בגרות 35572 — קיץ 2026

Exercise 1

א. מצאו את שיעורי הנקודה $A$.

$A($ ____ $,$ ____ $)$

Exercise 2

הנקודה $A$ נמצאת על מעגל שמרכזו בנקודה $M$. נתון כי המשיק לפרבולה הוא גם משיק למעגל בנקודה $A$, וכי ציר ה־$y$ משיק למעגל כך ששיעור ה־$x$ של הנקודה $M$ קטן משיעור ה־$x$ של הנקודה $A$. ב (1). מצאו את משוואת הישר $AM$. (יש לכתוב את השיפוע כמספר עשרוני.)

$y =$ ____ $x +$ ____

Exercise 3

הנקודה $A$ נמצאת על מעגל שמרכזו בנקודה $M$. נתון כי המשיק לפרבולה הוא גם משיק למעגל בנקודה $A$, וכי ציר ה־$y$ משיק למעגל כך ששיעור ה־$x$ של הנקודה $M$ קטן משיעור ה־$x$ של הנקודה $A$. ב (2). מצאו את משוואת המעגל.

$(x -$ ____ $)^2 + (y -$ ____ $)^2 =$ ____

Exercise 4

הנקודה $A$ נמצאת על מעגל שמרכזו בנקודה $M$. נתון כי המשיק לפרבולה הוא גם משיק למעגל בנקודה $A$, וכי ציר ה־$y$ משיק למעגל כך ששיעור ה־$x$ של הנקודה $M$ קטן משיעור ה־$x$ של הנקודה $A$. נקודה $B$ היא נקודה כלשהי על המעגל. דרך נקודה $B$ מעבירים משיק למעגל. נקודה $P$ נמצאת על המשיק כך ש־$BP = 36$. ג (1). מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות $P$ המתקבלות באופן זה.

$(x -$ ____ $)^2 + (y -$ ____ $)^2 =$ ____

Exercise 5

הנקודה $A$ נמצאת על מעגל שמרכזו בנקודה $M$. נתון כי המשיק לפרבולה הוא גם משיק למעגל בנקודה $A$, וכי ציר ה־$y$ משיק למעגל כך ששיעור ה־$x$ של הנקודה $M$ קטן משיעור ה־$x$ של הנקודה $A$. נקודה $B$ היא נקודה כלשהי על המעגל. דרך נקודה $B$ מעבירים משיק למעגל. נקודה $P$ נמצאת על המשיק כך ש־$BP = 36$. ג (2). האם על המקום הגאומטרי שמצאתם יש שתי נקודות שהמרחק ביניהן הוא $80$? נמקו את תשובתכם.

1. Aלא: המרחק הגדול ביותר בין שתי נקודות על המקום הגאומטרי הוא $39$
2. Bלא: קוטר המעגל הוא $78 < 80$
3. Cכן: המעגל גדול, ויש עליו נקודות בכל מרחק
4. Dכן: המרחק בין שתי נקודות קצה של קוטר הוא $80$

Exercise 6

א. הביעו את $\overrightarrow{EA}$ ו־$\overrightarrow{EC}$ באמצעות $\underline{u}$, $\underline{v}$ ו־$\underline{w}$.

1. A$\overrightarrow{EA} = \underline{v} + \frac{1}{2}\underline{w}$ , $\overrightarrow{EC} = \underline{u} + \frac{1}{2}\underline{w}$
2. B$\overrightarrow{EA} = -\underline{v} - \frac{1}{2}\underline{w}$ , $\overrightarrow{EC} = \underline{u} - \underline{v} - \frac{1}{2}\underline{w}$
3. C$\overrightarrow{EA} = -\underline{v} - \frac{1}{2}\underline{w}$ , $\overrightarrow{EC} = \underline{u} - \frac{1}{2}\underline{w}$
4. D$\overrightarrow{EA} = -\underline{v} + \frac{1}{2}\underline{w}$ , $\overrightarrow{EC} = \underline{u} + \frac{1}{2}\underline{w}$

Exercise 7

הנקודה $M$ מקיימת $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{6}\underline{u} - \frac{2}{3}\underline{v} + \frac{1}{12}\underline{w}$. ב. הביעו את $\overrightarrow{EM}$ באמצעות $\underline{u}$, $\underline{v}$ ו־$\underline{w}$. (יש לכתוב את המקדמים כמספרים עשרוניים.)

$\overrightarrow{EM} =$ ____ $\underline{u} +$ ( ____ ) $\underline{v} +$ ( ____ ) $\underline{w}$

Exercise 8

הנקודה $M$ מקיימת $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{6}\underline{u} - \frac{2}{3}\underline{v} + \frac{1}{12}\underline{w}$. נתון: $\overrightarrow{EM} = a \cdot \overrightarrow{EA} + b \cdot \overrightarrow{EC}$. $a$ ו־$b$ הם פרמטרים. ג (1). מצאו את הערך של $a$ ואת הערך של $b$. (יש לכתוב כמספרים עשרוניים.)

$a =$ ____ , $b =$ ____

Exercise 9

הנקודה $M$ מקיימת $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{6}\underline{u} - \frac{2}{3}\underline{v} + \frac{1}{12}\underline{w}$. נתון: $\overrightarrow{EM} = a \cdot \overrightarrow{EA} + b \cdot \overrightarrow{EC}$. $a$ ו־$b$ הם פרמטרים. ג (2). האם הנקודה $M$ נמצאת במישור $AEC$? נמקו את תשובתכם.

1. Aכן: $\overrightarrow{EM}$ הוא צירוף של $\overrightarrow{EA}$ ו־$\overrightarrow{EC}$
2. Bאי אפשר לדעת בלי לדעת את אורכי המקצועות
3. Cלא: $\overrightarrow{EM}$ אינו מקביל ל־$\overrightarrow{EA}$ ואינו מקביל ל־$\overrightarrow{EC}$
4. Dלא: הנקודה $M$ נמצאת בתוך התיבה, והמישור $AEC$ הוא פאה שלה

Exercise 10

הנקודה $M$ מקיימת $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{6}\underline{u} - \frac{2}{3}\underline{v} + \frac{1}{12}\underline{w}$. נתון: $\overrightarrow{EM} = a \cdot \overrightarrow{EA} + b \cdot \overrightarrow{EC}$. $a$ ו־$b$ הם פרמטרים. נתון כי $\left|\underline{w}\right| = 4$ והווקטור $\overrightarrow{BM}$ מאונך למישור $AEC$. ד. מצאו את הערך של $\left|\underline{v}\right|$ ואת הערך של $\left|\underline{u}\right|$.

$\left|\underline{v}\right| =$ ____ , $\left|\underline{u}\right| =$ ____

Exercise 11

הנקודה $M$ מקיימת $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{6}\underline{u} - \frac{2}{3}\underline{v} + \frac{1}{12}\underline{w}$. נתון: $\overrightarrow{EM} = a \cdot \overrightarrow{EA} + b \cdot \overrightarrow{EC}$. $a$ ו־$b$ הם פרמטרים. נתון כי $\left|\underline{w}\right| = 4$ והווקטור $\overrightarrow{BM}$ מאונך למישור $AEC$. ה. חשבו את המרחק בין הנקודה $B$ ובין המישור $AEC$.

Exercise 12

א. מצאו את כל פתרונות המשוואה.

1. A$-4$ בלבד
2. B$4$ , $-2 + 2\sqrt{3}\,i$ , $-2 - 2\sqrt{3}\,i$
3. C$-4$ , $2 + 2\sqrt{3}\,i$ , $2 - 2\sqrt{3}\,i$
4. D$-4$ , $2 + 2i$ , $2 - 2i$

Exercise 13

נתונים שני מספרים מרוכבים: $w_1 = r \cdot (\cos\alpha + i \cdot \sin\alpha)$ , $w_2 = 2r \cdot (\cos 4\alpha + i \cdot \sin 4\alpha)$ , $50^\circ < \alpha < 130^\circ$. שתי הנקודות המיוצגות על ידי המספרים $w_1$ ו־$w_2$ נמצאות על ישר אחד, שעובר דרך ראשית הצירים $O$ במישור גאוס. ב. מצאו את שני הערכים האפשריים של $\alpha$.

$\alpha_1 =$ ____ $^\circ$ , $\alpha_2 =$ ____ $^\circ$ ($\alpha_1 < \alpha_2$)

Exercise 14

נתונים שני מספרים מרוכבים: $w_1 = r \cdot (\cos\alpha + i \cdot \sin\alpha)$ , $w_2 = 2r \cdot (\cos 4\alpha + i \cdot \sin 4\alpha)$ , $50^\circ < \alpha < 130^\circ$. שתי הנקודות המיוצגות על ידי המספרים $w_1$ ו־$w_2$ נמצאות על ישר אחד, שעובר דרך ראשית הצירים $O$ במישור גאוס. נתון כי $w_1$ הוא אחד מן הפתרונות שמצאתם בסעיף א. ג. מצאו את הערך של $\alpha$ ואת הערך של $r$.

$\alpha =$ ____ $^\circ$ , $r =$ ____

Exercise 15

נתונים שני מספרים מרוכבים: $w_1 = r \cdot (\cos\alpha + i \cdot \sin\alpha)$ , $w_2 = 2r \cdot (\cos 4\alpha + i \cdot \sin 4\alpha)$ , $50^\circ < \alpha < 130^\circ$. שתי הנקודות המיוצגות על ידי המספרים $w_1$ ו־$w_2$ נמצאות על ישר אחד, שעובר דרך ראשית הצירים $O$ במישור גאוס. נתון כי $w_1$ הוא אחד מן הפתרונות שמצאתם בסעיף א. נתונים שני מספרים מרוכבים נוספים: $w_3 = 4 \cdot i$ , $w_4 = \frac{8}{i}$. $ABCD$ הוא מרובע קמור. הקודקוד $A$ מיוצג על ידי המספר $w_1$, הקודקוד $B$ מיוצג על ידי המספר $w_3$, הקודקוד $C$ מיוצג על ידי המספר $w_2$, והקודקוד $D$ מיוצג על ידי המספר $w_4$. ד. הראו כי שטח המרובע $ABCD$ הוא $36$.

• $w_1 = 4\,\text{cis}\,60^\circ$, $w_2 = 8\,\text{cis}\,240^\circ$
• $w_3 = 4i$ , $w_4 = \frac{8}{i}$

$S_{ABCD} = 36$

Exercise 16

נתונים שני מספרים מרוכבים: $w_1 = r \cdot (\cos\alpha + i \cdot \sin\alpha)$ , $w_2 = 2r \cdot (\cos 4\alpha + i \cdot \sin 4\alpha)$ , $50^\circ < \alpha < 130^\circ$. שתי הנקודות המיוצגות על ידי המספרים $w_1$ ו־$w_2$ נמצאות על ישר אחד, שעובר דרך ראשית הצירים $O$ במישור גאוס. נתון כי $w_1$ הוא אחד מן הפתרונות שמצאתם בסעיף א. נתונים שני מספרים מרוכבים נוספים: $w_3 = 4 \cdot i$ , $w_4 = \frac{8}{i}$. $ABCD$ הוא מרובע קמור. הקודקוד $A$ מיוצג על ידי המספר $w_1$, הקודקוד $B$ מיוצג על ידי המספר $w_3$, הקודקוד $C$ מיוצג על ידי המספר $w_2$, והקודקוד $D$ מיוצג על ידי המספר $w_4$. $u$ הוא מספר מרוכב. הנקודה $E$, שמיוצגת על ידי המספר $u$, נמצאת ברביע הראשון על חוצה הזווית $BOA$. נתון כי $|u| > 1$ , $\bar{u} + \frac{1}{u} = 5.2 \cdot (\cos 285^\circ + i \cdot \sin 285^\circ)$. ה. מצאו את המספר המרוכב $u$. (יש לכתוב אותו בהצגה קוטבית $u = \rho(\cos\beta + i\sin\beta)$.)

$\rho =$ ____ , $\beta =$ ____ $^\circ$

Exercise 17

א. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־$x$. (הנקודה היא $(e^k, 0)$.)

$k =$ ____

Exercise 18

נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x = 1$ הוא $2$. ב. מצאו את הערך של $n$.

Exercise 19

נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x = 1$ הוא $2$. הציבו $n = 1$ בפונקציה $f(x)$, וענו על הסעיפים ג–ו. ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$, וקבעו את סוגה. (הנקודה היא $(e^k, y_0)$; כתבו את $y_0$ בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

$k =$ ____ , $y_0 =$ ____

Exercise 20

נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x = 1$ הוא $2$. הציבו $n = 1$ בפונקציה $f(x)$, וענו על הסעיפים ג–ו. ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

1. Aגרף III
2. Bגרף IV
3. Cגרף I
4. Dגרף II

Exercise 21

נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x = 1$ הוא $2$. הציבו $n = 1$ בפונקציה $f(x)$, וענו על הסעיפים ג–ו. נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1}{f(x)}$. ה (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$. (התחום הוא $x > 0$ , $x \neq e^k$.)