בגרות 35572 — קיץ 2025 · Paper 35572 — summer 2025, Kita יב — lesson and practice problems with answers

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35572 (5 יחידות לימוד, שאלון שני, תוכנית חדשה), קיץ תשפ״ה, 2025. משך הבחינה: שעתיים וארבעים וחמש דקות. ענו על שלוש מן השאלות 1–5, על שאלה אחת לפחות מכל פרק (לכל שאלה – $33\frac{1}{3}$ נקודות). פרק ראשון – גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב, מספרים מרוכבים: שאלות 1–3. פרק שני – גדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: שאלות 4–5. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־5 יחידות לימוד.

כאן כתובות כל חמש השאלות, ב־29 סעיפים, כדי שאפשר יהיה להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים שלוש. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר, להראות או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, וסעיף שמבקש ביטוי הפך להשלמת מקדמים. הפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercises

שאלה 1 — מעגל, משיק ואליפסה

Exercise 1

א. הביעו באמצעות $t$ את רדיוס המעגל.

$R = \sqrt{k - t}$ : $k =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $R = \sqrt{k - t}$ : $k =$ 9

Worked solution:

x^2 - 6x + 9 + y^2 = 9 - t

משלימים לריבוע

(x - 3)^2 + y^2 = 9 - t

R = \sqrt{9 - t}

$t < 9$ , ולכן $9 - t > 0$

מרכז המעגל $(3, 0)$ , ורדיוסו $R = \sqrt{9 - t}$ .

Check the answer on elev — Exercise 1

Exercise 2

הישר $y = x$ משיק למעגל. ב. מצאו את הערך של $t$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4.5

Worked solution:

\begin{aligned}d &= \frac{|3 - 0|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \\ &= \frac{3}{\sqrt{2}}\end{aligned}

המרחק של המרכז $(3, 0)$ מהישר $x - y = 0$

\begin{aligned}d &= R \Rightarrow \frac{9}{2} \\ &= 9 - t\end{aligned}

משיק: המרחק מהמרכז שווה לרדיוס

t = 4.5

$t = 4.5$ .

Check the answer on elev — Exercise 2

Exercise 3

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ : $a^2 =$ ____ , $b^2 =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ : $a^2 =$ 4.5 , $b^2 =$ 2.25

Worked solution:

II: x^2 + y^2 = 4.5

מעגל $I$ הוזז כך שמרכזו בראשית; הרדיוס $\sqrt{4.5}$ (סעיף ב)

A(x_A, y_A), \quad B(-x_A, y_A)

מיתר מאונך לציר ה־ $y$ הוא אופקי, וציר ה־ $y$ חוצה אותו

\begin{aligned}AB &= 2|x_A| \Rightarrow PO \\ &= |x_A|\end{aligned}

\begin{aligned}P(x, y_A): \quad x^2 + y_A^2 &= x_A^2 \\ &= 4.5 - y_A^2\end{aligned}

$P$ על המיתר, ולכן שיעור ה־ $y$ שלה הוא $y_A$

\begin{aligned}x^2 + 2y^2 &= 4.5 \Rightarrow \frac{x^2}{4.5} + \frac{y^2}{2.25} \\ &= 1\end{aligned}

-1.5 \le y \le 1.5 \Rightarrow x^2 = 4.5 - 2y^2 \ge 0

התנאי על $y_A$ מבטיח שהנקודה $P$ קיימת

הנקודות $P$ נמצאות על האליפסה $\frac{x^2}{4.5} + \frac{y^2}{2.25} = 1$ .

Check the answer on elev — Exercise 3

Exercise 4

הישר $y = x$ משיק למעגל. הזיזו את מעגל $I$ שמאלה כך שהתקבל מעגל $II$ שמרכזו בראשית הצירים $O$ . $A$ היא נקודה כלשהי על מעגל $II$ כך ש־ $-1.5 \le y_A \le 1.5$ . דרך נקודה $A$ מעבירים מיתר $AB$ המאונך לציר ה־ $y$ . נקודה $P$ נמצאת על המיתר $AB$ כך שמתקיים $AB = 2 \cdot PO$ . הנקודה $K$ היא המוקד הימני, והנקודה $F$ היא המוקד השמאלי של האליפסה שמצאתם בסעיף ג. $C$ היא נקודה כלשהי על האליפסה כך שמתקבל משולש $CKF$ . ד. חשבו את היקף המשולש $CKF$ . (בבחינה אפשר להשאיר שורש בתשובה; כאן יש לכתוב מספר עשרוני בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 7.2426

Worked solution:

\begin{aligned}c^2 &= a^2 - b^2 \\ &= 4.5 - 2.25 \\ &= 2.25 \Rightarrow c \\ &= 1.5\end{aligned}

$K(1.5, 0)$ , $F(-1.5, 0)$

\begin{aligned}CK + CF &= 2a \\ &= 2\sqrt{4.5} \\ &= 3\sqrt{2}\end{aligned}

סכום המרחקים מהמוקדים של נקודה על האליפסה

\begin{aligned}KF &= 2c \\ &= 3\end{aligned}

P_{CKF} = 3 + 3\sqrt{2} \approx 7.24

היקף המשולש $CKF$ הוא $3 + 3\sqrt{2} \approx 7.24$ , לכל נקודה $C$ .

Check the answer on elev — Exercise 4

Exercise 5

הישר $y = x$ משיק למעגל. הזיזו את מעגל $I$ שמאלה כך שהתקבל מעגל $II$ שמרכזו בראשית הצירים $O$ . $A$ היא נקודה כלשהי על מעגל $II$ כך ש־ $-1.5 \le y_A \le 1.5$ . דרך נקודה $A$ מעבירים מיתר $AB$ המאונך לציר ה־ $y$ . נקודה $P$ נמצאת על המיתר $AB$ כך שמתקיים $AB = 2 \cdot PO$ . הנקודה $K$ היא המוקד הימני, והנקודה $F$ היא המוקד השמאלי של האליפסה שמצאתם בסעיף ג. $C$ היא נקודה כלשהי על האליפסה כך שמתקבל משולש $CKF$ . ה. האם קיימת נקודה $C$ שבעבורה שטח המשולש $CKF$ הוא $3$ ? נמקו את תשובתכם.

Aכן: היקף המשולש קבוע, ולכן כל שטח אפשרי
Bלא: השטח הגדול ביותר הוא $1.5$
Cלא: השטח הגדול ביותר הוא $2.25$
Dכן: בנקודה $C(0, 1.5)$ השטח הוא $3$

Show the answer and the solution

Answer: C לא: השטח הגדול ביותר הוא $2.25$

Worked solution:

\begin{aligned}S_{CKF} &= \frac{KF \cdot |y_C|}{2} \\ &= \frac{3|y_C|}{2}\end{aligned}

הבסיס $KF$ על ציר ה־ $x$

|y_C| \le b = 1.5

על האליפסה

S_{CKF} \le \frac{3 \cdot 1.5}{2} = 2.25 < 3

לא. שטח המשולש הוא לכל היותר $2.25$ , בקודקודים $(0, \pm 1.5)$ .

Check the answer on elev — Exercise 5

Did your child get it?

On elev, every exercise is checked the moment your child answers, and a hint comes right when they get stuck.

Practise on elev

שאלה 2 — פירמידה ווקטורים

Exercise 6

א. הביעו באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ ו־ $\underline{w}$ את הווקטור $\overrightarrow{SM}$ .

A $\overrightarrow{SM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}$
B $\overrightarrow{SM} = -\frac{1}{2}\underline{u} - \frac{1}{2}\underline{v} + \underline{w}$
C $\overrightarrow{SM} = \underline{u} + \underline{v} - \underline{w}$
D $\overrightarrow{SM} = \frac{1}{2}\underline{u} - \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}$

Show the answer and the solution

Answer: A $\overrightarrow{SM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}$

Worked solution:

\begin{aligned}\overrightarrow{AM} &= \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \\ &= \frac{1}{2}(\underline{u} + \underline{v})\end{aligned}

האלכסונים במקבילית חוצים זה את זה: $M$ גם אמצע $AC$

\begin{aligned}\overrightarrow{SM} &= \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AM} \\ &= -\underline{w} + \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v}\end{aligned}

$\overrightarrow{SM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}$ .

Check the answer on elev — Exercise 6

Exercise 7

נתון כי $\overrightarrow{SM}$ מאונך ל־ $\overrightarrow{DB}$ . ב. הוכיחו כי $|\underline{u}| = |\underline{v}|$ .

$\overrightarrow{SM} \perp \overrightarrow{DB}$
$SA$ גובה הפירמידה
$\overrightarrow{SM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}$

$|\underline{u}| = |\underline{v}|$

Show the answer and the solution

$\overrightarrow{DB} = \underline{u} - \underline{v}$ — חיבור וקטורים: $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}$
$\underline{w} \cdot \underline{u} = 0$ , $\underline{w} \cdot \underline{v} = 0$ — הגובה $SA$ מאונך למישור הבסיס, ולכן לכל ישר במישור הזה
$\overrightarrow{SM} \cdot \overrightarrow{DB} = 0$ — שני וקטורים מאונכים: המכפלה הסקלרית שלהם היא $0$
$\overrightarrow{SM} \cdot \overrightarrow{DB} = \frac{1}{2}|\underline{u}|^2 - \frac{1}{2}|\underline{v}|^2$ — פתיחת סוגריים: $\underline{u} \cdot \underline{v}$ מתבטל
$|\underline{u}| = |\underline{v}|$ — משווים את שני הביטויים, והאורכים חיוביים

Worked solution:

\overrightarrow{DB} = \underline{u} - \underline{v}

\begin{aligned}\underline{w} \cdot \underline{u} &= \underline{w} \cdot \underline{v} \\ &= 0\end{aligned}

$SA$ מאונך למישור הבסיס

\left(\frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}\right) \cdot (\underline{u} - \underline{v}) = \frac{1}{2}|\underline{u}|^2 - \frac{1}{2}|\underline{v}|^2

\begin{aligned}\frac{1}{2}|\underline{u}|^2 - \frac{1}{2}|\underline{v}|^2 &= 0 \Rightarrow |\underline{u}| \\ &= |\underline{v}|\end{aligned}

$\overrightarrow{SM} \perp \overrightarrow{DB}$

הוכחנו כי $|\underline{u}| = |\underline{v}|$ : הבסיס הוא מעוין.

Check the answer on elev — Exercise 7

Exercise 8

נתון כי $\overrightarrow{SM}$ מאונך ל־ $\overrightarrow{DB}$ . נתון: $A(0, 0, 0)$ , $B(0, 5, 0)$ , $S(0, 0, 6)$ , $D(3, p, 0)$ , $p > 0$ . ג. מצאו את שיעורי הנקודות $D$ ו־ $C$ .

$D($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$ , $C($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $D($ 3 $,$ 4 $,$ 0 $)$ , $C($ 3 $,$ 9 $,$ 0 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}|AB| &= 5 \\ &= |AD| \\ &= \sqrt{9 + p^2}\end{aligned}

סעיף ב

\begin{aligned}p^2 &= 16 \\ \ p > 0 \Rightarrow p &= 4\end{aligned}

$D(3, 4, 0)$

\begin{aligned}\overrightarrow{BC} &= \overrightarrow{AD} \\ &= (3, 4, 0) \Rightarrow C \\ &= (0 + 3, 5 + 4, 0) \\ &= (3, 9, 0)\end{aligned}

$ABCD$ מקבילית

$D(3, 4, 0)$ , $C(3, 9, 0)$ .

Check the answer on elev — Exercise 8

Exercise 9

נתון כי $\overrightarrow{SM}$ מאונך ל־ $\overrightarrow{DB}$ . נתון: $A(0, 0, 0)$ , $B(0, 5, 0)$ , $S(0, 0, 6)$ , $D(3, p, 0)$ , $p > 0$ . דרך האלכסון $AC$ מעבירים מישור המקביל למקצוע $SD$ . המישור חותך את המקצוע $SB$ בנקודה $K$ . ד. מצאו את משוואת המישור. (יש לכתוב את המשוואה כך שהמקדם של $x$ הוא $18$ .)

$18x + ($ ____ $) y +$ ____ $z =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $18x + ($ -6 $) y +$ 5 $z =$ 0

Worked solution:

\begin{aligned}\overrightarrow{AC} &= (3, 9, 0) \\ \quad \overrightarrow{SD} &= (3, 4, -6)\end{aligned}

המישור מכיל את $AC$ ומקביל ל־ $SD$

\begin{aligned}\vec{n} &= (a, b, c): \ 3a + 9b \\ &= 0 \\ \ 3a + 4b - 6c &= 0\end{aligned}

הנורמל מאונך לשני הווקטורים

\begin{aligned}a &= 18 \Rightarrow b \\ &= -6 \\ \ c &= \frac{54 - 24}{6} \\ &= 5\end{aligned}

18x - 6y + 5z = 0

המישור עובר דרך $A(0, 0, 0)$

משוואת המישור: $18x - 6y + 5z = 0$ .

Check the answer on elev — Exercise 9

Exercise 10

נתון כי $\overrightarrow{SM}$ מאונך ל־ $\overrightarrow{DB}$ . נתון: $A(0, 0, 0)$ , $B(0, 5, 0)$ , $S(0, 0, 6)$ , $D(3, p, 0)$ , $p > 0$ . דרך האלכסון $AC$ מעבירים מישור המקביל למקצוע $SD$ . המישור חותך את המקצוע $SB$ בנקודה $K$ . ה. לפניכם שתי טענות I–II. קבעו בעבור כל אחת מן הטענות אם היא נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעותיכם. I. הישר $KM$ מקביל לישר $SD$ . II. כל ישר שמאונך למישור $ACK$ , מאונך לישר $SD$ .

Aשתי הטענות אינן נכונות
BI לא נכונה, II נכונה
CI נכונה, II לא נכונה
Dשתי הטענות נכונות

Show the answer and the solution

Answer: D שתי הטענות נכונות

Worked solution:

\begin{aligned}K(0, 5s, 6 - 6s): \ -30s + 5(6 - 6s) &= 0 \Rightarrow s \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

$K$ על $SB$ ועל המישור

K(0, 2.5, 3), \quad M(1.5, 4.5, 0)

$K$ אמצע $SB$ , $M$ אמצע $BD$

\begin{aligned}\overrightarrow{KM} &= (1.5, 2, -3) \\ &= \frac{1}{2}\overrightarrow{SD}\end{aligned}

I נכונה: קטע אמצעים במשולש $BSD$

\begin{aligned}(18, -6, 5) \cdot (3, 4, -6) &= 54 - 24 - 30 \\ &= 0\end{aligned}

II נכונה: ישר מאונך למישור מקביל לנורמל, והנורמל מאונך ל־ $SD$

שתי הטענות נכונות.

Check the answer on elev — Exercise 10

שאלה 3 — מספרים מרוכבים ומקום גאומטרי

Exercise 11

א. הביעו באמצעות $x$ ו־ $y$ את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z = x + iy$ במישור גאוס המקיימות $|z| = |z - (2 + 2i)|$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $y =$ -1 $x +$ 2

Worked solution:

x^2 + y^2 = (x - 2)^2 + (y - 2)^2

$|z|^2 = |z - (2 + 2i)|^2$

\begin{aligned}0 &= -4x + 4 - 4y + 4 \Rightarrow x + y \\ &= 2\end{aligned}

y = -x + 2

המקום הגאומטרי הוא הישר $y = -x + 2$ : האנך האמצעי לקטע שבין $O$ ובין $(2, 2)$ .

Check the answer on elev — Exercise 11

Exercise 12

$z$ הוא משתנה מרוכב. נתונה המשוואה $z^2 - z(2 + 2i) + 4i = 0$ . $A$ ו־ $B$ הן נקודות המיוצגות על ידי שני פתרונות המשוואה. ב. הראו כי הנקודות $A$ ו־ $B$ נמצאות על המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א.

$z^2 - z(2 + 2i) + 4i = 0$
המקום הגאומטרי: $x + y = 2$

$A$ ו־ $B$ נמצאות על הישר $x + y = 2$

Show the answer and the solution

$z^2 - z(2 + 2i) + 4i = (z - 2)(z - 2i)$ — פתיחת סוגריים: $z^2 - 2iz - 2z + 4i$
$z = 2$ או $z = 2i$ — מכפלה שווה לאפס כשאחד הגורמים אפס
$A(2, 0)$ , $B(0, 2)$ — המספר $x + iy$ מיוצג על ידי הנקודה $(x, y)$
$2 + 0 = 2$ , $0 + 2 = 2$ — הצבה במשוואת המקום הגאומטרי
$A$ ו־ $B$ נמצאות על הישר $x + y = 2$ — הנקודות מקיימות את המשוואה

Worked solution:

\begin{aligned}z &= \frac{(2 + 2i) \pm \sqrt{(2 + 2i)^2 - 16i}}{2} \\ &= \frac{(2 + 2i) \pm \sqrt{-8i}}{2}\end{aligned}

נוסחת השורשים; $(2 + 2i)^2 = 8i$

\sqrt{-8i} = \pm(2 - 2i)

$(2 - 2i)^2 = -8i$

\begin{aligned}z_1 &= 2 \\ \quad z_2 &= 2i\end{aligned}

$A(2, 0)$ , $B(0, 2)$

\begin{aligned}2 + 0 &= 2 \\ \quad 0 + 2 &= 2\end{aligned}

הצבה ב־ $x + y = 2$

שתי הנקודות $A(2, 0)$ ו־ $B(0, 2)$ נמצאות על הישר $x + y = 2$ .

Check the answer on elev — Exercise 12

Exercise 13

$z$ הוא משתנה מרוכב. נתונה המשוואה $z^2 - z(2 + 2i) + 4i = 0$ . $A$ ו־ $B$ הן נקודות המיוצגות על ידי שני פתרונות המשוואה. הנקודות $C$ ו־ $D$ נמצאות על הצירים כך ש־ $ABCD$ הוא ריבוע. סובבו את הריבוע $ABCD$ סביב ראשית הצירים נגד כיוון השעון בזווית $\alpha$ ( $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ ). כל שמונה הנקודות (הנקודות $A$ , $B$ , $C$ ו־ $D$ וארבע הנקודות שהתקבלו אחרי הסיבוב) מיוצגות על ידי פתרונות של המשוואה $z^n = b$ , שבה $n$ הוא מספר טבעי ו־ $b$ הוא מספר ממשי. ג (1). מצאו את הערך של $b$ ואת הערך של $\alpha$ בעבור $n = 8$ .

$b =$ ____ , $\alpha =$ ____ $^\circ$

Show the answer and the solution

Answer: $b =$ 256 , $\alpha =$ 45 $^\circ$

Worked solution:

\begin{aligned}A &= 2 \\ \ B &= 2i \\ \ C &= -2 \\ \ D &= -2i\end{aligned}

ריבוע שקודקודיו על הצירים

\frac{360^\circ}{8} = 45^\circ

שמונת הפתרונות של $z^8 = b$ יוצרים מתומן משוכלל: הזווית בין שני פתרונות סמוכים

\alpha = 45^\circ

הנקודות המסובבות באמצע בין הקודקודים

\begin{aligned}b &= 2^8 \\ &= 256\end{aligned}

$b = z^8$ בעבור $z = 2$

$b = 256$ , $\alpha = 45^\circ$ .

Check the answer on elev — Exercise 13

Exercise 14

$z$ הוא משתנה מרוכב. נתונה המשוואה $z^2 - z(2 + 2i) + 4i = 0$ . $A$ ו־ $B$ הן נקודות המיוצגות על ידי שני פתרונות המשוואה. הנקודות $C$ ו־ $D$ נמצאות על הצירים כך ש־ $ABCD$ הוא ריבוע. סובבו את הריבוע $ABCD$ סביב ראשית הצירים נגד כיוון השעון בזווית $\alpha$ ( $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ ). כל שמונה הנקודות (הנקודות $A$ , $B$ , $C$ ו־ $D$ וארבע הנקודות שהתקבלו אחרי הסיבוב) מיוצגות על ידי פתרונות של המשוואה $z^n = b$ , שבה $n$ הוא מספר טבעי ו־ $b$ הוא מספר ממשי. ג (2). מצאו ערך אפשרי של $n$ בעבור $\alpha = 15^\circ$ , ומצאו את הערך של $b$ המתאים לו. (יש לכתוב את הערך הקטן ביותר האפשרי של $n$ .)

$n =$ ____ , $b = 2^k$ , $k =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $n =$ 24 , $b = 2^k$ , $k =$ 24

Worked solution:

\arg z \in \{0^\circ, 15^\circ, 90^\circ, 105^\circ, 180^\circ, 195^\circ, 270^\circ, 285^\circ\}

\begin{aligned}(2\,\text{cis}\,15^\circ)^n &= (2\,\text{cis}\,0^\circ)^n \Rightarrow 15^\circ \cdot n \\ &= 360^\circ k\end{aligned}

לשתי הנקודות אותה חזקה $b$

n = 24k

$n = 24$ : הפתרונות הם $2\,\text{cis}(15^\circ m)$ , וכל שמונה הנקודות ביניהם

\begin{aligned}b &= 2^{24} \\ &= 16\,777\,216\end{aligned}

$n = 24$ (או כל כפולה של $24$ ), ובעבורו $b = 2^{24} = 16\,777\,216$ .

Check the answer on elev — Exercise 14

שאלה 4 — פונקציה מעריכית עם פרמטר

Exercise 15

ענו על התת־סעיפים (1)–(3) בעבור $a > 0$ ובעבור $a < 0$ . הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך. א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

A $a > 0$ : $x \neq \ln a$ ; $a < 0$ : $x \neq \ln(-a)$
B $a > 0$ : $x > \ln a$ ; $a < 0$ : כל $x$
C $a > 0$ : $x \neq \ln a$ ; $a < 0$ : כל $x$
D $a > 0$ : כל $x$ ; $a < 0$ : $x \neq \ln(-a)$

Show the answer and the solution

Answer: C $a > 0$ : $x \neq \ln a$ ; $a < 0$ : כל $x$

Worked solution:

a - e^x \neq 0 \iff e^x \neq a

המכנה שונה מאפס

a > 0: \ x \neq \ln a

a < 0: \ e^x > 0 > a

המכנה לעולם אינו אפס

$a > 0$ : $x \neq \ln a$ ; $a < 0$ : כל $x$ .

Check the answer on elev — Exercise 15

Exercise 16

ענו על התת־סעיפים (1)–(3) בעבור $a > 0$ ובעבור $a < 0$ . הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך. א (2). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לציר ה־ $y$ של הפונקציה $f(x)$ .

A $a > 0$ : $y = 0$ , $y = -1$ ; $a < 0$ : $y = 0$ , $y = -1$
B $a > 0$ : $y = 0$ , $y = 1$ ; $a < 0$ : $y = 0$ , $y = 1$
C $a > 0$ : $x = \ln a$ , $y = 0$ , $y = -1$ ; $a < 0$ : $y = 0$ , $y = -1$
D $a > 0$ : $y = 0$ ; $a < 0$ : $y = 0$

Show the answer and the solution

Answer: A $a > 0$ : $y = 0$ , $y = -1$ ; $a < 0$ : $y = 0$ , $y = -1$

Worked solution:

x \to -\infty: \ e^x \to 0 \Rightarrow f(x) \to \frac{0}{a} = 0

x \to \infty: \ f(x) = \frac{1}{a e^{-x} - 1} \to -1

מחלקים מונה ומכנה ב־ $e^x$

בעבור $a > 0$ ובעבור $a < 0$ : $y = 0$ , $y = -1$ .

Check the answer on elev — Exercise 16

Exercise 17

ענו על התת־סעיפים (1)–(3) בעבור $a > 0$ ובעבור $a < 0$ . הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך. א (3). מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $f(x)$ (אם יש כאלה).

A $a > 0$ : עולה ב־ $x < \ln a$ ויורדת ב־ $x > \ln a$ ; $a < 0$ : יורדת לכל $x$
B $a > 0$ : יורדת ב־ $x < \ln a$ וב־ $x > \ln a$ ; $a < 0$ : עולה לכל $x$
C $a > 0$ : עולה ב־ $x < \ln a$ וב־ $x > \ln a$ ; $a < 0$ : יורדת לכל $x$
D $a > 0$ : עולה ב־ $x < \ln a$ וב־ $x > \ln a$ ; $a < 0$ : עולה לכל $x$

Show the answer and the solution

Answer: C $a > 0$ : עולה ב־ $x < \ln a$ וב־ $x > \ln a$ ; $a < 0$ : יורדת לכל $x$

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{e^x(a - e^x) + e^x \cdot e^x}{(a - e^x)^2} \\ &= \frac{a e^x}{(a - e^x)^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

a > 0: f'(x) > 0

עולה בכל אחד מן התחומים $x < \ln a$ , $x > \ln a$

a < 0: f'(x) < 0

יורדת לכל $x$

$a > 0$ : עולה ב־ $x < \ln a$ וב־ $x > \ln a$ ; $a < 0$ : יורדת לכל $x$ .

Check the answer on elev — Exercise 17

Exercise 18

הגרפים I–IV

ב. קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקציה $f(x)$ בעבור $a = 3$ ואיזה מן הגרפים מתאר את הפונקציה $f(x)$ בעבור $a = -3$ . נמקו את קביעותיכם.

A $a = 3$ : גרף II ; $a = -3$ : גרף III
B $a = 3$ : גרף I ; $a = -3$ : גרף III
C $a = 3$ : גרף II ; $a = -3$ : אף אחד מן הגרפים
D $a = 3$ : גרף II ; $a = -3$ : גרף IV

Show the answer and the solution

Answer: A $a = 3$ : גרף II ; $a = -3$ : גרף III

Worked solution:

\begin{aligned}a &= 3: \ x \\ &= \ln 3 > 0 \\ \ f(0) &= \frac{1}{2} \\ \ f \nearrow\end{aligned}

סעיף א: אסימפטוטה אנכית מימין לציר ה־ $y$ , והפונקציה עולה

x > \ln 3: \ f(x) < 0, \ f \to -1

גרף II

\begin{aligned}a &= -3: \ f(0) \\ &= -\frac{1}{4} \\ \ f \searrow\end{aligned}

מוגדרת לכל $x$ , בלי אסימפטוטה אנכית; יורדת מ־ $0$ אל $-1$ : גרף III

$a = 3$ : גרף II ; $a = -3$ : גרף III. בגרף I הענפים יורדים, ובגרף IV האסימפטוטה האנכית משמאל לציר ה־ $y$ ( $0 < a < 1$ ).

Check the answer on elev — Exercise 18

Exercise 19

הציבו $a = 3$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ה. נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1}{f(x) + 2}$ . ג (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ . (יש לכתוב קודם את המספר הקטן.)

$x \neq \ln$ ____ , $x \neq \ln$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x \neq \ln$ 3 , $x \neq \ln$ 6

Worked solution:

x \neq \ln 3

תחום ההגדרה של $f(x)$

\begin{aligned}f(x) + 2 &= \frac{e^x + 6 - 2e^x}{3 - e^x} \\ &= \frac{6 - e^x}{3 - e^x}\end{aligned}

f(x) + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq \ln 6

תחום ההגדרה: $x \neq \ln 3$ , $x \neq \ln 6$ .

Check the answer on elev — Exercise 19

Exercise 20

הציבו $a = 3$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ה. נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1}{f(x) + 2}$ . ג (2). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $g(x)$ .

A $x = \ln 6$ , $y = 0$ , $y = -1$
B $x = \ln 6$ , $y = \frac{1}{2}$ , $y = 1$
C $x = \ln 6$ , $y = 1$
D $x = \ln 3$ , $x = \ln 6$ , $y = \frac{1}{2}$ , $y = 1$

Show the answer and the solution

Answer: B $x = \ln 6$ , $y = \frac{1}{2}$ , $y = 1$

Worked solution:

g(x) = \frac{3 - e^x}{6 - e^x}

x \to \ln 6: \ g(x) \to \pm\infty

אסימפטוטה $x = \ln 6$

x \to \ln 3: \ g(x) \to 0

אין אסימפטוטה ב־ $x = \ln 3$ : הנקודה $(\ln 3, 0)$ חסרה בגרף

\begin{aligned}x \to -\infty: \ g \to \frac{3}{6} &= \frac{1}{2} \\ \quad x \to \infty: \ g \to 1\end{aligned}

אסימפטוטות: $x = \ln 6$ , $y = \frac{1}{2}$ , $y = 1$ .

Check the answer on elev — Exercise 20

Exercise 21

הגרפים I–IV

הציבו $a = 3$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ה. נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1}{f(x) + 2}$ . ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף III
Bגרף II
Cגרף I
Dגרף IV

Show the answer and the solution

Answer: A גרף III

Worked solution:

g'(x) = \frac{-3e^x}{(6 - e^x)^2} < 0

$g$ יורדת בכל תחום הגדרתה

x < \ln 6: \ \frac{1}{2} \searrow -\infty

יורדת מ־ $\frac{1}{2}$ אל $-\infty$ ; מגיעה ל־ $0$ ב־ $\ln 3$ , נקודה שאינה בתחום

x > \ln 6: \ \infty \searrow 1

יורדת מ־ $\infty$ אל $1$

גרף III: יורד בשני הענפים, עם אסימפטוטות $x = \ln 6$ , $y = \frac{1}{2}$ ו־ $y = 1$ , ועיגול ריק ב־ $(\ln 3, 0)$ . גרף I הוא $g(-x)$ , גרף II הוא $-g(x)$ , וגרף IV הוא $\frac{1}{g(x)}$ .

Check the answer on elev — Exercise 21

Exercise 22

הציבו $a = 3$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ה. נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1}{f(x) + 2}$ . ה. לפניכם טענה: $\int_{-4}^{-2} g(x)\,dx > \int_{2}^{3} g(x)\,dx$ . האם הטענה נכונה? נמקו את תשובתכם.

Aנכונה: $g(x)$ יורדת, ולכן ערכיה משמאל גדולים יותר
Bלא נכונה: שני האינטגרלים שווים
Cנכונה: הקטע $[-4, -2]$ ארוך פי שניים מהקטע $[2, 3]$ , ובשני הקטעים $g(x) > 0$
Dלא נכונה: האינטגרל השמאלי קטן מ־ $1$ , והאינטגרל הימני גדול מ־ $1$

Show the answer and the solution

Answer: D לא נכונה: האינטגרל השמאלי קטן מ־ $1$ , והאינטגרל הימני גדול מ־ $1$

Worked solution:

\begin{aligned}-4 \le x \le -2: \ g(x) &= 1 - \frac{3}{6 - e^x} < 1 - \frac{3}{6} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

$0 < 6 - e^x < 6$

\int_{-4}^{-2} g(x)\,dx < 2 \cdot \frac{1}{2} = 1

2 \le x \le 3: \ x > \ln 6 \Rightarrow g(x) > 1

הענף הימני מעל האסימפטוטה $y = 1$

\int_{2}^{3} g(x)\,dx > 1 \cdot 1 = 1

הטענה אינה נכונה: $\int_{-4}^{-2} g\,dx \approx 0.99 < 1 < \int_{2}^{3} g\,dx \approx 1.66$ .

Check the answer on elev — Exercise 22

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית

Exercise 23

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

$x \neq$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x \neq$ 0

Worked solution:

x^n > 0

הביטוי שבתוך הלוגריתם חיובי

x^n > 0 \iff x \neq 0

$n$ זוגי

תחום ההגדרה: $x \neq 0$ .

Check the answer on elev — Exercise 23

Exercise 24

הגרפים I–IV

א (2). לפניכם ארבעה גרפים, I–IV. קבעו איזה מהם מייצג את הפונקציה $f(x)$ . נמקו את קביעתכם.

Aגרף I
Bגרף IV
Cגרף III
Dגרף II

Show the answer and the solution

Answer: D גרף II

Worked solution:

\begin{aligned}f(-x) &= \ln((-x)^n) \\ &= \ln(x^n) \\ &= f(x)\end{aligned}

$n$ זוגי: הפונקציה זוגית, והגרף סימטרי לציר ה־ $y$

x \to 0: \ x^n \to 0^+ \Rightarrow f(x) \to -\infty

גרף II: סימטרי לציר ה־ $y$ , מוגדר משני צדי $x = 0$ ויורד אל $-\infty$ ליד הציר. גרפים III ו־IV מוגדרים רק ב־ $x > 0$ , וגרף I סימטרי לראשית הצירים ולא לציר ה־ $y$ .

Check the answer on elev — Exercise 24

Exercise 25

הציבו $n = 2$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על סעיפים ב–ד. נתונה הפונקציה $g(x) = (f(x))^2 - 4$ , המוגדרת לכל $x \neq 0$ . ב (1). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $g(x)$ עם ציר ה־ $x$ . (יש לכתוב את שיעורי ה־ $x$ מן הקטן לגדול, כמספרים עשרוניים.)

$x_1 =$ ____ , $x_2 =$ ____ , $x_3 =$ ____ , $x_4 =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x_1 =$ -2.7183 , $x_2 =$ -0.3679 , $x_3 =$ 0.3679 , $x_4 =$ 2.7183

Worked solution:

\begin{aligned}(\ln x^2)^2 &= 4 \Rightarrow \ln x^2 \\ &= \pm 2\end{aligned}

\begin{aligned}x^2 &= e^2 \Rightarrow x \\ &= \pm e \\ \quad x^2 &= e^{-2} \Rightarrow x \\ &= \pm\frac{1}{e}\end{aligned}

נקודות החיתוך: $(-e, 0)$ , $\left(-\frac{1}{e}, 0\right)$ , $\left(\frac{1}{e}, 0\right)$ , $(e, 0)$ , כלומר $x \approx \pm 2.72$ , $\pm 0.37$ .

Check the answer on elev — Exercise 25

Exercise 26

הציבו $n = 2$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על סעיפים ב–ד. נתונה הפונקציה $g(x) = (f(x))^2 - 4$ , המוגדרת לכל $x \neq 0$ . ב (2). מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $g(x)$ , וקבעו את סוגן. (יש לכתוב את הנקודה שבה $x$ קטן יותר ראשונה.)

$($ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $($ -1 $,$ -4 $)$ , $($ 1 $,$ -4 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}g'(x) &= 2\ln(x^2) \cdot \frac{2x}{x^2} \\ &= \frac{4\ln(x^2)}{x}\end{aligned}

\begin{aligned}g'(x) &= 0 \Rightarrow x^2 \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= \pm 1\end{aligned}

0 < x < 1: g' < 0, \ x > 1: g' > 0

מינימום ב־ $x = 1$

x < -1: g' < 0, \ -1 < x < 0: g' > 0

מינימום ב־ $x = -1$

\begin{aligned}g(\pm 1) &= 0 - 4 \\ &= -4\end{aligned}

שתי נקודות מינימום: $(-1, -4)$ ו־ $(1, -4)$ .

Check the answer on elev — Exercise 26

Exercise 27

הגרפים I–IV

הציבו $n = 2$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על סעיפים ב–ד. נתונה הפונקציה $g(x) = (f(x))^2 - 4$ , המוגדרת לכל $x \neq 0$ . ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

Aגרף III
Bגרף II
Cגרף IV
Dגרף I

Show the answer and the solution

Answer: D גרף I

Worked solution:

g(-x) = g(x)

זוגית

x \to 0: \ (\ln x^2)^2 \to \infty

אסימפטוטה $x = 0$

\begin{aligned}\min(\pm 1, -4) \\ \quad g(\pm e) &= g\left(\pm\frac{1}{e}\right) \\ &= 0\end{aligned}

סעיף ב

גרף I: סימטרי, עולה אל $\infty$ ליד $x = 0$ , שני מינימומים $(\pm 1, -4)$ וארבע נקודות חיתוך. גרף II הפוך, בגרף III חסר הענף השמאלי, וגרף IV מוגדר ב־ $x = 0$ .

Check the answer on elev — Exercise 27

Exercise 28

הציבו $n = 2$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על סעיפים ב–ד. נתונה הפונקציה $g(x) = (f(x))^2 - 4$ , המוגדרת לכל $x \neq 0$ . נתונה הפונקציה $k(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$ , בתחום $x > 0$ . ד (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $k(x)$ .

A $x > 0$ , $x \neq 1$
B $x > 0$ , $x \neq \frac{1}{e}$ , $x \neq e$
C $x > 0$
D $x > 0$ , $x \neq \frac{1}{e}$ , $x \neq 1$ , $x \neq e$

Show the answer and the solution

Answer: B $x > 0$ , $x \neq \frac{1}{e}$ , $x \neq e$

Worked solution:

g(x) \neq 0

המכנה שונה מאפס

x \neq \frac{1}{e}, \ x \neq e

סעיף ב (1), בתחום $x > 0$

תחום ההגדרה: $x > 0$ , $x \neq \frac{1}{e}$ , $x \neq e$ .

Check the answer on elev — Exercise 28

Exercise 29

הציבו $n = 2$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על סעיפים ב–ד. נתונה הפונקציה $g(x) = (f(x))^2 - 4$ , המוגדרת לכל $x \neq 0$ . נתונה הפונקציה $k(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$ , בתחום $x > 0$ . ד (2). חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $k(x)$ , על ידי ציר ה־ $x$ ועל ידי הישרים $x = e^2$ ו־ $x = e^3$ . (יש לכתוב מספר עשרוני בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 0.9808

Worked solution:

e^2 \le x \le e^3: \ \ln x^2 \ge 4 \Rightarrow g(x) \ge 12 > 0, \ g'(x) > 0

$k(x) > 0$ : הגרף מעל ציר ה־ $x$

\int \frac{g'(x)}{g(x)}\,dx = \ln|g(x)|

\begin{aligned}g(e^3) &= 6^2 - 4 \\ &= 32 \\ \quad g(e^2) &= 4^2 - 4 \\ &= 12\end{aligned}

$\ln(e^{6}) = 6$ , $\ln(e^{4}) = 4$

\begin{aligned}S &= \ln 32 - \ln 12 \\ &= \ln\frac{8}{3} \approx 0.98\end{aligned}

השטח: $\ln\frac{8}{3} \approx 0.98$ .

Check the answer on elev — Exercise 29

Exercises

שאלה 1 — מעגל, משיק ואליפסה

Exercise 1

Exercise 2

Exercise 3

Exercise 4

Exercise 5

שאלה 2 — פירמידה ווקטורים

Exercise 6

Exercise 7

Exercise 8

Exercise 9

Exercise 10

שאלה 3 — מספרים מרוכבים ומקום גאומטרי

Exercise 11

Exercise 12

Exercise 13

Exercise 14

שאלה 4 — פונקציה מעריכית עם פרמטר

Exercise 15

Exercise 16

Exercise 17

Exercise 18

Exercise 19

Exercise 20

Exercise 21

Exercise 22

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית

Exercise 23

Exercise 24

Exercise 25

Exercise 26

Exercise 27

Exercise 28

Exercise 29

Keep practising on elev