בגרות 35572 — קיץ 2026, מועד ב׳

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35572 (5 יחידות לימוד, שאלון שני, תוכנית חדשה), קיץ תשפ״ו, 2026, מועד ב׳. משך הבחינה: שעתיים וחמישים וחמש דקות. ענו על שלוש מן השאלות 1–5 (לכל שאלה – 331333\frac{1}{3} נקודות). פרק ראשון – גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב, מספרים מרוכבים: שאלות 1–3. פרק שני – גדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: שאלות 4–5. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־5 יחידות לימוד.

כאן כתובות כל חמש השאלות, ב־28 סעיפים, כדי שאפשר יהיה להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים שלוש. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר, להראות או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, וסעיף שמבקש ביטוי הפך להשלמת מקדמים. הפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

Exercises

שאלה 1 — פרבולה, משיק ומעגל

Exercise 1

א. הביעו באמצעות pp את שיעורי הנקודה AA.

A(A( ____ p,p , ____ p)p)

Show the answer and the solution

Answer: A(A( 2 p,p , 2 p)p)

Worked solution:

x2=2pxx^2 = 2px

מציבים y=xy = x במשוואת הפרבולה

x(x−2p)=0⇒x=0 או x=2p\begin{aligned}x(x - 2p) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 2p\end{aligned}

מוציאים גורם משותף

A(2p,2p)A(2p, 2p)

ברביע הראשון x>0x > 0, ו־y=xy = x

A(2p,2p)A(2p, 2p).

Check the answer on elev

Exercise 2

נסמן ב־ℓ\ell את המשיק לפרבולה בנקודה AA. הנקודה FF היא מוקד הפרבולה. מעגל II שמרכזו בנקודה FF משיק לישר ℓ\ell בנקודה BB. ב. הביעו באמצעות pp את משוואת מעגל II.

(x−(x - ____ p)2+y2=p)^2 + y^2 = ____ p2p^2

Show the answer and the solution

Answer: (x−(x - 0.5 p)2+y2=p)^2 + y^2 = 1.25 p2p^2

Worked solution:

y⋅2p=p(x+2p)⇒y=12x+p\begin{aligned}y \cdot 2p &= p(x + 2p) \Rightarrow y \\ &= \frac{1}{2}x + p\end{aligned}

משוואת משיק לפרבולה yy0=p(x+x0)y y_0 = p(x + x_0) בנקודה A(2p,2p)A(2p, 2p)

ℓ: x−2y+2p=0\ell: \ x - 2y + 2p = 0

כותבים את המשיק בצורה כללית

F(p2,0)F\left(\frac{p}{2}, 0\right)

מוקד הפרבולה y2=2pxy^2 = 2px

R=∣p2−0+2p∣12+22=5p25=52p\begin{aligned}R &= \frac{\left|\frac{p}{2} - 0 + 2p\right|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} \\ &= \frac{\frac{5p}{2}}{\sqrt{5}} \\ &= \frac{\sqrt{5}}{2}p\end{aligned}

הרדיוס הוא המרחק מהמרכז FF אל המשיק ℓ\ell

(x−p2)2+y2=54p2\left(x - \frac{p}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{5}{4}p^2

R2=54p2R^2 = \frac{5}{4}p^2

מעגל II: (x−p2)2+y2=54p2\left(x - \frac{p}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{5}{4}p^2.

Check the answer on elev

Exercise 3

נסמן ב־ℓ\ell את המשיק לפרבולה בנקודה AA. הנקודה FF היא מוקד הפרבולה. מעגל II שמרכזו בנקודה FF משיק לישר ℓ\ell בנקודה BB. ג. הראו כי הנקודה BB נמצאת על ציר ה־yy.

  • ℓ\ell משיק לפרבולה y2=2pxy^2 = 2px בנקודה A(2p,2p)A(2p, 2p)
  • F(p2,0)F\left(\frac{p}{2}, 0\right) מרכז מעגל II
  • מעגל II משיק ל־ℓ\ell בנקודה BB

הנקודה BB נמצאת על ציר ה־yy

Show the answer and the solution
  1. ℓ: y=12x+p\ell: \ y = \frac{1}{2}x + p — משוואת משיק לפרבולה בנקודה (x0,y0)(x_0, y_0): yy0=p(x+x0)y y_0 = p(x + x_0)
  2. FB⊥ℓFB \perp \ell — רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה
  3. שיפוע FBFB הוא −2-2 — מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא −1-1
  4. FB: y=−2x+pFB: \ y = -2x + p — ישר ששיפועו −2-2 ועובר דרך F(p2,0)F\left(\frac{p}{2}, 0\right)
  5. B(0,p)B(0, p) — נקודת החיתוך של ℓ\ell ו־FBFB: 12x+p=−2x+p\frac{1}{2}x + p = -2x + p
  6. הנקודה BB נמצאת על ציר ה־yy — שיעור ה־xx של BB הוא 00

Worked solution:

ℓ: y=12x+p\ell: \ y = \frac{1}{2}x + p

סעיף ב

FB⊥ℓ⇒mFB=−2FB \perp \ell \Rightarrow m_{FB} = -2

רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה

FB: y=−2(x−p2)=−2x+p\begin{aligned}FB: \ y &= -2\left(x - \frac{p}{2}\right) \\ &= -2x + p\end{aligned}

ישר דרך FF

12x+p=−2x+p⇒x=0\begin{aligned}\frac{1}{2}x + p &= -2x + p \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

נקודת החיתוך BB

B(0,p)B(0, p)

B(0,p)B(0, p): שיעור ה־xx שלה הוא 00, ולכן היא על ציר ה־yy.

Check the answer on elev

Exercise 4

נסמן ב־ℓ\ell את המשיק לפרבולה בנקודה AA. הנקודה FF היא מוקד הפרבולה. מעגל II שמרכזו בנקודה FF משיק לישר ℓ\ell בנקודה BB. נתון: AB=45AB = 4\sqrt{5}. ד. מצאו את הערך של pp.

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

AB=(2p−0)2+(2p−p)2=5p2=5 p\begin{aligned}AB &= \sqrt{(2p - 0)^2 + (2p - p)^2} \\ &= \sqrt{5p^2} \\ &= \sqrt{5}\,p\end{aligned}

מרחק בין A(2p,2p)A(2p, 2p) ל־B(0,p)B(0, p)

5 p=45\sqrt{5}\,p = 4\sqrt{5}

נתון

p=4p = 4

p=4p = 4.

Check the answer on elev

Exercise 5

נסמן ב־ℓ\ell את המשיק לפרבולה בנקודה AA. הנקודה FF היא מוקד הפרבולה. מעגל II שמרכזו בנקודה FF משיק לישר ℓ\ell בנקודה BB. נתון: AB=45AB = 4\sqrt{5}. ה. מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של מרכזי המעגלים המשיקים מבפנים למעגל II ואורך הרדיוס שלהם הוא 25−32\sqrt{5} - 3.

(x−(x - ____ )2+y2=)^2 + y^2 = ____

Show the answer and the solution

Answer: (x−(x - 2 )2+y2=)^2 + y^2 = 9

Worked solution:

F(2,0)RI=52⋅4=25\begin{aligned}F(2, 0) \\ \quad R_I &= \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 4 \\ &= 2\sqrt{5}\end{aligned}

מציבים p=4p = 4 בסעיף ב

25−3<252\sqrt{5} - 3 < 2\sqrt{5}

הרדיוס קטן מרדיוס מעגל II: המעגלים נמצאים בתוכו

d=RI−r=25−(25−3)=3\begin{aligned}d &= R_I - r \\ &= 2\sqrt{5} - (2\sqrt{5} - 3) \\ &= 3\end{aligned}

מעגלים המשיקים מבפנים: המרחק בין המרכזים שווה להפרש הרדיוסים

(x−2)2+y2=9(x - 2)^2 + y^2 = 9

כל המרכזים במרחק 33 מ־FF: מעגל

המקום הגאומטרי: (x−2)2+y2=9(x - 2)^2 + y^2 = 9, מעגל שמרכזו F(2,0)F(2, 0) ורדיוסו 33.

Check the answer on elev

שאלה 2 — פירמידה ווקטורים

Exercise 6

א. הביעו באמצעות w‾\underline{w}, v‾\underline{v}, u‾\underline{u} ו־kk את הווקטור EN→\overrightarrow{EN}.

  1. EN→=kv‾+(k−34)u‾+(34−k)w‾\overrightarrow{EN} = k\underline{v} + \left(k - \frac{3}{4}\right)\underline{u} + \left(\frac{3}{4} - k\right)\underline{w}
  2. EN→=kv‾+ku‾+(1−k)w‾\overrightarrow{EN} = k\underline{v} + k\underline{u} + (1 - k)\underline{w}
  3. EN→=kv‾+(34−k)u‾+(k−34)w‾\overrightarrow{EN} = k\underline{v} + \left(\frac{3}{4} - k\right)\underline{u} + \left(k - \frac{3}{4}\right)\underline{w}
  4. EN→=kv‾+(k+34)u‾−(k+34)w‾\overrightarrow{EN} = k\underline{v} + \left(k + \frac{3}{4}\right)\underline{u} - \left(k + \frac{3}{4}\right)\underline{w}
Show the answer and the solution

Answer: A EN→=kv‾+(k−34)u‾+(34−k)w‾\overrightarrow{EN} = k\underline{v} + \left(k - \frac{3}{4}\right)\underline{u} + \left(\frac{3}{4} - k\right)\underline{w}

Worked solution:

SC→=SA→+AB→+BC→=−w‾+v‾+u‾\begin{aligned}\overrightarrow{SC} &= \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \\ &= -\underline{w} + \underline{v} + \underline{u}\end{aligned}

BC→=AD→=u‾\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \underline{u} בריבוע

SD→=SA→+AD→=u‾−w‾\begin{aligned}\overrightarrow{SD} &= \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AD} \\ &= \underline{u} - \underline{w}\end{aligned}
EN→=ES→+SN→=−34SD→+kSC→\begin{aligned}\overrightarrow{EN} &= \overrightarrow{ES} + \overrightarrow{SN} \\ &= -\frac{3}{4}\overrightarrow{SD} + k\overrightarrow{SC}\end{aligned}
=−34(u‾−w‾)+k(u‾+v‾−w‾)= -\frac{3}{4}(\underline{u} - \underline{w}) + k(\underline{u} + \underline{v} - \underline{w})

מציבים

=kv‾+(k−34)u‾+(34−k)w‾= k\underline{v} + \left(k - \frac{3}{4}\right)\underline{u} + \left(\frac{3}{4} - k\right)\underline{w}

מכנסים איברים

EN→=kv‾+(k−34)u‾+(34−k)w‾\overrightarrow{EN} = k\underline{v} + \left(k - \frac{3}{4}\right)\underline{u} + \left(\frac{3}{4} - k\right)\underline{w}.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתון: ∣EN→∣=64⋅∣w‾∣\left|\overrightarrow{EN}\right| = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \left|\underline{w}\right|. ב. מצאו את הערך של kk.

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

∣u‾∣=∣v‾∣=∣w‾∣=au‾⋅v‾=u‾⋅w‾=v‾⋅w‾=0\begin{aligned}|\underline{u}| &= |\underline{v}| \\ &= |\underline{w}| \\ &= a \\ \quad \underline{u} \cdot \underline{v} &= \underline{u} \cdot \underline{w} \\ &= \underline{v} \cdot \underline{w} \\ &= 0\end{aligned}

ריבוע, ו־ASAS גובה שאורכו כאורך הצלע

∣EN→∣2=k2a2+(k−34)2a2+(34−k)2a2\left|\overrightarrow{EN}\right|^2 = k^2a^2 + \left(k - \frac{3}{4}\right)^2a^2 + \left(\frac{3}{4} - k\right)^2a^2

סעיף א: שלושה וקטורים מאונכים זה לזה

k2+2(k−34)2=616k^2 + 2\left(k - \frac{3}{4}\right)^2 = \frac{6}{16}

נתון, מחלקים ב־a2a^2

3k2−3k+98=38⇒k2−k+14=0\begin{aligned}3k^2 - 3k + \frac{9}{8} &= \frac{3}{8} \Rightarrow k^2 - k + \frac{1}{4} \\ &= 0\end{aligned}

פותחים סוגריים

(k−12)2=0⇒k=12\begin{aligned}\left(k - \frac{1}{2}\right)^2 &= 0 \Rightarrow k \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

k=12k = \frac{1}{2}: הנקודה NN היא אמצע המקצוע SCSC.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתון: ∣EN→∣=64⋅∣w‾∣\left|\overrightarrow{EN}\right| = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \left|\underline{w}\right|. הציבו k=12k = \frac{1}{2}, וענו על הסעיפים ג–ד. ממקמים את הפירמידה במערכת צירים כך ש־A(0,0,0)A(0, 0, 0) , B(0,12,0)B(0, 12, 0). הקודקוד DD נמצא על החלק החיובי של ציר ה־xx, והקודקוד SS נמצא על החלק החיובי של ציר ה־zz. ג (1). מצאו את שיעורי הנקודות NN ו־EE.

N(N( ____ ,, ____ ,, ____ )) , E(E( ____ ,, ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: N(N( 6 ,, 6 ,, 6 )) , E(E( 9 ,, 0 ,, 3 ))

Worked solution:

D(12,0,0),S(0,0,12),C(12,12,0)D(12, 0, 0), \quad S(0, 0, 12), \quad C(12, 12, 0)

צלע הריבוע 1212, ו־AS=12AS = 12; C=B+AD→C = B + \overrightarrow{AD}

N=S+12SC→=S+C2=(6,6,6)\begin{aligned}N &= S + \frac{1}{2}\overrightarrow{SC} \\ &= \frac{S + C}{2} \\ &= (6, 6, 6)\end{aligned}

אמצע SCSC

E=S+34SD→=(0,0,12)+34(12,0,−12)=(9,0,3)\begin{aligned}E &= S + \frac{3}{4}\overrightarrow{SD} \\ &= (0, 0, 12) + \frac{3}{4}(12, 0, -12) \\ &= (9, 0, 3)\end{aligned}

N(6,6,6)N(6, 6, 6) , E(9,0,3)E(9, 0, 3).

Check the answer on elev

Exercise 9

נתון: ∣EN→∣=64⋅∣w‾∣\left|\overrightarrow{EN}\right| = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \left|\underline{w}\right|. הציבו k=12k = \frac{1}{2}, וענו על הסעיפים ג–ד. ממקמים את הפירמידה במערכת צירים כך ש־A(0,0,0)A(0, 0, 0) , B(0,12,0)B(0, 12, 0). הקודקוד DD נמצא על החלק החיובי של ציר ה־xx, והקודקוד SS נמצא על החלק החיובי של ציר ה־zz. ג (2). מצאו את משוואת המישור ENBENB.

____ x+x + ____ y−z=y - z = ____

Show the answer and the solution

Answer: 3 x+x + 2 y−z=y - z = 24

Worked solution:

EN→=(−3,6,3)EB→=(−9,12,−3)\begin{aligned}\overrightarrow{EN} &= (-3, 6, 3) \\ \quad \overrightarrow{EB} &= (-9, 12, -3)\end{aligned}

שני וקטורים במישור

n‾=EN→×EB→=(−54,−36,18)∥(3,2,−1)\begin{aligned}\underline{n} &= \overrightarrow{EN} \times \overrightarrow{EB} \\ &= (-54, -36, 18) \parallel (3, 2, -1)\end{aligned}

וקטור נורמל: מכפלה וקטורית, או פתרון n‾⋅EN→=n‾⋅EB→=0\underline{n} \cdot \overrightarrow{EN} = \underline{n} \cdot \overrightarrow{EB} = 0

3x+2y−z=dB(0,12,0): d=24\begin{aligned}3x + 2y - z &= d \\ \quad B(0, 12, 0): \ d &= 24\end{aligned}

מציבים נקודה

E:27+0−3=24N:18+12−6=24\begin{aligned}E: 27 + 0 - 3 &= 24 \\ \quad N: 18 + 12 - 6 &= 24\end{aligned}

בדיקה

המישור ENBENB: 3x+2y−z=243x + 2y - z = 24.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתון: ∣EN→∣=64⋅∣w‾∣\left|\overrightarrow{EN}\right| = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \left|\underline{w}\right|. הציבו k=12k = \frac{1}{2}, וענו על הסעיפים ג–ד. ממקמים את הפירמידה במערכת צירים כך ש־A(0,0,0)A(0, 0, 0) , B(0,12,0)B(0, 12, 0). הקודקוד DD נמצא על החלק החיובי של ציר ה־xx, והקודקוד SS נמצא על החלק החיובי של ציר ה־zz. ד. האם נפח הפירמידה SENBSENB גדול מנפח הפירמידה CENBCENB, קטן ממנו או שווה לו? נמקו את תשובתכם.

  1. גדול: הנקודה SS רחוקה מהמישור ENBENB יותר מהנקודה CC
  2. אי אפשר לדעת: הנקודות SS ו־CC נמצאות משני צדי המישור ENBENB
  3. שווה: בסיס משותף ENBENB, ו־SS ו־CC באותו מרחק מהמישור ENBENB
  4. קטן: הנקודה CC רחוקה מהמישור ENBENB יותר מהנקודה SS
Show the answer and the solution

Answer: C שווה: בסיס משותף ENBENB, ו־SS ו־CC באותו מרחק מהמישור ENBENB

Worked solution:

V=13⋅SENB⋅hV = \frac{1}{3} \cdot S_{ENB} \cdot h

לשתי הפירמידות הבסיס ENBENB; הגובה הוא המרחק של הקודקוד הרביעי מהמישור

d(S)=∣0+0−12−24∣14=3614\begin{aligned}d(S) &= \frac{|0 + 0 - 12 - 24|}{\sqrt{14}} \\ &= \frac{36}{\sqrt{14}}\end{aligned}

מרחק S(0,0,12)S(0, 0, 12) מהמישור 3x+2y−z−24=03x + 2y - z - 24 = 0

d(C)=∣36+24−0−24∣14=3614\begin{aligned}d(C) &= \frac{|36 + 24 - 0 - 24|}{\sqrt{14}} \\ &= \frac{36}{\sqrt{14}}\end{aligned}

מרחק C(12,12,0)C(12, 12, 0)

VSENB=VCENB=108\begin{aligned}V_{SENB} &= V_{CENB} \\ &= 108\end{aligned}

בדיקה: 16∣det⁡∣\frac{1}{6}\left|\det\right| של שלושה וקטורים מכל קודקוד

הנפחים שווים. דרך קצרה: המישור ENBENB עובר דרך NN, אמצע הקטע SCSC, ולכן SS ו־CC נמצאות משני צדיו באותו מרחק. שהן משני צדי המישור אינו משנה את הגובה.

Check the answer on elev

שאלה 3 — מספרים מרוכבים

Exercise 11

א. מצאו את הערך של α\alpha (במעלות).

Show the answer and the solution

Answer: 45

Worked solution:

z1⋅z2=r⋅1r cis(2α+90∘)=−sin⁡2α+icos⁡2α\begin{aligned}z_1 \cdot z_2 &= r \cdot \frac{1}{r}\,\text{cis}(2\alpha + 90^\circ) \\ &= -\sin 2\alpha + i\cos 2\alpha\end{aligned}

במכפלה: כופלים את הגדלים ומחברים את הזוויות

z1z2=r2 cis(−90∘)=−r2i\begin{aligned}\frac{z_1}{z_2} &= r^2\,\text{cis}(-90^\circ) \\ &= -r^2 i\end{aligned}

במנה: מחלקים את הגדלים ומחסירים את הזוויות

w=−sin⁡2α+i(cos⁡2α−r2)w = -\sin 2\alpha + i(\cos 2\alpha - r^2)

מחברים

−sin⁡2α=−1⇒sin⁡2α=1\begin{aligned}-\sin 2\alpha &= -1 \Rightarrow \sin 2\alpha \\ &= 1\end{aligned}

שיעור ה־xx של AA הוא החלק הממשי

2α=90∘⇒α=45∘\begin{aligned}2\alpha &= 90^\circ \Rightarrow \alpha \\ &= 45^\circ\end{aligned}

0∘<2α<180∘0^\circ < 2\alpha < 180^\circ

α=45∘\alpha = 45^\circ.

Check the answer on elev

Exercise 12

נתון כי הנקודה AA נמצאת על הישר y=−1y = -1. ב. מצאו את הערך של rr.

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

w=−1+i(cos⁡90∘−r2)=−1−r2i\begin{aligned}w &= -1 + i(\cos 90^\circ - r^2) \\ &= -1 - r^2 i\end{aligned}

מציבים α=45∘\alpha = 45^\circ

−r2=−1⇒r=1\begin{aligned}-r^2 &= -1 \Rightarrow r \\ &= 1\end{aligned}

החלק המדומה הוא שיעור ה־yy; r>0r > 0

r=1r = 1, ולכן w=−1−iw = -1 - i.

Check the answer on elev

Exercise 13

נתון כי הנקודה AA נמצאת על הישר y=−1y = -1. נתונה המשוואה z4=128⋅(z1⋅w)2z^4 = 128 \cdot (z_1 \cdot w)^2. zz הוא משתנה מרוכב. ג. מצאו את ארבעת הפתרונות של המשוואה.

  1. 4 cis(45∘+90∘k)4\,\text{cis}(45^\circ + 90^\circ k) ו־±4\pm 4
  2. 4 cis(90∘k)4\,\text{cis}(90^\circ k)
  3. 22 cis(45∘+90∘k)2\sqrt{2}\,\text{cis}(45^\circ + 90^\circ k)
  4. 4 cis(45∘+90∘k)4\,\text{cis}(45^\circ + 90^\circ k)
Show the answer and the solution

Answer: D 4 cis(45∘+90∘k)4\,\text{cis}(45^\circ + 90^\circ k)

Worked solution:

z1=cis 45∘w=−1−i=2 cis 225∘\begin{aligned}z_1 &= \text{cis}\,45^\circ \\ \quad w &= -1 - i \\ &= \sqrt{2}\,\text{cis}\,225^\circ\end{aligned}

סעיפים א–ב

z1⋅w=2 cis 270∘=−2 i\begin{aligned}z_1 \cdot w &= \sqrt{2}\,\text{cis}\,270^\circ \\ &= -\sqrt{2}\,i\end{aligned}
128⋅(z1w)2=128⋅(−2)=−256=256 cis 180∘\begin{aligned}128 \cdot (z_1 w)^2 &= 128 \cdot (-2) \\ &= -256 \\ &= 256\,\text{cis}\,180^\circ\end{aligned}
z=2564 cis180∘+360∘k4=4 cis(45∘+90∘k)\begin{aligned}z &= \sqrt[4]{256}\,\text{cis}\frac{180^\circ + 360^\circ k}{4} \\ &= 4\,\text{cis}(45^\circ + 90^\circ k)\end{aligned}

משפט דה מואבר, k=0,1,2,3k = 0, 1, 2, 3

z=22+22i −22+22i −22−22i 22−22i\begin{aligned}z &= 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i \\ \ -2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i \\ \ -2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}i \\ \ 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}i\end{aligned}

4cos⁡45∘=224\cos 45^\circ = 2\sqrt{2}

ארבעת הפתרונות: 4 cis 45∘4\,\text{cis}\,45^\circ, 4 cis 135∘4\,\text{cis}\,135^\circ, 4 cis 225∘4\,\text{cis}\,225^\circ, 4 cis 315∘4\,\text{cis}\,315^\circ.

Check the answer on elev

Exercise 14

נתון כי הנקודה AA נמצאת על הישר y=−1y = -1. נתונה המשוואה z4=128⋅(z1⋅w)2z^4 = 128 \cdot (z_1 \cdot w)^2. zz הוא משתנה מרוכב. הנקודה OO היא ראשית הצירים. כל אחת מן הנקודות BB ו־CC מייצגת פתרון אחד מבין הפתרונות שמצאתם בסעיף ג. הנקודה BB נמצאת ברביע הראשון והנקודה CC נמצאת ברביע השני. המקום הגאומטרי של כל הנקודות z=x+iyz = x + iy במישור גאוס המקיימות ∣z∣=b|z| = b חותך את החלק החיובי של ציר ה־yy בנקודה KK. bb הוא מספר ממשי חיובי. נתון כי שטח המרובע CKBOCKBO הוא 727\sqrt{2}. ד. מצאו את הערך של bb.

Show the answer and the solution

Answer: 3.5

Worked solution:

B(22,22),C(−22,22)B(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}), \quad C(-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})

סעיף ג

∣z∣=b: מעגל שמרכזו O ורדיוסו b⇒K(0,b)|z| = b: \ \text{מעגל שמרכזו } O \text{ ורדיוסו } b \Rightarrow K(0, b)
CB=42OK=bCB⊥OK\begin{aligned}CB &= 4\sqrt{2} \\ \quad OK &= b \\ \quad CB \perp OK\end{aligned}

CBCB מקביל לציר ה־xx, ו־OKOK על ציר ה־yy

SCKBO=OK⋅CB2=b⋅422=22 b\begin{aligned}S_{CKBO} &= \frac{OK \cdot CB}{2} \\ &= \frac{b \cdot 4\sqrt{2}}{2} \\ &= 2\sqrt{2}\,b\end{aligned}

מרובע שאלכסוניו מאונכים: מחצית מכפלת האלכסונים

22 b=72⇒b=3.5\begin{aligned}2\sqrt{2}\,b &= 7\sqrt{2} \Rightarrow b \\ &= 3.5\end{aligned}

b=3.5b = 3.5.

Check the answer on elev

שאלה 4 — פונקציה מעריכית עם פרמטר

Exercise 15

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

x≠x \neq ____ , x≠ln⁡x \neq \ln ____

Show the answer and the solution

Answer: x≠x \neq 0 , x≠ln⁡x \neq \ln 5

Worked solution:

ex−1≠0⇒x≠0e^x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0

מכנה שונה מאפס

ex−5≠0⇒x≠ln⁡5e^x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq \ln 5

תחום ההגדרה: x≠0x \neq 0 , x≠ln⁡5x \neq \ln 5.

Check the answer on elev

Exercise 16

א (2). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x)f(x). הביעו את תשובותיכם באמצעות aa אם יש צורך.

  1. x=0x = 0 , x=ln⁡5x = \ln 5 , y=ay = a , y=a+2y = a + 2
  2. x=0x = 0 , x=ln⁡5x = \ln 5 , y=ay = a , y=a−2y = a - 2
  3. x=0x = 0 , x=ln⁡5x = \ln 5 , y=ay = a בלבד
  4. x=1x = 1 , x=5x = 5 , y=ay = a , y=a−2y = a - 2
Show the answer and the solution

Answer: B x=0x = 0 , x=ln⁡5x = \ln 5 , y=ay = a , y=a−2y = a - 2

Worked solution:

x=0x=ln⁡5\begin{aligned}x &= 0 \\ \quad x &= \ln 5\end{aligned}

המכנים מתאפסים והמונים לא: אסימפטוטות אנכיות

x→∞: ex→∞⇒f(x)→0+0+a=ax \to \infty: \ e^x \to \infty \Rightarrow f(x) \to 0 + 0 + a = a
x→−∞: ex→0⇒f(x)→1−1+5−5+a=a−2x \to -\infty: \ e^x \to 0 \Rightarrow f(x) \to \frac{1}{-1} + \frac{5}{-5} + a = a - 2

אנכיות: x=0x = 0, x=ln⁡5x = \ln 5. אופקיות: y=ay = a (ב־+∞+\infty) ו־y=a−2y = a - 2 (ב־−∞-\infty).

Check the answer on elev

Exercise 17

ב. הוכיחו כי פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) שלילית בכל תחום הגדרתה.

  • f(x)=1ex−1+5ex−5+af(x) = \frac{1}{e^x - 1} + \frac{5}{e^x - 5} + a
  • תחום ההגדרה: x≠0x \neq 0, x≠ln⁡5x \neq \ln 5

f′(x)<0f'(x) < 0 לכל xx בתחום ההגדרה

Show the answer and the solution
  1. f′(x)=−ex(ex−1)2−5ex(ex−5)2f'(x) = -\frac{e^x}{(e^x - 1)^2} - \frac{5e^x}{(e^x - 5)^2} — נגזרת של cg(x)\frac{c}{g(x)} היא −c⋅g′(x)g2(x)-\frac{c \cdot g'(x)}{g^2(x)}, ו־(ex)′=ex(e^x)' = e^x
  2. ex>0e^x > 0 לכל xx — תכונת הפונקציה המעריכית
  3. (ex−1)2>0(e^x - 1)^2 > 0 ו־(ex−5)2>0(e^x - 5)^2 > 0 בתחום ההגדרה — ריבוע של מספר שונה מאפס
  4. ex(ex−1)2>0\frac{e^x}{(e^x - 1)^2} > 0 ו־5ex(ex−5)2>0\frac{5e^x}{(e^x - 5)^2} > 0 — מנה של מספרים חיוביים
  5. f′(x)<0f'(x) < 0 לכל xx בתחום ההגדרה — סכום של שני מספרים שליליים

Worked solution:

f′(x)=−ex(ex−1)2−5ex(ex−5)2f'(x) = -\frac{e^x}{(e^x - 1)^2} - \frac{5e^x}{(e^x - 5)^2}

הנגזרת של aa היא 00

ex>0,(ex−1)2>0,(ex−5)2>0e^x > 0, \quad (e^x - 1)^2 > 0, \quad (e^x - 5)^2 > 0

בתחום ההגדרה

f′(x)<0f'(x) < 0

שני מחוברים שליליים

כל אחד משני המחוברים שלילי, ולכן f′(x)<0f'(x) < 0 בכל תחום ההגדרה.

Check the answer on elev

Exercise 18

נתון כי הישר y=2y = 2 הוא אסימפטוטה של הפונקציה f(x)f(x). ג. מצאו את שני הערכים האפשריים של aa.

a1=a_1 = ____ , a2=a_2 = ____ (a1<a2a_1 < a_2)

Show the answer and the solution

Answer: a1=a_1 = 2 , a2=a_2 = 4 (a1<a2a_1 < a_2)

Worked solution:

y=a או y=a−2\begin{aligned}y &= a \ \text{או} \ y \\ &= a - 2\end{aligned}

סעיף א (2): האסימפטוטות האופקיות

a=2אוa−2=2⇒a=4\begin{aligned}a &= 2 \quad \text{או} \quad a - 2 \\ &= 2 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

a=2a = 2 או a=4a = 4.

Check the answer on elev

Exercise 19

נתון כי הישר y=2y = 2 הוא אסימפטוטה של הפונקציה f(x)f(x). הציבו a=2a = 2 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ד–ו. ד. הראו כי f(x)=2e2x−6exe2x−6ex+5f(x) = \frac{2e^{2x} - 6e^x}{e^{2x} - 6e^x + 5}.

  • f(x)=1ex−1+5ex−5+2f(x) = \frac{1}{e^x - 1} + \frac{5}{e^x - 5} + 2

f(x)=2e2x−6exe2x−6ex+5f(x) = \frac{2e^{2x} - 6e^x}{e^{2x} - 6e^x + 5}

Show the answer and the solution
  1. (ex−1)(ex−5)=e2x−6ex+5(e^x - 1)(e^x - 5) = e^{2x} - 6e^x + 5 — פתיחת סוגריים: ex⋅ex=e2xe^x \cdot e^x = e^{2x}
  2. 1ex−1+5ex−5=(ex−5)+5(ex−1)e2x−6ex+5=6ex−10e2x−6ex+5\frac{1}{e^x - 1} + \frac{5}{e^x - 5} = \frac{(e^x - 5) + 5(e^x - 1)}{e^{2x} - 6e^x + 5} = \frac{6e^x - 10}{e^{2x} - 6e^x + 5} — מכנה משותף
  3. f(x)=6ex−10+2(e2x−6ex+5)e2x−6ex+5f(x) = \frac{6e^x - 10 + 2(e^{2x} - 6e^x + 5)}{e^{2x} - 6e^x + 5} — כותבים את 22 עם אותו מכנה
  4. f(x)=2e2x−6exe2x−6ex+5f(x) = \frac{2e^{2x} - 6e^x}{e^{2x} - 6e^x + 5} — מכנסים איברים דומים במונה

Worked solution:

1ex−1+5ex−5=ex−5+5ex−5(ex−1)(ex−5)=6ex−10e2x−6ex+5\begin{aligned}\frac{1}{e^x - 1} + \frac{5}{e^x - 5} &= \frac{e^x - 5 + 5e^x - 5}{(e^x - 1)(e^x - 5)} \\ &= \frac{6e^x - 10}{e^{2x} - 6e^x + 5}\end{aligned}

מכנה משותף

f(x)=6ex−10+2e2x−12ex+10e2x−6ex+5=2e2x−6exe2x−6ex+5\begin{aligned}f(x) &= \frac{6e^x - 10 + 2e^{2x} - 12e^x + 10}{e^{2x} - 6e^x + 5} \\ &= \frac{2e^{2x} - 6e^x}{e^{2x} - 6e^x + 5}\end{aligned}

קיבלנו את הביטוי הנדרש.

Check the answer on elev

Exercise 20

נתון כי הישר y=2y = 2 הוא אסימפטוטה של הפונקציה f(x)f(x). הציבו a=2a = 2 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ד–ו. ה (1). מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם ציר ה־xx.

(ln⁡(\ln ____ , 0), \ 0)

Show the answer and the solution

Answer: (ln⁡(\ln 3 , 0), \ 0)

Worked solution:

2e2x−6ex=2ex(ex−3)=0\begin{aligned}2e^{2x} - 6e^x &= 2e^x(e^x - 3) \\ &= 0\end{aligned}

מונה שווה לאפס (סעיף ד)

ex>0⇒ex=3⇒x=ln⁡3\begin{aligned}e^x > 0 \Rightarrow e^x &= 3 \Rightarrow x \\ &= \ln 3\end{aligned}

ln⁡3\ln 3 בתחום ההגדרה: 0<ln⁡3<ln⁡50 < \ln 3 < \ln 5

נקודת החיתוך: (ln⁡3,0)(\ln 3, 0).

Check the answer on elev

Exercise 21

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

נתון כי הישר y=2y = 2 הוא אסימפטוטה של הפונקציה f(x)f(x). הציבו a=2a = 2 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ד–ו. ה (2). סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x). בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

  1. גרף II
  2. גרף III
  3. גרף I
  4. גרף IV
Show the answer and the solution

Answer: A גרף II

Worked solution:

x=0 x=ln⁡5 y=0 (x→−∞) y=2 (x→∞)\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= \ln 5 \\ \ y &= 0 \ (x \to -\infty) \\ \ y &= 2 \ (x \to \infty)\end{aligned}

האסימפטוטות (סעיף א, a=2a = 2)

f′(x)<0f'(x) < 0

הפונקציה יורדת בכל קטע של תחום ההגדרה (סעיף ב)

(ln⁡3,0)(\ln 3, 0)

חיתוך יחיד עם ציר ה־xx, בין 00 ל־ln⁡5\ln 5 (סעיף ה (1))

גרף II: בכל אחד משלושת הקטעים הגרף יורד; משמאל מתחת לאסימפטוטה y=0y = 0, באמצע מ־+∞+\infty ל־−∞-\infty דרך (ln⁡3,0)(\ln 3, 0), ומימין מ־+∞+\infty אל y=2y = 2. גרף I עולה, גרף III יורד מתחת ל־y=−2y = -2, וגרף IV שיקוף שבו הקטע השמאלי מתחיל מעל ציר ה־xx.

Check the answer on elev

Exercise 22

נתון כי הישר y=2y = 2 הוא אסימפטוטה של הפונקציה f(x)f(x). הציבו a=2a = 2 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ד–ו. ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x), על ידי ציר ה־xx ועל ידי הישר x=ln⁡2x = \ln 2.

Show the answer and the solution

Answer: 0.2877

Worked solution:

f(ln⁡2)=1−53+2=43>0\begin{aligned}f(\ln 2) &= 1 - \frac{5}{3} + 2 \\ &= \frac{4}{3} > 0\end{aligned}

בין ln⁡2\ln 2 ל־ln⁡3\ln 3 הגרף מעל ציר ה־xx

∫cex−c dx=ln⁡∣ex−c∣−x\int \frac{c}{e^x - c}\,dx = \ln|e^x - c| - x

גוזרים: exex−c−1=cex−c\frac{e^x}{e^x - c} - 1 = \frac{c}{e^x - c}

F(x)=ln⁡∣ex−1∣−x+ln⁡∣ex−5∣−x+2x=ln⁡∣(ex−1)(ex−5)∣\begin{aligned}F(x) &= \ln|e^x - 1| - x + \ln|e^x - 5| - x + 2x \\ &= \ln|(e^x - 1)(e^x - 5)|\end{aligned}

פונקציה קדומה של ff

S=F(ln⁡3)−F(ln⁡2)=ln⁡∣2⋅(−2)∣−ln⁡∣1⋅(−3)∣=ln⁡4−ln⁡3\begin{aligned}S &= F(\ln 3) - F(\ln 2) \\ &= \ln|2 \cdot (-2)| - \ln|1 \cdot (-3)| \\ &= \ln 4 - \ln 3\end{aligned}
S=ln⁡43≈0.288S = \ln\frac{4}{3} \approx 0.288

השטח: ln⁡43≈0.288\ln\frac{4}{3} \approx 0.288.

Check the answer on elev

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית

Exercise 23

א. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגן. (יש לכתוב את הנקודה שבה xx קטן יותר ראשונה, ואת yy בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

(( ____ ,, ____ )) , (( ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: (( 1 ,, 14.64 )) , (( 7 ,, 18.2 ))

Worked solution:

f′(x)=16xx2+7−2=−2x2+16x−14x2+7=−2(x−1)(x−7)x2+7\begin{aligned}f'(x) &= \frac{16x}{x^2 + 7} - 2 \\ &= \frac{-2x^2 + 16x - 14}{x^2 + 7} \\ &= \frac{-2(x - 1)(x - 7)}{x^2 + 7}\end{aligned}
f′(x)=0⇒x=1 x=7\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1 \\ \ x &= 7\end{aligned}
x<1:f′<01<x<7:f′>0x>7:f′<0x < 1: f' < 0 \quad 1 < x < 7: f' > 0 \quad x > 7: f' < 0

סימן המונה: פרבולה הפוכה

(1, 8ln⁡8−2)≈(1,14.64): min⁡(1, \ 8\ln 8 - 2) \approx (1, 14.64): \ \min

יורדת ואחר כך עולה

(7, 8ln⁡56−14)≈(7,18.20): max⁡(7, \ 8\ln 56 - 14) \approx (7, 18.20): \ \max

עולה ואחר כך יורדת

מינימום ב־(1,8ln⁡8−2)≈(1,14.64)(1, 8\ln 8 - 2) \approx (1, 14.64), מקסימום ב־(7,8ln⁡56−14)≈(7,18.20)(7, 8\ln 56 - 14) \approx (7, 18.20).

Check the answer on elev

Exercise 24

ב. מצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה והקעירות כלפי מטה של הפונקציה f(x)f(x). (יש לכתוב את הקצוות כמספרים עשרוניים.)

קעירות כלפי מעלה: ____ <x<< x < ____ ; קעירות כלפי מטה: x<x < ____ או x>x > ____

Show the answer and the solution

Answer: קעירות כלפי מעלה: -2.6458 <x<< x < 2.6458 ; קעירות כלפי מטה: x<x < -2.6458 או x>x > 2.6458

Worked solution:

f′′(x)=16(x2+7)−16x⋅2x(x2+7)2=16(7−x2)(x2+7)2\begin{aligned}f''(x) &= \frac{16(x^2 + 7) - 16x \cdot 2x}{(x^2 + 7)^2} \\ &= \frac{16(7 - x^2)}{(x^2 + 7)^2}\end{aligned}

נגזרת של 16xx2+7\frac{16x}{x^2 + 7}

f′′(x)>0  ⟺  −7<x<7f''(x) > 0 \iff -\sqrt{7} < x < \sqrt{7}

המכנה חיובי

7≈2.646\sqrt{7} \approx 2.646

קעירות כלפי מעלה ב־−7<x<7-\sqrt{7} < x < \sqrt{7}; קעירות כלפי מטה ב־x<−7x < -\sqrt{7} או x>7x > \sqrt{7}.

Check the answer on elev

Exercise 25

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

ידוע כי הפונקציה f(x)f(x) חותכת את ציר ה־xx בנקודה אחת בלבד. ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x). בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

  1. גרף III
  2. גרף II
  3. גרף IV
  4. גרף I
Show the answer and the solution

Answer: A גרף III

Worked solution:

x→−∞:f→∞,x→∞:f→−∞x \to -\infty: f \to \infty, \quad x \to \infty: f \to -\infty

האיבר −2x-2x גדל מהר מ־8ln⁡(x2+7)8\ln(x^2 + 7)

min⁡(1,14.64),max⁡(7,18.20)\min(1, 14.64), \quad \max(7, 18.20)

סעיף א

x=±7x = \pm\sqrt{7}

נקודות פיתול (סעיף ב)

גרף III: יורד עד המינימום ב־x=1x = 1, עולה עד המקסימום ב־x=7x = 7, ויורד אל −∞-\infty וחוצה את ציר ה־xx פעם אחת (ליד x≈26x \approx 26). גרף II הוא שיקופו, בגרף I הקיצונים מתחלפים, ובגרף IV הפונקציה אינה חותכת את ציר ה־xx בתחום המוצג.

Check the answer on elev

Exercise 26

ידוע כי הפונקציה f(x)f(x) חותכת את ציר ה־xx בנקודה אחת בלבד. נתונה הפונקציה g(x)=ln⁡(f(x)−18)g(x) = \ln(f(x) - 18) , המוגדרת בתחום שבו f(x)>18f(x) > 18. ד (1). כמה אסימפטוטות מאונכות לציר ה־xx יש לפונקציה g(x)g(x)? נמקו את תשובתכם.

  1. שתיים: משני צדי המקסימום x=7x = 7, שבו f(7)≈18.2>18f(7) \approx 18.2 > 18
  2. אחת: רק בקטע x<1x < 1 מתקיים f(x)>18f(x) > 18
  3. אין: g(x)g(x) מוגדרת לכל xx
  4. שלוש: הישר y=18y = 18 חותך את גרף ff בשלוש נקודות
Show the answer and the solution

Answer: D שלוש: הישר y=18y = 18 חותך את גרף ff בשלוש נקודות

Worked solution:

x<1: f↘ מ־∞ עד 14.64⇒f=18 פעם אחת (x≈−0.84)x < 1: \ f \searrow \text{ מ־}\infty \text{ עד } 14.64 \Rightarrow f = 18 \text{ פעם אחת } (x \approx -0.84)

סעיף א

1<x<7: f↗ עד 18.20>18⇒ פעם אחת (x≈5.67)1 < x < 7: \ f \nearrow \text{ עד } 18.20 > 18 \Rightarrow \text{ פעם אחת } (x \approx 5.67)
x>7: f↘ אל −∞⇒ פעם אחת (x≈8.43)x > 7: \ f \searrow \text{ אל } -\infty \Rightarrow \text{ פעם אחת } (x \approx 8.43)
f(x)→18+⇒ln⁡(f(x)−18)→−∞f(x) \to 18^+ \Rightarrow \ln(f(x) - 18) \to -\infty

בקצות תחום ההגדרה של gg

יש שלוש אסימפטוטות אנכיות, אחת בכל נקודה שבה f(x)=18f(x) = 18.

Check the answer on elev

Exercise 27

ידוע כי הפונקציה f(x)f(x) חותכת את ציר ה־xx בנקודה אחת בלבד. נתונה הפונקציה g(x)=ln⁡(f(x)−18)g(x) = \ln(f(x) - 18) , המוגדרת בתחום שבו f(x)>18f(x) > 18. ד (2). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)g(x), וקבעו את סוגה. (יש לכתוב את yy בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

(( ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: (( 7 ,, -1.6 ))

Worked solution:

g′(x)=f′(x)f(x)−18g'(x) = \frac{f'(x)}{f(x) - 18}

נגזרת של ln⁡\ln של פונקציה

g′(x)=0  ⟺  f′(x)=0⇒x=1 או x=7\begin{aligned}g'(x) &= 0 \iff f'(x) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1 \ \text{או} \ x \\ &= 7\end{aligned}
f(1)≈14.64<18f(1) \approx 14.64 < 18

x=1x = 1 אינו בתחום ההגדרה של gg

g(7)=ln⁡(8ln⁡56−32)≈ln⁡0.2028≈−1.60g(7) = \ln(8\ln 56 - 32) \approx \ln 0.2028 \approx -1.60
ליד x=7: g′ עוברת מחיובית לשלילית\text{ליד } x = 7: \ g' \text{ עוברת מחיובית לשלילית}

f−18>0f - 18 > 0, והסימן של g′g' הוא הסימן של f′f'

מקסימום ב־(7,ln⁡(8ln⁡56−32))≈(7,−1.60)(7, \ln(8\ln 56 - 32)) \approx (7, -1.60).

Check the answer on elev

Exercise 28

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

ידוע כי הפונקציה f(x)f(x) חותכת את ציר ה־xx בנקודה אחת בלבד. נתונה הפונקציה g(x)=ln⁡(f(x)−18)g(x) = \ln(f(x) - 18) , המוגדרת בתחום שבו f(x)>18f(x) > 18. ד (3). סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x). בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

  1. גרף I
  2. גרף IV
  3. גרף III
  4. גרף II
Show the answer and the solution

Answer: B גרף IV

Worked solution:

x<−0.84 או 5.67<x<8.43x < -0.84 \ \text{או} \ 5.67 < x < 8.43

תחום ההגדרה (סעיף ד (1))

x→−∞:g→∞x \to -\infty: g \to \infty

f→∞f \to \infty

max⁡(7,−1.60)\max(7, -1.60)

סעיף ד (2)

גרף IV: ענף שמאלי שיורד מ־+∞+\infty אל −∞-\infty ליד x≈−0.84x \approx -0.84, וקשת קטנה בין שתי אסימפטוטות סביב x=7x = 7, שכולה מתחת לציר ה־xx (המקסימום −1.60-1.60). גרף I הפוך, בגרף II הקשת חסרה אסימפטוטות, ובגרף III אין קשת.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade