עולה ב־x>ln⁡8x > \ln 8
  4. Dיורדת ב־x<ln⁡4x < \ln 4 וב־ln⁡4<x<ln⁡8\ln 4 < x < \ln 8; עולה ב־x>ln⁡8x > \ln 8
Show the answer and the solution

Answer: D יורדת ב־x<ln⁡4x < \ln 4 וב־ln⁡4<x<ln⁡8\ln 4 < x < \ln 8; עולה ב־x>ln⁡8x > \ln 8

Worked solution:

x<ln⁡4: f′(x)<0x < \ln 4: \ f'(x) < 0

הגרף של f′f' מתחת לציר

ln⁡4<x<ln⁡8: f′(x)<0,x>ln⁡8: f′(x)>0\ln 4 < x < \ln 8: \ f'(x) < 0, \quad x > \ln 8: \ f'(x) > 0

BB היא נקודת החיתוך היחידה

f(ln⁡8)=648−4=16\begin{aligned}f(\ln 8) &= \frac{64}{8 - 4} \\ &= 16\end{aligned}

מינימום

ff יורדת ב־x<ln⁡4x < \ln 4 וב־ln⁡4<x<ln⁡8\ln 4 < x < \ln 8, ועולה ב־x>ln⁡8x > \ln 8; מינימום ב־(ln⁡8,16)(\ln 8, 16).

Check the answer on elev — Exercise 20

Exercise 21

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). הפונקציה f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) מוגדרות באותו התחום. גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) חותך את ציר ה־xx בנקודה אחת בלבד – הנקודה BB. ד (2). סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x). בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

  1. Aגרף III
  2. Bגרף I
  3. Cגרף II
  4. Dגרף IV
Show the answer and the solution

Answer: C גרף II

Worked solution:

x→−∞:f→0−,x→ln⁡4−:f→−∞x \to -\infty: f \to 0^-, \quad x \to \ln 4^-: f \to -\infty

משמאל לאסימפטוטה המכנה שלילי

x→ln⁡4+:f→∞,min⁡(ln⁡8,16)x \to \ln 4^+: f \to \infty, \quad \min(\ln 8, 16)

סעיף ד (1)

(0,−13)(0, -\tfrac{1}{3})

סעיף ב

גרף II: משמאל לאסימפטוטה x=ln⁡4x = \ln 4 הגרף שלילי, עובר ב־(0,−13)\left(0, -\frac{1}{3}\right) ויורד; מימין לה הוא יורד למינימום (ln⁡8,16)(\ln 8, 16) ועולה. גרף I הוא −f-f, גרף III הוא ∣f∣|f|, וגרף IV הוא השיקוף של ff ביחס לציר ה־yy.

Check the answer on elev — Exercise 21

Exercise 22

xf'(x)B

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). הפונקציה f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) מוגדרות באותו התחום. גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) חותך את ציר ה־xx בנקודה אחת בלבד – הנקודה BB. ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), על ידי ציר ה־xx ועל ידי הישר x=ln⁡12x = \ln 12.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

ln⁡8<x<ln⁡12: f′(x)>0\ln 8 < x < \ln 12: \ f'(x) > 0

השטח בין BB לישר

S=∫ln⁡8ln⁡12f′(x) dx=f(ln⁡12)−f(ln⁡8)\begin{aligned}S &= \int_{\ln 8}^{\ln 12} f'(x)\,dx \\ &= f(\ln 12) - f(\ln 8)\end{aligned}

ff קדומה ל־f′f'

14412−4−648−4=18−16=2\begin{aligned}\frac{144}{12 - 4} - \frac{64}{8 - 4} &= 18 - 16 \\ &= 2\end{aligned}

השטח: 22.

Check the answer on elev — Exercise 22

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית עם פרמטר

Exercise 23

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

  1. Ax>e2x > e^2
  2. Bכל xx
  3. Cx>0x > 0
  4. Dx≠0x \neq 0
Show the answer and the solution

Answer: C x>0x > 0

Worked solution:

ln⁡x: x>0\ln x: \ x > 0

תחום ההגדרה של הלוגריתם

תחום ההגדרה: x>0x > 0.

Check the answer on elev — Exercise 23

Exercise 24

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים (אם יש כאלה). (הנקודה היא (ek,0)(e^k, 0).)

k=k = ____

Show the answer and the solution

Answer: k=k = 2

Worked solution:

x=0x = 0

מחוץ לתחום: אין חיתוך עם ציר ה־yy

x2(−2+ln⁡x)=0 x>0⇒ln⁡x=2⇒x=e2\begin{aligned}x^2(-2 + \ln x) &= 0 \\ \ x > 0 \Rightarrow \ln x &= 2 \Rightarrow x \\ &= e^2\end{aligned}

נקודת חיתוך אחת: (e2,0)(e^2, 0), עם ציר ה־xx.

Check the answer on elev — Exercise 24

Exercise 25

ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגה. (הנקודה היא (ek,y0)(e^k, y_0); כתבו את y0y_0 בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

k=k = ____ , y0=y_0 = ____

Show the answer and the solution

Answer: k=k = 1.5 , y0=y_0 = -10.04

Worked solution:

f′(x)=2x(−2+ln⁡x)+x2⋅1x=x(2ln⁡x−3)\begin{aligned}f'(x) &= 2x(-2 + \ln x) + x^2 \cdot \frac{1}{x} \\ &= x(2\ln x - 3)\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

f′(x)=0 x>0⇒ln⁡x=1.5⇒x=e1.5\begin{aligned}f'(x) &= 0 \\ \ x > 0 \Rightarrow \ln x &= 1.5 \Rightarrow x \\ &= e^{1.5}\end{aligned}
0<x<e1.5:f′<0,x>e1.5:f′>00 < x < e^{1.5}: f' < 0, \quad x > e^{1.5}: f' > 0

מינימום

f(e1.5)=e3(−2+1.5)=−e32≈−10.04\begin{aligned}f(e^{1.5}) &= e^3(-2 + 1.5) \\ &= -\frac{e^3}{2} \approx -10.04\end{aligned}

מינימום ב־(e1.5,−e32)≈(4.48,−10.04)\left(e^{1.5}, -\frac{e^3}{2}\right) \approx (4.48, -10.04).

Check the answer on elev — Exercise 25

Exercise 26

ד. קבעו איזה מן הגרפים II–IVIV שבסוף השאלה מתאר את הפונקציה f(x)f(x). נמקו את קביעתכם.

  1. Aגרף III
  2. Bגרף IV
  3. Cגרף II
  4. Dגרף I
Show the answer and the solution

Answer: D גרף I

Worked solution:

x→0+: f(x)→0x \to 0^+: \ f(x) \to 0

הנקודה (0,0)(0, 0) אינה בתחום: עיגול ריק

min⁡(e1.5,−10.04),(e2,0)\min\left(e^{1.5}, -10.04\right), \quad (e^2, 0)

סעיפים ב–ג

גרף I: יוצא מעיגול ריק בראשית, יורד למינימום מתחת לציר ה־xx, וחותך את הציר ב־e2e^2. בגרף II ובגרף III הגרף אינו מתקרב לראשית, ובגרף IV יש מקסימום.

Check the answer on elev — Exercise 26

Exercise 27

נתונה הפונקציה g(x)=a⋅f(x)g(x) = a \cdot f(x). aa הוא פרמטר שונה מ־00. הפונקציות g(x)g(x) ו־f(x)f(x) מוגדרות באותו התחום. נתון כי שיעור ה־yy של נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)g(x) הוא 0.6⋅e30.6 \cdot e^3. ה (1). מצאו את הערך של aa.

Show the answer and the solution

Answer: -1.2

Worked solution:

g′(x)=a⋅f′(x)=0⇒x=e1.5\begin{aligned}g'(x) &= a \cdot f'(x) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= e^{1.5}\end{aligned}

הקיצון של gg באותו xx

g(e1.5)=a⋅(−e32)=0.6e3\begin{aligned}g(e^{1.5}) &= a \cdot \left(-\frac{e^3}{2}\right) \\ &= 0.6e^3\end{aligned}
a=−1.2a = -1.2

a=−1.2a = -1.2.

Check the answer on elev — Exercise 27

Exercise 28

נתונה הפונקציה g(x)=a⋅f(x)g(x) = a \cdot f(x). aa הוא פרמטר שונה מ־00. הפונקציות g(x)g(x) ו־f(x)f(x) מוגדרות באותו התחום. נתון כי שיעור ה־yy של נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)g(x) הוא 0.6⋅e30.6 \cdot e^3. ה (2). מהו סוג נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)g(x)? נמקו את תשובתכם.

  1. Aמינימום: שיעור ה־yy של הקיצון חיובי
  2. Bמקסימום: a<0a < 0 הופך את המינימום של ff
  3. Cמקסימום: a>0a > 0 מגדיל את ערכי ff
  4. Dמינימום: ל־gg ול־ff יש קיצון באותו xx
Show the answer and the solution

Answer: B מקסימום: a<0a < 0 הופך את המינימום של ff

Worked solution:

g′(x)=−1.2⋅f′(x)g'(x) = -1.2 \cdot f'(x)

סימן הנגזרת מתהפך

0<x<e1.5:g′>0,x>e1.5:g′<00 < x < e^{1.5}: g' > 0, \quad x > e^{1.5}: g' < 0

מקסימום: a=−1.2<0a = -1.2 < 0, ולכן gg עולה לפני e1.5e^{1.5} ויורדת אחריו.

Check the answer on elev — Exercise 28

Exercise 29

נתונה הפונקציה g(x)=a⋅f(x)g(x) = a \cdot f(x). aa הוא פרמטר שונה מ־00. הפונקציות g(x)g(x) ו־f(x)f(x) מוגדרות באותו התחום. נתון כי שיעור ה־yy של נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)g(x) הוא 0.6⋅e30.6 \cdot e^3. ה (3). קבעו איזה מן הגרפים II–IVIV שלפניכם מתאר את הפונקציה g(x)g(x). נמקו את קביעתכם.

  1. Aגרף III
  2. Bגרף IV
  3. Cגרף II
  4. Dגרף I
Show the answer and the solution

Answer: B גרף IV

Worked solution:

g(x)=−1.2⋅f(x)g(x) = -1.2 \cdot f(x)

שיקוף של ff ביחס לציר ה־xx ומתיחה

max⁡(e1.5,0.6e3)≈(4.48,12.05),(e2,0)\max\left(e^{1.5}, 0.6e^3\right) \approx (4.48, 12.05), \quad (e^2, 0)

גרף IV: יוצא מעיגול ריק בראשית, עולה למקסימום וחותך את ציר ה־xx ב־e2e^2. גרף II מתחיל רחוק מהראשית.

Check the answer on elev — Exercise 29

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade

This lesson is part of the subscription. A full chapter for free: The exponential function