בגרות 35572 — חורף 2026

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35572 (5 יחידות לימוד, שאלון שני, תוכנית חדשה), חורף תשפ״ו, 2026. משך הבחינה: שעתיים וחצי. ענו על שלוש מן השאלות 1–5, על שאלה אחת לפחות מכל פרק (לכל שאלה – $33\frac{1}{3}$ נקודות). פרק ראשון – גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב, מספרים מרוכבים: שאלות 1–3. פרק שני – גדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: שאלות 4–5. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־5 יחידות לימוד.

כאן כתובות כל חמש השאלות, ב־27 סעיפים, כדי שאפשר יהיה להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים שלוש. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר, להראות או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, וסעיף שמבקש ביטוי הפך להשלמת מקדמים. הפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercises

שאלה 1 — אליפסה ומקום גאומטרי

Exercise 1

א. מצאו את משוואת האליפסה.

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ : $a^2 =$ ____ , $b^2 =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ : $a^2 =$ 16 , $b^2 =$ 9.6

Worked solution:

\begin{aligned}a^2 - b^2 &= c^2 \\ &= 6.4\end{aligned}

המוקד $(c, 0)$

\frac{1}{b^2 + 6.4} + \frac{9}{b^2} = 1

$A(1, 3)$ על האליפסה

\begin{aligned}b^2 + 9(b^2 + 6.4) &= b^2(b^2 + 6.4) \Rightarrow (b^2)^2 - 3.6\,b^2 - 57.6 \\ &= 0\end{aligned}

כופלים במכנה המשותף

\begin{aligned}b^2 &= \frac{3.6 + 15.6}{2} \\ &= 9.6 \\ \quad a^2 &= 16\end{aligned}

$b^2 > 0$

האליפסה: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9.6} = 1$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

הנקודה $B$ היא נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה־ $B$ . דרך הנקודה $x$ העבירו ישר העובר דרך ראשית הצירים, הנקודה $A$ . הנקודה $O$ היא נקודה כלשהי על הישר $C$ . הנקודה $P$ היא אמצע הקטע $P$ . ב. מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות $P$ .

$P$ ____ $x +$ ( ____ )

Show the answer and the solution

Answer: $y =$ 3 $x +$ ( -6 )

Worked solution:

\begin{aligned}B(4, 0) \\ \quad AO: \ y &= 3x\end{aligned}

$a = 4$ ; הישר דרך $O$ ו־ $A(1, 3)$

C(t, 3t)

נקודה כלשהי על $AO$

P\left(\frac{4 + t}{2}, \frac{3t}{2}\right)

אמצע $BC$

\begin{aligned}x &= \frac{4 + t}{2} \Rightarrow t \\ &= 2x - 4 \Rightarrow y \\ &= \frac{3(2x - 4)}{2} \\ &= 3x - 6\end{aligned}

מבטלים את הפרמטר $t$

המקום הגאומטרי: הישר $y = 3x - 6$ , מקביל ל־ $AO$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

הנקודה $B$ היא נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה־ $B$ . דרך הנקודה $x$ העבירו ישר העובר דרך ראשית הצירים, הנקודה $A$ . הנקודה $O$ היא נקודה כלשהי על הישר $C$ . הנקודה $P$ היא אמצע הקטע $P$ . ג. מצאו את משוואת המעגל המשיק למקום הגאומטרי שמצאתם, ומשיק לישר $AO$ בנקודה $O$ .

$O$ ____ $)^2 + (y -$ ( ____ ) $)^2 =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $(x -$ 0.9 $)^2 + (y -$ ( -0.3 ) $)^2 =$ 0.9

Worked solution:

\begin{aligned}y &= 3x \ \parallel \ y \\ &= 3x - 6\end{aligned}

שני משיקים מקבילים: המרחק ביניהם הוא קוטר המעגל

\begin{aligned}2R &= \frac{|0 - (-6)|}{\sqrt{3^2 + 1}} \\ &= \frac{6}{\sqrt{10}} \Rightarrow R^2 \\ &= \frac{9}{10} \\ &= 0.9\end{aligned}

מרחק בין ישרים מקבילים

\text{המרכז על } y = -\frac{1}{3}x

הרדיוס לנקודת ההשקה $O$ מאונך ל־ $AO$

\begin{aligned}\text{המרכז } M(h, -\tfrac{h}{3}) \text{ במרחק } R \text{ מ־} O: \ h^2 + \frac{h^2}{9} &= 0.9 \Rightarrow h \\ &= 0.9\end{aligned}

$h > 0$ : המרכז בין שני הישרים

M(0.9, -0.3)

המעגל: $(x - 0.9)^2 + (y + 0.3)^2 = 0.9$ .

Check the answer on elev

שאלה 2 — תיבה במערכת צירים

Exercise 4

א. מצאו את אורך המקצוע $BB'$ .

Show the answer and the solution

Answer: 18

Worked solution:

BB' \perp A'B'C'D'

בתיבה המקצוע הצדדי מאונך לפאה העליונה

\begin{aligned}BB' &= \frac{|0 + 4 \cdot 7 - 8 \cdot 6 - 142|}{\sqrt{1 + 16 + 64}} \\ &= \frac{162}{9} \\ &= 18\end{aligned}

מרחק הנקודה $B$ מהמישור

$BB' = 18$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

נתון כי הצגה פרמטרית של הישר $AB$ היא $\underline{x} = (0, 7, 6) + t(0, 2, 1)$ . אורך המקצוע $AB$ הוא $5\sqrt{5}$ , ושיעור ה־ $y$ של הקודקוד $A$ הוא שלילי. ב. מצאו את שיעורי הקודקוד $A$ .

$A$ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $A($ 0 $,$ -3 $,$ 1 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}A &= (0, 7 + 2t, 6 + t) \\ \quad AB &= |t| \cdot \sqrt{0 + 4 + 1} \\ &= |t|\sqrt{5}\end{aligned}

\begin{aligned}|t|\sqrt{5} &= 5\sqrt{5} \Rightarrow t \\ &= \pm 5\end{aligned}

t = -5: \ A(0, -3, 1)

שיעור ה־ $y$ שלילי ( $t = 5$ נותן $y = 17$ )

$A(0, -3, 1)$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

נתון כי הצגה פרמטרית של הישר $AB$ היא $\underline{x} = (0, 7, 6) + t(0, 2, 1)$ . אורך המקצוע $AB$ הוא $5\sqrt{5}$ , ושיעור ה־ $y$ של הקודקוד $A$ הוא שלילי. ג. מצאו את משוואת המישור $ABB'A'$ .

____ $x - y +$ ____ $z =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: 20 $x - y +$ 2 $z =$ 5

Worked solution:

\begin{aligned}\underline{d} &= (0, 2, 1) \\ \quad \underline{n}_1 &= (1, 4, -8)\end{aligned}

המישור מכיל את $AB$ ואת המקצוע $BB'$ , שמקביל לנורמל של המישור העליון

\begin{aligned}\underline{n} &= \underline{d} \times \underline{n}_1 \\ &= (-20, 1, -2)\end{aligned}

וקטור מאונך לשניהם

\begin{aligned}20x - y + 2z &= d \\ \quad B(0, 7, 6): \ d &= -7 + 12 \\ &= 5\end{aligned}

A(0, -3, 1): \ 3 + 2 = 5 \ \checkmark

בדיקה

המישור $ABB'A'$ : $20x - y + 2z = 5$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

נתון כי הצגה פרמטרית של הישר $AB$ היא $\underline{x} = (0, 7, 6) + t(0, 2, 1)$ . אורך המקצוע $AB$ הוא $5\sqrt{5}$ , ושיעור ה־ $y$ של הקודקוד $A$ הוא שלילי. נתונה נקודה $M(k, 1, 3)$ , $k$ הוא פרמטר חיובי. נתון כי גודל הזווית שבין הישר $AM$ ובין הישר $AB$ הוא $60^\circ$ . ד. מצאו את הערך של $k$ (בבחינה אפשר להשאיר שורש בתשובה; כאן יש לכתוב מספר עשרוני).

Show the answer and the solution

Answer: 7.746

Worked solution:

\begin{aligned}\overrightarrow{AM} &= (k, 4, 2) \\ \quad \underline{d} &= (0, 2, 1)\end{aligned}

\begin{aligned}\cos 60^\circ &= \frac{|0 + 8 + 2|}{\sqrt{k^2 + 20} \cdot \sqrt{5}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

הזווית בין שני ישרים

\begin{aligned}\sqrt{k^2 + 20} &= \frac{20}{\sqrt{5}} \\ &= 4\sqrt{5} \Rightarrow k^2 + 20 \\ &= 80\end{aligned}

\begin{aligned}k &= \sqrt{60} \\ &= 2\sqrt{15} \approx 7.746\end{aligned}

$k > 0$

$k = 2\sqrt{15} \approx 7.746$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

נתון כי הצגה פרמטרית של הישר $AB$ היא $\underline{x} = (0, 7, 6) + t(0, 2, 1)$ . אורך המקצוע $AB$ הוא $5\sqrt{5}$ , ושיעור ה־ $y$ של הקודקוד $A$ הוא שלילי. נתונה נקודה $M(k, 1, 3)$ , $k$ הוא פרמטר חיובי. נתון כי גודל הזווית שבין הישר $AM$ ובין הישר $AB$ הוא $60^\circ$ . נתון כי הנקודה $M$ נמצאת על המישור $M$ . ה. מצאו את נפח התיבה. (יש לכתוב בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 1549.19

Worked solution:

DCC'D' \parallel ABB'A'

פאות נגדיות בתיבה

\begin{aligned}AD &= d(M, ABB'A') \\ &= \frac{|20 \cdot 2\sqrt{15} - 1 + 6 - 5|}{\sqrt{400 + 1 + 4}} \\ &= \frac{40\sqrt{15}}{9\sqrt{5}} \\ &= \frac{40\sqrt{3}}{9}\end{aligned}

המרחק בין שתי הפאות

\begin{aligned}V &= AB \cdot BB' \cdot AD \\ &= 5\sqrt{5} \cdot 18 \cdot \frac{40\sqrt{3}}{9} \\ &= 400\sqrt{15}\end{aligned}

400\sqrt{15} \approx 1549.19

נפח התיבה: $400\sqrt{15} \approx 1549.19$ .

Check the answer on elev

שאלה 3 — מספרים מרוכבים ומקום גאומטרי

Exercise 9

א. הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z = x + iy$ במישור גאוס המקיימות $|z - 2i| = \frac{z - \bar{z}}{2i} + 2$ הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.

$x^2 =$ ____ $y$

Show the answer and the solution

Answer: $x^2 =$ 8 $y$

Worked solution:

\begin{aligned}z - \bar{z} &= 2iy \Rightarrow \frac{z - \bar{z}}{2i} \\ &= y\end{aligned}

\sqrt{x^2 + (y - 2)^2} = y + 2

$|z - 2i|$ הוא המרחק מהנקודה $(0, 2)$

\begin{aligned}x^2 + y^2 - 4y + 4 &= y^2 + 4y + 4 \Rightarrow x^2 \\ &= 8y\end{aligned}

מעלים בריבוע ( $y + 2 \ge 0$ )

\begin{aligned}\text{מוקד } (0, 2) \\ \ \text{מדריך } y &= -2\end{aligned}

המרחק מהמוקד שווה למרחק מהמדריך: זו הגדרת הפרבולה

המקום הגאומטרי: הפרבולה $x^2 = 8y$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

נתון מספר מרוכב $w = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ , $0^\circ < \theta < 90^\circ$ , $r > 0$ . נתון מצולע קמור $I$ , שקודקודיו מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה $I$ , $z$ הוא משתנה מרוכב. ב. הביעו באמצעות $r$ ו־ $\theta$ הצגה קוטבית של כל המספרים המייצגים את קודקודי מצולע $\theta$ .

$\frac{1}{r^4}\,\text{cis}(\theta + 90^\circ k)$ , $k = 0, 1, 2, 3$
$\frac{1}{r}\,\text{cis}(4\theta + 90^\circ k)$ , $k = 0, 1, 2, 3$
$r\,\text{cis}(\theta + 90^\circ k)$ , $k = 0, 1, 2, 3$
$\frac{1}{r}\,\text{cis}(\theta + 90^\circ k)$ , $k = 0, 1, 2, 3$

Show the answer and the solution

Answer: D $\frac{1}{r}\,\text{cis}(\theta + 90^\circ k)$ , $k = 0, 1, 2, 3$

Worked solution:

z = \sqrt[4]{\frac{1}{r^4}}\,\text{cis}\frac{4\theta + 360^\circ k}{4}

משפט דה מואבר

\begin{aligned}\frac{1}{r}\,\text{cis}(\theta + 90^\circ k) \\ \quad k &= 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3\end{aligned}

קודקודי מצולע $I$ : $\frac{1}{r}\text{cis}\,\theta$ , $\frac{1}{r}\text{cis}(\theta + 90^\circ)$ , $\frac{1}{r}\text{cis}(\theta + 180^\circ)$ , $\frac{1}{r}\text{cis}(\theta + 270^\circ)$ .

Check the answer on elev

Exercise 11

נתון מספר מרוכב $w = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ , $0^\circ < \theta < 90^\circ$ , $r > 0$ . נתון מצולע קמור $I$ , שקודקודיו מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה $I$ , $z$ הוא משתנה מרוכב. נתון מצולע $z$ , שקודקודיו מיוצגים על ידי המספרים $w$ , $-w$ , $\frac{1}{w}$ , $-\frac{1}{w}$ . ג. הביעו באמצעות $r$ ו־ $\theta$ הצגה קוטבית של כל המספרים המייצגים את קודקודי מצולע $\theta$ .

$r\,\text{cis}\,\theta$ , $r\,\text{cis}(\theta + 180^\circ)$ , $\frac{1}{r}\,\text{cis}\,\theta$ , $\frac{1}{r}\,\text{cis}(\theta + 180^\circ)$
$r\,\text{cis}\,\theta$ , $r\,\text{cis}(\theta + 180^\circ)$ , $r\,\text{cis}(-\theta)$ , $r\,\text{cis}(180^\circ - \theta)$
$r\,\text{cis}\,\theta$ , $r\,\text{cis}(\theta + 180^\circ)$ , $\frac{1}{r}\,\text{cis}(-\theta)$ , $\frac{1}{r}\,\text{cis}(180^\circ - \theta)$
$r\,\text{cis}\,\theta$ , $r\,\text{cis}(-\theta)$ , $\frac{1}{r}\,\text{cis}\,\theta$ , $\frac{1}{r}\,\text{cis}(-\theta)$

Show the answer and the solution

Answer: C $r\,\text{cis}\,\theta$ , $r\,\text{cis}(\theta + 180^\circ)$ , $\frac{1}{r}\,\text{cis}(-\theta)$ , $\frac{1}{r}\,\text{cis}(180^\circ - \theta)$

Worked solution:

-w = r\,\text{cis}(\theta + 180^\circ)

$-1 = \text{cis}\,180^\circ$

\frac{1}{w} = \frac{1}{r}\,\text{cis}(-\theta)

במנה מחסירים את הזוויות

-\frac{1}{w} = \frac{1}{r}\,\text{cis}(180^\circ - \theta)

קודקודי מצולע $II$ : $r\,\text{cis}\,\theta$ , $r\,\text{cis}(\theta + 180^\circ)$ , $\frac{1}{r}\,\text{cis}(-\theta)$ , $\frac{1}{r}\,\text{cis}(180^\circ - \theta)$ .

Check the answer on elev

Exercise 12

נתון מספר מרוכב $w = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ , $0^\circ < \theta < 90^\circ$ , $r > 0$ . נתון מצולע קמור $I$ , שקודקודיו מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה $I$ , $z$ הוא משתנה מרוכב. נתון מצולע $z$ , שקודקודיו מיוצגים על ידי המספרים $w$ , $-w$ , $\frac{1}{w}$ , $-\frac{1}{w}$ . נתון כי מצולע $II$ הוא מעוין. ד. מצאו את הערך של $\theta$ (במעלות).

Show the answer and the solution

Answer: 45

Worked solution:

w, -w \ \text{ו־} \ \frac{1}{w}, -\frac{1}{w}

שני זוגות סימטריים ביחס ל־ $O$ : האלכסונים חוצים זה את זה, והמצולע מקבילית

\text{מעוין} \iff \text{האלכסונים מאונכים}

\begin{aligned}\theta - (-\theta) &= 2\theta \\ &= 90^\circ\end{aligned}

האלכסונים בכיוונים $\theta$ ו־ $-\theta$

\theta = 45^\circ

$\theta = 45^\circ$ .

Check the answer on elev

Exercise 13

נתון מספר מרוכב $w = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ , $0^\circ < \theta < 90^\circ$ , $r > 0$ . נתון מצולע קמור $I$ , שקודקודיו מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה $I$ , $z$ הוא משתנה מרוכב. נתון מצולע $z$ , שקודקודיו מיוצגים על ידי המספרים $w$ , $-w$ , $\frac{1}{w}$ , $-\frac{1}{w}$ . נתון כי מצולע $II$ הוא מעוין. נתון כי הנקודה המייצגת את $w$ נמצאת על המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א. ה. מצאו את היחס בין שטח מצולע $II$ ובין שטח מצולע $I$ .

Show the answer and the solution

Answer: 128

Worked solution:

w = \frac{r}{\sqrt{2}} + \frac{r}{\sqrt{2}}i

$\theta = 45^\circ$

\begin{aligned}\frac{r^2}{2} &= 8 \cdot \frac{r}{\sqrt{2}} \Rightarrow r \\ &= 8\sqrt{2} \\ \ r^2 &= 128\end{aligned}

מציבים ב־ $x^2 = 8y$

\begin{aligned}S_{II} &= \frac{2r \cdot \frac{2}{r}}{2} \\ &= 2\end{aligned}

מעוין: מחצית מכפלת האלכסונים $2r$ ו־ $\frac{2}{r}$

\begin{aligned}S_I &= \frac{\frac{2}{r} \cdot \frac{2}{r}}{2} \\ &= \frac{2}{r^2}\end{aligned}

מצולע $I$ ריבוע שאלכסוניו $\frac{2}{r}$

\begin{aligned}\frac{S_{II}}{S_I} &= \frac{2}{\frac{2}{r^2}} \\ &= r^2 \\ &= 128\end{aligned}

היחס הוא $128$ .

Check the answer on elev

שאלה 4 — פונקציה מעריכית של פונקציה

Exercise 14

א. כתבו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה $g(x)$ (אם יש כאלה). נמקו את תשובתכם.

$g(x) > 0$ בכל תחום ההגדרה: $e^{f(x)} > 0$
$g(x) < 0$ בכל תחום ההגדרה: $f'(x) < 0$
$g(x) > 0$ ב־ $x < 0$ ו־ $g(x) < 0$ ב־ $x > 0$
אי אפשר לדעת בלי לדעת את $f(x)$

Show the answer and the solution

Answer: B $g(x) < 0$ בכל תחום ההגדרה: $f'(x) < 0$

Worked solution:

e^{f(x)} > 0

חזקה של $e$ חיובית תמיד

f'(x) \le 0 \ \text{ו־} \ f'(x) \neq 0 \Rightarrow f'(x) < 0

$f$ יורדת בשני הקטעים

g(x) = e^{f(x)} \cdot f'(x) < 0

מכפלה של חיובי בשלילי

$g(x)$ שלילית בכל תחום ההגדרה; אין לה תחום חיוביות.

Check the answer on elev

Exercise 15

נתון כי $f(x) = \frac{1}{x}$ . ב (1). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $g(x)$ .

$x = 0$ בלבד
$x = 0$ , $y = 0$
$x = 0$ , $y = -1$
$y = 0$ בלבד

Show the answer and the solution

Answer: B $x = 0$ , $y = 0$

Worked solution:

g(x) = -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}

$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$

x \to 0^+: \ e^{\frac{1}{x}} \to \infty \Rightarrow g \to -\infty

אסימפטוטה $x = 0$ (מימין)

x \to 0^-: \ \frac{e^{1/x}}{x^2} = t^2 e^{-t} \to 0 \ (t = -\tfrac{1}{x} \to \infty)

משמאל הגרף מתקרב לראשית

x \to \pm\infty: \ e^{\frac{1}{x}} \to 1, \ \frac{1}{x^2} \to 0 \Rightarrow g \to 0

אסימפטוטה $y = 0$

אסימפטוטות: $x = 0$ , $y = 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 16

נתון כי $f(x) = \frac{1}{x}$ . ב (2). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $g(x)$ , וקבעו את סוגה. (יש לכתוב את $y$ בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

$y$ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $($ -0.5 $,$ -0.541 $)$

Worked solution:

g(x) = -x^{-2} e^{\frac{1}{x}}

\begin{aligned}g'(x) &= 2x^{-3}e^{\frac{1}{x}} + x^{-4}e^{\frac{1}{x}} \\ &= \frac{e^{\frac{1}{x}}(2x + 1)}{x^4}\end{aligned}

נגזרת של מכפלה, $\left(e^{1/x}\right)' = -\frac{1}{x^2}e^{1/x}$

\begin{aligned}g'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

x < -\frac{1}{2}: g' < 0, \quad -\frac{1}{2} < x < 0: g' > 0

מינימום

g\left(-\frac{1}{2}\right) = -4e^{-2} \approx -0.541

מינימום ב־ $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{4}{e^2}\right) \approx (-0.5, -0.541)$ .

Check the answer on elev

Exercise 17

הגרפים I–IV

נתון כי $f(x) = \frac{1}{x}$ . ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

גרף IV
גרף III
גרף II
גרף I

Show the answer and the solution

Answer: B גרף III

Worked solution:

g < 0

סעיף א

x < 0: \ 0 \searrow \min(-0.5, -0.541) \nearrow 0

סעיף ב

x > 0: \ -\infty \nearrow 0

$g' > 0$ ב־ $x > 0$

גרף III: מתחת לציר ה־ $x$ ; משמאל יורד אל המינימום ב־ $x$ וחוזר אל הראשית, ומימין עולה מ־ $-\infty$ אל $y = 0$ . גרף I הפוך, גרף II הוא שיקופו, ובגרף IV אין מינימום.

Check the answer on elev

Exercise 18

נתון כי $f(x) = \frac{1}{x}$ . $a$ הוא פרמטר גדול מ־ $a$ . נתון כי השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)$ , על ידי ציר ה־ $x$ ועל ידי הישרים $x = \frac{1}{\ln a}$ ו־ $x = \frac{1}{\ln(4a)}$ הוא $5$ . ד. מצאו את הערך של $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 1.6667

Worked solution:

\begin{aligned}\int g(x)\,dx &= \int e^{f(x)} f'(x)\,dx \\ &= e^{f(x)} \\ &= e^{\frac{1}{x}}\end{aligned}

נגזרת של $e^{f(x)}$ היא $e^{f(x)} f'(x)$

0 < \frac{1}{\ln(4a)} < \frac{1}{\ln a}

$4a > a > 1$ ; בקטע $g < 0$

\begin{aligned}S &= \left|e^{\ln a} - e^{\ln(4a)}\right| \\ &= |a - 4a| \\ &= 3a\end{aligned}

\begin{aligned}3a &= 5 \Rightarrow a \\ &= \frac{5}{3}\end{aligned}

$a = \frac{5}{3}$ .

Check the answer on elev

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית ופונקציה קדומה

Exercise 19

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

$x > 0$ , $x \neq$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x > 0$ , $x \neq$ 1

Worked solution:

x > 0

תחום ההגדרה של $\ln x$

\ln x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1

מכנה שונה מאפס

תחום ההגדרה: $x > 0$ , $x \neq 1$ .

Check the answer on elev

Exercise 20

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד בנקודה שבה $x = \frac{1}{e}$ . ב. מצאו את הערך של $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

f(x) = \frac{a}{x} + \frac{1}{x(\ln x)^2}

\begin{aligned}f'(x) &= -\frac{a}{x^2} - \frac{(\ln x)^2 + 2\ln x}{x^2(\ln x)^4} \\ &= -\frac{a}{x^2} - \frac{\ln x + 2}{x^2(\ln x)^3}\end{aligned}

$\left(x(\ln x)^2\right)' = (\ln x)^2 + 2\ln x$

\begin{aligned}f'\left(\frac{1}{e}\right) &= -ae^2 - \frac{1}{e^{-2} \cdot (-1)} \\ &= -ae^2 + e^2 \\ &= 0\end{aligned}

$\ln\frac{1}{e} = -1$

a = 1

$a = 1$ .

Check the answer on elev

Exercise 21

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד בנקודה שבה $x = \frac{1}{e}$ . הציבו $a = 1$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ו. $g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x) = f(x)$ . תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ . ידוע שלפונקציה $g(x)$ יש נקודת פיתול שנמצאת על ציר ה־ $x$ . ג. מצאו פונקציה $g(x)$ המקיימת תנאים אלה.

$g(x) = \ln x - \frac{1}{\ln x} + 1$
$g(x) = \ln x - \frac{1}{\ln x}$
$g(x) = \ln x + \frac{1}{\ln x}$
$g(x) = \ln x - \frac{1}{(\ln x)^3}$

Show the answer and the solution

Answer: B $g(x) = \ln x - \frac{1}{\ln x}$

Worked solution:

\begin{aligned}g(x) &= \int \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x(\ln x)^2}\right)dx \\ &= \ln x - \frac{1}{\ln x} + C\end{aligned}

הצבה $t = \ln x$ : $\int t^{-2}\,dt = -\frac{1}{t}$

\begin{aligned}g''(x) &= f'(x) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{1}{e}\end{aligned}

נקודת הפיתול של $g$ היא נקודת הקיצון של $f$ (סעיף ב)

\begin{aligned}g\left(\frac{1}{e}\right) &= -1 - \frac{1}{-1} + C \\ &= C \\ &= 0\end{aligned}

נקודת הפיתול על ציר ה־ $x$

$x$ .

Check the answer on elev

Exercise 22

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד בנקודה שבה $x = \frac{1}{e}$ . הציבו $a = 1$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ו. $g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x) = f(x)$ . תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ . ידוע שלפונקציה $g(x)$ יש נקודת פיתול שנמצאת על ציר ה־ $x$ . בעבור הפונקציה $x$ שמצאתם ענו על הסעיפים ד–ו. ד (1). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $g(x)$ (אם יש כאלה).

$x = 1$ בלבד
$x = 1$ , $y = 1$
$x = 0$ , $x = 1$
$x = 0$ , $x = 1$ , $y = 0$

Show the answer and the solution

Answer: C $x = 0$ , $x = 1$

Worked solution:

x \to 0^+: \ \ln x \to -\infty, \ \frac{1}{\ln x} \to 0 \Rightarrow g \to -\infty

אסימפטוטה $x = 0$

x \to 1: \ \ln x \to 0 \Rightarrow \frac{1}{\ln x} \to \pm\infty

אסימפטוטה $x = 1$

x \to \infty: \ g \to \infty

אין אסימפטוטה אופקית

אסימפטוטות: $x = 0$ , $x = 1$ .

Check the answer on elev

Exercise 23

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד בנקודה שבה $x = \frac{1}{e}$ . הציבו $a = 1$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ו. $g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x) = f(x)$ . תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ . ידוע שלפונקציה $g(x)$ יש נקודת פיתול שנמצאת על ציר ה־ $x$ . בעבור הפונקציה $x$ שמצאתם ענו על הסעיפים ד–ו. ד (2). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $g(x)$ עם ציר ה־ $x$ . (יש לכתוב את שיעורי ה־ $x$ כמספרים עשרוניים, הקטן קודם.)

$x$ ____ $, 0)$ , $($ ____ $, 0)$

Show the answer and the solution

Answer: $($ 0.3679 $, 0)$ , $($ 2.7183 $, 0)$

Worked solution:

\begin{aligned}\ln x - \frac{1}{\ln x} &= 0 \Rightarrow (\ln x)^2 \\ &= 1\end{aligned}

כופלים ב־ $\ln x \neq 0$

\begin{aligned}\ln x &= \pm 1 \Rightarrow x \\ &= \frac{1}{e} \ \text{או} \ x \\ &= e\end{aligned}

נקודות החיתוך: $\left(\frac{1}{e}, 0\right)$ ו־ $(e, 0)$ .

Check the answer on elev

Exercise 24

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד בנקודה שבה $x = \frac{1}{e}$ . הציבו $a = 1$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ו. $g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x) = f(x)$ . תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ . ידוע שלפונקציה $g(x)$ יש נקודת פיתול שנמצאת על ציר ה־ $x$ . בעבור הפונקציה $x$ שמצאתם ענו על הסעיפים ד–ו. ד (3). מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $g(x)$ (אם יש כאלה).

עולה ב־ $0 < x < 1$ ויורדת ב־ $x > 1$
יורדת ב־ $0 < x < \frac{1}{e}$ ועולה ב־ $x > \frac{1}{e}$
עולה ב־ $0 < x < 1$ וב־ $x > 1$ ; אין תחום ירידה
עולה בכל תחום הגדרתה, כולל ב־ $x = 1$

Show the answer and the solution

Answer: C עולה ב־ $0 < x < 1$ וב־ $x > 1$ ; אין תחום ירידה

Worked solution:

\begin{aligned}g'(x) &= f(x) \\ &= \frac{1}{x}\left(1 + \frac{1}{(\ln x)^2}\right) > 0\end{aligned}

$x > 0$

x = 1 \notin \text{תחום ההגדרה}

שני קטעים נפרדים

$g(x)$ עולה ב־ $0 < x < 1$ ובנפרד ב־ $x > 1$ ; אין תחום ירידה.

Check the answer on elev

Exercise 25

הגרפים I–IV

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד בנקודה שבה $x = \frac{1}{e}$ . הציבו $a = 1$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ו. $g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x) = f(x)$ . תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ . ידוע שלפונקציה $g(x)$ יש נקודת פיתול שנמצאת על ציר ה־ $x$ . בעבור הפונקציה $x$ שמצאתם ענו על הסעיפים ד–ו. ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

גרף I
גרף IV
גרף II
גרף III

Show the answer and the solution

Answer: A גרף I

Worked solution:

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= 1\end{aligned}

אסימפטוטות (סעיף ד (1))

\left(\frac{1}{e}, 0\right), \ (e, 0)

חיתוך עם ציר ה־ $x$

g \nearrow

עולה בשני הקטעים

גרף I: בקטע $0 < x < 1$ עולה מ־ $-\infty$ אל $+\infty$ דרך $\left(\frac{1}{e}, 0\right)$ , ובקטע $x > 1$ עולה מ־ $-\infty$ דרך $(e, 0)$ . גרף II יורד, בגרף III יש קיצונים, ובגרף IV חסר הקטע $0 < x < 1$ .

Check the answer on elev

Exercise 26

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד בנקודה שבה $x = \frac{1}{e}$ . הציבו $a = 1$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ו. $g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x) = f(x)$ . תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ . ידוע שלפונקציה $g(x)$ יש נקודת פיתול שנמצאת על ציר ה־ $x$ . בעבור הפונקציה $x$ שמצאתם ענו על הסעיפים ד–ו. נתונה הפונקציה $h(x) = \ln|g(x)|$ . ו (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $h(x)$ .

$x > 0$ , $x \neq \frac{1}{e}$ , $x \neq e$
$x > 0$ , $x \neq \frac{1}{e}$ , $x \neq 1$ , $x \neq e$
$x > 0$ , $x \neq 1$
$\frac{1}{e} < x < 1$ או $x > e$

Show the answer and the solution

Answer: B $x > 0$ , $x \neq \frac{1}{e}$ , $x \neq 1$ , $x \neq e$

Worked solution:

x > 0, \ x \neq 1

תחום ההגדרה של $g$

|g(x)| > 0 \Rightarrow g(x) \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{e}, \ x \neq e

סעיף ד (2)

תחום ההגדרה: $x > 0$ , $x \neq \frac{1}{e}$ , $x \neq 1$ , $x \neq e$ .

Check the answer on elev

Exercise 27

הגרפים I–IV

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד בנקודה שבה $x = \frac{1}{e}$ . הציבו $a = 1$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ו. $g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x) = f(x)$ . תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ . ידוע שלפונקציה $g(x)$ יש נקודת פיתול שנמצאת על ציר ה־ $x$ . בעבור הפונקציה $x$ שמצאתם ענו על הסעיפים ד–ו. נתונה הפונקציה $h(x) = \ln|g(x)|$ . ו (2). אחד מן הגרפים $I$ – $IV$ שלפניכם מתאר את הפונקציה $h(x)$ . קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

גרף III: הגרף אינו שלילי ונוגע בציר ה־ $x$ ב־ $\frac{1}{e}$ וב־ $e$
גרף I: ארבע אסימפטוטות אנכיות, וב־ $x \to 0^+$ הגרף שואף ל־ $-\infty$
גרף IV: הגרף אינו שלילי, ושואף ל־ $+\infty$ בכל האסימפטוטות
גרף II: ב־ $x = 0$ ו־ $x = 1$ שואף ל־ $+\infty$ , ב־ $\frac{1}{e}$ ו־ $e$ ל־ $-\infty$

Show the answer and the solution

Answer: D גרף II: ב־ $x = 0$ ו־ $x = 1$ שואף ל־ $+\infty$ , ב־ $\frac{1}{e}$ ו־ $e$ ל־ $-\infty$

Worked solution:

|g| \to \infty \ (x \to 0^+, \ x \to 1) \Rightarrow h \to +\infty

|g| \to 0 \ (x \to \tfrac{1}{e}, \ x \to e) \Rightarrow h \to -\infty

$\ln$ של מספר חיובי ששואף ל־ $0$

\begin{aligned}h &= 0 \iff |g| \\ &= 1\end{aligned}

ב־ $h$ יש ערכים שליליים: גרפים III ו־IV נפסלים

גרף II. גרף I הוא $-h$ , גרף III הוא $|g|$ (בלי $\ln$ ), וגרף IV הוא $|h|$ .

Check the answer on elev

Words in this lesson

משך: meshekh duration, length of time
חצי: ḥetsi half
לפחות: lefaḥot at least
מספר מרוכב: mispar murkav complex number
גדילה: gdila growth
דעיכה: de’ikha decay
פונקציה: funktsia function
נוסחה: nusḥa formula
סעיף: se’if part (of a question)
הסבירו: hasbiru explain
הראו: har’u show
הוכיחו: hokhiḥu prove
הוכחה: hokhaḥa proof
ביטוי אלגברי: bitui algebri algebraic expression
מקדם: mekadem coefficient
פתרון: pitaron solution
מצאו: mits’u find
משוואה: mishva’a equation
מכנה משותף: mekhane meshutaf common denominator
נקודה: nekuda point
נקודת חיתוך: nekudat khitukh intersection point
חיובי: ḥiyuvi positive
ציר: tsir axis
ישר: yashar line
ראשית הצירים: reshit ha-tsirim origin
אמצע קטע: emtsa keta midpoint
מקום גאומטרי: makom ge’ometri locus
פרמטר: parameter parameter
מקבילים: makbilim parallel
משוואת מעגל: mishva’at ma’agal equation of a circle
משיק: mashik tangent
מרחק: merḥak distance
קוטר: koter diameter
מעגל: ma’agal circle
רדיוס: radius radius
נקודת השקה: nekudat hashaka point of tangency
מאונכים: me’unakhim perpendicular
מרכז: merkaz centre
אורך: orekh length
מקצוע: miktsoa edge
תיבה: tiva rectangular prism (cuboid)
מקצוע צדדי: miktsoa tsdadi lateral edge
פאה: pe’a face
מישור: mishor plane
נתון: natun given
קודקוד: kodkod vertex
שלילי: shlili negative
שיעורים (של נקודה): shiurim coordinates
זווית: zavit angle
שורש: shoresh square root
תשובה: tshuva answer
מספר עשרוני: mispar esroni decimal number
נפח: nefaḥ volume
ספרות אחרי הנקודה: sfarot aḥarei ha-nekuda decimal places
פאות נגדיות: pe’ot negdiyot opposite faces
פרבולה: parabola parabola
הגדרה: hagdara definition
מצולע: metsula polygon
הביעו: habi’u express
הצגה קוטבית: hatsaga kotvit polar form
משפט: mishpat theorem
מנה: mana quotient
מעוין: me’uyan rhombus
מעלה: ma’ala degree
סימטריה: simetria symmetry
יחס: yaḥas ratio
אלכסון: alakhson diagonal
חוצה: ḥotse bisects
מקבילית: makbilit parallelogram
שטח: shetaḥ area
להציב: lehatsiv to substitute
מכפלה: makhpela product
ריבוע: ribua square
כתבו: kitvu write
תחום חיוביות: tḥum ḥiyuviyut where the function is positive
נמקו: namku justify, explain why
חזקה: ḥezka power
פונקציה יורדת: funktsia yoredet decreasing function
קטע: keta line segment
תחום ההגדרה: tḥum ha-hagdara domain of definition
אסימפטוטה: asimptota asymptote
גרף: graf graph
נקודת קיצון: nekudat kitson extremum
קבעו: kiv’u determine, decide
כלל המכפלה: klal ha-makhpela product rule
מינימום: minimum minimum
סקיצה: skitsa sketch
בחרו: baḥaru choose
נגזרת: nigzeret derivative
מכנה: mekhane denominator
נקודת פיתול: nekudat pitul point of inflection
תנאי: tnai condition
הצבה: hatsava substitution
אסימפטוטה אופקית: asimptota ofkit horizontal asymptote
תחום עלייה: tḥum aliya interval of increase
תחום ירידה: tḥum yerida interval of decrease
שואפת: sho’efet tends to, approaches
נפסל: nifsal rejected

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elev Discover elev for this grade