בגרות 35472 — חורף 2026

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35472 (4 יחידות לימוד, שאלון שני, תוכנית חדשה), חורף תשפ״ו, 2026. משך הבחינה: שעתיים. ענו על שלוש מן השאלות 1–5, על שאלה אחת לפחות מכל פרק (לכל שאלה – $33\frac{1}{3}$ נקודות). פרק ראשון – סדרות, גאומטרייה במרחב וגדילה ודעיכה: שאלות 1–3. פרק שני – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: שאלות 4–5. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־4 יחידות לימוד.

כאן כתובות כל חמש השאלות, ב־27 סעיפים, כדי שאפשר יהיה להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים שלוש. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר, להראות או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, וסעיף שמבקש ביטוי הפך להשלמת מקדמים. הפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercises

שאלה 1 — סדרות: יריד ספרים

Exercise 1

א. מצאו כמה ספרים נמכרו ביום הראשון של היריד.

Show the answer and the solution

Answer: 60

Worked solution:

\begin{aligned}a_1 + 2a_1 + 4a_1 &= 7a_1 \\ &= 420\end{aligned}

סדרה הנדסית שמנתה $2$

a_1 = 60

ביום הראשון נמכרו $60$ ספרים.

Check the answer on elev

Exercise 2

כל ספר ביריד נמכר ב־ $50$ שקלים. ב. מצאו את סך כל ההכנסות ממכירת הספרים במשך $7$ ימי היריד.

Show the answer and the solution

Answer: 381000

Worked solution:

\begin{aligned}S_7 &= \frac{60\,(2^7 - 1)}{2 - 1} \\ &= 60 \cdot 127 \\ &= 7620\end{aligned}

סכום סדרה הנדסית

7620 \cdot 50 = 381000

ההכנסות: $381{,}000$ שקלים.

Check the answer on elev

Exercise 3

כל ספר ביריד נמכר ב־ $50$ שקלים. לאחר שהסתיים יריד הספרים החליט מנהל היריד לתרום מחצית מכל ההכנסות שהתקבלו ביריד. מנהל היריד פרס את התרומה לכמה חודשים. בחודש הראשון הוא תרם $4{,}315$ שקלים, ובכל חודש שלאחר מכן הוא תרם $315$ שקלים יותר מבחודש שלפניו. ג. מצאו לכמה חודשים פרס מנהל היריד את התרומה.

Show the answer and the solution

Answer: 24

Worked solution:

\begin{aligned}S_n &= \frac{381000}{2} \\ &= 190500\end{aligned}

מחצית ההכנסות

\frac{n}{2}\left(2 \cdot 4315 + (n - 1) \cdot 315\right) = 190500

סכום סדרה חשבונית

315n^2 + 8315n - 381000 = 0

\begin{aligned}n &= \frac{-8315 + \sqrt{8315^2 + 4 \cdot 315 \cdot 381000}}{2 \cdot 315} \\ &= \frac{-8315 + 23435}{630} \\ &= 24\end{aligned}

$n$ טבעי וחיובי

התרומה נפרסה על $24$ חודשים.

Check the answer on elev

Exercise 4

כל ספר ביריד נמכר ב־ $50$ שקלים. לאחר שהסתיים יריד הספרים החליט מנהל היריד לתרום מחצית מכל ההכנסות שהתקבלו ביריד. מנהל היריד פרס את התרומה לכמה חודשים. בחודש הראשון הוא תרם $4{,}315$ שקלים, ובכל חודש שלאחר מכן הוא תרם $315$ שקלים יותר מבחודש שלפניו. ד. מצאו מהו סכום הכסף שתרם מנהל היריד סך הכול בשני החודשים האמצעיים.

Show the answer and the solution

Answer: 15875

Worked solution:

\text{החודשים האמצעיים: } 12 \text{ ו־} 13

מתוך $24$ חודשים

\begin{aligned}b_{12} + b_{13} &= (4315 + 11 \cdot 315) + (4315 + 12 \cdot 315) \\ &= 7780 + 8095\end{aligned}

= 15875

בשני החודשים האמצעיים נתרמו $15{,}875$ שקלים.

Check the answer on elev

שאלה 2 — מנסרה ישרה, וקטורים

Exercise 5

א. הביעו באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ ו־ $\underline{w}$ את הווקטורים $\overrightarrow{CM}$ ו־ $\overrightarrow{PM}$ .

$\overrightarrow{CM} = \underline{w} + \frac{1}{2}\underline{u}$ , $\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \frac{1}{4}\underline{w}$
$\overrightarrow{CM} = \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{v}$ , $\overrightarrow{PM} = \underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} + \frac{1}{4}\underline{w}$
$\overrightarrow{CM} = \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{u}$ , $\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \frac{3}{4}\underline{w}$
$\overrightarrow{CM} = \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{u}$ , $\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \frac{1}{4}\underline{w}$

Show the answer and the solution

Answer: D $\overrightarrow{CM} = \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{u}$ , $\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \frac{1}{4}\underline{w}$

Worked solution:

\begin{aligned}\overrightarrow{CM} &= \overrightarrow{CC'} + \overrightarrow{C'M} \\ &= \underline{w} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C'D'} \\ &= \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{u}\end{aligned}

$\overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{BA} = -\underline{u}$

\begin{aligned}\overrightarrow{PM} &= \overrightarrow{PA'} + \overrightarrow{A'D'} + \overrightarrow{D'M} \\ &= \frac{1}{4}\underline{w} + \underline{v} + \frac{1}{2}\underline{u}\end{aligned}

$\overrightarrow{PA'} = \frac{1}{4}\underline{w}$

$\overrightarrow{CM} = \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{u}$ , $\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \frac{1}{4}\underline{w}$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

נתון: $|\underline{u}| = 8$ , $|\underline{v}| = 10$ , $\angle DAB = 60^\circ$ . ב. מצאו את הערך של כל אחת מן המכפלות הסקלריות האלה: $\underline{u} \cdot \underline{w}$ , $\underline{v} \cdot \underline{w}$ , $\underline{u} \cdot \underline{v}$ .

$\underline{u} \cdot \underline{w} =$ ____ , $\underline{v} \cdot \underline{w} =$ ____ , $\underline{u} \cdot \underline{v} =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $\underline{u} \cdot \underline{w} =$ 0 , $\underline{v} \cdot \underline{w} =$ 0 , $\underline{u} \cdot \underline{v} =$ 40

Worked solution:

\underline{w} \perp \underline{u}, \quad \underline{w} \perp \underline{v}

מנסרה ישרה: המקצוע הצדדי מאונך לבסיס

\begin{aligned}\underline{u} \cdot \underline{v} &= 8 \cdot 10 \cdot \cos 60^\circ \\ &= 40\end{aligned}

$\underline{u} \cdot \underline{w} = 0$ , $\underline{v} \cdot \underline{w} = 0$ , $\underline{u} \cdot \underline{v} = 40$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

נתון: $|\underline{u}| = 8$ , $|\underline{v}| = 10$ , $\angle DAB = 60^\circ$ . נתון: נפח המנסרה הוא $480\sqrt{3}$ . ג. מצאו את הערך של $|\underline{w}|$ .

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

\begin{aligned}S_{ABCD} &= 8 \cdot 10 \cdot \sin 60^\circ \\ &= 40\sqrt{3}\end{aligned}

שטח מקבילית

\begin{aligned}40\sqrt{3} \cdot |\underline{w}| &= 480\sqrt{3} \Rightarrow |\underline{w}| \\ &= 12\end{aligned}

נפח מנסרה ישרה: שטח הבסיס כפול הגובה

$|\underline{w}| = 12$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

נתון: $|\underline{u}| = 8$ , $|\underline{v}| = 10$ , $\angle DAB = 60^\circ$ . נתון: נפח המנסרה הוא $480\sqrt{3}$ . ד. הוכיחו כי $\overrightarrow{PM}$ מאונך ל־ $\overrightarrow{CM}$ .

$\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \frac{1}{4}\underline{w}$ , $\overrightarrow{CM} = \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{u}$
$|\underline{u}| = 8$ , $|\underline{w}| = 12$ , $\underline{u} \cdot \underline{v} = 40$ , $\underline{u} \cdot \underline{w} = \underline{v} \cdot \underline{w} = 0$

$\overrightarrow{PM} \perp \overrightarrow{CM}$

Show the answer and the solution

$\overrightarrow{PM} \cdot \overrightarrow{CM} = -\frac{1}{4}|\underline{u}|^2 - \frac{1}{2}\underline{u} \cdot \underline{v} + \frac{1}{4}|\underline{w}|^2$ — פתיחת סוגריים; המכפלות עם $\underline{w}$ של $\underline{u}$ ו־ $\underline{v}$ מתאפסות
$\overrightarrow{PM} \cdot \overrightarrow{CM} = -16 - 20 + 36 = 0$ — מציבים $|\underline{u}|^2 = 64$ , $\underline{u} \cdot \underline{v} = 40$ , $|\underline{w}|^2 = 144$
$\overrightarrow{PM} \perp \overrightarrow{CM}$ — מכפלה סקלרית אפס של וקטורים שונים מאפס

Worked solution:

\overrightarrow{PM} \cdot \overrightarrow{CM} = -\tfrac{1}{4}\underline{u}^2 + \tfrac{1}{2}\underline{u} \cdot \underline{w} - \tfrac{1}{2}\underline{u} \cdot \underline{v} + \underline{v} \cdot \underline{w} - \tfrac{1}{8}\underline{u} \cdot \underline{w} + \tfrac{1}{4}\underline{w}^2

= -16 + 0 - 20 + 0 - 0 + 36 = 0

המכפלה הסקלרית היא $0$ : $\overrightarrow{PM} \perp \overrightarrow{CM}$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

נתון: $|\underline{u}| = 8$ , $|\underline{v}| = 10$ , $\angle DAB = 60^\circ$ . נתון: נפח המנסרה הוא $480\sqrt{3}$ . ה (1). הראו כי $\left|\overrightarrow{PM}\right| = \sqrt{165}$ .

$\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \frac{1}{4}\underline{w}$
$|\underline{u}| = 8$ , $|\underline{v}| = 10$ , $|\underline{w}| = 12$ , $\underline{u} \cdot \underline{v} = 40$ , $\underline{u} \cdot \underline{w} = \underline{v} \cdot \underline{w} = 0$

$\left|\overrightarrow{PM}\right| = \sqrt{165}$

Show the answer and the solution

$\left|\overrightarrow{PM}\right|^2 = \frac{1}{4}|\underline{u}|^2 + |\underline{v}|^2 + \frac{1}{16}|\underline{w}|^2 + \underline{u} \cdot \underline{v}$ — ריבוע של סכום וקטורים; המכפלות עם $\underline{w}$ מתאפסות
$\left|\overrightarrow{PM}\right|^2 = 16 + 100 + 9 + 40 = 165$ — מציבים את הנתונים
$\left|\overrightarrow{PM}\right| = \sqrt{165}$ — אורך הוא מספר חיובי

Worked solution:

\left|\overrightarrow{PM}\right|^2 = \tfrac{1}{4} \cdot 64 + 100 + \tfrac{1}{16} \cdot 144 + 2 \cdot \tfrac{1}{2}\,\underline{u} \cdot \underline{v}

= 16 + 100 + 9 + 40 = 165

$\left|\overrightarrow{PM}\right| = \sqrt{165}$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

נתון: $|\underline{u}| = 8$ , $|\underline{v}| = 10$ , $\angle DAB = 60^\circ$ . נתון: נפח המנסרה הוא $480\sqrt{3}$ . ה (2). חשבו את שטח המשולש $PMC$ . (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 81.24

Worked solution:

\begin{aligned}\left|\overrightarrow{CM}\right|^2 &= 144 + \tfrac{1}{4} \cdot 64 \\ &= 160 \Rightarrow CM \\ &= 4\sqrt{10}\end{aligned}

$\underline{u} \perp \underline{w}$

\begin{aligned}S &= \frac{PM \cdot CM}{2} \\ &= \frac{\sqrt{165} \cdot 4\sqrt{10}}{2} \\ &= 10\sqrt{66} \approx 81.24\end{aligned}

הזווית $PMC$ ישרה (סעיף ד)

שטח המשולש $PMC$ : $10\sqrt{66} \approx 81.24$ .

Check the answer on elev

שאלה 3 — דעיכה: טמפרטורת ריבות

Exercise 11

א. האם האחוז שבו ירדה בכל דקה הטמפרטורה של ריבת התות היה גדול מן האחוז שבו ירדה בכל דקה הטמפרטורה של ריבת השזיפים? נמקו את תשובתכם.

כן: ריבת התות התחילה חמה יותר והפכה לקרה יותר
לא: ריבת התות חמה יותר, ולכן היא מתקררת לאט יותר
אי אפשר לדעת בלי לדעת את הטמפרטורות ההתחלתיות
לא: שתי הריבות יורדות באותו מספר מעלות בכל דקה

Show the answer and the solution

Answer: A כן: ריבת התות התחילה חמה יותר והפכה לקרה יותר

Worked solution:

\begin{aligned}T_1(t) &= T_1 q_1^t \\ \quad T_2(t) &= T_2 q_2^t \\ \quad T_1 > T_2\end{aligned}

$1$ : תות, $2$ : שזיפים

q_1 \ge q_2 \Rightarrow T_1 q_1^t > T_2 q_2^t \ \text{לכל } t

אחוז ירידה קטן או שווה שומר על הסדר

\Rightarrow q_1 < q_2

בזמן מסוים ריבת השזיפים חמה יותר

כן: אחוז הירידה של ריבת התות גדול יותר.

Check the answer on elev

Exercise 12

נתון שהטמפרטורה ההתחלתית של ריבת התות הייתה $42$ מעלות, ובכל דקה היא ירדה ב־ $42$ . ב. מצאו כעבור כמה זמן מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של ריבת התות $15$ מעלות. (בדקות, בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 25.22

Worked solution:

42 \cdot 0.96^t = 15

t = \frac{\log(15 / 42)}{\log 0.96} \approx 25.22

כעבור כ־ $25.22$ דקות.

Check the answer on elev

Exercise 13

נתון שהטמפרטורה ההתחלתית של ריבת התות הייתה $42$ מעלות, ובכל דקה היא ירדה ב־ $42$ . לאחר $6$ דקות מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של ריבת השזיפים $88\%$ מן הטמפרטורה ההתחלתית שלה. ג. מצאו בכמה אחוזים ירדה הטמפרטורה של ריבת השזיפים בכל דקה. (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 2.11

Worked solution:

\begin{aligned}q^6 &= 0.88 \Rightarrow q \\ &= \sqrt[6]{0.88} \approx 0.97892\end{aligned}

(1 - 0.97892) \cdot 100 \approx 2.11

הטמפרטורה של ריבת השזיפים ירדה בכ־ $2.11\%$ בכל דקה.

Check the answer on elev

Exercise 14

נתון שהטמפרטורה ההתחלתית של ריבת התות הייתה $42$ מעלות, ובכל דקה היא ירדה ב־ $42$ . לאחר $6$ דקות מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של ריבת השזיפים $88\%$ מן הטמפרטורה ההתחלתית שלה. לאחר $10$ דקות מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של ריבת השזיפים $31$ מעלות. ד. מצאו כעבור כמה זמן מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של שתי הריבות זהה. (בדקות, בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 4.64

Worked solution:

T_2 \cdot 0.97892^{10} = 31 \Rightarrow T_2 \approx 38.36

הטמפרטורה ההתחלתית של ריבת השזיפים

42 \cdot 0.96^t = 38.36 \cdot 0.97892^t

t = \frac{\log(42 / 38.36)}{\log(0.97892 / 0.96)} \approx 4.64

כעבור כ־ $4.64$ דקות.

Check the answer on elev

שאלה 4 — פונקציה מעריכית זוגית

Exercise 15

א. קבעו איזה מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . נמקו את קביעתכם.

גרף I: שני מעברים מחיובי לשלילי ואחד משלילי לחיובי
גרף II: הוא עובר משלילי לחיובי פעמיים
שני הגרפים מתאימים: לשניהם שלוש נקודות חיתוך עם ציר ה־ $x$
גרף II: הוא עובר דרך ראשית הצירים

Show the answer and the solution

Answer: A גרף I: שני מעברים מחיובי לשלילי ואחד משלילי לחיובי

Worked solution:

f' : + \to -

מקסימום של $f$

f' : - \to +

מינימום של $f$

+ \to - \to + \to -

שני מקסימומים ומינימום אחד: הסימנים של גרף I משמאל לימין

גרף I. בגרף II הסימנים הפוכים: הוא מתאר שני מינימומים ומקסימום אחד.

Check the answer on elev

Exercise 16

נתון: $f(x) = \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}}$ . ב. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ .

$x$ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $($ 0 $,$ 0 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}6x^2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

המכנה חיובי תמיד

נקודת החיתוך: $(0, 0)$ .

Check the answer on elev

Exercise 17

נתון: $f(x) = \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}}$ . ג. הוכיחו כי הפונקציה $f(x)$ היא זוגית.

$f(x) = \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}}$ מוגדרת לכל $x$

$x$ זוגית

Show the answer and the solution

$(-x)^2 = x^2$ — חזקה זוגית של מספר נגדי
$f(-x) = \frac{6(-x)^2}{e^{(-x)^2 + 2}} = \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}}$ — הצבה של $-x$
$f(-x) = f(x)$ לכל $x$ — השוואה לנוסחת הפונקציה
$f(x)$ זוגית — הגדרת פונקציה זוגית, ותחום ההגדרה סימטרי

Worked solution:

\begin{aligned}f(-x) &= \frac{6(-x)^2}{e^{(-x)^2 + 2}} \\ &= \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}} \\ &= f(x)\end{aligned}

$f(-x) = f(x)$ לכל $x$ : הפונקציה זוגית.

Check the answer on elev

Exercise 18

נתון: $f(x) = \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}}$ . ד. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגן. (מהקטנה ל־ $x$ לגדולה; את $y$ בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

$y$ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $($ -1 $,$ 0.299 $)$ , $($ 0 $,$ 0 $)$ , $($ 1 $,$ 0.299 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{12x - 12x^3}{e^{x^2 + 2}} \\ &= \frac{12x(1 - x)(1 + x)}{e^{x^2 + 2}}\end{aligned}

$\left(e^{x^2 + 2}\right)' = 2x\,e^{x^2 + 2}$

\begin{aligned}f' &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1 \\ 0 \\ 1\end{aligned}

(\pm 1, 6e^{-3}) \approx (\pm 1, 0.299): \ \max, \qquad (0, 0): \ \min

הסימנים: $+, -, +, -$

מקסימום ב־ $\left(\pm 1, \frac{6}{e^3}\right)$ , מינימום ב־ $(0, 0)$ .

Check the answer on elev

Exercise 19

הגרפים I–IV

נתון: $f(x) = \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}}$ . ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

גרף I
גרף III
גרף II
גרף IV

Show the answer and the solution

Answer: B גרף III

Worked solution:

\begin{aligned}f \ge 0 \\ \quad f(-x) &= f(x)\end{aligned}

סעיפים ב–ג

\max(\pm 1, 0.299), \ \min(0, 0)

סעיף ד

x \to \pm\infty: f \to 0

האסימפטוטה $y = 0$

גרף III: סימטרי, נוגע בראשית, שתי פסגות ב־ $x = \pm 1$ , ומתקרב לציר ה־ $x$ בשני הצדדים. גרף I הפוך, בגרף II הפסגות רחוקות, וגרף IV אינו סימטרי.

Check the answer on elev

Exercise 20

נתון: $f(x) = \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}}$ . ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ ועל ידי ציר ה־ $x$ . (בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 0.597

Worked solution:

\begin{aligned}f' &= 0 \ \text{ב־} \ x \\ &= -1 \\ 0 \\ 1\end{aligned}

השטחים הסגורים: בין $-1$ ל־ $0$ ובין $0$ ל־ $1$

\begin{aligned}\int_0^1 f'(x)\,dx &= f(1) - f(0) \\ &= \frac{6}{e^3}\end{aligned}

$f' > 0$ בקטע

\begin{aligned}\int_{-1}^0 |f'(x)|\,dx &= f(-1) - f(0) \\ &= \frac{6}{e^3}\end{aligned}

$f' < 0$ בקטע, והפונקציה זוגית

S = \frac{12}{e^3} \approx 0.597

השטח: $\frac{12}{e^3} \approx 0.597$ .

Check the answer on elev

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית עם פרמטר

Exercise 21

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

$x >$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x >$ 0

Worked solution:

x > 0

תחום ההגדרה של $\ln x$

תחום ההגדרה: $x > 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 22

א (2). מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ . (הנקודה היא $(e^k, 0)$ .)

$k =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $k =$ 2

Worked solution:

ax \neq 0 \ (x > 0, \ a \neq 0)

\begin{aligned}2 - \ln x &= 0 \Rightarrow x \\ &= e^2\end{aligned}

נקודת החיתוך: $(e^2, 0)$ .

Check the answer on elev

Exercise 23

נתון כי בנקודה שבה $x = e^3$ , שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ הוא $-8$ . ב. מצאו את הערך של $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= a(2 - \ln x) + ax \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) \\ &= a(1 - \ln x)\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

\begin{aligned}f'(e^3) &= a(1 - 3) \\ &= -2a \\ &= -8 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

$a = 4$ .

Check the answer on elev

Exercise 24

נתון כי בנקודה שבה $x = e^3$ , שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ הוא $-8$ . הציבו $a = 4$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ד. ג (1). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגה. (בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

$($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $($ 2.718 $,$ 10.873 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 4(1 - \ln x) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= e\end{aligned}

x < e: f' > 0, \quad x > e: f' < 0

מקסימום

\begin{aligned}f(e) &= 4e(2 - 1) \\ &= 4e \approx 10.873\end{aligned}

מקסימום ב־ $(e, 4e) \approx (2.718, 10.873)$ .

Check the answer on elev

Exercise 25

הגרפים I–IV

נתון כי בנקודה שבה $x = e^3$ , שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ הוא $-8$ . הציבו $a = 4$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ד. ג (2). קבעו איזה מן הגרפים $I$ – $IV$ שבסוף השאלה מתאר את הפונקציה $f(x)$ . נמקו את קביעתכם.

גרף I: יש לו מקסימום, והוא מתקרב לציר ה־ $x$ מימין
גרף II: מקסימום ב־ $(e, 4e)$ , ויורד אל $-\infty$
גרף IV: יוצא מהראשית ויורד אל נקודת מינימום
גרף III: יש לו מינימום

Show the answer and the solution

Answer: B גרף II: מקסימום ב־ $(e, 4e)$ , ויורד אל $-\infty$

Worked solution:

x \to 0^+: \ 4x(2 - \ln x) \to 0

$x\ln x \to 0$

\max(e, 4e), \quad (e^2, 0)

סעיפים א, ג (1)

x > e^2: f < 0, \ f \to -\infty

גרף I נפסל: אינו חוצה את ציר ה־ $x$

גרף II. גרף I אינו חוצה את הציר, וגרפים III ו־IV הם בעלי מינימום (שליליים ליד הראשית).

Check the answer on elev

Exercise 26

נתון כי בנקודה שבה $x = e^3$ , שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ הוא $-8$ . הציבו $a = 4$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ד. נתונה הפונקציה $g(x) = -2f(x) + 37$ . ד (1). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $g(x)$ , וקבעו את סוגה. (בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

$($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $($ 2.718 $,$ 15.254 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}g'(x) &= -2f'(x) \\ &= 0 \iff x \\ &= e\end{aligned}

g(e) = -8e + 37 \approx 15.254

x < e: g' < 0, \quad x > e: g' > 0

הכפל ב־ $-2$ הופך את המקסימום למינימום

מינימום ב־ $(e, 37 - 8e) \approx (2.718, 15.254)$ .

Check the answer on elev

Exercise 27

נתון כי בנקודה שבה $x = e^3$ , שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ הוא $-8$ . הציבו $a = 4$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ד. נתונה הפונקציה $g(x) = -2f(x) + 37$ . ד (2). האם גרף הפונקציה $f(x)$ חותך את גרף הפונקציה $g(x)$ ? נמקו את תשובתכם.

כן: $f$ מקבלת את כל הערכים, ולכן יש פתרון ל־ $f = g$
כן: בנקודה $x = e$ , שבה לשתי הפונקציות יש קיצון
לא: $g$ חיובית ו־ $f$ שלילית בכל התחום
לא: הערך הגדול ביותר של $f$ הוא $4e < \frac{37}{3}$

Show the answer and the solution

Answer: D לא: הערך הגדול ביותר של $f$ הוא $4e < \frac{37}{3}$

Worked solution:

\begin{aligned}f(x) &= -2f(x) + 37 \iff f(x) \\ &= \frac{37}{3} \approx 12.33\end{aligned}

f(x) \le 4e \approx 10.87 < 12.33

המקסימום של $f$ (סעיף ג (1))

לא. הגרפים אינם נחתכים.

Check the answer on elev

Words in this lesson

משך: meshekh duration, length of time
לפחות: lefaḥot at least
סדרה: sidra sequence
גדילה: gdila growth
דעיכה: de’ikha decay
פונקציה: funktsia function
נוסחה: nusḥa formula
סעיף: se’if part (of a question)
הסבירו: hasbiru explain
הראו: har’u show
הוכיחו: hokhiḥu prove
הוכחה: hokhaḥa proof
ביטוי אלגברי: bitui algebri algebraic expression
מקדם: mekadem coefficient
פתרון: pitaron solution
מצאו: mits’u find
יום: yom day
סדרה הנדסית: sidra hendesit geometric sequence
מכר: makhar sell (sold)
שקל (ש״ח): shekel shekel (₪)
הכנסה: hakhnasa income, revenue
סכום: skhum sum
חודש: ḥodesh month
סדרה חשבונית: sidra ḥeshbonit arithmetic sequence
מספר טבעי: mispar tiv’i natural number
חיובי: ḥiyuvi positive
כסף: kesef money
סך הכול: sakh ha-kol in total, altogether
מתוך: mitokh out of
הביעו: habi’u express
נתון: natun given
מכפלה סקלרית: makhpela skalarit dot product
מנסרה: minsara prism
מקצוע צדדי: miktsoa tsdadi lateral edge
מאונכים: me’unakhim perpendicular
בסיס: basis base
נפח: nefaḥ volume
שטח: shetaḥ area
מקבילית: makbilit parallelogram
שטח בסיס: shetaḥ basis base area
כפול: kaful times
גובה: gova height
חשבו: ḥishvu calculate
משולש: meshulash triangle
ספרות אחרי הנקודה: sfarot aḥarei ha-nekuda decimal places
זווית: zavit angle
אחוז: aḥuz percent
טמפרטורה: temperatura temperature
נמקו: namku justify, explain why
קטן או שווה: katan o shave less than or equal to
זמן: zman time
מעלה: ma’ala degree
כעבור: ka’avor after (a time)
דקה: daka minute
קבעו: kiv’u determine, decide
גרף: graf graph
נגזרת: nigzeret derivative
מקסימום: maksimum maximum
מינימום: minimum minimum
שיעורים (של נקודה): shiurim coordinates
נקודת חיתוך: nekudat khitukh intersection point
ציר: tsir axis
מכנה: mekhane denominator
פונקציה זוגית: funktsia zugit even function
נקודת קיצון: nekudat kitson extremum
סקיצה: skitsa sketch
בחרו: baḥaru choose
אסימפטוטה: asimptota asymptote
סימטריה: simetria symmetry
ראשית הצירים: reshit ha-tsirim origin
קטע: keta line segment
תחום ההגדרה: tḥum ha-hagdara domain of definition
נקודה: nekuda point
שיפוע המשיק: shipua ha-mashik slope of the tangent
כלל המכפלה: klal ha-makhpela product rule
להציב: lehatsiv to substitute
נפסל: nifsal rejected
חוצה: ḥotse bisects
שלילי: shlili negative
כפל: kefel multiplication
חותך: khotekh cuts, intersects; transversal
נחתכים: neḥtakhim intersect

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elev Discover elev for this grade