מבחן — יחס, פרופורציה וקנה מידה · מבחן — יחס, פרופורציה וקנה מידה, כיתה ח׳ — שיעור ותרגילים עם פתרונות

מבחן נושא — יחס, פרופורציה וקנה מידה, כיתה ח׳. המבחן בודק רק את הפרק הזה: חלוקה ביחס נתון, פרופורציה, יחס ישר ויחס הפוך, קנה מידה, הגדלה של שטח ונפח, ויחס בגאומטריה. 6 שאלות, 45 דקות, ומותר להשתמש במחשבון.

$18$
נקודות — יחס וחלוקה, ויחס בגאומטריה (שאלות 1, 5)
$16$
נקודות — פרופורציה, קנה מידה, הגדלה ושאלה מסכמת (שאלות 2, 3, 4, 6)
$100$
נקודות בסך הכול

לפני כל חישוב כותבים מה מייצג כל חלק ביחס. ובקנה מידה: אורך גדל פי $k$ , שטח פי $k^2$ , ונפח פי $k^3$ .

אפשר לנסות כאן

תרגיל אחד מהשיעור, עם בדיקה מיידית. ככה עובד כל תרגיל ב-elev.

ג. בכל טבלה כתובים שלושה זוגות $(x,\, y)$ . באיזו טבלה $y$ נמצא ביחס הפוך ל- $x$ ?

תרגילים

שאלה 1 (18 נקודות) — יחס וחלוקה ביחס נתון

תרגיל 1

ריבה ויעל חילקו ביניהן סכום כסף ביחס $5 : 3$ . ריבה קיבלה 84 ₪ יותר מיעל. א. כמה שקלים חילקו ביניהן בסך הכול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 336

הפתרון:

5 - 3 = 2

ההפרש בין החלקים: 2 חלקים

84 : 2 = 42

חלק אחד שווה 42 ₪

5 + 3 = 8

בסך הכול 8 חלקים

8 \times 42 = 336

ההפרש של 84 ₪ הוא שני חלקים, לא חלק אחד. בדיקה: ריבה קיבלה 210 ₪ ויעל 126 ₪, וההפרש הוא 84 ₪.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 1

תרגיל 2

היחס בין המדבקות של אבי לאלה של בני הוא $2 : 3$ , והיחס בין המדבקות של בני לאלה של גיל הוא $4 : 5$ . לשלושתם יחד 210 מדבקות. ב. כמה מדבקות יש לגיל?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

2 : 3 = 8 : 12

מרחיבים פי 4, כדי שלבני יהיו 12 חלקים

4 : 5 = 12 : 15

מרחיבים פי 3 — שוב 12 חלקים לבני

8 : 12 : 15

היחס המשותף אבי : בני : גיל

8 + 12 + 15 = 35

210 : 35 = 6

חלק אחד

15 \times 6 = 90

בני מופיע בשני היחסים, ולכן מביאים את החלק שלו לאותו מספר (12) לפני שמחברים. בדיקה: $48 + 72 + 90 = 210$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 2

תרגיל 3

הכסף של יונתן והכסף של רון הם ביחס $7 : 4$ . יונתן נתן לרון 30 ₪, ועכשיו יש לשניהם אותו סכום. ג. כמה שקלים היו ליונתן בהתחלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 140

הפתרון:

7k - 30 = 4k + 30

יונתן: $7k$ , רון: $4k$ — אחרי ההעברה הסכומים שווים

3k = 60

k = 20

7 \times 20 = 140

ההעברה לא משנה את הסכום הכולל, אבל משנה את היחס. בדיקה: $140 - 30 = 110$ , וגם $80 + 30 = 110$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 3

תרגיל 4

ד. נכון או לא נכון: בכיתה היחס בין הבנים לבנות הוא $3 : 5$ . מצטרפים לכיתה עוד 3 בנים ועוד 5 בנות. לכן היחס בין הבנים לבנות לא משתנה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

3k : 5k

לפני: $3k$ בנים ו- $5k$ בנות

(3k + 3) : (5k + 5) = 3(k + 1) : 5(k + 1)

מוציאים גורם משותף

3(k + 1) : 5(k + 1) = 3 : 5

מצמצמים ב- $k + 1$

נכון. הוספה של אותו מספר לשני הצדדים משנה יחס, אבל כאן מוסיפים 3 ו-5 — כמו עוד «חלק» אחד שלם, באותו יחס $3 : 5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 4

רוצה לדעת אם הבנת?

ב-elev כל תרגיל נבדק ברגע שעונים, ורמז מגיע בדיוק כשנתקעים.

לתרגל ב-elev

שאלה 2 (16 נקודות) — פרופורציה, יחס ישר ויחס הפוך

תרגיל 5

א. מהו $x$ בפרופורציה $(2x + 1) : (x + 5) = 5 : 4$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

4(2x + 1) = 5(x + 5)

מכפלת הקצוות שווה למכפלת האמצעים

8x + 4 = 5x + 25

3x = 21

x = 7

בדיקה: $2 \cdot 7 + 1 = 15$ ו- $7 + 5 = 12$ , ו- $15 : 12 = 5 : 4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 5

תרגיל 6

6 פועלים בונים גדר ב-15 ימים. הם עבדו 5 ימים, ואז הצטרפו אליהם עוד 4 פועלים. כל הפועלים עובדים באותו קצב. ב. כמה ימים נמשכה בניית הגדר בסך הכול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11

הפתרון:

6 \times 15 = 90

כל העבודה: 90 «ימי עבודה» של פועל אחד

6 \times 5 = 30

מה שנבנה ב-5 הימים הראשונים

90 - 30 = 60

מה שנשאר

60 : 10 = 6

עכשיו עובדים 10 פועלים

5 + 6 = 11

פועלים וימים הם ביחס הפוך: המכפלה שלהם קבועה. השאלה שואלת על כל הבנייה, ולכן מחברים גם את 5 הימים הראשונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 6

תרגיל 7

ג. בכל טבלה כתובים שלושה זוגות $(x,\, y)$ . באיזו טבלה $y$ נמצא ביחס הפוך ל- $x$ ?

א $(1,\, 12),\ (2,\, 6),\ (4,\, 4)$
ב $(2,\, 6),\ (3,\, 9),\ (5,\, 15)$
ג $(2,\, 30),\ (3,\, 20),\ (5,\, 12)$
ד $(2,\, 30),\ (3,\, 25),\ (5,\, 15)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $(2,\, 30),\ (3,\, 20),\ (5,\, 12)$

הפתרון:

\begin{aligned}2 \cdot 30 &= 3 \cdot 20 \\ &= 5 \cdot 12 \\ &= 60\end{aligned}

בטבלה השלישית המכפלה קבועה

\begin{aligned}2 \cdot 30 &= 60 \ \\ \ 3 \cdot 25 &= 75\end{aligned}

בטבלה השנייה המכפלה משתנה

4 \cdot 4 = 16 \neq 12

ברביעית הזוג האחרון שובר את הכלל

ביחס הפוך המכפלה $x \cdot y$ קבועה. בטבלה הראשונה המנה קבועה — זה יחס ישר. בטבלה השנייה $y$ יורד, אבל זה לא מספיק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 7

שאלה 3 (16 נקודות) — קנה מידה

תרגיל 8

במפה בקנה מידה $1 : 25{,}000$ המרחק בין שני כפרים הוא $9.6$ ס״מ. א. מהו המרחק האמיתי בין הכפרים, בק״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.4

הפתרון:

9.6 \times 25{,}000 = 240{,}000

המרחק האמיתי בס״מ

1 \text{ ק״מ} = 100{,}000 \text{ ס״מ}

240{,}000 : 100{,}000 = 2.4

כופלים בקנה המידה, ורק אחר כך ממירים: בק״מ יש מאה אלף ס״מ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 8

תרגיל 9

מפה $A$ בקנה מידה $1 : 20{,}000$ , ומפה $B$ בקנה מידה $1 : 50{,}000$ . מסמנים בשתי המפות את אותה דרך. ב. פי כמה ארוך הקטע במפה $A$ מהקטע במפה $B$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.5

הפתרון:

1 \text{ ק״מ} = 100{,}000 \text{ ס״מ}

לדוגמה, דרך של 1 ק״מ

100{,}000 : 20{,}000 = 5

במפה $A$ : 5 ס״מ

100{,}000 : 50{,}000 = 2

במפה $B$ : 2 ס״מ

5 : 2 = 2.5

במפה $A$ כל ס״מ מייצג מרחק קטן יותר, ולכן אותה דרך ארוכה בה יותר: $\frac{50{,}000}{20{,}000} = 2.5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 9

תרגיל 10

בתכנית דירה בקנה מידה $1 : 50$ הסלון הוא מלבן של 12 ס״מ על 9 ס״מ. ג. מהו השטח האמיתי של הסלון, במ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 27

הפתרון:

\begin{aligned}12 \times 50 &= 600 \text{ ס״מ} \\ &= 6 \text{ מטר}\end{aligned}

האורך האמיתי

\begin{aligned}9 \times 50 &= 450 \text{ ס״מ} \\ &= 4.5 \text{ מטר}\end{aligned}

הרוחב האמיתי

6 \times 4.5 = 27

הדרך הבטוחה: ממירים קודם את האורכים לאמיתיים, ורק אז מחשבים שטח. מי שכופל את שטח התכנית (108 סמ״ר) ב-50 בלבד טועה — השטח גדל פי $50^2 = 2{,}500$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 10

שאלה 4 (16 נקודות) — הגדלה, שטח ונפח

תרגיל 11

מגדילים משולש כך שכל צלע שלו גדלה פי $1.5$ . שטח המשולש לפני ההגדלה הוא 24 סמ״ר. א. מהו שטח המשולש המוגדל, בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 54

הפתרון:

1.5^2 = 2.25

הצלעות פי $1.5$ — השטח פי $1.5^2$

24 \times 2.25 = 54

שטח גדל פי ריבוע יחס ההגדלה, לא פי היחס עצמו. $24 \times 1.5 = 36$ היא הטעות הנפוצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 11

תרגיל 12

היחס בין הצלעות של שתי קוביות הוא $2 : 3$ . נפח הקובייה הקטנה הוא 40 סמ״ק. ב. מהו נפח הקובייה הגדולה, בסמ״ק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 135

הפתרון:

2^3 : 3^3 = 8 : 27

יחס הנפחים — חזקה שלישית של יחס הצלעות

40 : 8 = 5

חלק אחד

27 \times 5 = 135

נפח גדל פי החזקה השלישית של יחס ההגדלה. בדיקה: $\frac{135}{40} = 3.375 = 1.5^3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 12

תרגיל 13

ג. נכון או לא נכון: לצביעת דגם של פסל בקנה מידה $1 : 10$ דרושים 30 מ״ל צבע. לכן לצביעת הפסל עצמו, באותה שכבת צבע, דרושים 3 ליטר צבע.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

10^2 = 100

הצבע מכסה שטח, והשטח גדל פי $10^2$

30 \times 100 = 3{,}000 \text{ מ״ל}

3{,}000 \text{ מ״ל} = 3 \text{ ליטר}

נכון. כמות הצבע תלויה בשטח הפנים, לא בנפח: פי 100, ולא פי 10 או פי 1,000.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 13

שאלה 5 (18 נקודות) — יחס בגאומטריה

תרגיל 14

BD : DC = 2 : 3

, ו-

E

אמצע

AD

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ , ו- $BD : DC = 2 : 3$ . הנקודה $E$ היא אמצע הקטע $AD$ . שטח המשולש $ABC$ הוא 60 סמ״ר. א. מהו שטח המשולש $BED$ , בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}S_{ABD} &= \frac{2}{5} \cdot 60 \\ &= 24\end{aligned}

ל- $ABD$ ול- $ABC$ אותו גובה מ- $A$ , והבסיסים ביחס $2 : 5$

\begin{aligned}S_{BED} &= \frac{1}{2} \cdot 24 \\ &= 12\end{aligned}

ל- $BEA$ ול- $BED$ אותו גובה מ- $B$ , ו- $AE = ED$

משולשים עם אותו גובה — יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים. משתמשים בזה פעמיים: פעם עם הקודקוד $A$ , ופעם עם הקודקוד $B$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 14

תרגיל 15

ב. הזוויות של משולש הן ביחס $2 : 3 : 7$ . מהי הזווית הגדולה ביותר במשולש, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 105

הפתרון:

2 + 3 + 7 = 12

מספר החלקים

180 : 12 = 15

סכום הזוויות במשולש: $180^\circ$

7 \times 15 = 105

בדיקה: $30^\circ + 45^\circ + 105^\circ = 180^\circ$ . המשולש קהה זווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 15

תרגיל 16

ג. היקף מלבן הוא 84 ס״מ, והיחס בין הרוחב לאורך הוא $3 : 4$ .

רוחב ____ ס״מ, אורך ____ ס״מ, שטח ____ סמ״ר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: רוחב 18 ס״מ, אורך 24 ס״מ, שטח 432 סמ״ר.

הפתרון:

84 : 2 = 42

רוחב ואורך יחד: חצי ההיקף

42 : 7 = 6

חלק אחד — $3 + 4 = 7$ חלקים

\begin{aligned}3 \times 6 &= 18 \ \\ \ 4 \times 6 &= 24\end{aligned}

18 \times 24 = 432

מחלקים ביחס את חצי ההיקף, לא את כולו: ההיקף כולל כל צלע פעמיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 16

שאלה 6 (16 נקודות) — שאלה מסכמת

תרגיל 17

מתכון לעוגה ל-6 אנשים: 240 גרם קמח, 4 ביצים ו-90 גרם סוכר. א. מה חסר בטבלה? בכל שורה העוגה באותו טעם.

אנשים	קמח (גרם)	ביצים	סוכר (גרם)
6	240	4	90
3	____	____	____
9	____	____	____
____	600	____	____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3: 120, 2, 45 · 9: 360, 6, 135 · 10, 225

הפתרון:

3 = 6 : 2

3 אנשים — חצי מכל כמות

9 = 6 \times 1.5

9 אנשים — פי $1.5$

600 = 240 \times 2.5

מהקמח: פי $2.5$ , כלומר 15 אנשים

בכל שורה כופלים את כל הכמויות באותו מספר. בשורה האחרונה מוצאים את המספר מהקמח: $\frac{600}{240} = 2.5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 17

תרגיל 18

מתכון לעוגה ל-6 אנשים: 240 גרם קמח, 4 ביצים ו-90 גרם סוכר. במטבח יש 1 ק״ג קמח, 270 גרם סוכר, והרבה ביצים. ב. לכמה אנשים, לכל היותר, אפשר להכין עוגה לפי המתכון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

\begin{aligned}240 : 6 &= 40 \ \\ \ 90 : 6 &= 15\end{aligned}

קמח וסוכר לאדם אחד, בגרם

1{,}000 : 40 = 25

הקמח מספיק ל-25 אנשים

270 : 15 = 18

הסוכר מספיק ל-18 אנשים

המצרך שנגמר ראשון קובע. הקמח מספיק ל-25, אבל הסוכר רק ל-18 — ולכן 18.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 18

תרגיל 19

ג. בתכנית בקנה מידה $1 : 50$ חדר הוא מלבן של 8 ס״מ על 6 ס״מ. דני חישב את השטח האמיתי של החדר. שורה אחת בחישוב שלו שגויה — איזו?

8 \times 6 = 48 \text{ סמ״ר}

48 \times 50^2 = 120{,}000 \text{ סמ״ר}

120{,}000 \text{ סמ״ר} = 1.2 \text{ מ״ר}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $120{,}000 \text{ סמ״ר} = 1.2 \text{ מ״ר}$ → $120{,}000 \text{ סמ״ר} = 12 \text{ מ״ר}$

הפתרון:

48 \text{ סמ״ר}

שטח התכנית — תקין

48 \times 2{,}500 = 120{,}000 \text{ סמ״ר}

השטח גדל פי $50^2$ — תקין

\begin{aligned}1 \text{ מ״ר} &= 100 \times 100 \\ &= 10{,}000 \text{ סמ״ר}\end{aligned}

ההמרה של שטח: פי $100^2$ , לא פי $100{,}000$

120{,}000 : 10{,}000 = 12 \text{ מ״ר}

בדיקה בדרך האורכים: $4 \text{ מטר} \times 3 \text{ מטר} = 12$ מ״ר. גם ההמרה של שטח היא בריבוע: במ״ר יש $100^2$ סמ״ר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 19

אפשר לנסות כאן

תרגילים

שאלה 1 (18 נקודות) — יחס וחלוקה ביחס נתון

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

שאלה 2 (16 נקודות) — פרופורציה, יחס ישר ויחס הפוך

תרגיל 5

תרגיל 6

תרגיל 7

שאלה 3 (16 נקודות) — קנה מידה

תרגיל 8

תרגיל 9

תרגיל 10

שאלה 4 (16 נקודות) — הגדלה, שטח ונפח

תרגיל 11

תרגיל 12

תרגיל 13

שאלה 5 (18 נקודות) — יחס בגאומטריה

תרגיל 14

תרגיל 15

תרגיל 16

שאלה 6 (16 נקודות) — שאלה מסכמת

תרגיל 17

תרגיל 18

תרגיל 19

השיעור הבא מחכה ב-elev