Quatre zones, trois frontières

« Si $0 < x < 1$, laquelle des expressions suivantes est la plus grande ? » Cette question revient sous dix habits. Elle ne demande aucun calcul : elle demande de savoir où tombent $x^2$, $x^3$, $\sqrt{x}$ et $\frac{1}{x}$ quand $x$ change de zone.

La droite des nombres se coupe en quatre zones par trois frontières : $-1$, $0$ et $1$. Dans une même zone, les expressions gardent le même ordre. Elles ne se croisent qu'en passant une frontière.

Entre 0 et 1 : tout s'inverse

Au-delà de $1$, élever au carré agrandit : $3^2 = 9$. Entre $0$ et $1$, c'est l'inverse, parce que multiplier par une fraction, c'est en prendre une part : $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ — la moitié de la moitié. La racine fait le chemin inverse, et elle agrandit : $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.