מבחן לדוגמא — סוף שנה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מבחן לדוגמא — סוף שנה. 23 שאלות, 90 דקות. יש כאן אלגברה והנדסה יחד, בדיוק כמו במבחן אמיתי.

עבדו לפי הסדר, ואל תיתקעו על שאלה אחת — מדלגים וחוזרים אליה בסוף. בגאומטריה שרטטו לפני שמחשבים.

תרגילים

אלגברה

תרגיל 1

הישר y=2x+1y = 2x + 1 מוזז 5 יחידות למעלה. מהי המשוואה החדשה?

  1. y=2(x+5)+1y = 2(x + 5) + 1
  2. y=7x+1y = 7x + 1
  3. y=2x−4y = 2x - 4
  4. y=2x+6y = 2x + 6
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד y=2x+6y = 2x + 6

הפתרון:

1+5=61 + 5 = 6

ההזזה האנכית משנה רק את bb

השיפוע לא נוגע — הישר זז, לא מסתובב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מצאו את ערך ה-xx החיובי בנקודת החיתוך של y=x2y = x^2 ושל y=5xy = 5x.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

x2=5xx^2 = 5x

משווים

x2−5x=0x^2 - 5x = 0

לאגף אחד

x(x−5)=0x(x - 5) = 0

גורם משותף

x=0  x=5\begin{aligned}x &= 0 \ \\ \ x &= 5\end{aligned}

שני פתרונות

לא לחלק ב-xx — זה היה מוחק את הפתרון x=0x = 0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). א. מצאו את נקודות האפס של הפרבולה — כתבו את ה-xx הגדול (הנקודה DD).

f(x)=x2−2x−3y=x−3\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0
(x−3)(x+1)=0(x-3)(x+1) = 0

פירוק טרינום

x=3 או x=−1\begin{aligned}x &= 3 \ \text{או} \ x \\ &= -1\end{aligned}

שתי נקודות האפס: C(−1,0)C(-1,0) ו-D(3,0)D(3,0).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ב. ומהו ה-xx של נקודת האפס השנייה (הנקודה CC)?

f(x)=x2−2x−3y=x−3\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

x=−1x = -1

נקודות האפס הן פתרונות f(x)=0f(x) = 0. מפרקים לגורמים ובוחרים את המבוקש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). א. מצאו את נקודות האפס של הפרבולה — כתבו את ה-xx הגדול (הנקודה DD).

f(x)=x2−2x−3y=x−3\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0
(x−3)(x+1)=0(x-3)(x+1) = 0

פירוק טרינום

x=3 או x=−1\begin{aligned}x &= 3 \ \text{או} \ x \\ &= -1\end{aligned}

שתי נקודות האפס: C(−1,0)C(-1,0) ו-D(3,0)D(3,0).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ב. ומהו ה-xx של נקודת האפס השנייה (הנקודה CC)?

f(x)=x2−2x−3y=x−3\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

x=−1x = -1

נקודות האפס הן פתרונות f(x)=0f(x) = 0. מפרקים לגורמים ובוחרים את המבוקש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ג. מצאו את שיעור ה-yy של נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-yy (הנקודה BB).

f(x)=x2−2x−3y=x−3\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

f(0)=−3f(0) = -3

מציבים x=0x=0 — האיבר החופשי

בפרבולה x2+bx+cx^2+bx+c, החיתוך עם ציר ה-yy הוא תמיד cc.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ד. מצאו את נקודות החיתוך של הישר עם הפרבולה — כתבו את ה-xx החיובי.

f(x)=x2−2x−3y=x−3\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x2−2x−3=x−3x^2 - 2x - 3 = x - 3

משווים

x2−3x=0x^2 - 3x = 0
x(x−3)=0x(x-3) = 0
x=0 או x=3\begin{aligned}x &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 3\end{aligned}

הישר פוגש את הפרבולה בדיוק ב-B(0,−3)B(0,-3) וב-D(3,0)D(3,0) — שתי נקודות שכבר הכרנו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ה. מהו שיעור ה-xx של קודקוד הפרבולה (הנקודה KK)?

f(x)=x2−2x−3y=x−3\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

x=−1+32=1\begin{aligned}x &= \frac{-1 + 3}{2} \\ &= 1\end{aligned}

אמצע שתי נקודות האפס — הסימטריה עושה את העבודה

ו-f(1)=−4f(1) = -4: הקודקוד הוא K(1,−4)K(1,-4).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ו. חשבו את שטח המשולש BCDBCD.

f(x)=x2−2x−3y=x−3\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

CD=3−(−1)=4\begin{aligned}CD &= 3 - (-1) \\ &= 4\end{aligned}

הבסיס — על ציר ה-xx

h=∣−3∣=3\begin{aligned}h &= |-3| \\ &= 3\end{aligned}

הגובה — המרחק של BB מהציר

S=4×32=6\begin{aligned}S &= \frac{4 \times 3}{2} \\ &= 6\end{aligned}

בסיס על ציר — הגובה הוא פשוט השיעור השני של הקודקוד הנגדי. בדיוק כמו בכיתה ח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ז. מהי משוואת הישר המקביל לציר ה-xx העובר דרך קודקוד הפרבולה? (כתבו את ערך ה-yy)

f(x)=x2−2x−3y=x−3\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

y=−4y = -4

מקביל לציר ה-xx = גובה קבוע

הישר הזה משיק לפרבולה בקודקוד — הוא נוגע בה בנקודה אחת בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ח. לאילו ערכי xx הפרבולה נמצאת מתחת לישר y=x−3y = x - 3? כתבו את קצה התחום הגדול.

f(x)=x2−2x−3y=x−3\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x2−2x−3<x−3x^2 - 2x - 3 < x - 3
x(x−3)<0x(x-3) < 0
0<x<30 < x < 3

בין שתי נקודות החיתוך

בין BB ל-DD הפרבולה צוללת מתחת לישר — מחוץ לקטע היא מעליו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ט. מהו שטח המשולש CDKCDK — המשולש שקודקודיו הם שתי נקודות האפס והקודקוד של הפרבולה?

f(x)=x2−2x−3y=x−3\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

CD=3−(−1)=4\begin{aligned}CD &= 3 - (-1) \\ &= 4\end{aligned}

הבסיס — המרחק בין שתי נקודות האפס

h=∣−4∣=4\begin{aligned}h &= |-4| \\ &= 4\end{aligned}

הגובה — עומק הקודקוד מתחת לציר

S=4⋅42=8\begin{aligned}S &= \frac{4 \cdot 4}{2} \\ &= 8\end{aligned}

הבסיס שוכב על ציר ה-x, ולכן הגובה הוא פשוט הערך המוחלט של שיעור ה-y של הקודקוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). י. מהו תחום העלייה של הפרבולה? כתבו את הערך שממנו היא עולה.

f(x)=x2−2x−3y=x−3\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

xקודקוד=−b2a=1\begin{aligned}x_{\text{קודקוד}} &= \frac{-b}{2a} \\ &= 1\end{aligned}

הקודקוד מפריד בין הירידה לעלייה

x>1x > 1

מימין לקודקוד — עולה

בפרבולה «מחייכת» הקודקוד הוא המינימום: משמאלו הפונקציה יורדת, מימינו היא עולה. אותה נקודה משמשת גבול לשני התחומים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

גיאומטריה

תרגיל 15

ABCD
האלכסון ACAC מחלק את המקבילית לשני משולשים.

נתונה מקבילית ABCDABCD והאלכסון ACAC. הוכיחו: △ABC≅△CDA\triangle ABC \cong \triangle CDA.

  • ABCDABCD מקבילית
  • ACAC אלכסון

△ABC≅△CDA\triangle ABC \cong \triangle CDA

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB=CDAB = CD — הצלעות הנגדיות במקבילית שוות
  2. BC=DABC = DA — הצלעות הנגדיות במקבילית שוות
  3. AC=CAAC = CA — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △ABC≅△CDA\triangle ABC \cong \triangle CDA — משפט חפיפה צ.צ.צ
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

ACBDO
שימו לב לזוויות הקודקודיות שנוצרו בנקודה OO.

שני הקטעים ABAB ו-CDCD נחתכים בנקודה OO, ונתון ש-OO היא אמצע שניהם. הוכיחו כי AC=BDAC = BD.

  • AO=OBAO = OB
  • CO=ODCO = OD

AC=BDAC = BD

להציג את התשובה והפתרון
  1. AO=OBAO = OB — נתון
  2. CO=ODCO = OD — נתון
  3. ∠AOC=∠BOD\angle AOC = \angle BOD — זוויות קודקודיות שוות
  4. △AOC≅△BOD\triangle AOC \cong \triangle BOD — משפט חפיפה צ.ז.צ
  5. AC=BDAC = BD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

הפתרון:

AO=OB  CO=OD\begin{aligned}AO &= OB \ \\ \ CO &= OD\end{aligned}

הנתון — OO אמצע שני הקטעים

∠AOC=∠BOD\angle AOC = \angle BOD

קודקודיות

△AOC≅△BOD\triangle AOC \cong \triangle BOD

צ.ז.צ

AC=BDAC = BD

צלעות מתאימות

הזווית הקודקודית היא הרכיב החינמי של התרגיל הזה: היא לא כתובה בנתונים, אבל היא תמיד שם כששני קטעים נחתכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

נתון שהמשולשים חופפים. לאיזו צלע שווה הצלע BABA?

△ACB≅△FDE\triangle ACB \cong \triangle FDE
  1. EFEF
  2. DEDE
  3. EDED
  4. FDFD
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א EFEF

הפתרון:

B↔E,A↔FB \leftrightarrow E \quad ,\quad A \leftrightarrow F

מתאימים כל אות לפי מיקומה

BA=EFBA = EF

ולכן הצלעות שוות

B הוא הקודקוד השלישי ו-A הקודקוד הראשון — אז מחפשים את אותם מיקומים במשולש השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

מה תפקיד הצלע המשותפת בהוכחות חפיפה?

  1. נתון חסר
  2. זוג שלישי בחינם
  3. קישוט
  4. הפרעה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב זוג שלישי בחינם

הפתרון:

AC=ACAC = AC

שווה לעצמה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

S=d1⋅d22S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}
AB=ADAB = AD
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AB=ADAB = AD → AB=AD (נתון)AB = AD \ (\text{נתון})

הפתרון:

טענה בלי נימוק אינה שורה בהוכחה. גם ״נתון״ הוא נימוק — צריך רק לכתוב אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

שטח דלתון עם אלכסונים 8 ו-15?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

8×152=60\frac{8 \times 15}{2} = 60

כמו מעוין — אלכסונים מאונכים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

נתון AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. מה הוכחנו?

  1. שהמרובע דלתון
  2. שהמרובע מעוין
  3. שהמרובע מקבילית
  4. לא ניתן להסיק
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א שהמרובע דלתון

הפתרון:

AB=ADCB=CD⇒דלתון\begin{aligned}AB &= AD \\ \quad CB &= CD \Rightarrow \text{דלתון}\end{aligned}

הדרך הראשונה

שתי הצלעות בכל זוג נפגשות בקודקוד — לכן סמוכות. שני זוגות סמוכים שווים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

במשולש זהב, אורך היתר הוא 24 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

242=12\frac{24}{2} = 12

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

במשולש זהב, הצלע מול ה-30° היא 5. מה אורך היתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

5×2=105 \times 2 = 10

היתר פי 2

כי היא חצי הבסיס והיתר צלע שלמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת