מבחן לדוגמא — אלגברה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מבחן לדוגמא — אלגברה. 19 שאלות, 60 דקות. יש כאן אלגברה והנדסה יחד, בדיוק כמו במבחן אמיתי.

עבדו לפי הסדר, ואל תיתקעו על שאלה אחת — מדלגים וחוזרים אליה בסוף. בגאומטריה שרטטו לפני שמחשבים.

תרגילים

אלגברה

תרגיל 1

מהו שיפוע הישר העובר דרך $(2,\, 8)$ ו- $(6,\, 0)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

m = \frac{0 - 8}{6 - 2}

מציבים

= \frac{-8}{4} = -2

שיפוע שלילי

הישר יורד — וזה מתאים לכך ש- $y$ ירד מ-8 ל-0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו שטח המשולש שקודקודיו $(0,\, 0)$ , $(4,\, 0)$ ו- $(4,\, 6)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

a = 4

הבסיס על ציר ה- $x$

h = 6

הגובה — הפרש ה- $y$

\begin{aligned}S &= \frac{4 \cdot 6}{2} \\ &= 12\end{aligned}

נוסחת המשולש

בוחרים בסיס שמונח על ציר — אז אורכו הוא פשוט הפרש קואורדינטות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). א. מצאו את נקודות האפס של הפרבולה — כתבו את ה- $x$ הגדול (הנקודה $x$ ).

\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x^2 - 2x - 3 = 0

(x-3)(x+1) = 0

פירוק טרינום

\begin{aligned}x &= 3 \ \text{או} \ x \\ &= -1\end{aligned}

שתי נקודות האפס: $C(-1,0)$ ו- $D(3,0)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ב. ומהו ה- $x$ של נקודת האפס השנייה (הנקודה $x$ )?

\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

x = -1

נקודות האפס הן פתרונות $f(x) = 0$ . מפרקים לגורמים ובוחרים את המבוקש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ג. מצאו את שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה- $y$ (הנקודה $y$ ).

\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

f(0) = -3

מציבים $x=0$ — האיבר החופשי

בפרבולה $x^2+bx+c$ , החיתוך עם ציר ה- $y$ הוא תמיד $y$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ד. מצאו את נקודות החיתוך של הישר עם הפרבולה — כתבו את ה- $x$ החיובי.

\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x^2 - 2x - 3 = x - 3

משווים

x^2 - 3x = 0

x(x-3) = 0

\begin{aligned}x &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 3\end{aligned}

הישר פוגש את הפרבולה בדיוק ב- $B(0,-3)$ וב- $D(3,0)$ — שתי נקודות שכבר הכרנו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ה. מהו שיעור ה- $x$ של קודקוד הפרבולה (הנקודה $x$ )?

\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\begin{aligned}x &= \frac{-1 + 3}{2} \\ &= 1\end{aligned}

אמצע שתי נקודות האפס — הסימטריה עושה את העבודה

ו- $f(1) = -4$ : הקודקוד הוא $K(1,-4)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). א. מצאו את נקודות האפס של הפרבולה — כתבו את ה- $x$ הגדול (הנקודה $x$ ).

\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x^2 - 2x - 3 = 0

(x-3)(x+1) = 0

פירוק טרינום

\begin{aligned}x &= 3 \ \text{או} \ x \\ &= -1\end{aligned}

שתי נקודות האפס: $C(-1,0)$ ו- $D(3,0)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ב. ומהו ה- $x$ של נקודת האפס השנייה (הנקודה $x$ )?

\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

x = -1

נקודות האפס הן פתרונות $f(x) = 0$ . מפרקים לגורמים ובוחרים את המבוקש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ג. מצאו את שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה- $y$ (הנקודה $y$ ).

\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

f(0) = -3

מציבים $x=0$ — האיבר החופשי

בפרבולה $x^2+bx+c$ , החיתוך עם ציר ה- $y$ הוא תמיד $y$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ד. מצאו את נקודות החיתוך של הישר עם הפרבולה — כתבו את ה- $x$ החיובי.

\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x^2 - 2x - 3 = x - 3

משווים

x^2 - 3x = 0

x(x-3) = 0

\begin{aligned}x &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 3\end{aligned}

הישר פוגש את הפרבולה בדיוק ב- $B(0,-3)$ וב- $D(3,0)$ — שתי נקודות שכבר הכרנו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ה. מהו שיעור ה- $x$ של קודקוד הפרבולה (הנקודה $x$ )?

\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\begin{aligned}x &= \frac{-1 + 3}{2} \\ &= 1\end{aligned}

אמצע שתי נקודות האפס — הסימטריה עושה את העבודה

ו- $f(1) = -4$ : הקודקוד הוא $K(1,-4)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ו. חשבו את שטח המשולש $BCD$ .

\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}CD &= 3 - (-1) \\ &= 4\end{aligned}

הבסיס — על ציר ה- $x$

\begin{aligned}h &= |-3| \\ &= 3\end{aligned}

הגובה — המרחק של $B$ מהציר

\begin{aligned}S &= \frac{4 \times 3}{2} \\ &= 6\end{aligned}

בסיס על ציר — הגובה הוא פשוט השיעור השני של הקודקוד הנגדי. בדיוק כמו בכיתה ח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ז. מהי משוואת הישר המקביל לציר ה- $x$ העובר דרך קודקוד הפרבולה? (כתבו את ערך ה- $x$ )

\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

y = -4

מקביל לציר ה- $x$ = גובה קבוע

הישר הזה משיק לפרבולה בקודקוד — הוא נוגע בה בנקודה אחת בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ח. לאילו ערכי $x$ הפרבולה נמצאת מתחת לישר $y = x - 3$ ? כתבו את קצה התחום הגדול.

\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x^2 - 2x - 3 < x - 3

x(x-3) < 0

0 < x < 3

בין שתי נקודות החיתוך

בין $B$ ל- $D$ הפרבולה צוללת מתחת לישר — מחוץ לקטע היא מעליו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ט. מהו שטח המשולש $CDK$ — המשולש שקודקודיו הם שתי נקודות האפס והקודקוד של הפרבולה?

\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\begin{aligned}CD &= 3 - (-1) \\ &= 4\end{aligned}

הבסיס — המרחק בין שתי נקודות האפס

\begin{aligned}h &= |-4| \\ &= 4\end{aligned}

הגובה — עומק הקודקוד מתחת לציר

\begin{aligned}S &= \frac{4 \cdot 4}{2} \\ &= 8\end{aligned}

הבסיס שוכב על ציר ה-x, ולכן הגובה הוא פשוט הערך המוחלט של שיעור ה-y של הקודקוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). י. מהו תחום העלייה של הפרבולה? כתבו את הערך שממנו היא עולה.

\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\begin{aligned}x_{\text{קודקוד}} &= \frac{-b}{2a} \\ &= 1\end{aligned}

הקודקוד מפריד בין הירידה לעלייה

x > 1

מימין לקודקוד — עולה

בפרבולה «מחייכת» הקודקוד הוא המינימום: משמאלו הפונקציה יורדת, מימינו היא עולה. אותה נקודה משמשת גבול לשני התחומים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

גיאומטריה

תרגיל 18

האלכסון

AC

מחלק את המקבילית לשני משולשים.

נתונה מקבילית $ABCD$ והאלכסון $AC$ . הוכיחו: $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ .

$ABCD$ מקבילית
$AC$ אלכסון

$\triangle ABC \cong \triangle CDA$

להציג את התשובה והפתרון

$AB = CD$ — הצלעות הנגדיות במקבילית שוות
$BC = DA$ — הצלעות הנגדיות במקבילית שוות
$AC = CA$ — צלע משותפת לשני המשולשים
$\triangle ABC \cong \triangle CDA$ — משפט חפיפה צ.צ.צ

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

B

על

B

,

C

על

C

; הקטעים

DC

ו-

BE

נחתכים ב-

O

.

נתון: $AB = AC$ ו- $BO = CO$ . המשך $AB$ נפגש עם המשך $CO$ בנקודה $D$ ; המשך $D$ נפגש עם המשך $BO$ בנקודה $E$ . הוכיחו: $\angle D = \angle E$ .

$AB = AC$
$BO = CO$
$D$ על המשך $AB$ ועל המשך $CO$
$E$ על המשך $AC$ ועל המשך $BO$

$\angle D = \angle E$

להציג את התשובה והפתרון

$AB = AC$ — נתון
$BO = CO$ — נתון
$AO = AO$ — צלע משותפת לשני המשולשים
$\triangle ABO \cong \triangle ACO$ — משפט חפיפה צ.צ.צ
$\angle ABO = \angle ACO$ — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות
$\angle DBO = \angle ECO$ — זוויות צמודות לזוויות שוות — שוות
$\angle BOD = \angle COE$ — זוויות קודקודיות
$\triangle DBO \cong \triangle ECO$ — משפט חפיפה ז.צ.ז
$\angle D = \angle E$ — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

\triangle ABO \cong \triangle ACO

צ.צ.צ — עם הצלע המשותפת $AO$

\angle DBO = \angle ECO

צמודות לזוויות המתאימות השוות

\triangle DBO \cong \triangle ECO

ז.צ.ז — עם הקודקודיות ב- $O$

\angle D = \angle E

זוויות מתאימות

הוכחה בשתי קומות: חפיפה ראשונה מספקת את הזוויות לחפיפה השנייה. זה מבנה שחוזר הרבה בבחינות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elev לגלות את elev לכיתה הזאת