מבחן סימולציה 8

התשובה: ד $165$

הפתרון:

התשובה היא $165$. הולכים אחורה, וכל פעם מבטלים פעולה אחת: קודם מחזירים את ה-$5$ ורק אחר כך מכפילים. מי שמכפיל קודם ($45 \times 2 + 5$) מקבל $95$, ומגיע ל-$157.5$ — מספר עמודים לא שלם, סימן לטעות.

התשובה: ג הוא גדל

הפתרון:

התשובה היא הוא גדל. המרחק של השבר מ-$1$ הוא $\frac{b-a}{b}$, ואחרי ההוספה הוא $\frac{b-a}{b+1}$ — אותו מונה ומכנה גדול יותר, כלומר מרחק קטן יותר. השבר מתקרב ל-$1$ מלמטה, ולכן גדל.

התשובה: ב $33\frac{1}{3}\%$

הפתרון:

התשובה היא $33\frac{1}{3}\%$. $40\%$ מכפיל את האחוז — אבל כשמספר הבנים גדל, גם מספר המשתתפים כולו גדל, ולכן האחוז גדל בפחות מפי $2$.

התשובה: ג $20$

הפתרון:

התשובה היא $20$. ככל ש-$x$ גדול יותר, ההפסד גדול יותר — והוא תמיד $x\%$ מתוך $x\%$: $20\%$ מ-$20\%$ הם $4\%$. $2$ ו-$4$ מבוססים על ההנחה שההפסד שווה ל-$x$ עצמו או לחצי ממנו.

התשובה: א $25$

הפתרון:

התשובה היא $25$. גם בדיקה של התשובות עובדת מהר: עם $50$ ילדים ($20$ בנים ו-$30$ בנות) ההחלפה נותנת $25:25$, ועם $20$ ילדים היא נותנת $13:7$. רק עם $25$ ילדים היחס מתהפך בדיוק.

התשובה: א $16$

הפתרון:

התשובה היא $16$. בנקודת המגע עוברות אותן שיניים בשני הגלגלים. הגלגל הקטן חייב להסתובב יותר — ולכן $2.25$, שמתקבל מחלוקה הפוכה, אינו אפשרי.

התשובה: ב $\frac{7}{8}$

הפתרון:

התשובה היא $\frac{7}{8}$. ״לפחות פעם אחת״ הוא ההפך של ״אף פעם״, ואת ״אף פעם״ קל לחשב. $\frac{3}{8}$ היא ההסתברות לעץ בדיוק פעם אחת.

התשובה: ג $4$

הפתרון:

התשובה היא $4$. בדיקה: $\frac{4}{12} \times \frac{3}{11} = \frac{12}{132} = \frac{1}{11}$. עם $3$ לבנים מקבלים $\frac{6}{132} = \frac{1}{22}$ — חצי מהנדרש.

התשובה: ב $10$

הפתרון:

התשובה היא $10$ שעות. $9$ הוא הזמן אחרי שהניקוז נפתח — השאלה סופרת מפתיחת הברז. $12$ מתאים למקרה שבו שניהם נפתחים יחד מההתחלה.

התשובה: א $9{:}30$

הפתרון:

התשובה היא $9{:}30$. $9{:}00$ היא השעה שבה הרוכב השיג את הקבוצה, לפני הדרך חזרה. הדרך חזרה ארוכה מ-$7.5$ ק״מ, כי בזמן המרדף הקבוצה המשיכה ללכת.

התשובה: א $68\%$

הפתרון:

התשובה היא $68\%$. $70\%$ הוא ממוצע שני האחוזים, והוא נכון רק כששני בתי הספר באותו גודל. בית ספר א׳ גדול יותר, ולכן הוא מושך את התוצאה לכיוון $60\%$.

התשובה: ד הממוצע גדל ב-$2$, והחציון לא השתנה

הפתרון:

התשובה היא הממוצע גדל ב-$2$, והחציון לא השתנה. החציון תלוי רק במספר שבאמצע הרשימה המסודרת, והמספר הגדול נשאר גדול — הסדר לא משתנה. הממוצע, לעומת זאת, רגיש לכל מספר. $14$ הוא השינוי בסכום, לא בממוצע.

התשובה: ד $230^\circ$

הפתרון:

התשובה היא $230^\circ$. $130^\circ$ הוא הסכום של שתי הזוויות הקטנות. $180^\circ$ הוא הסכום של שתי זוויות סמוכות לאותה שוק — זווית אחת קטנה ואחת גדולה.

התשובה: א פי $4$

הפתרון:

התשובה היא פי $4$. $64$ הוא היחס בין הנפחים — מספר הקוביות. ״הם שווים״ מבלבל בין שטח הפנים לנפח: הנפח הכולל לא משתנה, אבל כל חיתוך חושף פאות חדשות.

התשובה: ג $157$ סמ״ר

הפתרון:

התשובה היא $157$ סמ״ר — בדיוק חצי מהעיגול הגדול. הרדיוס של כל עיגול קטן הוא חצי מהרדיוס הגדול, ולכן השטח שלו הוא רבע מהשטח הגדול, לא חצי. מי שחושב ״חצי רדיוס — חצי שטח״ מקבל ששני הקטנים ממלאים את כל הגדול, ובוחר $0$. $78.5$ הוא השטח של עיגול קטן אחד.

התשובה: ג $32$

הפתרון:

התשובה היא $32$. $13$ הוא האיבר הבא בסדרת המקומות האי-זוגיים ($5 + 8$) — אבל המקום הריק הוא העשירי, מקום זוגי.

התשובה: ד $a \oplus b = b \oplus a$

הפתרון:

התשובה היא $a \oplus b = b \oplus a$. הטענה השנייה נכונה בחיבור ובכפל, ולכן היא נראית ״טבעית״ — אבל בממוצע היא נכשלת: המספר שנכנס אחרון מקבל משקל של חצי, והראשונים רק רבע.

התשובה: ב בן

הפתרון:

התשובה היא בן. המפתח הוא דנה: המשפט שלה קושר אותה לגל, ולכן שניהם באותו מצב — ומכיוון שיש רק דובר אמת אחד, שניהם משקרים. מכאן נשארים אלה ובן, והמשפט של אלה מתגלה כשקר.

התשובה: ב אדום

הפתרון:

התשובה היא אדום. מתחילים ממי שיש עליו הכי הרבה הגבלות — עידו. החולצה שלו אינה אדומה (של טל) ואינה ירוקה, והנעליים שלו אינן כחולות (של נגה) ואינן ירוקות. כל השאר נסגר מעצמו.

התשובה: א $0$

הפתרון:

התשובה היא $0$. נראה שבין כל כך הרבה מספרים ״חייב להיות״ זוג — אבל הזוגיות משאירה אפשרות אחת בלבד, $2 + 2{,}023$, ו-$2{,}023$ מתחלק ב-$7$. מי שעוצר אחרי השלב השני בוחר $1$ בלי לבדוק את $2{,}023$.

התשובה: ג $\frac{n \times n \times n - n}{6}$

הפתרון:

התשובה היא $\frac{n \times n \times n - n}{6}$. הפירוק $(n-1) \times n \times (n+1)$ מראה שזו מכפלה של שלושה מספרים עוקבים, ובהם תמיד מספר זוגי וכפולה של $3$. לחלוקה ב-$12$ כבר אין ערובה: $n=2$ נותן $\frac{6}{12}$.

התשובה: ג $6$

הפתרון:

התשובה היא $6$: הוא זוגי, ואינו מתחלק ב-$4$ — בדיוק מה שהמשפט של דני אומר שלא יקרה. $8$ ו-$12$ מתאימים למשפט, ולכן אינם מפריכים אותו. $7$ אינו זוגי, ולכן המשפט של דני לא אומר עליו דבר.

התשובה: ג $60$

הפתרון:

התשובה היא $60$. $125$ ($5 \times 5 \times 5$) מרשה ספרות חוזרות, כמו $111$. $10$ סופר רק את קבוצות הספרות, בלי הסדר — אבל $135$ ו-$531$ הם שני מספרים שונים.

התשובה: א $x < 1 < y$

הפתרון:

התשובה היא $x < 1 < y$. אילו שניהם היו גדולים מ-$1$, המכפלה הייתה גדולה מ-$1$; ואילו שניהם היו קטנים — קטנה. הדוגמה $0.5$ ו-$2$ פוסלת את שתי טענות הסכום: $x + y = 2$ רק כששניהם שווים ל-$1$, והשאלה אומרת ש-$x < y$.