חזרה על הקו הישר

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

לפני הפרבולות — חזרה קצרה על הישר של כיתה ח.

הכול כאן, מרוכז. סעיף שמרגיש רופף? הפרק המלא מחכה בכיתה ח.

הצורה, ושני המספרים שקובעים הכול

y=mx+by = mx + b
mm

השיפוע — כמה עולים על כל צעד ימינה.

bb

הקבוע — הגובה שבו הישר חוצה את ציר ה-yy, בנקודה (0, b)(0,\, b).

בישר y=2x−5y = 2x - 5: מהו השיפוע, ומהו הקבוע?

להציג את התשובה והפתרון

m=2m = 2 ו-b=−5b = -5. הקבוע לוקח איתו את הסימן שלפניו.

חיתוך עם הצירים

x=0x = 0

חיתוך עם ציר yy: מציבים אפס ומקבלים (0, b)(0,\, b) — בלי שום חישוב.

y=0y = 0

חיתוך עם ציר xx: פותרים mx+b=0mx + b = 0.

תחומי חיוביות ושליליות

שני ישרים

m1=m2m_1 = m_2

מקבילים — אותו שיפוע, לא נפגשים לעולם.

m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1

מאונכים — שיפוע הופכי ונגדי.

y1=y2y_1 = y_2

נקודת חיתוך — משווים את שתי המשוואות ופותרים.

ואיך מוצאים משוואת ישר

לישר יש בדיוק שני מספרים לגלות: mm ו-bb. לכן שני נתונים מספיקים תמיד.

מקרה 1 — שיפוע ונקודה

ידוע mm, וידועה נקודה שהישר עובר בה. חסר רק bb.

מקרה 2 — שתי נקודות

כאן חסר גם mm. מוצאים אותו קודם, מהנוסחה של כיתה ח. אחר כך ממשיכים כמו במקרה 1.

m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

מה השיפוע עושה בפועל

לפני שמחשבים שיפוע, כדאי לדעת מה הוא אומר. הסימן שלו לבדו כבר מספר הרבה.

m>0m > 0

שיפוע חיובי — הישר עולה. ככל שהולכים ימינה, הישר מטפס.

m<0m < 0

שיפוע שלילי — הישר יורד.

m=0m = 0

שיפוע אפס — הישר קבוע. קו אופקי שלא עולה ולא יורד.

ביקשנו סימן, ולא ערך. את הערך אי אפשר לקרוא בעין — את הכיוון כן.

דרך (1, 5)(1,\, 5) ו-(3, 11)(3,\, 11)

מצאו את משוואת הישר.

m=11−53−1m = \frac{11 - 5}{3 - 1}

מציבים בנוסחת השיפוע

m=62=3\begin{aligned}m &= \frac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

השיפוע

5=3⋅1+b5 = 3 \cdot 1 + b

מציבים אחת מהנקודות

b=2b = 2

ומוצאים את bb

y=3x+2y = 3x + 2

המשוואה

11=3⋅3+211 = 3 \cdot 3 + 2

בדיקה בנקודה השנייה — מתקיים

הבדיקה בשורה האחרונה חובה: מציבים את הנקודה שלא השתמשנו בה. לא מתקיים? נפלה טעות — לרוב בסדר החיסור.

הסדר בנוסחת השיפוע

הכלל היחיד: אותו סדר למעלה ולמטה.

הופכים את שניהם — התוצאה נשארת נכונה. הופכים רק אחד — הסימן מתהפך.

מישהו חישב 11−51−3\frac{11 - 5}{1 - 3}. מה יצא לו, ומה הטעות?

להציג את התשובה והפתרון

−3-3, במקום 33. למעלה הוא חיסר נקודה 2 פחות נקודה 1, ולמטה הפוך — והסימן התהפך.

ישרים מקבילים

שני ישרים מקבילים אם יש להם אותו שיפוע. ה-bb שונה — אחרת זה אותו ישר.

m1=m2  ⟺  הישרים מקביליםm_1 = m_2 \iff \text{הישרים מקבילים}

הזזת ישר

y=mx+b+ky = mx + b + k

הזזה למעלה ב-kk — מוסיפים ל-bb. השיפוע לא נוגע.

y=m(x−k)+by = m(x - k) + b

הזזה ימינה ב-kk — מחסרים בתוך ה-xx. שימו לב לסימן ההפוך.

בהזזה השיפוע לא משתנה — הישר זז, ולא מסתובב. לכן הישר המוזז מקביל למקורי.

שתי הטעויות של הפרק.

m=11−51−3m = \frac{11 - 5}{1 - 3}
m=11−53−1m = \frac{11 - 5}{3 - 1}

למעלה חיסרנו נקודה 2 פחות 1, ולמטה הפוך. הסדר חייב להיות זהה בשני הצדדים.

מקבילים⇒b1=b2\text{מקבילים} \Rightarrow b_1 = b_2
מקבילים⇒m1=m2\text{מקבילים} \Rightarrow m_1 = m_2

ההקבלה נקבעת בשיפוע בלבד. אם גם ה-bb שווה — זה כבר אותו ישר.

מהו שיעור ה-y של נקודה על גרף הפונקציה ff כאשר x=3x = 3?

להציג את התשובה והפתרון

f(3)f(3) — מציבים 3 בפונקציה. הגרף הוא אוסף כל הזוגות (x,f(x))(x, f(x)).

הנקודה (2,9)(2, 9) על הגרף של f(x)=x2+af(x) = x^2 + a. מהו aa?

להציג את התשובה והפתרון

מציבים: 9=4+a9 = 4 + a, ולכן a=5a = 5. נקודה על הגרף היא משוואה מוכנה.

תרגילים

תרגיל 1

מצאו את משוואת הישר ששיפועו 3 ועובר דרך (2, 7)(2,\, 7)

  1. y=2x+3y = 2x + 3
  2. y=3x−1y = 3x - 1
  3. y=3x+1y = 3x + 1
  4. y=3x+7y = 3x + 7
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג y=3x+1y = 3x + 1

הפתרון:

7=3⋅2+b7 = 3 \cdot 2 + b

מציבים את הנקודה

b=1b = 1

הנעלם היחיד

בדיקה: 3⋅2+1=73 \cdot 2 + 1 = 7.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו שיפוע הישר העובר דרך (1, 5)(1,\, 5) ו-(3, 11)(3,\, 11)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

m=11−53−1m = \frac{11 - 5}{3 - 1}

מציבים

=62=3= \frac{6}{2} = 3

מחשבים

אותו סדר חיסור למעלה ולמטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו שיפוע הישר העובר דרך (2, 8)(2,\, 8) ו-(6, 0)(6,\, 0)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

m=0−86−2m = \frac{0 - 8}{6 - 2}

מציבים

=−84=−2= \frac{-8}{4} = -2

שיפוע שלילי

הישר יורד — וזה מתאים לכך ש-yy ירד מ-8 ל-0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

איזה ישר מקביל ל-y=4x−3y = 4x - 3?

  1. y=4x+9y = 4x + 9
  2. y=4x−3y = 4x - 3
  3. y=3x−4y = 3x - 4
  4. y=−4x−3y = -4x - 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א y=4x+9y = 4x + 9

הפתרון:

m1=m2=4\begin{aligned}m_1 &= m_2 \\ &= 4\end{aligned}

אותו שיפוע

b1≠b2b_1 \neq b_2

ו-bb שונה — אחרת זה אותו ישר

האפשרות האחרונה היא הישר עצמו, לא ישר מקביל לו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הישר y=2x+1y = 2x + 1 מוזז 5 יחידות למעלה. מהי המשוואה החדשה?

  1. y=2x−4y = 2x - 4
  2. y=2x+6y = 2x + 6
  3. y=7x+1y = 7x + 1
  4. y=2(x+5)+1y = 2(x + 5) + 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב y=2x+6y = 2x + 6

הפתרון:

1+5=61 + 5 = 6

ההזזה האנכית משנה רק את bb

השיפוע לא נוגע — הישר זז, לא מסתובב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מצאו את משוואת הישר העובר דרך (0, 4)(0,\, 4) ו-(2, 10)(2,\, 10)

  1. y=6x+4y = 6x + 4
  2. y=2x+4y = 2x + 4
  3. y=3x+4y = 3x + 4
  4. y=3x+10y = 3x + 10
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג y=3x+4y = 3x + 4

הפתרון:

m=10−42−0=3\begin{aligned}m &= \frac{10 - 4}{2 - 0} \\ &= 3\end{aligned}

השיפוע

b=4b = 4

הנקודה הראשונה כבר על ציר ה-yy

כשנתונה נקודה עם x=0x = 0 — ה-yy שלה הוא ה-bb, בלי חישוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

f(x)=2x2f(x) = 2x^2. מהו f(−3)f(-3)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

2×9=182 \times 9 = 18

המינוס נעלם בריבוע

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הנקודה (4,19)(4, 19) על f(x)=ax+3f(x) = ax + 3. מהו aa?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

4a+3=19  a=4\begin{aligned}4a + 3 &= 19 \ \\ \ a &= 4\end{aligned}

הנקודה נמצאת על הגרף, כלומר שיעוריה מקיימים את הנוסחה. מציבים ופותרים ל-aa.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

f(x)=x2−5xf(x) = x^2 - 5x. לאיזה xx חיובי מתקיים f(x)=0f(x) = 0?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

x(x−5)=0x(x-5) = 0

מוציאים גורם משותף: מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים מתאפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

f(2)=7f(2) = 7 ו-ff קווית עם שיפוע 3. מהו f(5)f(5)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

3×3=93 \times 3 = 9

שלושה צעדים

7+9=167 + 9 = 16
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

מקבילים⇒m1=m2\text{מקבילים} \Rightarrow m_1 = m_2
m=11−51−3m = \frac{11 - 5}{1 - 3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: m=11−51−3m = \frac{11 - 5}{1 - 3} → m=11−53−1m = \frac{11 - 5}{3 - 1}

הפתרון:

למעלה חיסרנו נקודה 2 פחות 1, ולמטה הפוך. הסדר חייב להיות זהה בשני הצדדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

  • m1=m2m_1 = m_2
  • m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1
  • y1=y2y_1 = y_2
  • מאונכים — שיפוע הופכי ונגדי.
  • מקבילים — אותו שיפוע, לא נפגשים לעולם.
  • נקודת חיתוך — משווים את שתי המשוואות ופותרים.
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: m1=m2m_1 = m_2 — מקבילים — אותו שיפוע, לא נפגשים לעולם. · m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1 — מאונכים — שיפוע הופכי ונגדי. · y1=y2y_1 = y_2 — נקודת חיתוך — משווים את שתי המשוואות ופותרים.

הפתרון:

כל זוג כאן הופיע בשיעור — ההתאמה היא בדיוק מה שהטבלה הראתה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת