מבחן סוף שליש ב׳

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מבחן סוף שליש ב׳ — כיתה ח׳. המבחן מצטבר: הוא בודק את החומר של השליש השני — פיתגורס, אחוזים, מערכות משוואות, בעיות תנועה, משולש שווה שוקיים והוכחות חפיפה — וחוזר גם על חומר מהשליש הראשון. 7 שאלות, 90 דקות, ומותר להשתמש במחשבון.

1616

נקודות — מערכות משוואות, ושתי שאלות הוכחה (שאלות 3, 6, 7)

1414

נקודות — אחוזים, ובעיית תנועה (שאלות 2, 4)

1212

נקודות — פיתגורס, ומשולש שווה שוקיים (שאלות 1, 5)

בהוכחה כותבים טענה ונימוק בכל שורה. נימוק הוא משפט שלמדנו או נתון — לא «רואים בשרטוט». ולפני שכותבים את משפט החפיפה, בודקים שהזווית באמת בין שתי הצלעות.

תרגילים

שאלה 1 (12 נקודות) — משפט פיתגורס

תרגיל 1

ABCD
מלבן ABCDABCD והאלכסון ACAC.

במלבן ABCDABCD נתון: AB=24AB = 24 ס״מ, והאלכסון AC=25AC = 25 ס״מ. א. מה אורך הצלע BCBC, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

AB2+BC2=AC2AB^2 + BC^2 = AC^2

פיתגורס במשולש ABCABC — הזווית BB ישרה

BC2=625−576=49\begin{aligned}BC^2 &= 625 - 576 \\ &= 49\end{aligned}
BC=7BC = 7

כשמחפשים ניצב — מחסרים: ריבוע היתר פחות ריבוע הניצב הידוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ABCD
מלבן ABCDABCD והאלכסון ACAC.

במלבן ABCDABCD נתון: AB=24AB = 24 ס״מ, והאלכסון AC=25AC = 25 ס״מ. ב. מהו היקף המלבן, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 62

הפתרון:

P=2(24+7)=62\begin{aligned}P &= 2(24 + 7) \\ &= 62\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ג. שטחו של משולש ישר זווית ושווה שוקיים הוא 32 סמ״ר. מה אורך היתר שלו, בס״מ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11.31

הפתרון:

a⋅a2=32 ⇒ a=8\begin{aligned}\frac{a \cdot a}{2} &= 32 \ \Rightarrow \ a \\ &= 8\end{aligned}

הניצבים שווים, והם הבסיס והגובה

c2=82+82=128\begin{aligned}c^2 &= 8^2 + 8^2 \\ &= 128\end{aligned}

פיתגורס

c=128≈11.31c = \sqrt{128} \approx 11.31

במשולש ישר זווית ושווה שוקיים היתר הוא a2a\sqrt{2}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 (14 נקודות) — אחוזים

תרגיל 4

מחיר מוצר היה 80 ₪. א. המחיר עלה ב-15%. מה המחיר החדש, ב-₪?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 92

הפתרון:

80⋅1.15=9280 \cdot 1.15 = 92

עלייה של 15% — כופלים ב-1.15

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מחיר מוצר היה 80 ₪, ועלה ב-15%. ב. אחר כך המחיר החדש ירד ב-15%. מה המחיר עכשיו, ב-₪?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 78.2

הפתרון:

92⋅0.85=78.292 \cdot 0.85 = 78.2

הירידה מחושבת מ-92, לא מ-80

המחיר לא חזר ל-80: ה-15% של הירידה נלקחו מסכום גדול יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ג. נכון או לא נכון: מחיר שעלה ב-10%, ואחר כך עלה שוב ב-10%, עלה בסך הכול ב-20%.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

1.1⋅1.1=1.211.1 \cdot 1.1 = 1.21

שתי עליות רצופות — כופלים

לא נכון: העלייה הכוללת היא 21%. העלייה השנייה מחושבת מהמחיר שכבר עלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ד. בגביע יוגורט של 250 גרם יש 3% שומן. כמה גרם שומן יש בגביע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.5

הפתרון:

250⋅0.03=7.5250 \cdot 0.03 = 7.5
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ה. ערבבו שני גביעים כאלה (3% שומן) עם גביע אחד של 250 גרם ובו 6% שומן. מה אחוז השומן בתערובת?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

7.5+7.5+15=307.5 + 7.5 + 15 = 30

גרם שומן בשלושת הגביעים

3⋅250=7503 \cdot 250 = 750

גרם תערובת

30750⋅100=4%\frac{30}{750} \cdot 100 = 4\%

לא מחברים אחוזים (3+3+6=123 + 3 + 6 = 12): מחברים כמויות ומחלקים במשקל הכולל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 (16 נקודות) — מערכות משוואות

תרגיל 9

פתרו את המערכת {3x+2y=16x−2y=0\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ x - 2y = 0 \end{cases}. א. מהו xx?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

4x=164x = 16

מחברים את המשוואות — ה-yy מתבטל

x=4x = 4

המקדמים של yy הם 22 ו-−2-2: שיטת השוואת המקדמים מוכנה מראש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

פתרו את המערכת {3x+2y=16x−2y=0\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ x - 2y = 0 \end{cases}. ב. מהו yy?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

4−2y=0 ⇒ y=2\begin{aligned}4 - 2y &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= 2\end{aligned}

מציבים במשוואה השנייה

בדיקה: 3⋅4+2⋅2=163 \cdot 4 + 2 \cdot 2 = 16.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

פתרו את המערכת {y=2x−34x−3y=1\begin{cases} y = 2x - 3 \\ 4x - 3y = 1 \end{cases}. ג. מהו xx?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

4x−3(2x−3)=14x - 3(2x - 3) = 1

מציבים את yy מהמשוואה הראשונה

4x−6x+9=14x - 6x + 9 = 1
−2x=−8 ⇒ x=4\begin{aligned}-2x &= -8 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

פתרו את המערכת {y=2x−34x−3y=1\begin{cases} y = 2x - 3 \\ 4x - 3y = 1 \end{cases}. ד. מהו yy?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

y=2⋅4−3=5\begin{aligned}y &= 2 \cdot 4 - 3 \\ &= 5\end{aligned}

בדיקה: 4⋅4−3⋅5=14 \cdot 4 - 3 \cdot 5 = 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

ה. מהו הפתרון של המערכת {5x+3y=12x−4y=16\begin{cases} 5x + 3y = 1 \\ 2x - 4y = 16 \end{cases}?

  1. x=2, y=3x = 2, \ y = 3
  2. x=2, y=−3x = 2, \ y = -3
  3. x=1, y=−43x = 1, \ y = -\frac{4}{3}
  4. x=−3, y=2x = -3, \ y = 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x=2, y=−3x = 2, \ y = -3

הפתרון:

20x+12y=420x + 12y = 4

הראשונה כפול 4

6x−12y=486x - 12y = 48

השנייה כפול 3

26x=52 ⇒ x=2\begin{aligned}26x &= 52 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

מחברים

5⋅2+3y=1 ⇒ y=−3\begin{aligned}5 \cdot 2 + 3y &= 1 \ \Rightarrow \ y \\ &= -3\end{aligned}

אפשר גם לבדוק כל תשובה בשתי המשוואות — רק (2, −3)(2,\, -3) מקיים את שתיהן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

ו. כמה פתרונות יש למערכת {y=3x+26x−2y=5\begin{cases} y = 3x + 2 \\ 6x - 2y = 5 \end{cases}?

  1. פתרון אחד
  2. אין פתרון
  3. אינסוף פתרונות
  4. שני פתרונות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב אין פתרון

הפתרון:

6x−2y=5 ⇒ y=3x−2.5\begin{aligned}6x - 2y &= 5 \ \Rightarrow \ y \\ &= 3x - 2.5\end{aligned}

מבודדים את yy במשוואה השנייה

m1=m2=32≠−2.5\begin{aligned}m_1 &= m_2 \\ &= 3 \\ \quad 2 \neq -2.5\end{aligned}

אותו שיפוע, נקודת חיתוך שונה עם ציר ה-yy

שני ישרים מקבילים שאינם מתלכדים — אין להם נקודה משותפת, ולכן למערכת אין פתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 4 (14 נקודות) — בעיית תנועה עם שני נעלמים

תרגיל 15

ביום הראשון של טיול רכב דני 2 שעות על אופניים והלך 3 שעות ברגל, ועבר בסך הכול 42 ק״מ. ביום השני רכב 3 שעות והלך שעה אחת, ועבר 49 ק״מ. מהירות הרכיבה ומהירות ההליכה קבועות. א. מהי מהירות הרכיבה, בקמ״ש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

{2v+3w=423v+w=49\begin{cases} 2v + 3w = 42 \\ 3v + w = 49 \end{cases}

vv — רכיבה, ww — הליכה; דרך = מהירות × זמן

w=49−3vw = 49 - 3v

מהמשוואה השנייה

2v+3(49−3v)=422v + 3(49 - 3v) = 42
−7v=−105 ⇒ v=15\begin{aligned}-7v &= -105 \ \Rightarrow \ v \\ &= 15\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

ביום הראשון של טיול רכב דני 2 שעות על אופניים והלך 3 שעות ברגל, ועבר בסך הכול 42 ק״מ. ביום השני רכב 3 שעות והלך שעה אחת, ועבר 49 ק״מ. מהירות הרכיבה ומהירות ההליכה קבועות. ב. מהי מהירות ההליכה, בקמ״ש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

w=49−3⋅15=4\begin{aligned}w &= 49 - 3 \cdot 15 \\ &= 4\end{aligned}

בדיקה ביום הראשון: 2⋅15+3⋅4=422 \cdot 15 + 3 \cdot 4 = 42.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

ביום הראשון של טיול רכב דני 2 שעות על אופניים והלך 3 שעות ברגל, ועבר בסך הכול 42 ק״מ. ביום השני רכב 3 שעות והלך שעה אחת, ועבר 49 ק״מ. מהירות הרכיבה ומהירות ההליכה קבועות. ג. ביום השלישי רכב דני 4 שעות. כמה שעות עליו ללכת כדי שבסך הכול יעבור 70 ק״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.5

הפתרון:

4⋅15=604 \cdot 15 = 60

ק״מ ברכיבה

70−60=1070 - 60 = 10

נשאר ללכת

10:4=2.510 : 4 = 2.5

שעות

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 5 (12 נקודות) — משולש שווה שוקיים

תרגיל 18

ABCD
AB=ACAB = AC, ו-BDBD חוצה את הזווית BB.

במשולש שווה שוקיים ABCABC (AB=ACAB = AC) זווית הראש היא ∠A=36∘\angle A = 36^\circ. BDBD חוצה את הזווית BB, והנקודה DD על השוק ACAC. א. מהו גודל הזווית ∠ABC\angle ABC (במעלות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 72

הפתרון:

∠B=∠C\angle B = \angle C

זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים

∠B=180∘−36∘2=72∘\begin{aligned}\angle B &= \frac{180^\circ - 36^\circ}{2} \\ &= 72^\circ\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

ABCD
AB=ACAB = AC, ו-BDBD חוצה את הזווית BB.

במשולש שווה שוקיים ABCABC (AB=ACAB = AC) זווית הראש היא ∠A=36∘\angle A = 36^\circ. BDBD חוצה את הזווית BB, והנקודה DD על השוק ACAC. ב. מהו גודל הזווית ∠BDC\angle BDC (במעלות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 72

הפתרון:

∠DBC=72∘:2=36∘\begin{aligned}\angle DBC &= 72^\circ : 2 \\ &= 36^\circ\end{aligned}

BDBD חוצה זווית

∠BDC=180∘−36∘−72∘=72∘\begin{aligned}\angle BDC &= 180^\circ - 36^\circ - 72^\circ \\ &= 72^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש BDCBDC

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

ABCD
AB=ACAB = AC, ו-BDBD חוצה את הזווית BB.

במשולש שווה שוקיים ABCABC (AB=ACAB = AC) זווית הראש היא ∠A=36∘\angle A = 36^\circ. BDBD חוצה את הזווית BB, והנקודה DD על השוק ACAC. ג. אילו מהמשולשים שבשרטוט הם שווי שוקיים?

  1. ABCABC, ABDABD וגם BDCBDC
  2. ABCABC ו-ABDABD בלבד
  3. ABCABC בלבד
  4. ABCABC ו-BDCBDC בלבד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א ABCABC, ABDABD וגם BDCBDC

הפתרון:

∠A=∠ABD=36∘ ⇒ AD=BD\begin{aligned}\angle A &= \angle ABD \\ &= 36^\circ \ \Rightarrow \ AD \\ &= BD\end{aligned}

במשולש ABDABD שתי זוויות שוות

∠BDC=∠C=72∘ ⇒ BD=BC\begin{aligned}\angle BDC &= \angle C \\ &= 72^\circ \ \Rightarrow \ BD \\ &= BC\end{aligned}

במשולש BDCBDC שתי זוויות שוות

משפט הזיהוי: משולש שיש בו שתי זוויות שוות הוא שווה שוקיים, והצלעות השוות נמצאות מול הזוויות השוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

ABCD
AB=ACAB = AC, ו-BDBD חוצה את הזווית BB.

במשולש שווה שוקיים ABCABC (AB=ACAB = AC) זווית הראש היא ∠A=36∘\angle A = 36^\circ. BDBD חוצה את הזווית BB, והנקודה DD על השוק ACAC. ד. נתון BC=5BC = 5 ס״מ. מה אורך הקטע ADAD, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

BD=BC=5\begin{aligned}BD &= BC \\ &= 5\end{aligned}

משולש BDCBDC שווה שוקיים

AD=BD=5\begin{aligned}AD &= BD \\ &= 5\end{aligned}

משולש ABDABD שווה שוקיים

שרשרת של שני משולשים שווי שוקיים מעבירה את האורך מ-BCBC עד ADAD.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 6 (16 נקודות) — הוכחת חפיפה במשולש שווה שוקיים

תרגיל 22

ABCDE
AB=ACAB = AC, והנקודות DD ו-EE על הבסיס BCBC כך ש-BD=CEBD = CE.

במשולש שווה שוקיים ABCABC (AB=ACAB = AC) הנקודות DD ו-EE נמצאות על הבסיס BCBC כך ש-BD=CEBD = CE. א. הוכיחו: AD=AEAD = AE.

  • AB=ACAB = AC
  • BD=CEBD = CE

AD=AEAD = AE

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB=ACAB = AC — נתון
  2. ∠B=∠C\angle B = \angle C — במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
  3. BD=CEBD = CE — נתון
  4. △ABD≅△ACE\triangle ABD \cong \triangle ACE — חפיפה לפי צ.ז.צ
  5. AD=AEAD = AE — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

ABCDE
AB=ACAB = AC, והנקודות DD ו-EE על הבסיס BCBC כך ש-BD=CEBD = CE.

במשולש שווה שוקיים ABCABC (AB=ACAB = AC) הנקודות DD ו-EE נמצאות על הבסיס BCBC כך ש-BD=CEBD = CE. ב. הוכיחו בדרך נוספת: △ABE≅△ACD\triangle ABE \cong \triangle ACD.

  • AB=ACAB = AC
  • BD=CEBD = CE

△ABE≅△ACD\triangle ABE \cong \triangle ACD

להציג את התשובה והפתרון
  1. BD=CEBD = CE — נתון
  2. DE=DEDE = DE — קטע משותף
  3. BE=CDBE = CD — הוספת קטע משותף לשני קטעים שווים
  4. AB=ACAB = AC — נתון
  5. ∠B=∠C\angle B = \angle C — במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
  6. △ABE≅△ACD\triangle ABE \cong \triangle ACD — חפיפה לפי צ.ז.צ
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

ABCDE
AB=ACAB = AC, והנקודות DD ו-EE על הבסיס BCBC כך ש-BD=CEBD = CE.

במשולש שווה שוקיים ABCABC (AB=ACAB = AC) הנקודות DD ו-EE נמצאות על הבסיס BCBC כך ש-BD=CEBD = CE. נתון גם: ∠BAC=100∘\angle BAC = 100^\circ ו-∠BAD=20∘\angle BAD = 20^\circ. ג. מהו גודל הזווית ∠ADE\angle ADE (במעלות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

∠CAE=∠BAD=20∘\begin{aligned}\angle CAE &= \angle BAD \\ &= 20^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות במשולשים החופפים

∠DAE=100∘−20∘−20∘=60∘\begin{aligned}\angle DAE &= 100^\circ - 20^\circ - 20^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}
∠ADE=180∘−60∘2=60∘\begin{aligned}\angle ADE &= \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} \\ &= 60^\circ\end{aligned}

זוויות הבסיס במשולש ADEADE שוות

כל זוויות המשולש ADEADE שוות ל-60∘60^\circ: הוא אפילו שווה צלעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 7 (16 נקודות) — הוכחת חפיפה בריבוע

תרגיל 25

ABCDEF
ABCDABCD ריבוע. EE על BCBC ו-FF על CDCD, כך ש-BE=CFBE = CF.

ABCDABCD הוא ריבוע. הנקודה EE על הצלע BCBC והנקודה FF על הצלע CDCD, כך ש-BE=CFBE = CF. א. הוכיחו: △ABE≅△BCF\triangle ABE \cong \triangle BCF.

  • ABCDABCD ריבוע
  • BE=CFBE = CF

△ABE≅△BCF\triangle ABE \cong \triangle BCF

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB=BCAB = BC — בריבוע כל הצלעות שוות
  2. ∠ABE=∠BCF=90∘\angle ABE = \angle BCF = 90^\circ — בריבוע כל הזוויות ישרות
  3. BE=CFBE = CF — נתון
  4. △ABE≅△BCF\triangle ABE \cong \triangle BCF — חפיפה לפי צ.ז.צ
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 26

ABCDEF
ABCDABCD ריבוע. EE על BCBC ו-FF על CDCD, כך ש-BE=CFBE = CF.

ABCDABCD הוא ריבוע. הנקודה EE על הצלע BCBC והנקודה FF על הצלע CDCD, כך ש-BE=CFBE = CF. נתון: AB=8AB = 8 ס״מ ו-BE=6BE = 6 ס״מ. ב. מה אורך הקטע BFBF, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

AE2=82+62=100 ⇒ AE=10\begin{aligned}AE^2 &= 8^2 + 6^2 \\ &= 100 \ \Rightarrow \ AE \\ &= 10\end{aligned}

פיתגורס במשולש ABEABE

BF=AE=10\begin{aligned}BF &= AE \\ &= 10\end{aligned}

צלעות מתאימות במשולשים חופפים

אין צורך בפיתגורס שני: החפיפה מעבירה את האורך מ-AEAE ל-BFBF.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת