תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

אחד־עשר תרגילים על כל הפרק: קטע אמצעים במשולש, איך מוכיחים שקטע הוא קטע אמצעים, וקטע אמצעים בטרפז. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

במשולש, הצלע שממול לקטע האמצעים היא 18 ס״מ. מה אורך קטע האמצעים, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

182=9\frac{18}{2} = 9

קטע האמצעים שווה למחצית הצלע שממולו

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בטרפז הבסיסים הם 8 ס״מ ו-14 ס״מ. מה אורך קטע האמצעים, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11

הפתרון:

8+142=11\frac{8 + 14}{2} = 11

ממוצע שני הבסיסים

בטרפז לא לוקחים מחצית של בסיס אחד — מחברים את שניהם ומחלקים ב-2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

קטע האמצעים של טרפז הוא 13 ס״מ, ואחד הבסיסים 10 ס״מ. מה אורך הבסיס השני, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

10+b2=13\frac{10 + b}{2} = 13

נוסחת קטע האמצעים

10+b=26⇒b=16\begin{aligned}10 + b &= 26 \Rightarrow b \\ &= 16\end{aligned}

כופלים ב-2 ומחסרים

בדיקה: 10+162=13\frac{10 + 16}{2} = 13 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

צלעות משולש הן 14 ס״מ, 18 ס״מ ו-22 ס״מ. מחברים את אמצעי שלוש הצלעות ומקבלים משולש קטן. מה היקפו, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 27

הפתרון:

7, 9, 117 ,\ 9 ,\ 11

כל קטע אמצעים הוא מחצית הצלע שממולו

7+9+11=277 + 9 + 11 = 27

היקף המשולש הקטן

ההיקף הקטן הוא בדיוק מחצית ההיקף הגדול: 542=27\frac{54}{2} = 27.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

שטח משולש הוא 48 סמ״ר. קטע אמצעים אחד חותך ממנו משולש קטן, ושטחו 24 סמ״ר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

(12)2=14\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}

יחס הדמיון חצי, ולכן יחס השטחים רבע

484=12\frac{48}{4} = 12

שטח המשולש הקטן

השטח הקטן הוא 12 סמ״ר — רבע, לא חצי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש ABCABC הקטע DEDE יוצא מאמצע הצלע ABAB (EE על ACAC), ונתון DE=BC2DE = \frac{BC}{2}. מה אפשר להסיק מזה בלבד?

  1. EE היא אמצע ACAC
  2. DE∥BCDE \parallel BC
  3. אי אפשר להסיק ש-DEDE הוא קטע אמצעים
  4. DEDE הוא קטע אמצעים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג אי אפשר להסיק ש-DEDE הוא קטע אמצעים

הפתרון:

AD=DBDE=BC2\begin{aligned}AD &= DB \\ \quad DE &= \frac{BC}{2}\end{aligned}

שתי התכונות קובעות מוצא ואורך

DE∥BC ?DE \parallel BC \ \text{?}

אבל לא את הכיוון

זה הצירוף היחיד שאינו מספיק: המעגל שמרכזו DD ורדיוסו BC2\frac{BC}{2} חותך את ACAC בדרך כלל בשתי נקודות. אחת מהן היא אמצע ACAC, והשנייה אינה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ערוגה בגינה בצורת טרפז. בסיסיה 9 מטר ו-15 מטר, והמרחק בין הבסיסים 7 מטר. מה שטח הערוגה, במ״ר? (היעזרו בקטע האמצעים)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 84

הפתרון:

9+152=12\frac{9 + 15}{2} = 12

קטע האמצעים

S=12⋅7=84\begin{aligned}S &= 12 \cdot 7 \\ &= 84\end{aligned}

שטח טרפז = קטע האמצעים כפול הגובה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

במשולש ABCABC הנקודות DD ו-EE הן אמצעי הצלעות ABAB ו-ACAC. נתון DE=2x+1DE = 2x + 1 ו-BC=5x−4BC = 5x - 4. מה אורך BCBC?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 26

הפתרון:

BC=2⋅DEBC = 2 \cdot DE

קטע אמצעים שווה למחצית הצלע שממולו

5x−4=2(2x+1)=4x+2\begin{aligned}5x - 4 &= 2(2x + 1) \\ &= 4x + 2\end{aligned}

מציבים

x=6⇒BC=5⋅6−4=26\begin{aligned}x &= 6 \Rightarrow BC \\ &= 5 \cdot 6 - 4 \\ &= 26\end{aligned}

פותרים ומציבים חזרה

בדיקה: DE=13DE = 13, ו-1313 הוא מחצית 2626 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABCDEF
שלוש נקודות אמצע — ושני משולשים קטנים שנראים «אותו דבר».

במשולש ABCABC הנקודות DD, EE ו-FF הן אמצעי הצלעות ABAB, ACAC ו-BCBC בהתאמה. הוכיחו כי △ADE≅△DBF\triangle ADE \cong \triangle DBF.

  • DD, EE ו-FF הן אמצעי הצלעות ABAB, ACAC ו-BCBC

△ADE≅△DBF\triangle ADE \cong \triangle DBF

להציג את התשובה והפתרון
  1. DD, EE ו-FF הן אמצעי הצלעות ABAB, ACAC ו-BCBC — נתון
  2. AD=DBAD = DB — נקודת אמצע מחלקת את הצלע לשני חלקים שווים
  3. DEDE הוא קטע אמצעים ב-△ABC\triangle ABC — הגדרת קטע אמצעים — מחבר אמצעי שתי צלעות
  4. DE∥BCDE \parallel BC — קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית
  5. ∠ADE=∠DBF\angle ADE = \angle DBF — זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות
  6. DE=BC2DE = \dfrac{BC}{2} — קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע השלישית
  7. BF=BC2BF = \dfrac{BC}{2} — נקודת אמצע מחלקת את הצלע לשני חלקים שווים
  8. DE=BFDE = BF — שני קטעים השווים לאותו קטע שווים זה לזה
  9. △ADE≅△DBF\triangle ADE \cong \triangle DBF — משפט חפיפה צ.ז.צ

הפתרון:

AD=DBAD = DB

DD אמצע ABAB

DE∥BC⇒∠ADE=∠DBFDE \parallel BC \Rightarrow \angle ADE = \angle DBF

קטע אמצעים מקביל לצלע השלישית, ואז זוויות מתאימות

DE=BC2=BF\begin{aligned}DE &= \frac{BC}{2} \\ &= BF\end{aligned}

קטע אמצעים שווה למחצית הצלע, ו-FF אמצע BCBC

△ADE≅△DBF\triangle ADE \cong \triangle DBF

צ.ז.צ

קטע האמצעים נותן כאן את שתי תכונותיו: ההקבלה נותנת את הזווית, והמחצית נותנת את הצלע. שלושת קטעי האמצעים מחלקים את המשולש לארבעה משולשים חופפים — וזה אחד הזוגות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מדף בצורת טרפז. קטע האמצעים שלו 16 ס״מ, והבסיס הארוך גדול פי 3 מהבסיס הקצר. מה אורך הבסיס הארוך, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

b+3b2=16\frac{b + 3b}{2} = 16

הבסיס הקצר bb, הארוך 3b3b

4b=32⇒b=8\begin{aligned}4b &= 32 \Rightarrow b \\ &= 8\end{aligned}

הבסיס הקצר

3b=243b = 24

הבסיס הארוך

בדיקה: 8+242=16\frac{8 + 24}{2} = 16 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

בטרפז ABCDABCD (AB∥DCAB \parallel DC) נתון AB=6AB = 6 ו-DC=14DC = 14. הקטע EFEF הוא קטע האמצעים (EE על ADAD, FF על BCBC), והאלכסון ACAC חותך אותו בנקודה GG. מה ההפרש EG−GFEG - GF?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

EG=DC2=7\begin{aligned}EG &= \frac{DC}{2} \\ &= 7\end{aligned}

במשולש ACDACD: EE אמצע ADAD ו-EG∥DCEG \parallel DC, ולכן EGEG קטע אמצעים

GF=AB2=3\begin{aligned}GF &= \frac{AB}{2} \\ &= 3\end{aligned}

במשולש ABCABC: GG אמצע ACAC ו-FF אמצע BCBC

EG−GF=7−3=4\begin{aligned}EG - GF &= 7 - 3 \\ &= 4\end{aligned}

ההפרש

האלכסון מחלק את קטע האמצעים של הטרפז לשני קטעי אמצעים של משולשים. בדיקה: 7+3=10=6+1427 + 3 = 10 = \frac{6 + 14}{2} ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת