מבחן לדוגמא 1

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מבחן לדוגמא 1 — תחילת השנה. 3 שאלות עם סעיפים, 14 סעיפים בסך הכול, 60 דקות. החומר: חזרה על כיתה י — מודל קווי ואחוזים — ותחילת כיתה י״א: גדילה ודעיכה מעריכיות. מחשבון מותר.

בכל שינוי באחוזים כתבו קודם את המכפיל: עלייה של 15%15\% היא ×1.15\times 1.15, ירידה של 20%20\% היא ×0.8\times 0.8. בשאלה «אחרי כמה שנים לראשונה» בודקים שנה אחרי שנה, ועוצרים בשנה הראשונה שעוברת את הגבול.

תרגילים

שאלה 1 — מודל קווי: שני מסלולים

תרגיל 1

שני מסלולים לחוג שחייה
02468101214160100200300400500600700800מספר שיעוריםמחיר (ש״ח)
  • ישר I
  • ישר II

בריכה עירונית מציעה שני מסלולים לחוג שחייה. מסלול א: דמי הרשמה של 150150 ש״ח, ועוד 3030 ש״ח לכל שיעור. מסלול ב: 4545 ש״ח לכל שיעור, בלי דמי הרשמה. xx הוא מספר השיעורים, ו-yy הוא המחיר הכולל בש״ח. בשרטוט שני הישרים. א. כמה ישלם במסלול א מי שמשתתף ב-88 שיעורים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 390

הפתרון:

y=150+30xy = 150 + 30x

המחיר במסלול א: קבוע ועוד מחיר לשיעור

150+30⋅8=150+240=390\begin{aligned}150 + 30 \cdot 8 &= 150 + 240 \\ &= 390\end{aligned}

מציבים x=8x = 8

390390 ש״ח. המלכודת: לשכוח את דמי ההרשמה ולענות 240240.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

שני מסלולים לחוג שחייה
02468101214160100200300400500600700800מספר שיעוריםמחיר (ש״ח)
  • ישר I
  • ישר II

בריכה עירונית מציעה שני מסלולים לחוג שחייה. מסלול א: דמי הרשמה של 150150 ש״ח, ועוד 3030 ש״ח לכל שיעור. מסלול ב: 4545 ש״ח לכל שיעור, בלי דמי הרשמה. xx הוא מספר השיעורים, ו-yy הוא המחיר הכולל בש״ח. בשרטוט שני הישרים. מסלול ב: y=45xy = 45x. ב. איזה ישר בשרטוט מתאר את מסלול ב?

  1. ישר I — הוא יוצא מראשית הצירים
  2. ישר II — הוא התלול פחות
  3. אי אפשר לדעת מהשרטוט
  4. ישר II — הוא מתחיל ב-150150
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א ישר I — הוא יוצא מראשית הצירים

הפתרון:

x=0⇒y=45⋅0=0\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 45 \cdot 0 \\ &= 0\end{aligned}

במסלול ב אין דמי הרשמה: אפס שיעורים עולים אפס

I:(0,0)\text{I}: (0, 0)

ישר I יוצא מראשית הצירים; ישר II חותך את ציר yy ב-150150

ישר I. המלכודת: לבחור את הישר «התלול פחות» — כאן דווקא מסלול ב, 4545 לשיעור, תלול יותר מ-3030 לשיעור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

שני מסלולים לחוג שחייה
02468101214160100200300400500600700800מספר שיעוריםמחיר (ש״ח)
  • ישר I
  • ישר II

בריכה עירונית מציעה שני מסלולים לחוג שחייה. מסלול א: דמי הרשמה של 150150 ש״ח, ועוד 3030 ש״ח לכל שיעור. מסלול ב: 4545 ש״ח לכל שיעור, בלי דמי הרשמה. xx הוא מספר השיעורים, ו-yy הוא המחיר הכולל בש״ח. בשרטוט שני הישרים. מסלול א: y=150+30xy = 150 + 30x, מסלול ב: y=45xy = 45x. ג. לאיזה מספר שיעורים המחיר בשני המסלולים שווה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

150+30x=45x150 + 30x = 45x

משווים את שני הביטויים

150=15x⇒x=10\begin{aligned}150 &= 15x \Rightarrow x \\ &= 10\end{aligned}

מעבירים אגפים ומחלקים

150+300=450=45⋅10\begin{aligned}150 + 300 &= 450 \\ &= 45 \cdot 10\end{aligned}

בדיקה: אותו מחיר, 450450 ש״ח ✓

1010 שיעורים. בנקודה הזאת שני הישרים נחתכים. המלכודת: לענות 450450 — זה המחיר, לא מספר השיעורים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

שני מסלולים לחוג שחייה
02468101214160100200300400500600700800מספר שיעוריםמחיר (ש״ח)
  • ישר I
  • ישר II

בריכה עירונית מציעה שני מסלולים לחוג שחייה. מסלול א: דמי הרשמה של 150150 ש״ח, ועוד 3030 ש״ח לכל שיעור. מסלול ב: 4545 ש״ח לכל שיעור, בלי דמי הרשמה. xx הוא מספר השיעורים, ו-yy הוא המחיר הכולל בש״ח. בשרטוט שני הישרים. מסלול א: y=150+30xy = 150 + 30x. ד. לתמר יש 600600 ש״ח. בכמה שיעורים לכל היותר היא יכולה להשתתף במסלול א?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

150+30x=600150 + 30x = 600

המחיר הכולל שווה לתקציב

30x=450⇒x=15\begin{aligned}30x &= 450 \Rightarrow x \\ &= 15\end{aligned}

מורידים את דמי ההרשמה ומחלקים

1515 שיעורים. המלכודת: לחלק 600:30=20600 : 30 = 20 בלי להוריד קודם את 150150 השקלים של ההרשמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

שני מסלולים לחוג שחייה
02468101214160100200300400500600700800מספר שיעוריםמחיר (ש״ח)
  • ישר I
  • ישר II

בריכה עירונית מציעה שני מסלולים לחוג שחייה. מסלול א: דמי הרשמה של 150150 ש״ח, ועוד 3030 ש״ח לכל שיעור. מסלול ב: 4545 ש״ח לכל שיעור, בלי דמי הרשמה. xx הוא מספר השיעורים, ו-yy הוא המחיר הכולל בש״ח. בשרטוט שני הישרים. מסלול א: y=150+30xy = 150 + 30x, מסלול ב: y=45xy = 45x, והמחירים שווים ב-1010 שיעורים. ה. קבעו אם הטענה נכונה: «למי שמשתתף ב-1212 שיעורים, מסלול ב זול יותר».

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

A:150+30⋅12=510A: 150 + 30 \cdot 12 = 510

מחיר מסלול א

B:45⋅12=540B: 45 \cdot 12 = 540

מחיר מסלול ב

510<540510 < 540

מסלול א זול יותר

לא נכון: אחרי נקודת החיתוך, x=10x = 10, מסלול א זול יותר. המלכודת: לזכור ש«ב בלי הרשמה» ולהסיק שהוא תמיד משתלם — הוא משתלם רק עד 1010 שיעורים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — אחוזים ודעיכה

תרגיל 6

קורקינט חשמלי עולה בחנות 24002400 ש״ח. א. בחודש מבצעים המחיר ירד ב-15%15\%. מה המחיר במבצע, בש״ח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2040

הפתרון:

2400⋅0.85=20402400 \cdot 0.85 = 2040

ירידה של 15%15\%: מכפיל 1−0.15=0.851 - 0.15 = 0.85

20402040 ש״ח. המלכודת: לכפול ב-0.150.15 — זה גובה ההנחה, 360360 ש״ח, ולא המחיר החדש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

קורקינט חשמלי עולה בחנות 24002400 ש״ח. מחיר המבצע היה 20402040 ש״ח. ב. אחרי המבצע המחיר עלה ב-15%15\%. מה המחיר אחרי העלייה, בש״ח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2346

הפתרון:

2040⋅1.15=23462040 \cdot 1.15 = 2346

עלייה של 15%15\% ממחיר המבצע: מכפיל 1.151.15

0.85⋅1.15=0.97750.85 \cdot 1.15 = 0.9775

בדיקה: יחד המחיר ירד ב-2.25%2.25\%

23462346 ש״ח. המלכודת: לחשוב שעלייה של 15%15\% «מבטלת» ירידה של 15%15\%. העלייה מחושבת מהמחיר הנמוך, ולכן לא חוזרים ל-24002400.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

קורקינט חשמלי עולה בחנות 24002400 ש״ח. ג. יואב קנה קורקינט ב-24002400 ש״ח. ערך הקורקינט יורד ב-20%20\% בכל שנה. מה יהיה ערכו אחרי 33 שנים, בש״ח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1228.8

הפתרון:

q=1−0.2=0.8\begin{aligned}q &= 1 - 0.2 \\ &= 0.8\end{aligned}

המכפיל בירידה של 20%20\%

At=A0⋅qtA_t = A_0 \cdot q^t

נוסחת הדעיכה

2400⋅0.83=2400⋅0.512=1228.8\begin{aligned}2400 \cdot 0.8^3 &= 2400 \cdot 0.512 \\ &= 1228.8\end{aligned}

מציבים t=3t = 3

1228.81228.8 ש״ח. המלכודת: להוריד 3⋅20%=60%3 \cdot 20\% = 60\% ולקבל 960960 — הירידה בכל שנה מחושבת מהערך של אותה שנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

קורקינט חשמלי עולה בחנות 24002400 ש״ח. ערך הקורקינט יורד ב-20%20\% בכל שנה, ואחרי 33 שנים הוא 1228.81228.8 ש״ח. ד. אחרי כמה שנים שלמות, לראשונה, יהיה ערך הקורקינט של יואב נמוך מ-10001000 ש״ח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

At=2400⋅0.8tA_t = 2400 \cdot 0.8^t

מסעיף ג

t=3: 1228.8>1000t = 3: \ 1228.8 > 1000

עדיין מעל הגבול

t=4: 2400⋅0.84=983.04<1000\begin{aligned}t &= 4: \ 2400 \cdot 0.8^4 \\ &= 983.04 < 1000\end{aligned}

לראשונה מתחת לגבול

אחרי 44 שנים. המלכודת: לחשב 2400−1000480≈2.9\frac{2400 - 1000}{480} \approx 2.9 כאילו הירידה קבועה בשקלים — בדעיכה הירידה קטנה משנה לשנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — גדילה ודעיכה: שני אגמים

תרגיל 10

כמות האצות בשני האגמים
012345678040080012001600200024002800שבועותק״ג
  • גרף I
  • גרף II

בשני אגמים מודדים את כמות האצות, בק״ג. באגם א היו בתחילת המדידה 400400 ק״ג, והכמות גדלה ב-10%10\% בכל שבוע. באגם ב היו בתחילת המדידה 25002500 ק״ג, והכמות קטנה בכל שבוע באחוז קבוע. אחרי 33 שבועות נשארו באגם ב 12801280 ק״ג. א. איזה גרף בשרטוט מתאר את אגם ב?

  1. שני הגרפים מתארים את אגם ב
  2. גרף II — הוא עולה
  3. גרף I — הוא עולה ומתחיל ב-400400
  4. גרף II — הוא יורד ומתחיל ב-25002500
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף II — הוא יורד ומתחיל ב-25002500

הפתרון:

qB<1q_B < 1

באגם ב הכמות קטנה: הגרף יורד

t=0: 2500t = 0: \ 2500

והוא מתחיל בערך הגבוה

גרף II. המלכודת: לבחור לפי מי «מעל» בסוף השרטוט — שואלים מי יורד ומאיפה הוא מתחיל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

כמות האצות בשני האגמים
012345678040080012001600200024002800שבועותק״ג
  • גרף I
  • גרף II

בשני אגמים מודדים את כמות האצות, בק״ג. באגם א היו בתחילת המדידה 400400 ק״ג, והכמות גדלה ב-10%10\% בכל שבוע. באגם ב היו בתחילת המדידה 25002500 ק״ג, והכמות קטנה בכל שבוע באחוז קבוע. אחרי 33 שבועות נשארו באגם ב 12801280 ק״ג. ב. כמה ק״ג אצות יהיו באגם א אחרי 33 שבועות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 532.4

הפתרון:

qA=1.1q_A = 1.1

עלייה של 10%10\% בכל שבוע

400⋅1.13=400⋅1.331=532.4\begin{aligned}400 \cdot 1.1^3 &= 400 \cdot 1.331 \\ &= 532.4\end{aligned}

נוסחת הגדילה At=A0⋅qtA_t = A_0 \cdot q^t

532.4532.4 ק״ג. המלכודת: להוסיף 3⋅40=1203 \cdot 40 = 120 ק״ג ולקבל 520520 — בכל שבוע מוסיפים 10%10\% מהכמות החדשה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

כמות האצות בשני האגמים
012345678040080012001600200024002800שבועותק״ג
  • גרף I
  • גרף II

בשני אגמים מודדים את כמות האצות, בק״ג. באגם א היו בתחילת המדידה 400400 ק״ג, והכמות גדלה ב-10%10\% בכל שבוע. באגם ב היו בתחילת המדידה 25002500 ק״ג, והכמות קטנה בכל שבוע באחוז קבוע. אחרי 33 שבועות נשארו באגם ב 12801280 ק״ג. ג. בכמה אחוזים קטנה כמות האצות באגם ב בכל שבוע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

2500⋅q3=12802500 \cdot q^3 = 1280

נוסחת הדעיכה אחרי 33 שבועות

q3=12802500=0.512\begin{aligned}q^3 &= \frac{1280}{2500} \\ &= 0.512\end{aligned}

מחלקים

q=0.5123=0.8\begin{aligned}q &= \sqrt[3]{0.512} \\ &= 0.8\end{aligned}

שורש שלישי במחשבון

1−0.8=0.2=20%\begin{aligned}1 - 0.8 &= 0.2 \\ &= 20\%\end{aligned}

המכפיל 0.80.8 הוא ירידה של 20%20\%

ירידה של 20%20\% בשבוע. המלכודת: לחלק את הירידה הכוללת, 48.8%48.8\%, ב-33 — אחוזים בגדילה מעריכית לא מתחלקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

כמות האצות בשני האגמים
012345678040080012001600200024002800שבועותק״ג
  • גרף I
  • גרף II

בשני אגמים מודדים את כמות האצות, בק״ג. באגם א היו בתחילת המדידה 400400 ק״ג, והכמות גדלה ב-10%10\% בכל שבוע. באגם ב היו בתחילת המדידה 25002500 ק״ג, והכמות קטנה בכל שבוע באחוז קבוע. אחרי 33 שבועות נשארו באגם ב 12801280 ק״ג. הכמות באגם ב קטנה ב-20%20\% בכל שבוע. ד. כמה ק״ג אצות יהיו באגם ב אחרי 55 שבועות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 819.2

הפתרון:

At=2500⋅0.8tA_t = 2500 \cdot 0.8^t

מסעיף ג

2500⋅0.85=2500⋅0.32768=819.2\begin{aligned}2500 \cdot 0.8^5 &= 2500 \cdot 0.32768 \\ &= 819.2\end{aligned}

מציבים t=5t = 5

819.2819.2 ק״ג. אפשר גם להמשיך מ-12801280: 1280⋅0.82=819.21280 \cdot 0.8^2 = 819.2. המלכודת: להציב 0.20.2 במקום 0.80.8 — זה החלק שנעלם, לא החלק שנשאר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

כמות האצות בשני האגמים
012345678040080012001600200024002800שבועותק״ג
  • גרף I
  • גרף II

בשני אגמים מודדים את כמות האצות, בק״ג. באגם א היו בתחילת המדידה 400400 ק״ג, והכמות גדלה ב-10%10\% בכל שבוע. באגם ב היו בתחילת המדידה 25002500 ק״ג, והכמות קטנה בכל שבוע באחוז קבוע. אחרי 33 שבועות נשארו באגם ב 12801280 ק״ג. באגם א: 400⋅1.1t400 \cdot 1.1^t ק״ג, באגם ב: 2500⋅0.8t2500 \cdot 0.8^t ק״ג. ה. אחרי כמה שבועות שלמים, לראשונה, תהיה באגם א כמות אצות גדולה מזו שבאגם ב?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

400⋅1.1t ? 2500⋅0.8t400 \cdot 1.1^t \ ? \ 2500 \cdot 0.8^t

משווים את שני המודלים שבוע אחרי שבוע

t=5: 644.2<819.2t = 5: \ 644.2 < 819.2

באגם ב עדיין יותר

t=6: 708.6>655.4t = 6: \ 708.6 > 655.4

לראשונה באגם א יותר

אחרי 66 שבועות. המלכודת: לעצור ב-t=5t = 5 כי «הגרפים כמעט נפגשים» — צריך לבדוק במספרים, ולכתוב את שני הערכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת