מבחן לדוגמא — חזרה כללית

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מבחן לדוגמא — חזרה כללית. 22 שאלות, 90 דקות. יש כאן אלגברה והנדסה יחד, בדיוק כמו במבחן אמיתי.

עבדו לפי הסדר, ואל תיתקעו על שאלה אחת — מדלגים וחוזרים אליה בסוף. בגאומטריה שרטטו לפני שמחשבים.

תרגילים

אלגברה

תרגיל 1

מהו שיפוע הישר העובר דרך (1, 5)(1,\, 5) ו-(3, 11)(3,\, 11)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

m=11−53−1m = \frac{11 - 5}{3 - 1}

מציבים

=62=3= \frac{6}{2} = 3

מחשבים

אותו סדר חיסור למעלה ולמטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

כמה נקודות חיתוך יש ל-y=x2y = x^2 ולישר y=0y = 0?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

x2=0x^2 = 0

משווים

x=0x = 0

פתרון יחיד

הישר משיק לפרבולה בדיוק בקודקוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). א. מצאו את נקודות האפס של הפרבולה — כתבו את ה-xx הגדול (הנקודה DD).

f(x)=x2−2x−3y=x−3\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0
(x−3)(x+1)=0(x-3)(x+1) = 0

פירוק טרינום

x=3 או x=−1\begin{aligned}x &= 3 \ \text{או} \ x \\ &= -1\end{aligned}

שתי נקודות האפס: C(−1,0)C(-1,0) ו-D(3,0)D(3,0).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ב. ומהו ה-xx של נקודת האפס השנייה (הנקודה CC)?

f(x)=x2−2x−3y=x−3\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

x=−1x = -1

נקודות האפס הן פתרונות f(x)=0f(x) = 0. מפרקים לגורמים ובוחרים את המבוקש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. א. מהו ציר הסימטריה של הפרבולה? (כתבו את ערך ה-xx)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4

הצורה הקודקודית

x=4x = 4

ציר הסימטריה עובר בקודקוד

בצורה הקודקודית ציר הסימטריה נקרא ישירות מהסוגריים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. ב. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

a(6−4)2−4=0a(6-4)^2 - 4 = 0

מציבים את נקודת האפס

4a=44a = 4
a=1a = 1
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. ג. האם הקודקוד הוא נקודת מינימום או מקסימום, ומהי?

  1. מינימום, בנקודה (4,4)(4,4)
  2. מינימום, בנקודה (4,−4)(4,-4)
  3. מקסימום, בנקודה (6,0)(6,0)
  4. מקסימום, בנקודה (4,−4)(4,-4)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב מינימום, בנקודה (4,−4)(4,-4)

הפתרון:

a=1>0a = 1 > 0

הפרבולה «מחייכת»

(4,−4)(4,-4)

הקודקוד מהצורה הקודקודית

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. ד. מצאו את נקודת האפס השנייה (כתבו את ה-xx).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

(x−4)2−4=0(x-4)^2 - 4 = 0
(x−4)2=4(x-4)^2 = 4
x=4±2x = 4 \pm 2

הסימטריה נותנת אותה מיד: 6 רחוק 2 מציר 4, אז השני הוא 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. ה. האם הישר y=−4y = -4 חותך את הגרף? בכמה נקודות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

(x−4)2−4=−4(x-4)^2 - 4 = -4
(x−4)2=0(x-4)^2 = 0
x=4x = 4

פתרון יחיד

נקודה אחת בלבד — הישר משיק לפרבולה בדיוק בקודקוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. ז. מהם תחומי העלייה והירידה?

  1. יורדת תמיד
  2. עולה ב-x<4x<4, יורדת ב-x>4x>4
  3. עולה תמיד
  4. יורדת ב-x<4x<4, עולה ב-x>4x>4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד יורדת ב-x<4x<4, עולה ב-x>4x>4

הפתרון:

פרבולה מחייכת\text{פרבולה מחייכת}

הקודקוד ב-4 הוא נקודת ההיפוך

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. ח. מהם תחומי החיוביות והשליליות?

  1. חיובית ב-x<2x<2 או x>6x>6, שלילית ב-2<x<62<x<6
  2. חיובית תמיד
  3. שלילית תמיד
  4. חיובית בין 2 ל-6
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א חיובית ב-x<2x<2 או x>6x>6, שלילית ב-2<x<62<x<6

הפתרון:

אפסים ב-2 ו-6\text{אפסים ב-2 ו-6}

מחייכת: שלילית בין השורשים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. ט. חשבו את שטח המשולש שקודקודיו הם שתי נקודות האפס והקודקוד.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

בסיס=6−2=4\begin{aligned}\text{בסיס} &= 6 - 2 \\ &= 4\end{aligned}

בין שתי נקודות האפס

גובה=4\text{גובה} = 4

מהציר עד הקודקוד

4⋅42=8\frac{4 \cdot 4}{2} = 8
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. י. בשרטוט, גרף נוסף מתקבל מהזזת הגרף כך שקודקודו (4,4)(4,4) והוא «עצוב». איזו משוואה מתאימה לו?

  1. y=(x+4)2+1y = (x+4)^2 + 1
  2. y=x2+1y = x^2 + 1
  3. y=−(x−4)2+4y = -(x-4)^2 + 4
  4. y=−(x−4)2+5y = -(x-4)^2 + 5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג y=−(x−4)2+4y = -(x-4)^2 + 4

הפתרון:

קודקוד(4,4)\text{קודקוד} (4,4)

נותן (x−4)2(x-4)^2 ועוד 4

a<0a < 0

«עצובה» — מינוס לפני הסוגריים

הצורה הקודקודית נקראת ישירות מהקודקוד ומכיוון הפתיחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

גיאומטריה

תרגיל 14

ABCDO
OO היא אמצע ACAC וגם אמצע BDBD.

הקטעים ACAC ו-BDBD נחתכים בנקודה OO, ונתון ש-OO היא אמצע שניהם. הוכיחו: AB=CDAB = CD.

  • AO=OCAO = OC
  • BO=ODBO = OD

AB=CDAB = CD

להציג את התשובה והפתרון
  1. AO=OCAO = OC — נתון — OO אמצע ACAC
  2. BO=ODBO = OD — נתון — OO אמצע BDBD
  3. ∠AOB=∠COD\angle AOB = \angle COD — זוויות קודקודיות שוות
  4. △AOB≅△COD\triangle AOB \cong \triangle COD — משפט חפיפה צ.ז.צ
  5. AB=CDAB = CD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

ACBDO
שימו לב לזוויות הקודקודיות שנוצרו בנקודה OO.

שני הקטעים ABAB ו-CDCD נחתכים בנקודה OO, ונתון ש-OO היא אמצע שניהם. הוכיחו כי AC=BDAC = BD.

  • AO=OBAO = OB
  • CO=ODCO = OD

AC=BDAC = BD

להציג את התשובה והפתרון
  1. AO=OBAO = OB — נתון
  2. CO=ODCO = OD — נתון
  3. ∠AOC=∠BOD\angle AOC = \angle BOD — זוויות קודקודיות שוות
  4. △AOC≅△BOD\triangle AOC \cong \triangle BOD — משפט חפיפה צ.ז.צ
  5. AC=BDAC = BD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

AO=OB  CO=OD\begin{aligned}AO &= OB \ \\ \ CO &= OD\end{aligned}

הנתון — OO אמצע שני הקטעים

∠AOC=∠BOD\angle AOC = \angle BOD

קודקודיות

△AOC≅△BOD\triangle AOC \cong \triangle BOD

צ.ז.צ

AC=BDAC = BD

צלעות מתאימות

הזווית הקודקודית היא הרכיב החינמי של התרגיל הזה: היא לא כתובה בנתונים, אבל היא תמיד שם כששני קטעים נחתכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו זווית שווה הזווית ∠O\angle O?

△MOS≅△BAR\triangle MOS \cong \triangle BAR
  1. ∠O\angle O
  2. ∠A\angle A
  3. ∠R\angle R
  4. ∠B\angle B
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב ∠A\angle A

הפתרון:

O↔AO \leftrightarrow A

שניהם הקודקוד השני

בזוויות זה עוד יותר פשוט: אות אחת מול אות אחת, לפי המיקום בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

ז.ז.ז — האם זה משפט חפיפה?

  1. רק בשווה צלעות
  2. כן
  3. לא
  4. רק במשולש ישר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לא

הפתרון:

∼\sim

אותה צורה — גודל חופשי

זה דמיון, לא חפיפה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

ABDCM
ACAC הוא האלכסון הראשי — הוא מחבר את שני הקודקודים שבין הצלעות השוות.

בשרטוט 3 נתון דלתון ABCDABCD שבו AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. האלכסונים נחתכים בנקודה MM. ב. נתון בנוסף AB=13AB = 13 ס״מ ו-MB=12MB = 12 ס״מ. חשבו את AMAM (בס״מ).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

∠AMB=90°\angle AMB = 90°

מסעיף א

AM2=132−122=25\begin{aligned}AM^2 &= 13^2 - 12^2 \\ &= 25\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש AMBAMB

AM=5AM = 5

ההוכחה של סעיף א היא שמאפשרת את החישוב הזה: בלי הזווית הישרה, פיתגורס לא חל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

ABDCM
ACAC הוא האלכסון הראשי — הוא מחבר את שני הקודקודים שבין הצלעות השוות.

בשרטוט 3 נתון דלתון ABCDABCD שבו AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. האלכסונים נחתכים בנקודה MM. ג. נתון MB=12MB = 12 ס״מ, AM=5AM = 5 ס״מ ו-MC=9MC = 9 ס״מ. חשבו את שטח הדלתון (בסמ״ר).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 168

הפתרון:

BD=2⋅12=24\begin{aligned}BD &= 2 \cdot 12 \\ &= 24\end{aligned}

האלכסון הראשי חוצה את המשני

AC=5+9=14\begin{aligned}AC &= 5 + 9 \\ &= 14\end{aligned}
S=24⋅142=168\begin{aligned}S &= \frac{24 \cdot 14}{2} \\ &= 168\end{aligned}

מכפלת האלכסונים חלקי 2

הנוסחה S=d1⋅d22S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} תקפה בכל מרובע שאלכסוניו מאונכים — ולכן גם בדלתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

ABDCM
ACAC הוא האלכסון הראשי — הוא מחבר את שני הקודקודים שבין הצלעות השוות.

בשרטוט 3 נתון דלתון ABCDABCD שבו AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. האלכסונים נחתכים בנקודה MM. ד. נתון MC=9MC = 9 ס״מ ו-MB=12MB = 12 ס״מ. חשבו את היקף הדלתון (בס״מ), בהינתן AB=13AB = 13 ס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 56

הפתרון:

CB2=92+122=225\begin{aligned}CB^2 &= 9^2 + 12^2 \\ &= 225\end{aligned}

פיתגורס במשולש CMBCMB

CB=15CB = 15
P=2(13+15)=56\begin{aligned}P &= 2(13 + 15) \\ &= 56\end{aligned}

שתי צלעות מכל אורך

בדלתון יש בדיוק שני אורכי צלעות, כל אחד פעמיים — לכן ההיקף הוא 2(a+b)2(a+b).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

כמה אלכסונים נחצים בדלתון?

  1. תלוי בדלתון
  2. אף אחד
  3. שניים
  4. אחד — הראשי חוצה את המשני
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד אחד — הראשי חוצה את המשני

הפתרון:

BO=ODAO≠OC\begin{aligned}BO &= OD \\ \quad AO \neq OC\end{aligned}

רק המשני נחצה

זה ההבדל היחיד מהמעוין, ובדיוק עליו נשאלת השאלה במבחן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

איזה משפט חפיפה מוכיח את תכונות הדלתון מהאלכסון הראשי?

  1. אין צורך
  2. ז.ז.ז
  3. צ.צ.ז
  4. צ.צ.צ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד צ.צ.צ

הפתרון:

שתי שוות + משותפת\text{שתי שוות + משותפת}

שתי צלעות שוות ועוד הצלע המשותפת (האלכסון הראשי) — שלוש צלעות, כלומר צ.צ.צ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת