Triangle types and angle sum

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

למשולש יש שתי מערכות שמות נפרדות, והן לא סותרות זו את זו: אחת לפי הצלעות, אחת לפי הזוויות. אותו משולש מקבל שם מכל אחת.

לפי הצלעות

33

שווה צלעות — כל שלוש הצלעות שוות, וכל הזוויות הן 60°60°.

22

שווה שוקיים — שתי צלעות שוות, וזוויות הבסיס שוות.

00

שונה צלעות — אין שתי צלעות שוות.

לפי הזוויות

<90°< 90°

חד זווית — כל שלוש הזוויות חדות.

=90°= 90°

ישר זווית — יש בו זווית ישרה אחת.

>90°> 90°

קהה זווית — יש בו זווית קהה אחת.

שימו לב: לא ייתכנו שתי זוויות ישרות או קהות באותו משולש. שתיהן יחד כבר היו מגיעות ל-180 מעלות ומעלה, ולא היה נשאר כלום לשלישית.

האם יכול להיות משולש שהוא גם שווה צלעות וגם ישר זווית?

Show the answer and the solution

לא. בשווה צלעות כל הזוויות הן 60°60°, ולכן אין בו זווית ישרה. זה הצירוף היחיד שחסר בטבלה — וגם «שווה צלעות וקהה זווית» חסר מאותה סיבה.

סכום הזוויות במשולש

זהו המשפט המרכזי של כל הגאומטריה בכיתה ז, והוא נכון לכל משולש בלי יוצא מן הכלל:

α+β+γ=180°\alpha + \beta + \gamma = 180°

ניסוי שמשכנע: גוזרים משולש מנייר, קורעים את שלוש הפינות ומצמידים אותן זו לזו. הן יוצרות קו ישר מדויק — כלומר בדיוק 180 מעלות.

גררו את הקודקוד CC הרחק מעבר ל-BB. מה קורה לזווית BB, ומה קורה לסכום?

Show the answer and the solution

הזווית BB נעשית קהה — והזוויות AA ו-CC קטנות בדיוק כדי לפצות. הסכום נשאר 180°180° בכל מצב.

שימוש ישיר

במשולש שתי זוויות הן 50°50° ו-70°70°. מהי השלישית?

50+70=12050 + 70 = 120

סכום השתיים הידועות

180−120=60180 - 120 = 60

מה שנשאר

זווית חיצונית

מאריכים צלע של משולש מעבר לקודקוד — ונוצרת זווית חיצונית, בין ההמשך לבין הצלע השכנה. היא צמודה לזווית הפנימית שלידה, ולכן שתיהן יחד 180°180°.

∠CBD=∠A+∠C\angle CBD = \angle A + \angle C

הכלל: זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. הסיבה פשוטה: גם היא וגם ∠A+∠C\angle A + \angle C משלימות את ∠B\angle B ל-180°180°.

במשולש ∠A=40°\angle A = 40° ו-∠C=75°\angle C = 75°. מהי הזווית החיצונית ב-BB?

Show the answer and the solution

40+75=115°40 + 75 = 115°. בלי לחשב את ∠B\angle B בכלל. (בדיקה: ∠B=180−115=65\angle B = 180 - 115 = 65, והחיצונית 180−65=115180 - 65 = 115 ✓)

אי-שוויון המשולש

לא כל שלושה מספרים יכולים להיות צלעות של משולש. הכלל: סכום כל שתי צלעות גדול מהשלישית.

ההיגיון פשוט: כדי להגיע מנקודה לנקודה, הדרך הישרה קצרה מהדרך דרך נקודה שלישית. אם 2 ו-3 יחד הם 5 — הם בדיוק מגיעים ולא סוגרים משולש.

בדיקה

האם אפשר לבנות משולש שצלעותיו 3, 4 ו-8?

3+4=73 + 4 = 7

סכום שתי הקצרות

7<87 < 8

קטן מהשלישית

לא ניתן\text{לא ניתן}

שתי הצלעות פשוט לא נפגשות

מספיק לבדוק צירוף אחד: סכום שתי הצלעות הקצרות. אם הוא עובר את הארוכה — כל השאר בטוח מתקיים.

המקלות 88 ו-33 קבועים. מה האורכים השלמים שהמקל השלישי יכול לקבל?

Show the answer and the solution

כל אורך בין 8−3=58 - 3 = 5 לבין 8+3=118 + 3 = 11, בלי הקצוות: 6,7,8,9,106, 7, 8, 9, 10 — חמישה אורכים.

הטעות של סכום הזוויות.

α+β+γ=360°\alpha + \beta + \gamma = 360°
=180°= 180°

360 הוא סכום הזוויות במרובע, לא במשולש.

3+4=7 ולכן משולש עם צלע 7 קיים3 + 4 = 7 \ \text{ולכן משולש עם צלע 7 קיים}
צריך גדול ממש, לא שווה\text{צריך גדול ממש, לא שווה}

בשוויון מדויק שלוש הנקודות נופלות על ישר אחד — וזה לא משולש.

במשולש זוויות של 65 ו-48 מעלות. מהי השלישית?

Show the answer and the solution

180−65−48=67180 - 65 - 48 = 67 מעלות. סכום הזוויות — תמיד 180.

האם משולש יכול להיות גם שווה שוקיים וגם ישר זווית?

Show the answer and the solution

כן — חצי ריבוע שנחתך באלכסון: זווית ישרה בין שתי שוקיים שוות, ושתי זוויות של 45.

Exercises

Exercise 1

במשולש שתי זוויות הן 50°50° ו-70°70°. מהי השלישית (במעלות)?

Show the answer and the solution

Answer: 60

Worked solution:

50+70=12050 + 70 = 120

סכום הידועות

180−120=60180 - 120 = 60

מה שנשאר

סכום הזוויות במשולש הוא תמיד 180.

Check the answer on elev

Exercise 2

במשולש שווה צלעות — כמה מעלות בכל זווית?

Show the answer and the solution

Answer: 60

Worked solution:

180:3=60180 : 3 = 60

שלוש זוויות שוות

צלעות שוות — זוויות שוות. זה עובד בשני הכיוונים.

Check the answer on elev

Exercise 3

האם אפשר לבנות משולש שצלעותיו 3, 4 ו-8?

  1. רק אם הוא ישר זווית
  2. כן
  3. לא — 3+4<83 + 4 < 8
  4. רק אם הוא שווה שוקיים
Show the answer and the solution

Answer: C לא — 3+4<83 + 4 < 8

Worked solution:

3+4=73 + 4 = 7

סכום הקצרות

7<87 < 8

קטן מהארוכה

שתי הצלעות פשוט לא מגיעות זו לזו.

Check the answer on elev

Exercise 4

האם ייתכן משולש עם שתי זוויות ישרות?

  1. כן
  2. רק במשולש גדול
  3. לא — הן לבדן כבר 180
  4. רק אם הוא שווה שוקיים
Show the answer and the solution

Answer: C לא — הן לבדן כבר 180

Worked solution:

90+90=18090 + 90 = 180

כבר הכול

לשלישית נשאר 0\text{לשלישית נשאר 0}

ואין זווית של אפס

ולכן גם לא ייתכנו שתי זוויות קהות.

Check the answer on elev

Exercise 5

האם משולש יכול להיות גם שווה שוקיים וגם ישר זווית?

  1. כן
  2. רק בציור
  3. רק אם הוא גם שווה צלעות
  4. לא
Show the answer and the solution

Answer: A כן

Worked solution:

90°, 45°, 45°90°,\ 45°,\ 45°

דוגמה

מערכת שמות לפי צלעות ומערכת לפי זוויות — הן בלתי תלויות. שני שמות מאותן שתי מערכות

Check the answer on elev

Exercise 6

במשולש ישר זווית זווית חדה אחת היא 28°28°. מהי השנייה (במעלות)?

Show the answer and the solution

Answer: 62

Worked solution:

180−90=90180 - 90 = 90

נשאר לשתי החדות

90−28=6290 - 28 = 62

השנייה

שתי החדות משלימות ל-90, לא ל-180.

Check the answer on elev

Exercise 7

במשולש שתי זוויות בנות 50∘50^\circ ו-81∘81^\circ. חשבו את הזווית השלישית (במעלות).

Show the answer and the solution

Answer: 49

Worked solution:

50+81=13150 + 81 = 131

סכום שתי הידועות

180−131=49180 - 131 = 49

סכום הזוויות במשולש 180∘180^\circ

תמיד אותו מהלך: מחברים את מה שידוע, ומחסרים מ-180.

Check the answer on elev

Exercise 8

במשולש ישר זווית, אחת הזוויות היא 54∘54^\circ. חשבו את הזווית השלישית (במעלות).

Show the answer and the solution

Answer: 36

Worked solution:

90+54=14490 + 54 = 144

הזווית הישרה שווה 90∘90^\circ — גם כשלא כתוב עליה מספר

180−144=36180 - 144 = 36

ומחסרים מ-180

דרך מהירה: בזווית ישרה, שתי הזוויות החדות משלימות זו את זו ל-90∘90^\circ: 90−54=3690 - 54 = 36.

Check the answer on elev

Exercise 9

קטע מחלק את זווית הראש של משולש לשתי זוויות: 52∘52^\circ ו-35∘35^\circ. זווית הבסיס השמאלית היא 68∘68^\circ. חשבו את זווית הבסיס הימנית (במעלות).

Show the answer and the solution

Answer: 25

Worked solution:

52+35=8752 + 35 = 87

זווית הראש כולה — מחברים את שני החלקים

87+68=15587 + 68 = 155

ביחד עם הבסיס השמאלי

180−155=25180 - 155 = 25

סכום הזוויות במשולש הגדול

הקטע שמחלק את הזווית מנסה לבלבל — אבל אפשר להתעלם ממנו לגמרי ולעבוד עם המשולש הגדול. (אפשר גם דרך זווית חיצונית: 68+52=12068 + 52 = 120, ואז 180−120−35=25180 - 120 - 35 = 25 — אותה תשובה.)

Check the answer on elev

Exercise 10

855
זווית הראש למעלה

במשולש שווה שוקיים זווית הראש 100 מעלות. מהי כל זווית בסיס?

Show the answer and the solution

Answer: 40

Worked solution:

180−100=80180 - 100 = 80
80:2=4080 : 2 = 40

זוויות הבסיס שוות

Check the answer on elev

Exercise 11

התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

  • 33
  • 22
  • 00
  • שווה צלעות — כל שלוש הצלעות שוות, וכל הזוויות הן 60°60°.
  • שווה שוקיים — שתי צלעות שוות, וזוויות הבסיס שוות.
  • שונה צלעות — אין שתי צלעות שוות.
Show the answer and the solution

Answer: 33 — שווה צלעות — כל שלוש הצלעות שוות, וכל הזוויות הן 60°60°. · 22 — שווה שוקיים — שתי צלעות שוות, וזוויות הבסיס שוות. · 00 — שונה צלעות — אין שתי צלעות שוות.

Worked solution:

כל זוג כאן הופיע בשיעור — ההתאמה היא בדיוק מה שהטבלה הראתה.

Check the answer on elev

Exercise 12

48°?ABC

במשולש שווה שוקיים ABCABC (CA=CBCA = CB) זווית הראש ∠C=48°\angle C = 48°. כמה מעלות בכל זווית בסיס?

Show the answer and the solution

Answer: 66

Worked solution:

180−48=132180 - 48 = 132

מה שנשאר לשתי זוויות הבסיס יחד

132:2=66132 : 2 = 66

זוויות הבסיס שוות, ולכן מחלקים בשתיים

66+66+48=18066 + 66 + 48 = 180

בדיקה

הפח: לחלק את 180 בשתיים לפני שמחסרים את זווית הראש. קודם מחסרים את הראש, ורק אחר כך מחלקים.

Check the answer on elev

Exercise 13

?47°68°ABCD

במשולש ABCABC: ∠A=47°\angle A = 47°, ∠C=68°\angle C = 68°. מאריכים את הצלע ABAB מעבר ל-BB עד הנקודה DD. כמה מעלות בזווית החיצונית ∠CBD\angle CBD?

Show the answer and the solution

Answer: 115

Worked solution:

∠CBD=∠A+∠C\angle CBD = \angle A + \angle C

זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה

47+68=11547 + 68 = 115

מציבים

180−65=115180 - 65 = 115

בדיקה: ∠ABC=180−47−68=65\angle ABC = 180 - 47 - 68 = 65, והחיצונית צמודה לה

הפח: לחבר את הזווית הצמודה ∠ABC\angle ABC — היא לא משתתפת. החיצונית שווה לשתי הרחוקות.

Check the answer on elev

Exercise 14

x2x3xABC

זוויות משולש הן ביחס 1:2:31 : 2 : 3. כמה מעלות בזווית הגדולה?

Show the answer and the solution

Answer: 90

Worked solution:

x+2x+3x=180x + 2x + 3x = 180

מסמנים את הזוויות xx, 2x2x, 3x3x

6x=180 ⇒ x=30\begin{aligned}6x &= 180 \ \Rightarrow \ x \\ &= 30\end{aligned}

פותרים

3x=903x = 90

הזווית הגדולה

30+60+90=18030 + 60 + 90 = 180

בדיקה

הפח: לענות x=30x = 30 — זו הזווית הקטנה. והמשולש יצא ישר זווית.

Check the answer on elev

Exercise 15

70°70°40°ABC

במשולש זוויות של 40°40°, 70°70° ו-70°70°. מה שני השמות שלו?

  1. שונה צלעות וחד זווית
  2. שווה שוקיים וקהה זווית
  3. שווה שוקיים וחד זווית
  4. שווה צלעות וחד זווית
Show the answer and the solution

Answer: C שווה שוקיים וחד זווית

Worked solution:

70=7070 = 70

שתי זוויות שוות — ולכן שתי צלעות שוות: שווה שוקיים

40<90, 70<9040 < 90 , \ 70 < 90

כל הזוויות חדות: חד זווית

שם אחד לפי הצלעות ושם אחד לפי הזוויות. שווה צלעות היה דורש שלוש זוויות של 60°60°.

Check the answer on elev

Exercise 16

אילו שלשות זוויות יכולות להיות זוויות של משולש?

  • יש משולש כזה
  • אין משולש כזה
  • 100°,  50°,  40°100° ,\; 50° ,\; 40°
  • 20°,  40°,  120°20° ,\; 40° ,\; 120°
  • 30°,  30°,  120°30° ,\; 30° ,\; 120°
  • 45°,  45°,  80°45° ,\; 45° ,\; 80°
  • 50°,  60°,  70°50° ,\; 60° ,\; 70°
  • 60°,  60°,  70°60° ,\; 60° ,\; 70°
Show the answer and the solution

Answer: 50°,  60°,  70°50° ,\; 60° ,\; 70° — יש משולש כזה · 100°,  50°,  40°100° ,\; 50° ,\; 40° — אין משולש כזה · 30°,  30°,  120°30° ,\; 30° ,\; 120° — יש משולש כזה · 60°,  60°,  70°60° ,\; 60° ,\; 70° — אין משולש כזה · 45°,  45°,  80°45° ,\; 45° ,\; 80° — אין משולש כזה · 20°,  40°,  120°20° ,\; 40° ,\; 120° — יש משולש כזה

Worked solution:

50+60+70=18050 + 60 + 70 = 180

מתאים

100+50+40=190100 + 50 + 40 = 190

יותר מדי

45+45+80=17045 + 45 + 80 = 170

פחות מדי

הבדיקה היחידה: הסכום חייב להיות בדיוק 180 — לא קרוב, לא בערך.

Check the answer on elev

Exercise 17

?αβABCD

זווית חיצונית של משולש יכולה להיות קטנה מאחת הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

חיצונית=α+β\text{חיצונית} = \alpha + \beta

היא סכום שתי הזוויות הרחוקות

α+β>α\alpha + \beta > \alpha

וכל זווית במשולש גדולה מאפס

הזווית החיצונית גדולה מכל אחת משתי הזוויות הרחוקות, כי היא שתיהן יחד.

Check the answer on elev

Exercise 18

50°??ABC

במשולש שווה שוקיים זווית הראש היא 50°50°. נועה חישבה את זוויות הבסיס. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

זווית הראש=50°\text{זווית הראש} = 50°
שתי זוויות הבסיס יחד=180−50=130\begin{aligned}\text{שתי זוויות הבסיס יחד} &= 180 - 50 \\ &= 130\end{aligned}
כל זווית בסיס=130−50=80\begin{aligned}\text{כל זווית בסיס} &= 130 - 50 \\ &= 80\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: כל זווית בסיס=130−50=80\text{כל זווית בסיס} = 130 - 50 = 80 → כל זווית בסיס=130:2=65\text{כל זווית בסיס} = 130 : 2 = 65

Worked solution:

130:2=65130 : 2 = 65

130 מתחלק שווה בשווה בין שתי זוויות הבסיס

65+65+50=18065 + 65 + 50 = 180

בדיקה

נועה חיסרה שוב את 50 — אבל זווית הראש כבר ירדה. עם 80 הסכום היה 80+80+50=21080 + 80 + 50 = 210.

Check the answer on elev

Exercise 19

130°55°?ABCD

במשולש ABCABC מאריכים את BCBC מעבר ל-CC עד DD. הזווית החיצונית ∠ACD=130°\angle ACD = 130°, ו-∠A=55°\angle A = 55°. כמה מעלות ב-∠B\angle B?

Show the answer and the solution

Answer: 75

Worked solution:

∠A+∠B=∠ACD\angle A + \angle B = \angle ACD

החיצונית ב-CC שווה לשתי הרחוקות

55+∠B=13055 + \angle B = 130

מציבים

∠B=75\angle B = 75

ובדיקה: ∠ACB=50\angle ACB = 50, ו-55+75+50=18055 + 75 + 50 = 180

הפח: לחסר מ-180 — 180−130=50180 - 130 = 50 היא הזווית הצמודה ∠ACB\angle ACB, לא ∠B\angle B.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade