דף חזרה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

דף החזרה הזה חוצה כמה פרקים בבת אחת: אחוזים, משפט פיתגורס ובעיות מילוליות. זה בדיוק מה שקורה במבחן אמיתי — השאלות אינן מסודרות לפי נושא, וצריך לזהות לבד באיזה כלי להשתמש.

לפני כל שאלת גאומטריה, שאלו את עצמכם: יש כאן זווית ישרה? אם כן — פיתגורס. במלבן יש ארבע, ולכן כל אלכסון של מלבן פותח משולש ישר זווית.

תרגילים

תרגיל 1

אדם הרוויח בחודש מסוים 12,000 ₪. 30% מהסכום הוציא על מזון. כמה כסף הוציא על מזון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3600

הפתרון:

30100×12000=3600\frac{30}{100} \times 12000 = 3600

אחוז מתוך כמות — כפל

שאלה ישירה: 30% הם 30 חלקים מתוך כל 100.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

אותו אדם קנה בגדים ב-20% מהסכום שנותר אחרי המזון. כמה כסף הוציא על בגדים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1680

הפתרון:

12000−3600=840012000 - 3600 = 8400

קודם כמה נשאר אחרי המזון

20100×8400=1680\frac{20}{100} \times 8400 = 1680

ורק ממנו לוקחים 20%

המילים «מהסכום הנותר» הן כל השאלה. מי שמחשב 20% מ-12,000 מקבל 2,400 — תשובה לשאלה אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הסכום שנותר לאותו אדם אחרי שתי הקניות מהווה:

  1. פחות מ-50% מהסכום שהרוויח
  2. בדיוק 50% מהסכום שהרוויח
  3. אי אפשר לדעת
  4. יותר מ-50% מהסכום שהרוויח
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד יותר מ-50% מהסכום שהרוויח

הפתרון:

12000−3600−1680=672012000 - 3600 - 1680 = 6720

מה שנשאר בפועל

50100×12000=6000\frac{50}{100} \times 12000 = 6000

ומהו חצי מהסכום

6720>60006720 > 6000

נשאר יותר מחצי

אפשר גם בלי לחשב הכול: אחרי המזון נשארו 70%, ומהם הוצאו רק 20% — כלומר 14% מהסכום המקורי. בסך הכול הוצאו 44%, ולכן נשארו 56%.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בחנות א׳ מחיר מכנסיים 160 ₪, ובמכירת סוף העונה נמכרו ב-140 ₪. בחנות ב׳ המחיר היה 180 ₪, ונמכרו ב-157.5 ₪. באיזו חנות אחוז ההנחה היה גבוה יותר?

  1. בחנות ב׳
  2. בחנות א׳
  3. אי אפשר להשוות
  4. אותו אחוז הנחה בשתי החנויות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד אותו אחוז הנחה בשתי החנויות

הפתרון:

160−140=20⟶20160=12.5%\begin{aligned}160 - 140 &= 20 \quad \longrightarrow\quad \frac{20}{160} \\ &= 12.5\%\end{aligned}

ההנחה בחנות א׳

180−157.5=22.5⟶22.5180=12.5%\begin{aligned}180 - 157.5 &= 22.5 \quad \longrightarrow\quad \frac{22.5}{180} \\ &= 12.5\%\end{aligned}

וההנחה בחנות ב׳

הנחה של 22.5 ₪ נראית גדולה יותר מ-20 ₪, אבל היא ניתנה על מחיר גבוה יותר. אחוז ההנחה זהה — וזו בדיוק הסיבה שמשווים אחוזים ולא שקלים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מוצר התייקר ב-10%, ואחר כך התייקר שוב ב-10% ממחירו החדש. מחירו הסופי הוא 605 ₪. מהו מחירו המקורי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 500

הפתרון:

110% ואז 110%110\% \text{ ואז } 110\%

שתי התייקרויות רצופות

1.1×1.1=1.211.1 \times 1.1 = 1.21

יחד — פי 1.21 מהמחיר המקורי

605:1.21=500605 : 1.21 = 500

ולכן מחלקים כדי לחזור אחורה

כאן פועלים בכיוון ההפוך: מהמחיר הסופי אל המקורי. במקום לכפול — מחלקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

באותו מוצר — מהו אחוז ההתייקרות הכללי, מהמחיר המקורי עד הסופי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 21

הפתרון:

605−500=105605 - 500 = 105

סך ההתייקרות בשקלים

105500=21%\frac{105}{500} = 21\%

ומחשבים איזה אחוז זה מהמקורי

שתי התייקרויות של 10% אינן 20% אלא 21%. ההתייקרות השנייה חלה גם על התוספת הראשונה — וזה בדיוק העיקרון שהופך ריבית לכזה כוח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במלבן, אורך אחת הצלעות 40 ס״מ ואורך האלכסון 41 ס״מ. מה אורך הצלע השנייה, בסנטימטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

האלכסון=היתר\text{האלכסון} = \text{היתר}

האלכסון פותח משולש ישר זווית

402+b2=41240^2 + b^2 = 41^2

הצלעות הן הניצבים

b2=1681−1600=81⟶b=9\begin{aligned}b^2 &= 1681 - 1600 \\ &= 81 \quad \longrightarrow\quad b \\ &= 9\end{aligned}

ומוציאים שורש

כל מלבן מכיל משולש ישר זווית — האלכסון הוא תמיד היתר שלו. וכאן 9, 40, 41 הן שלשה פיתגורית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

באותו מלבן — מהו שטחו, בסנטימטרים רבועים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 360

הפתרון:

40×9=36040 \times 9 = 360

שטח מלבן — מכפלת הצלעות

האלכסון שימש רק כדי למצוא את הצלע החסרה; הוא לא נכנס לחישוב השטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שטחו של מלבן 120 סמ״ר, ואורך אחת מצלעותיו 15 ס״מ. מה אורך האלכסון במלבן, בסנטימטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 17

הפתרון:

120:15=8120 : 15 = 8

קודם הצלע השנייה

152+82=225+64=289\begin{aligned}15^2 + 8^2 &= 225 + 64 \\ &= 289\end{aligned}

ואז פיתגורס

289=17\sqrt{289} = 17

האלכסון

שני שלבים: מהשטח לצלע החסרה, ומהצלעות לאלכסון. 8, 15, 17 היא עוד שלשה פיתגורית ששווה לזכור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

שטחו של משולש שווה שוקיים 240 סמ״ר, ואורך הגובה לבסיס 40 ס״מ. מה אורך הבסיס, בסנטימטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

a×h2=240\frac{a \times h}{2} = 240

נוסחת שטח המשולש

בסיס=240×240=12\begin{aligned}\text{בסיס} &= \frac{240 \times 2}{40} \\ &= 12\end{aligned}

ומחלצים את הבסיס

הכפל בשתיים הוא השלב שהכי שוכחים כשמחלצים מנוסחת שטח המשולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

במשולש ישר זווית, שבו הזווית הישרה נמצאת ב-CC, אורך היתר ABAB הוא 25 ס״מ ואורך הניצב ACAC הוא 15 ס״מ. מה אורך הניצב CBCB, בסנטימטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

152+CB2=25215^2 + CB^2 = 25^2

היתר לבדו בצד אחד

CB2=625−225=400\begin{aligned}CB^2 &= 625 - 225 \\ &= 400\end{aligned}

מעבירים אגף — מחסרים

CB=20CB = 20

ומוציאים שורש

15, 20, 25 היא השלשה 3, 4, 5 מוכפלת בחמש. שווה לזהות אותן — הן חוסכות את כל החישוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

במשולש ישר זווית אורך היתר 25 ס״מ ואורך אחד הניצבים 15 ס״מ. מהו שטח המשולש, בסנטימטרים רבועים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 150

הפתרון:

152+b2=252⟶b=20\begin{aligned}15^2 + b^2 &= 25^2 \quad \longrightarrow\quad b \\ &= 20\end{aligned}

קודם הניצב השני, בפיתגורס

15×202=150\frac{15 \times 20}{2} = 150

במשולש ישר זווית שני הניצבים הם הבסיס והגובה

זה הנוח במשולש ישר זווית: אין צורך לחפש גובה, הניצבים כבר מאונכים זה לזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

במשולש ישר זווית אורך היתר 25 ס״מ ואורך אחד הניצבים 15 ס״מ. מה אורך הגובה ליתר, בסנטימטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

152+b2=252⟶b=20\begin{aligned}15^2 + b^2 &= 25^2 \quad \longrightarrow\quad b \\ &= 20\end{aligned}

קודם הניצב השני, בפיתגורס

15×202=150\frac{15 \times 20}{2} = 150

השטח, עם שני הניצבים כבסיס וכגובה

25×h2=150\frac{25 \times h}{2} = 150

אותו שטח, אבל עם היתר כבסיס

h=150×225=12\begin{aligned}h &= \frac{150 \times 2}{25} \\ &= 12\end{aligned}

ומחלצים

הרעיון היפה כאן: לאותו משולש יש שטח אחד, אבל אפשר לחשב אותו משני זוגות בסיס-גובה שונים. משווים ביניהם ומקבלים את הגובה החסר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

במשולש ישר זווית היחס בין הניצבים הוא 7:24, ואורך הניצב הקטן 14 ס״מ. מה אורך היתר, בסנטימטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

14:7=214 : 7 = 2

הניצב הקטן הוא פי 2 מהיחס

24×2=4824 \times 2 = 48

ולכן הניצב הגדול

142+482=196+2304=2500⟶50\begin{aligned}14^2 + 48^2 &= 196 + 2304 \\ &= 2500 \quad \longrightarrow\quad 50\end{aligned}

ופיתגורס

יחס אינו מידה. קודם מוצאים במה הוכפל היחס, ורק אז יש מספרים אמיתיים להציב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

במשולש ישר זווית היחס בין הניצבים הוא 7:24, ואורך הניצב הקטן 14 ס״מ. מהו שטח המשולש, בסנטימטרים רבועים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 336

הפתרון:

14:7=2⟶24×2=48\begin{aligned}14 : 7 &= 2 \quad \longrightarrow\quad 24 \times 2 \\ &= 48\end{aligned}

קודם הניצב הגדול: היחס הוכפל פי 2

14×482=336\frac{14 \times 48}{2} = 336

מכפלת הניצבים חלקי שתיים

שוב — במשולש ישר זווית הניצבים משמשים כבסיס וכגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

שטחו של משולש ישר זווית ושווה שוקיים הוא 72 סמ״ר. מה אורך הניצב, בסנטימטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

a×a2=72\frac{a \times a}{2} = 72

שווה שוקיים — שני הניצבים שווים

a2=144⟶a=12\begin{aligned}a^2 &= 144 \quad \longrightarrow\quad a \\ &= 12\end{aligned}

ומוציאים שורש

הצירוף «ישר זווית ושווה שוקיים» אומר ששני הניצבים שווים — וזה מה שהופך את המשוואה לפתירה עם נעלם אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

במשולש שווה שוקיים ABCABC (שבו AB=ACAB = AC), הגובה CDCD לשוק ABAB מחלק אותה לשני קטעים: ADAD באורך 21 ס״מ ו-DBDB באורך 3 ס״מ. מה אורך הבסיס BCBC, בסנטימטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

AB=21+3=24\begin{aligned}AB &= 21 + 3 \\ &= 24\end{aligned}

השוק כולה, ולכן גם AC=24AC = 24

CD2=242−212=576−441=135\begin{aligned}CD^2 &= 24^2 - 21^2 \\ &= 576 - 441 \\ &= 135\end{aligned}

פיתגורס במשולש ACDACD

BC2=CD2+32=135+9=144\begin{aligned}BC^2 &= CD^2 + 3^2 \\ &= 135 + 9 \\ &= 144\end{aligned}

ושוב פיתגורס, במשולש CDBCDB

BC=12BC = 12

ומוציאים שורש

שני משולשים ישרי זווית בזה אחר זה, והגובה CDCD משותף לשניהם. שימו לב ש-CDCD עצמו אינו מספר שלם — ואין בכך שום בעיה, כי צריך רק את ריבועו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת