מבחן מופת · מבחן מופת — תשע״ו · כיתה ח׳

זהו מבחן מופת אמיתי לכיתה ח׳. שני נתונים שכתובים בו במפורש וכדאי להכיר מראש:

90

משך המבחן — 90 דקות. זה מה שכתוב בראש הדף.

20\%

השאלה הראשונה — פתרון משוואות. הכבדה ביותר.

16\%

וכל אחת מחמש השאלות הבאות: בעיה מילולית, שתי שאלות הנדסה, גאומטריה אנליטית, וגרף מהחיים.

שימו לב לחלוקה: שלוש מתוך שש השאלות הן הנדסה או גאומטריה — כמעט חצי מהמבחן. וכולן דורשות נימוק, לא רק תשובה.

תרגילים

תרגיל 1

פתרו: $(x + 4)(2x - 7) = 0$ . מהו הפתרון החיובי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.5

הפתרון:

\begin{aligned}x + 4 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -4\end{aligned}

הגורם הראשון

\begin{aligned}2x - 7 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3.5\end{aligned}

והשני

מכפלה מתאפסת רק אם אחד הגורמים מתאפס. שני פתרונות, ואחד מהם חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

שלושה מוצרים עולים יחד 1,880 ₪. המוצר היקר עולה 30% יותר מהבינוני, והבינוני עולה 100 ₪ יותר מהזול. מה מחיר המוצר הזול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 500

הפתרון:

\text{זול} = x

בוחרים את הנעלם

\text{בינוני} = x + 100

\text{יקר} = 1.3(x + 100)

30% יותר מהבינוני

x + (x+100) + 1.3(x+100) = 1880

3.3x + 230 = 1880

x = 500

בוחרים כ- $x$ את הזול, כי שני האחרים מוגדרים דרכו. בחירה הפוכה מסבכת את המשוואה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ובאותה שאלה — מה מחיר המוצר הבינוני?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 600

הפתרון:

500 + 100 = 600

והיקר: $1.3 \cdot 600 = 780$ . בדיקה: $500 + 600 + 780 = 1880$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ומה מחיר המוצר היקר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 780

הפתרון:

600 \cdot 1.3 = 780

תמיד בודקים שהסכום חוזר ל-1,880.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש $ABC$ , הקטע $BE$ הוא גובה לצלע $AC$ , ונתון $AE = EC$ . איזה משולש הוא $ABC$ ?

ישר זווית
שווה צלעות
שונה צלעות
שווה שוקיים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד שווה שוקיים

הפתרון:

AE = EC

הגובה חוצה את הצלע — כלומר הוא גם תיכון

הכלל: במשולש שבו הגובה הוא גם תיכון, המשולש שווה שוקיים. וזה הנימוק שצריך לכתוב. הגובה הוא גם תיכון

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש ישר זווית $ABC$ (הזווית ב- $C$ ), $CM$ הוא התיכון ליתר ואורכו 5 ס״מ. מה אורך היתר $AB$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

CM = \frac{AB}{2}

משפט התיכון ליתר

\begin{aligned}AB &= 2 \cdot 5 \\ &= 10\end{aligned}

התיכון ליתר שווה תמיד למחצית היתר — ולכן היתר הוא כפליים ממנו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

באותו משולש, $ED$ הוא קטע אמצעים המקביל ל- $AB$ . מה אורכו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

ED = \frac{AB}{2}

קטע אמצעים שווה למחצית הצלע שהוא מקביל לה

ED = 5

שני משפטים שונים שנותנים כאן את אותו מספר — ואסור לבלבל ביניהם בנימוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

משולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = AC$ ). הבסיס $BC$ על ציר ה- $x$ , נתון $B(-2,\, 0)$ , ומשוואת הישר $AC$ היא $y = -2x + 8$ . מהו ה- $x$ של הנקודה $C$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

-2x + 8 = 0

$C$ על ציר ה- $x$ , ולכן $y = 0$

x = 4

נקודה על ציר ה- $x$ — מציבים $y = 0$ . זה תמיד השלב הראשון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ובאותו משולש — מהו ה- $y$ של הקודקוד $A$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\frac{-2 + 4}{2} = 1

במשולש שווה שוקיים, $A$ מעל אמצע הבסיס

\begin{aligned}y &= -2 \cdot 1 + 8 \\ &= 6\end{aligned}

מציבים ב- $AC$

הקודקוד $A$ הוא $(1,\, 6)$ . תכונת שווה השוקיים היא שנותנת את ה- $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מהו שטח המשולש $ABC$ בשאלה הקודמת?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

\begin{aligned}BC &= 4 - (-2) \\ &= 6\end{aligned}

הבסיס — הפרש הקואורדינטות

h = 6

הגובה — ה- $y$ של $A$

\frac{6 \cdot 6}{2} = 18

כשהבסיס מונח על ציר, אורכו הוא פשוט הפרש ה- $x$ — וזו הסיבה שבוחרים אותו כבסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מחממים מים. בכלי הראשון הטמפרטורה מתחילה ב-30°C ועולה ב-5°C בכל דקה; בשני מתחילה ב-10°C ועולה ב-10°C בכל דקה. אחרי כמה דקות הטמפרטורות שוות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

y_1 = 30 + 5x

הכלי הראשון

y_2 = 10 + 10x

והשני

30 + 5x = 10 + 10x

משווים

x = 4

זו נקודת החיתוך של שני הישרים — אותה שיטה בדיוק כמו בגרף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

ומהי הטמפרטורה המשותפת באותו רגע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

30 + 5 \cdot 4 = 50

מציבים בכלי הראשון

10 + 10 \cdot 4 = 50

ובשני — אותו דבר

מציבים בשני הביטויים כדי לבדוק. אם יצא שונה — יש טעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

בכלי שלישי הטמפרטורה עולה ב-2.5°C בכל דקה, והוא הגיע לאותה טמפרטורה באותו זמן. מהי הטמפרטורה ההתחלתית שלו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

a + 2.5 \cdot 4 = 50

אותו זמן, אותה טמפרטורה

a = 40

הוא עולה לאט יותר — ולכן היה חייב להתחיל גבוה יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev