בגרות 35572 — חורף 2025 · Paper 35572 — winter 2025, Kita יב — lesson and practice problems with answers

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35572 (5 יחידות לימוד, שאלון שני, תוכנית חדשה), חורף תשפ״ה, 2025. משך הבחינה: שעתיים וארבעים וחמש דקות. ענו על שלוש מן השאלות 1–5, על שאלה אחת לפחות מכל פרק (לכל שאלה – $33\frac{1}{3}$ נקודות). פרק ראשון – גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב, מספרים מרוכבים: שאלות 1–3. פרק שני – גדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: שאלות 4–5. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־5 יחידות לימוד.

כאן כתובות כל חמש השאלות, ב־29 סעיפים, כדי שאפשר יהיה להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים שלוש. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר, להראות או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, וסעיף שמבקש ביטוי הפך להשלמת מקדמים. הפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercises

שאלה 1 — מקום גאומטרי, מעגל ופרבולה

Exercise 1

א. הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $P$ המתקבלות באופן זה נמצא על מעגל, ומצאו את משוואתו. הביעו את תשובתכם באמצעות $a$ .

$(x -$ ____ $a)^2 + y^2 =$ ____ $a^2$

Show the answer and the solution

Answer: $(x -$ 16 $a)^2 + y^2 =$ 625 $a^2$

Worked solution:

\angle APB = 90^\circ

זווית היקפית שנשענת על קוטר היא ישרה: $P$ נמצאת על המעגל שקוטרו $AB$

M\left(\frac{-9a + 41a}{2}, 0\right) = (16a, 0)

מרכז המעגל: אמצע $AB$

\begin{aligned}R &= \frac{AB}{2} \\ &= \frac{41a - (-9a)}{2} \\ &= 25a\end{aligned}

רדיוס: חצי הקוטר

(x - 16a)^2 + y^2 = 625a^2

המקום הגאומטרי: המעגל $(x - 16a)^2 + y^2 = 625a^2$ , בלי הנקודות $A$ ו־ $B$ עצמן.

Check the answer on elev — Exercise 1

Exercise 2

נתון כי השטח הגדול ביותר של המשולש $APB$ הוא $156.25$ . ב. מצאו את הערך של $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

S = \frac{AB \cdot h}{2}

הבסיס $AB$ קבוע; השטח גדול ביותר כשהגובה $h$ מ־ $P$ אל $AB$ גדול ביותר

\begin{aligned}h_{\max} &= R \\ &= 25a\end{aligned}

הנקודה $P$ בקצה הקוטר המאונך ל־ $AB$

\begin{aligned}S_{\max} &= \frac{50a \cdot 25a}{2} \\ &= 625a^2 \\ &= 156.25\end{aligned}

\begin{aligned}a^2 &= 0.25 \Rightarrow a \\ &= 0.5\end{aligned}

$a$ חיובי

$a = \frac{1}{2}$ .

Check the answer on elev — Exercise 2

Exercise 3

הציבו $a = \frac{1}{2}$ וענו על סעיפים ג–ד. אמצע הקטע $AB$ הוא מוקד של פרבולה שמשוואתה קנונית. הפרבולה והמעגל שמצאתם נחתכים ברביע הראשון בנקודה $C$ . ג. מצאו את שיעורי הנקודה $C$ .

$C($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $C($ 4.5 $,$ 12 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}A(-4.5, 0) \\ \ B(20.5, 0): \quad (x - 8)^2 + y^2 &= 156.25\end{aligned}

מציבים $a = \frac{1}{2}$ במשוואת המעגל

\begin{aligned}\frac{p}{2} &= 8 \Rightarrow y^2 \\ &= 32x\end{aligned}

המוקד $(8, 0)$ של הפרבולה $y^2 = 2px$

\begin{aligned}(x - 8)^2 + 32x &= 156.25 \Rightarrow x^2 + 16x - 92.25 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים $y^2 = 32x$ במשוואת המעגל

\begin{aligned}x &= \frac{-16 \pm 25}{2} \Rightarrow x \\ &= 4.5 \ (x = -20.5 < 0)\end{aligned}

על הפרבולה $x \geq 0$

\begin{aligned}y^2 &= 144 \Rightarrow y \\ &= 12\end{aligned}

ברביע הראשון $y > 0$

$C(4.5, 12)$ .

Check the answer on elev — Exercise 3

Exercise 4

הציבו $a = \frac{1}{2}$ וענו על סעיפים ג–ד. אמצע הקטע $AB$ הוא מוקד של פרבולה שמשוואתה קנונית. הפרבולה והמעגל שמצאתם נחתכים ברביע הראשון בנקודה $C$ . הישר $\ell$ משיק לפרבולה בנקודה $C$ . מעבירים משיק למעגל שמצאתם. נתון כי משיק זה מקביל לישר $\ell$ . ד. מצאו את המרחק בין הישר $\ell$ ובין המשיק למעגל (מצאו את שתי האפשרויות). (כתבו קודם את המרחק הקטן.)

$d_1 =$ ____ , $d_2 =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $d_1 =$ 2.5 , $d_2 =$ 22.5

Worked solution:

\begin{aligned}12y &= 16(x + 4.5) \Rightarrow \ell: \ 4x - 3y + 18 \\ &= 0\end{aligned}

משוואת משיק לפרבולה $y y_0 = p(x + x_0)$ בנקודה $C(4.5, 12)$ , $p = 16$

\begin{aligned}d(M, \ell) &= \frac{|4 \cdot 8 - 0 + 18|}{\sqrt{16 + 9}} \\ &= \frac{50}{5} \\ &= 10\end{aligned}

המרחק ממרכז המעגל $M(8, 0)$ אל $\ell$

R = 12.5

כל משיק למעגל נמצא במרחק $R$ מהמרכז

\begin{aligned}d_1 &= 12.5 - 10 \\ &= 2.5 \\ \quad d_2 &= 12.5 + 10 \\ &= 22.5\end{aligned}

משיק באותו צד של המרכז כמו $\ell$ , או בצד השני

המרחקים: $2.5$ ו־ $22.5$ .

Check the answer on elev — Exercise 4

Did your child get it?

On elev, every exercise is checked the moment your child answers, and a hint comes right when they get stuck.

Practise on elev

שאלה 2 — פירמידה משולשת ווקטורים

Exercise 5

א. הוכיחו כי $\overrightarrow{AE}$ מאונך ל־ $\overrightarrow{BC}$ .

$\overrightarrow{EC} = \underline{v}$ , $\overrightarrow{AE} = \underline{u}$
$\left|\underline{u} + \underline{v}\right| = \left|\underline{u} - \underline{v}\right|$
$E$ אמצע המקצוע $BC$

$\overrightarrow{AE}$ מאונך ל־ $\overrightarrow{BC}$

Show the answer and the solution

$\left|\underline{u} + \underline{v}\right|^2 = \left|\underline{u} - \underline{v}\right|^2$ — מעלים בריבוע את שני האגפים, ששניהם אי־שליליים
$\underline{u}^2 + 2\underline{u} \cdot \underline{v} + \underline{v}^2 = \underline{u}^2 - 2\underline{u} \cdot \underline{v} + \underline{v}^2$ — $\left|\underline{a}\right|^2 = \underline{a} \cdot \underline{a}$ , ופתיחת סוגריים במכפלה סקלרית
$\underline{u} \cdot \underline{v} = 0$ — מצמצמים: $4\underline{u} \cdot \underline{v} = 0$
$\overrightarrow{BC} = 2\underline{v}$ — $E$ אמצע $BC$ , ולכן $\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{EC}$
$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$ — מציבים: $\underline{u} \cdot 2\underline{v} = 2 \cdot 0$
$\overrightarrow{AE}$ מאונך ל־ $\overrightarrow{BC}$ — מכפלה סקלרית של שני וקטורים שאינם וקטור האפס שווה לאפס

Worked solution:

|\underline{u} + \underline{v}|^2 = |\underline{u} - \underline{v}|^2

\begin{aligned}\underline{u}^2 + 2\underline{u} \cdot \underline{v} + \underline{v}^2 &= \underline{u}^2 - 2\underline{u} \cdot \underline{v} + \underline{v}^2 \Rightarrow \underline{u} \cdot \underline{v} \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BC} &= \underline{u} \cdot 2\underline{v} \\ &= 0\end{aligned}

$\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{EC}$

המכפלה הסקלרית היא $0$ , ולכן $\overrightarrow{AE}$ מאונך ל־ $\overrightarrow{BC}$ .

Check the answer on elev — Exercise 5

Exercise 6

נתון: הקטע $SE$ הוא גובה בפירמידה והאורך שלו הוא $16$ . $A(0, 0, 0)$ , $B(6, 8, 0)$ . הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , ושיעור ה־ $z$ של הקודקוד $S$ הוא חיובי. ב. מצאו את שיעורי הקודקודים $C$ ו־ $S$ .

$C($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$ , $S($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $C($ 10 $,$ 0 $,$ 0 $)$ , $S($ 8 $,$ 4 $,$ 16 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}AE \perp BC \\ \ BE &= EC \Rightarrow AC \\ &= AB\end{aligned}

סעיף א: $AE$ תיכון וגם גובה במשולש $ABC$ , ולכן המשולש שווה שוקיים

\begin{aligned}AB &= \sqrt{36 + 64} \\ &= 10 \Rightarrow C(10, 0, 0)\end{aligned}

$C$ על החלק החיובי של ציר ה־ $x$

\begin{aligned}E &= \frac{B + C}{2} \\ &= (8, 4, 0)\end{aligned}

\begin{aligned}SE \perp ABC \\ \ ABC: \ z &= 0 \Rightarrow S \\ &= (8, 4, \pm 16)\end{aligned}

הבסיס במישור $xy$ , והגובה מאונך לו

S(8, 4, 16)

שיעור ה־ $z$ חיובי

$C(10, 0, 0)$ , $S(8, 4, 16)$ .

Check the answer on elev — Exercise 6

Exercise 7

נתון: הקטע $SE$ הוא גובה בפירמידה והאורך שלו הוא $16$ . $A(0, 0, 0)$ , $B(6, 8, 0)$ . הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , ושיעור ה־ $z$ של הקודקוד $S$ הוא חיובי. הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $SC$ כך ש־ $\overrightarrow{SF} = \frac{1}{4}\overrightarrow{SC}$ . דרך הנקודה $F$ מעבירים ישר המקביל לישר $AC$ , וחותך את המישור $ABS$ בנקודה $M$ . ג (1). מצאו הצגה פרמטרית של הישר $FM$ . (כתבו את ההצגה דרך הנקודה $F$ , עם וקטור הכיוון $(1, 0, 0)$ .)

$\underline{x} = ($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $) + t(1, 0, 0)$

Show the answer and the solution

Answer: $\underline{x} = ($ 8.5 $,$ 3 $,$ 12 $) + t(1, 0, 0)$

Worked solution:

\begin{aligned}\overrightarrow{SC} &= (10, 0, 0) - (8, 4, 16) \\ &= (2, -4, -16)\end{aligned}

\begin{aligned}F &= S + \frac{1}{4}\overrightarrow{SC} \\ &= (8, 4, 16) + (0.5, -1, -4) \\ &= (8.5, 3, 12)\end{aligned}

\overrightarrow{AC} = (10, 0, 0) \parallel (1, 0, 0)

הישר מקביל ל־ $AC$

FM: \ \underline{x} = (8.5, 3, 12) + t(1, 0, 0)

$FM: \ \underline{x} = (8.5, 3, 12) + t(1, 0, 0)$ .

Check the answer on elev — Exercise 7

Exercise 8

נתון: הקטע $SE$ הוא גובה בפירמידה והאורך שלו הוא $16$ . $A(0, 0, 0)$ , $B(6, 8, 0)$ . הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , ושיעור ה־ $z$ של הקודקוד $S$ הוא חיובי. הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $SC$ כך ש־ $\overrightarrow{SF} = \frac{1}{4}\overrightarrow{SC}$ . דרך הנקודה $F$ מעבירים ישר המקביל לישר $AC$ , וחותך את המישור $ABS$ בנקודה $M$ . ג (2). מצאו את שיעורי הנקודה $M$ .

$M($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $M($ 6 $,$ 3 $,$ 12 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AS} &= (6, 8, 0) \times (8, 4, 16) \\ &= (128, -96, -40)\end{aligned}

וקטור נורמל למישור $ABS$

ABS: \ 16x - 12y - 5z = 0

מחלקים ב־ $8$ ; המישור עובר דרך $A(0, 0, 0)$

\begin{aligned}16(8.5 + t) - 36 - 60 &= 0 \Rightarrow t \\ &= -2.5\end{aligned}

מציבים את נקודת הישר $FM$

\begin{aligned}M &= (8.5 - 2.5, 3, 12) \\ &= (6, 3, 12)\end{aligned}

$M(6, 3, 12)$ .

Check the answer on elev — Exercise 8

Exercise 9

נתון: הקטע $SE$ הוא גובה בפירמידה והאורך שלו הוא $16$ . $A(0, 0, 0)$ , $B(6, 8, 0)$ . הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $x$ , ושיעור ה־ $z$ של הקודקוד $S$ הוא חיובי. הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $SC$ כך ש־ $\overrightarrow{SF} = \frac{1}{4}\overrightarrow{SC}$ . דרך הנקודה $F$ מעבירים ישר המקביל לישר $AC$ , וחותך את המישור $ABS$ בנקודה $M$ . ד. מצאו פי כמה גדול נפח הפירמידה $MABC$ מנפח הפירמידה $FAEC$ . נמקו את תשובתכם.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}z_M &= z_F \\ &= 12\end{aligned}

הישר $FM$ מקביל ל־ $AC$ , שנמצא במישור הבסיס $z = 0$

\begin{aligned}h_M &= h_F \\ &= 12\end{aligned}

הגובה של שתי הפירמידות אל מישור $ABC$ הוא שיעור ה־ $z$

S_{AEC} = \frac{1}{2}S_{ABC}

$AE$ תיכון במשולש $ABC$

\begin{aligned}\frac{V_{MABC}}{V_{FAEC}} &= \frac{\frac{1}{3}S_{ABC} \cdot 12}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}S_{ABC} \cdot 12} \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}V_{MABC} &= 160 \\ \quad V_{FAEC} &= 80\end{aligned}

בדיקה: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 = 40$

פי $2$ : גבהים שווים, ובסיס $AEC$ הוא חצי מבסיס $ABC$ .

Check the answer on elev — Exercise 9

שאלה 3 — מספרים מרוכבים ומצולע

Exercise 10

א. הביעו באמצעות $r$ ו־ $\theta$ הצגה קוטבית של המספר $\frac{1}{w}$ .

A $\frac{1}{r}(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$
B $\frac{1}{r}(\cos\theta + i\sin\theta)$
C $\frac{1}{r}(\cos(180^\circ - \theta) + i\sin(180^\circ - \theta))$
D $r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$

Show the answer and the solution

Answer: A $\frac{1}{r}(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$

Worked solution:

1 = 1 \cdot (\cos 0^\circ + i\sin 0^\circ)

\frac{1}{w} = \frac{1}{r}(\cos(0^\circ - \theta) + i\sin(0^\circ - \theta))

בחילוק מחלקים את הערכים המוחלטים ומחסרים את הזוויות

= \frac{1}{r}(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))

או, באותו ערך: $\frac{1}{r}(\cos(360^\circ - \theta) + i\sin(360^\circ - \theta))$

$\frac{1}{w} = \frac{1}{r}(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$ .

Check the answer on elev — Exercise 10

Exercise 11

Show the answer and the solution

Answer: 157.5

Worked solution:

\begin{aligned}OA &= r \\ \quad OB &= \frac{1}{r}\end{aligned}

סעיף א

\angle AOB = 360^\circ - 2\theta

הזוויות של $A$ ו־ $B$ הן $\theta$ ו־ $-\theta$ ; $180^\circ < 2\theta < 360^\circ$

\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot r \cdot \frac{1}{r} \cdot \sin\angle AOB \\ &= \frac{\sqrt{2}}{4} \Rightarrow \sin\angle AOB \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}

\angle AOB = 45^\circ

הזווית חדה

\begin{aligned}360^\circ - 2\theta &= 45^\circ \Rightarrow \theta \\ &= 157.5^\circ\end{aligned}

$\theta = 157.5^\circ$ .

Check the answer on elev — Exercise 11

Exercise 12

הנקודה $A$ במישור גאוס מייצגת את המספר $w$ , והנקודה $B$ מייצגת את המספר $\frac{1}{w}$ . הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. נתון כי שטח המשולש $AOB$ הוא $\frac{\sqrt{2}}{4}$ והזווית $AOB$ היא זווית חדה. נתונות שתי משוואות: I. $z^8 = w^8$ ; II. $z^8 = (w \cdot \bar{w})^4$ . $z$ הוא מספר מרוכב. נתון מצולע קמור שקודקודיו הם כל הנקודות המייצגות את הפתרונות של משוואה I וכל הנקודות המייצגות את הפתרונות של משוואה II. ג (1). מצאו כמה קודקודים יש למצולע.

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

\begin{aligned}z &= r\,\text{cis}(157.5^\circ + 45^\circ k) \\ \quad k &= 0 \\ \dots \\ 7\end{aligned}

משוואה I: $z^8 = r^8\,\text{cis}(8\theta)$

\begin{aligned}w \cdot \bar{w} &= r^2 \Rightarrow z^8 \\ &= r^8 \Rightarrow z \\ &= r\,\text{cis}(45^\circ k) \\ \quad k &= 0 \\ \dots \\ 7\end{aligned}

משוואה II

157.5^\circ + 45^\circ k = 22.5^\circ + 45^\circ(k + 3)

הזוויות של משוואה I הן $22.5^\circ, 67.5^\circ, \dots$ : אין פתרון משותף

8 + 8 = 16

כל הזוויות $22.5^\circ \cdot m$ , $m = 0, \dots, 15$

למצולע $16$ קודקודים.

Check the answer on elev — Exercise 12

Exercise 13

הנקודה $A$ במישור גאוס מייצגת את המספר $w$ , והנקודה $B$ מייצגת את המספר $\frac{1}{w}$ . הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. נתון כי שטח המשולש $AOB$ הוא $\frac{\sqrt{2}}{4}$ והזווית $AOB$ היא זווית חדה. נתונות שתי משוואות: I. $z^8 = w^8$ ; II. $z^8 = (w \cdot \bar{w})^4$ . $z$ הוא מספר מרוכב. נתון מצולע קמור שקודקודיו הם כל הנקודות המייצגות את הפתרונות של משוואה I וכל הנקודות המייצגות את הפתרונות של משוואה II. ג (2). האם כל קודקודי המצולע נמצאים על מעגל אחד שמרכזו בראשית הצירים? נמקו את תשובתכם.

Aכן: כל מצולע קמור חסום במעגל שמרכזו בראשית הצירים
Bלא: הפתרונות של משוואה II נמצאים על מעגל שהרדיוס שלו $r^2$
Cכן: לכל הפתרונות של שתי המשוואות אותו ערך מוחלט, $r$
Dלא: לשתי המשוואות יש פתרונות משותפים, ולכן אין מעגל אחד

Show the answer and the solution

Answer: C כן: לכל הפתרונות של שתי המשוואות אותו ערך מוחלט, $r$

Worked solution:

\begin{aligned}|z|^8 &= |w|^8 \\ &= r^8 \Rightarrow |z| \\ &= r\end{aligned}

משוואה I

\begin{aligned}|z|^8 &= (r^2)^4 \\ &= r^8 \Rightarrow |z| \\ &= r\end{aligned}

משוואה II

|z| = r

כל הקודקודים במרחק $r$ מהראשית

כן. כל הקודקודים נמצאים על המעגל שמרכזו בראשית והרדיוס שלו $r$ .

Check the answer on elev — Exercise 13

Exercise 14

הנקודה $A$ במישור גאוס מייצגת את המספר $w$ , והנקודה $B$ מייצגת את המספר $\frac{1}{w}$ . הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. נתון כי שטח המשולש $AOB$ הוא $\frac{\sqrt{2}}{4}$ והזווית $AOB$ היא זווית חדה. נתונות שתי משוואות: I. $z^8 = w^8$ ; II. $z^8 = (w \cdot \bar{w})^4$ . $z$ הוא מספר מרוכב. נתון מצולע קמור שקודקודיו הם כל הנקודות המייצגות את הפתרונות של משוואה I וכל הנקודות המייצגות את הפתרונות של משוואה II. נתון כי שטח המצולע הוא $62$ . ד. מצאו את הערך של $r$ . (בבחינה אפשר להשאיר שורש בתשובה; כאן יש לכתוב מספר עשרוני בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 4.5002

Worked solution:

22.5^\circ

הזווית המרכזית בין שני קודקודים סמוכים: $\frac{360^\circ}{16}$

\begin{aligned}S &= 16 \cdot \frac{1}{2} r^2 \sin 22.5^\circ \\ &= 8r^2 \sin 22.5^\circ\end{aligned}

המצולע מחולק ל־ $16$ משולשים שווי שוקיים שקודקודם בראשית

\begin{aligned}8r^2 \sin 22.5^\circ &= 62 \Rightarrow r^2 \\ &= \frac{62}{8\sin 22.5^\circ} \approx 20.25\end{aligned}

r \approx 4.5

$r \approx 4.5$ .

Check the answer on elev — Exercise 14

שאלה 4 — פונקציה מעריכית

Exercise 15

א (1). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $f(x)$ .

A $x = 0$ , $y = 1$
B $x = 0$ , $y = -1$
C $x = 1$ , $y = -1$
D $x = 0$ , $y = -1$ , $y = 0$

Show the answer and the solution

Answer: B $x = 0$ , $y = -1$

Worked solution:

f(x) = e^x + \frac{1}{e^x - 1}

x \to 0: \ e^x - 1 \to 0 \Rightarrow f \to \pm\infty

אסימפטוטה אנכית $x = 0$

x \to -\infty: \ e^x \to 0 \Rightarrow f \to 0 + \frac{1}{-1} = -1

אסימפטוטה אופקית $y = -1$

x \to \infty: \ f \to \infty

אין אסימפטוטה אופקית מימין

אסימפטוטות: $x = 0$ , $y = -1$ .

Check the answer on elev — Exercise 15

Exercise 16

א (2). האם לגרף הפונקציה $f(x)$ יש נקודות חיתוך עם הצירים? נמקו את תשובתכם.

Aכן: חיתוך עם ציר ה־ $y$ בנקודה $(0, -1)$
Bכן: חיתוך אחד עם ציר ה־ $x$ , בנקודה שבה $x = \ln 2$
Cלא: $f(x) > 0$ לכל $x$ בתחום ההגדרה, ו־ $x = 0$ אינו בתחום
Dלא: $x = 0$ אינו בתחום, ול־ $f(x) = 0$ אין פתרון

Show the answer and the solution

Answer: D לא: $x = 0$ אינו בתחום, ול־ $f(x) = 0$ אין פתרון

Worked solution:

x \neq 0

אין חיתוך עם ציר ה־ $y$

\begin{aligned}t &= e^x > 0: \ t + \frac{1}{t - 1} \\ &= 0 \Rightarrow t^2 - t + 1 \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}\Delta &= 1 - 4 \\ &= -3 < 0\end{aligned}

אין פתרון: אין חיתוך עם ציר ה־ $x$

לא. אין נקודות חיתוך עם הצירים.

Check the answer on elev — Exercise 16

Exercise 17

א (3). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגה. (הנקודה היא $(\ln k, y_0)$ .)

$k =$ ____ , $y_0 =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $k =$ 2 , $y_0 =$ 3

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= e^x - \frac{e^x}{(e^x - 1)^2} \\ &= e^x \cdot \frac{(e^x - 1)^2 - 1}{(e^x - 1)^2}\end{aligned}

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow (e^x - 1)^2 \\ &= 1 \Rightarrow e^x \\ &= 2\end{aligned}

$e^x - 1 = -1$ נותן $e^x = 0$ , שאין לו פתרון

\begin{aligned}x &= \ln 2 \\ \quad f(\ln 2) &= 2 + \frac{1}{1} \\ &= 3\end{aligned}

0 < x < \ln 2: f' < 0, \quad x > \ln 2: f' > 0

מינימום

מינימום בנקודה $(\ln 2, 3)$ .

Check the answer on elev — Exercise 17

Exercise 18

הגרפים I–IV

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף I
Bגרף III
Cגרף IV
Dגרף II

Show the answer and the solution

Answer: D גרף II

Worked solution:

x < 0: \ -1 \searrow -\infty

$f' < 0$ ; משמאל מתקרב ל־ $y = -1$

x > 0: \ +\infty \searrow \min(\ln 2, 3) \nearrow +\infty

סעיף א (3)

f(x) \neq 0

סעיף א (2): הגרף אינו חותך את הצירים

גרף II. גרף I הוא $-f$ , גרף III הוא השיקוף $f(-x)$ , ובגרף IV האסימפטוטה האופקית היא $y = 0$ ולא $y = -1$ .

Check the answer on elev — Exercise 18

Exercise 19

נתונה הפונקציה $g(x) = -x + \ln(e^x - 1)$ . ג (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ .

$x >$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x >$ 0

Worked solution:

e^x - 1 > 0 \Rightarrow e^x > 1 \Rightarrow x > 0

הביטוי בתוך $\ln$ חיובי

תחום ההגדרה: $x > 0$ .

Check the answer on elev — Exercise 19

Exercise 20

נתונה הפונקציה $g(x) = -x + \ln(e^x - 1)$ . ג (2). הראו כי $g'(x) = f(x) - e^x$ לכל $x$ בתחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ .

$f(x) = e^x - \frac{1}{1 - e^x}$
$g(x) = -x + \ln(e^x - 1)$ , $x > 0$

$g'(x) = f(x) - e^x$

Show the answer and the solution

$g'(x) = -1 + \frac{e^x}{e^x - 1}$ — נגזרת של $\ln(h(x))$ היא $\frac{h'(x)}{h(x)}$
$g'(x) = \frac{1}{e^x - 1}$ — מכנה משותף: $\frac{-(e^x - 1) + e^x}{e^x - 1}$
$f(x) - e^x = \frac{1}{e^x - 1}$ — מחסרים $e^x$ : $-\frac{1}{1 - e^x} = \frac{1}{e^x - 1}$
$g'(x) = f(x) - e^x$ — שני האגפים שווים לאותו ביטוי

Worked solution:

\begin{aligned}g'(x) &= -1 + \frac{e^x}{e^x - 1} \\ &= \frac{-e^x + 1 + e^x}{e^x - 1} \\ &= \frac{1}{e^x - 1}\end{aligned}

\begin{aligned}f(x) - e^x &= -\frac{1}{1 - e^x} \\ &= \frac{1}{e^x - 1}\end{aligned}

שני הביטויים שווים, ולכן $g'(x) = f(x) - e^x$ לכל $x > 0$ .

Check the answer on elev — Exercise 20

Exercise 21

נתונה הפונקציה $g(x) = -x + \ln(e^x - 1)$ . בנקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ מעבירים אנך לציר ה־ $x$ . ד. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $f(x)$ , על ידי ציר ה־ $x$ , על ידי האנך ועל ידי הישר $x = \ln(b)$ . $b > 2$ הוא פרמטר. הביעו את תשובתכם באמצעות $b$ .

$S = b + ($ ____ $) + \ln(b - 1) - \ln b + \ln$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $S = b + ($ -2 $) + \ln(b - 1) - \ln b + \ln$ 2

Worked solution:

\begin{aligned}f(x) &= e^x + g'(x) \Rightarrow \int f(x)\,dx \\ &= e^x + g(x) \\ &= e^x - x + \ln(e^x - 1)\end{aligned}

סעיף ג (2)

f > 0 \ (x > 0)

המינימום של $f$ בתחום הוא $3$ : הגרף מעל ציר ה־ $x$

S = \left[e^x - x + \ln(e^x - 1)\right]_{\ln 2}^{\ln b}

האנך הוא $x = \ln 2$ , ו־ $\ln b > \ln 2$

= (b - \ln b + \ln(b - 1)) - (2 - \ln 2 + \ln 1)

= b - 2 + \ln(b - 1) - \ln b + \ln 2

$S = b - 2 + \ln\frac{2(b - 1)}{b}$ .

Check the answer on elev — Exercise 21

Exercise 22

נתונה הפונקציה $g(x) = -x + \ln(e^x - 1)$ . בנקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ מעבירים אנך לציר ה־ $x$ . נתון כי השטח שמצאתם בסעיף ד שווה ל־ $b - 2 + \ln(1.5)$ . ה. מצאו את הערך של $b$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\ln\frac{2(b - 1)}{b} = \ln 1.5

סעיף ד

\begin{aligned}2(b - 1) &= 1.5b \Rightarrow 0.5b \\ &= 2\end{aligned}

b = 4

$b > 2$

$b = 4$ .

Check the answer on elev — Exercise 22

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית עם פרמטר

Exercise 23

בתת־סעיפים (1)–(3) הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך. א (1). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $f(x)$ .

A $y = 0$ בלבד
B $x = 0$ , $y = 0$
C $x = 0$ , $y = a$
D $x = 0$ , $x = e^{-a}$ , $y = 0$

Show the answer and the solution

Answer: B $x = 0$ , $y = 0$

Worked solution:

x \to 0^+: \ a + \ln x \to -\infty, \ \frac{1}{x} \to \infty \Rightarrow f \to -\infty

אסימפטוטה אנכית $x = 0$

x \to \infty: \ \frac{\ln x}{x} \to 0, \ \frac{a}{x} \to 0 \Rightarrow f \to 0

אסימפטוטה אופקית $y = 0$

אסימפטוטות: $x = 0$ , $y = 0$ , לכל ערך של $a$ .

Check the answer on elev — Exercise 23

Exercise 24

בתת־סעיפים (1)–(3) הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך. א (2). מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ . (הנקודה היא $(e^{ka}, 0)$ .)

$k =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $k =$ -1

Worked solution:

\begin{aligned}f(x) &= 0 \Rightarrow a + \ln x \\ &= 0\end{aligned}

המונה מתאפס

\begin{aligned}\ln x &= -a \Rightarrow x \\ &= e^{-a}\end{aligned}

נקודת החיתוך: $(e^{-a}, 0)$ .

Check the answer on elev — Exercise 24

Exercise 25

בתת־סעיפים (1)–(3) הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך. א (3). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגה. (הנקודה היא $(e^{m + na}, e^{p + qa})$ .)

$m =$ ____ , $n =$ ____ , $p =$ ____ , $q =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $m =$ 1 , $n =$ -1 , $p =$ -1 , $q =$ 1

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\frac{1}{x} \cdot x - (a + \ln x)}{x^2} \\ &= \frac{1 - a - \ln x}{x^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow \ln x \\ &= 1 - a \Rightarrow x \\ &= e^{1 - a}\end{aligned}

\begin{aligned}f(e^{1 - a}) &= \frac{a + 1 - a}{e^{1 - a}} \\ &= e^{a - 1}\end{aligned}

x < e^{1 - a}: f' > 0, \quad x > e^{1 - a}: f' < 0

מקסימום

מקסימום בנקודה $(e^{1 - a}, e^{a - 1})$ .

Check the answer on elev — Exercise 25

Exercise 26

הגרפים I–IV

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף I
Bגרף III
Cגרף II
Dגרף IV

Show the answer and the solution

Answer: D גרף IV

Worked solution:

x \to 0^+: \ f \to -\infty; \quad x \to \infty: \ f \to 0

סעיף א (1)

0 < x < e^{1 - a}: \ f \nearrow, \quad x > e^{1 - a}: \ f \searrow

סעיף א (3): מקסימום אחד

f(e^{-a}) = 0

סעיף א (2): חיתוך אחד עם ציר ה־ $x$ , לפני המקסימום

גרף IV: עולה מ־ $-\infty$ , חותך את ציר ה־ $x$ , מגיע למקסימום ויורד אל $y = 0$ . גרף I הוא $-f$ (מינימום), בגרף II האסימפטוטה האופקית אינה ציר ה־ $x$ , וגרף III מוגדר רק בעבור $x < 0$ .

Check the answer on elev — Exercise 26

Exercise 27

נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1}{x}$ , המוגדרת בתחום $x \neq 0$ . נתון כי גרף הפונקציה $f(x)$ וגרף הפונקציה $g(x)$ נחתכים בנקודה שבה $x = e^2$ . ג. מצאו את הערך של $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

\begin{aligned}f(e^2) &= g(e^2) \Rightarrow \frac{a + 2}{e^2} \\ &= \frac{1}{e^2}\end{aligned}

\begin{aligned}a + 2 &= 1 \Rightarrow a \\ &= -1\end{aligned}

$a = -1$ .

Check the answer on elev — Exercise 27

Exercise 28

נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1}{x}$ , המוגדרת בתחום $x \neq 0$ . נתון כי גרף הפונקציה $f(x)$ וגרף הפונקציה $g(x)$ נחתכים בנקודה שבה $x = e^2$ . הציבו את הערך של $a$ שמצאתם וענו על סעיפים ד–ה. נתונה הפונקציה $h(x)$ , המוגדרת בתחום $x > 0$ . גרף הפונקציה $h(x)$ עובר בנקודה $(e^5, 2.5)$ . נגזרת הפונקציה $h(x)$ מקיימת $h'(x) = f(x) - g(x)$ . ד. מצאו את הפונקציה $h(x)$ .

$h(x) =$ ____ $\ln^2 x + ($ ____ $) \ln x +$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $h(x) =$ 0.5 $\ln^2 x + ($ -2 $) \ln x +$ 0

Worked solution:

\begin{aligned}h'(x) &= \frac{\ln x - 1}{x} - \frac{1}{x} \\ &= \frac{\ln x - 2}{x}\end{aligned}

מציבים $a = -1$

h(x) = \frac{1}{2}\ln^2 x - 2\ln x + c

$\left(\ln^2 x\right)' = \frac{2\ln x}{x}$

\begin{aligned}h(e^5) &= \frac{25}{2} - 10 + c \\ &= 2.5 \Rightarrow c \\ &= 0\end{aligned}

הגרף עובר בנקודה $(e^5, 2.5)$

$h(x) = \frac{1}{2}\ln^2 x - 2\ln x$ .

Check the answer on elev — Exercise 28

Exercise 29

הגרפים I–IV

Aגרף III
Bגרף II
Cגרף I
Dגרף IV

Show the answer and the solution

Answer: C גרף I

Worked solution:

\begin{aligned}h(x) &= \frac{1}{2}\ln x(\ln x - 4) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1 \\ \ x &= e^4\end{aligned}

$|h|$ נוגע בציר ה־ $x$ בשתי הנקודות

\begin{aligned}1 < x < e^4: \ h < 0 \\ \quad h(e^2) &= -2\end{aligned}

$|h(e^2)| = 2$

x \to 0^+: \ |h| \to \infty; \quad x \to \infty: \ |h| \to \infty

$\ln^2 x$ גדל מהר יותר מ־ $\ln x$

גרף I. גרף II נוגע בציר ה־ $x$ רק פעם אחת ושואף ל־ $0$ כאשר $x \to \infty$ , גרף III נוגע בציר ה־ $x$ רק ב־ $x = 1$ , וגרף IV שואף ל־ $0$ כאשר $x \to \infty$ .

Check the answer on elev — Exercise 29

Exercises

שאלה 1 — מקום גאומטרי, מעגל ופרבולה

Exercise 1

Exercise 2

Exercise 3

Exercise 4

שאלה 2 — פירמידה משולשת ווקטורים

Exercise 5

Exercise 6

Exercise 7

Exercise 8

Exercise 9

שאלה 3 — מספרים מרוכבים ומצולע

Exercise 10

Exercise 11

Exercise 12

Exercise 13

Exercise 14

שאלה 4 — פונקציה מעריכית

Exercise 15

Exercise 16

Exercise 17

Exercise 18

Exercise 19

Exercise 20

Exercise 21

Exercise 22

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית עם פרמטר

Exercise 23

Exercise 24

Exercise 25

Exercise 26

Exercise 27

Exercise 28

Exercise 29

Keep practising on elev