בגרות 35572 — קיץ 2025, מועד ב׳

Exercise 1

א. הביעו באמצעות $k$ את משוואת המעגל.

$(x -$ ____ $k)^2 + y^2 =$ ____ $k^2$

Exercise 2

הנקודה $B$ היא נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה־$y$. הנקודה $D$ היא נקודת החיתוך של הקטע $BF$ עם המעגל. ב (1). מצאו את היחס בין הקטע $BD$ ובין הקטע $DF$. (יש לכתוב את היחס כמספר עשרוני.)

$\frac{BD}{DF} =$ ____

Exercise 3

הנקודה $B$ היא נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה־$y$. הנקודה $D$ היא נקודת החיתוך של הקטע $BF$ עם המעגל. ב (2). הביעו באמצעות $k$ את שיעורי הנקודה $D$.

$D($ ____ $k ,$ ____ $k)$

Exercise 4

הנקודה $B$ היא נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה־$y$. הנקודה $D$ היא נקודת החיתוך של הקטע $BF$ עם המעגל. ג. הביעו באמצעות $k$ את משוואת המשיק למעגל בנקודה $D$.

$y =$ ____ $x +$ ____ $k$

Exercise 5

הנקודה $B$ היא נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה־$y$. הנקודה $D$ היא נקודת החיתוך של הקטע $BF$ עם המעגל. בונים ריבוע שאורך הצלע שלו הוא $15$. אחת מצלעות הריבוע נמצאת על המשיק שאת משוואתו מצאתם בסעיף ג. הנקודה $B$ נמצאת בתוך הריבוע. ד. הביעו באמצעות $k$ את משוואת הישר שעליו נמצאת צלע הריבוע המקבילה למשיק.

$y =$ ____ $x +$ ____ $k +$ ____

Exercise 6

הנקודה $B$ היא נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה־$y$. הנקודה $D$ היא נקודת החיתוך של הקטע $BF$ עם המעגל. בונים ריבוע שאורך הצלע שלו הוא $15$. אחת מצלעות הריבוע נמצאת על המשיק שאת משוואתו מצאתם בסעיף ג. הנקודה $B$ נמצאת בתוך הריבוע. נתון כי הנקודה $B$ היא נקודת המפגש של אלכסוני הריבוע. ה. מצאו את הערך של $k$.

Exercise 7

א (1). הביעו באמצעות $\underline{w}$ , $\underline{v}$ , $\underline{u}$ את $\overrightarrow{O'N}$.

$\overrightarrow{O'N} =$ ____ $\underline{u} +$ ____ $\underline{v} +$ ( ____ ) $\underline{w}$

Exercise 8

א (2). הוכיחו כי הנקודות $K , N , O'$ נמצאות על ישר אחד, ומצאו את היחס בין $O'K$ ובין $O'N$. בנו את ההוכחה שהנקודות על ישר אחד.

• $\overrightarrow{O'N} = \frac{1}{4}\underline{u} + \frac{1}{4}\underline{v} - \frac{1}{2}\underline{w}$
• הנקודה $K$ היא אמצע המקצוע $AB$

הנקודות $K , N , O'$ נמצאות על ישר אחד

Exercise 9

א (2). הוכיחו כי הנקודות $K , N , O'$ נמצאות על ישר אחד, ומצאו את היחס בין $O'K$ ובין $O'N$. מצאו את היחס $\frac{O'K}{O'N}$.

Exercise 10

נתון: $O(0, 0, 0)$ , $A(4, 0, 0)$ , $E(0, 1, 6)$. הקודקוד $B$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־$y$, והקודקוד $O'$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־$z$. ב. מצאו את שיעורי הנקודות $N$ ו־$B$.

$N($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$ , $B($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$

Exercise 11

נתון: $O(0, 0, 0)$ , $A(4, 0, 0)$ , $E(0, 1, 6)$. הקודקוד $B$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־$y$, והקודקוד $O'$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־$z$. ג. מצאו את משוואת המישור $A'KB'$.

$3x +$ ____ $y +$ ____ $z =$ ____

Exercise 12

נתון: $O(0, 0, 0)$ , $A(4, 0, 0)$ , $E(0, 1, 6)$. הקודקוד $B$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־$y$, והקודקוד $O'$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־$z$. ד (1). מצאו את המרחק בין הנקודה $N$ ובין המישור $A'KB'$.

Exercise 13

נתון: $O(0, 0, 0)$ , $A(4, 0, 0)$ , $E(0, 1, 6)$. הקודקוד $B$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־$y$, והקודקוד $O'$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־$z$. ד (2). מצאו את נפח הפירמידה $NA'KB'$.

Exercise 14

א. מצאו את המספר $z_2$.

$z_2 =$ ____ $+$ ____ $i$

Exercise 15

נתונה המשוואה $w^3 = z_1 + z_2$ , $w$ הוא משתנה מרוכב. ב. מצאו את פתרונות המשוואה.

1. A$1 + \sqrt{3}i$ , $-2$ , $1 - \sqrt{3}i$
2. B$\sqrt{3} + i$ , $-\sqrt{3} + i$ , $-2i$
3. C$2i$ , $\sqrt{3} - i$ , $-\sqrt{3} - i$
4. D$\sqrt{3} + i$ , $-\sqrt{3} + i$ , $-2i$ , $2i$

Exercise 16

נתון מספר מרוכב $z = 2(\cos\theta + i \cdot \sin\theta)$ , $0^\circ \le \theta < 360^\circ$. נתון כי המספרים $z$ ו־$z^3$ נמצאים על ישר אחד שעובר בראשית הצירים. ג. מצאו את ארבע האפשרויות של המספר $z$.

1. A$\sqrt{2} + \sqrt{2}i$ , $-\sqrt{2} + \sqrt{2}i$ , $-\sqrt{2} - \sqrt{2}i$ , $\sqrt{2} - \sqrt{2}i$
2. B$2$ , $-1 + \sqrt{3}i$ , $-1 - \sqrt{3}i$ , $-2$
3. C$2$ , $1 + \sqrt{3}i$ , $-1 + \sqrt{3}i$ , $-2$
4. D$2$ , $2i$ , $-2$ , $-2i$

Exercise 17

פתרונות המשוואה שמצאתם בסעיף ב וארבעת המספרים שמצאתם בסעיף ג, מייצגים את כל הקודקודים של מצולע קמור במישור גאוס. ד (1). סרטטו את המצולע במערכת צירים. בחרו את התיאור שמתאים לסרטוט.

1. Aמעוין שקודקודיו $2$ , $2i$ , $-2$ , $-2i$
2. Bמשושה שקודקודיו $2$ , $2i$ , $-\sqrt{3} - i$ , $-2$ , $-2i$ , $\sqrt{3} - i$
3. Cמשובע שקודקודיו $2$ , $\sqrt{3} + i$ , $2i$ , $-\sqrt{3} + i$ , $-2$ , $-2i$ , $-2i$
4. Dמשושה שקודקודיו $2$ , $\sqrt{3} + i$ , $2i$ , $-\sqrt{3} + i$ , $-2$ , $-2i$

Exercise 18

פתרונות המשוואה שמצאתם בסעיף ב וארבעת המספרים שמצאתם בסעיף ג, מייצגים את כל הקודקודים של מצולע קמור במישור גאוס. ד (2). חשבו את השטח של המצולע. (בבחינה אפשר להשאיר שורש בתשובה; כאן יש לכתוב מספר עשרוני בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Exercise 19

פתרונות המשוואה שמצאתם בסעיף ב וארבעת המספרים שמצאתם בסעיף ג, מייצגים את כל הקודקודים של מצולע קמור במישור גאוס. נתון מספר מרוכב $3(\cos\alpha + i\sin\alpha)$ , $0^\circ \le \alpha < 360^\circ$. מכפילים כל אחד מן המספרים המייצגים את קודקודי המצולע במספר מרוכב זה, כך שנוצר מצולע חדש. ה. מצאו פי כמה גדול שטח המצולע החדש משטח המצולע שמצאתם בסעיף ד.

Exercise 20

ענו על התת־סעיפים (1)–(3). הביעו את תשובותיכם באמצעות $b$, אם יש צורך. א (1). מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה $f(x)$ המאונכות לצירים.

1. A$y = b + 1$ , $y = b - 1$ , $x = 0$
2. B$y = b + 1$ , $y = b - 1$
3. C$y = 1$ , $y = -1$
4. D$y = b + 1$ בלבד

Exercise 21

ענו על התת־סעיפים (1)–(3). הביעו את תשובותיכם באמצעות $b$, אם יש צורך. א (2). מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־$y$.

$(0 ,\ b +$ ____ $)$

Exercise 22

ענו על התת־סעיפים (1)–(3). הביעו את תשובותיכם באמצעות $b$, אם יש צורך. א (3). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$, וקבעו את סוגה.

1. Aנקודת מינימום $\left(1 ,\ \frac{e + 1}{e - 1} + b\right)$
2. Bנקודת מינימום $\left(-1 ,\ \frac{1 - e}{1 + e} + b\right)$
3. Cנקודת מקסימום $\left(1 ,\ \frac{e + 1}{e - 1} + b\right)$
4. Dנקודת מקסימום $(0 ,\ 1 + b)$