מבחן לדוגמא 2

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מבחן לדוגמא 2 — אמצע השנה. 3 שאלות עם סעיפים, 14 סעיפים בסך הכול, 60 דקות. החומר: סטטיסטיקה — שכיחויות, ממוצע, חציון וסטיית תקן — והסתברות בעץ, עם מאורעות תלויים ובלתי תלויים. מחשבון מותר.

בדיאגרמת עמודות הגובה הוא השכיחות, והערך כתוב מתחת לעמודה. בעץ הסתברויות כופלים לאורך ענף, ומחברים בין ענפים שונים.

תרגילים

שאלה 1 — סטטיסטיקה: דיאגרמת עמודות

תרגיל 1

מספר הספרים שקראו התלמידים בקיץ
123450123456789מספר ספריםמספר תלמידים

בכיתה אחת שאלו כל תלמיד כמה ספרים קרא בחופשת הקיץ. כל התלמידים קראו לפחות ספר אחד. התוצאות בדיאגרמה. א. כמה תלמידים יש בכיתה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

3+5+8+6+3=253 + 5 + 8 + 6 + 3 = 25

מחברים את גובהי כל העמודות

2525 תלמידים. המלכודת: לחבר את הערכים 1+2+3+4+5=151 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 — אלה מספרי הספרים, לא מספרי התלמידים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מספר הספרים שקראו התלמידים בקיץ
123450123456789מספר ספריםמספר תלמידים

בכיתה אחת שאלו כל תלמיד כמה ספרים קרא בחופשת הקיץ. כל התלמידים קראו לפחות ספר אחד. התוצאות בדיאגרמה. בכיתה 2525 תלמידים. ב. חשבו את הממוצע של מספר הספרים לתלמיד.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.04

הפתרון:

1⋅3+2⋅5+3⋅8+4⋅6+5⋅3=761 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 8 + 4 \cdot 6 + 5 \cdot 3 = 76

כל ערך כפול השכיחות שלו

xˉ=7625=3.04\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{76}{25} \\ &= 3.04\end{aligned}

ממוצע משוקלל: הסכום חלקי מספר התלמידים

3.043.04 ספרים. המלכודת: לחלק ב-55, מספר העמודות — מחלקים במספר התלמידים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מספר הספרים שקראו התלמידים בקיץ
123450123456789מספר ספריםמספר תלמידים

בכיתה אחת שאלו כל תלמיד כמה ספרים קרא בחופשת הקיץ. כל התלמידים קראו לפחות ספר אחד. התוצאות בדיאגרמה. בכיתה 2525 תלמידים. ג. מהו החציון של מספר הספרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

25+12=13\frac{25 + 1}{2} = 13

מספר אי זוגי של נתונים: החציון הוא הנתון ה-1313 בסדר עולה

3 3+5=8 8+8=16\begin{aligned}3 \\ \ 3 + 5 &= 8 \\ \ 8 + 8 &= 16\end{aligned}

שכיחות מצטברת: הנתונים 99 עד 1616 שווים 33

החציון 33. המלכודת: לקחת את העמודה האמצעית בציור או את 88, הגובה שלה — החציון הוא ערך, לא שכיחות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מספר הספרים שקראו התלמידים בקיץ
123450123456789מספר ספריםמספר תלמידים

בכיתה אחת שאלו כל תלמיד כמה ספרים קרא בחופשת הקיץ. כל התלמידים קראו לפחות ספר אחד. התוצאות בדיאגרמה. בכיתה 2525 תלמידים. ד. כמה אחוזים מהתלמידים קראו 44 ספרים או יותר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

6+3=96 + 3 = 9

תלמידים שקראו 44 או 55 ספרים

925⋅100=36\frac{9}{25} \cdot 100 = 36

החלק מכלל הכיתה, באחוזים

36%36\%. המלכודת: לשכוח את העמודה של 55 ספרים — «44 או יותר» כולל אותה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מספר הספרים שקראו התלמידים בקיץ
123450123456789מספר ספריםמספר תלמידים

בכיתה אחת שאלו כל תלמיד כמה ספרים קרא בחופשת הקיץ. כל התלמידים קראו לפחות ספר אחד. התוצאות בדיאגרמה. הממוצע היה 3.043.04. ה. לכיתה הצטרפו שני תלמידים חדשים, וכל אחד מהם קרא 33 ספרים. מה קרה לממוצע?

  1. הממוצע גדל
  2. הממוצע קטן
  3. אי אפשר לדעת בלי לחשב מחדש את החציון
  4. הממוצע לא השתנה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב הממוצע קטן

הפתרון:

3<3.043 < 3.04

הנתונים החדשים קטנים מהממוצע

76+627=8227≈3.037\frac{76 + 6}{27} = \frac{82}{27} \approx 3.037

הממוצע החדש

3.037<3.043.037 < 3.04

הממוצע ירד, מעט

הממוצע קטן. המלכודת: «33 הוא החציון והשכיח, ולכן לא משתנה דבר» — משווים את הנתון החדש לממוצע, 3.043.04.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — סטיית תקן: שני שחקנים

תרגיל 6

שני שחקני כדורסל בנבחרת בית הספר קלעו בחמשת המשחקים האחרונים את מספרי הנקודות האלה. דני: 14,17,15,19,2014, 17, 15, 19, 20. עומר: 8,25,12,26,148, 25, 12, 26, 14. א. חשבו את הממוצע של מספר הנקודות של דני.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 17

הפתרון:

14+17+15+19+20=8514 + 17 + 15 + 19 + 20 = 85

סכום הנתונים

xˉ=855=17\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{85}{5} \\ &= 17\end{aligned}

חלקי מספר המשחקים

הממוצע 1717. בדיקה מהירה: הסטיות מ-1717 הן −3,0,−2,2,3-3, 0, -2, 2, 3, וסכומן 00 ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

שני שחקני כדורסל בנבחרת בית הספר קלעו בחמשת המשחקים האחרונים את מספרי הנקודות האלה. דני: 14,17,15,19,2014, 17, 15, 19, 20. עומר: 8,25,12,26,148, 25, 12, 26, 14. הממוצע של דני הוא 1717. ב. חשבו את סטיית התקן של מספר הנקודות של דני. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.28

הפתרון:

(−3)2+02+(−2)2+22+32=26(-3)^2 + 0^2 + (-2)^2 + 2^2 + 3^2 = 26

סכום ריבועי הסטיות מהממוצע 1717

S=265=5.2≈2.28\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{26}{5}} \\ &= \sqrt{5.2} \approx 2.28\end{aligned}

מחלקים במספר הנתונים ומוציאים שורש

S≈2.28S \approx 2.28 נקודות. המלכודת: לשכוח את השורש ולענות 5.25.2 — זו השונות, לא סטיית התקן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

שני שחקני כדורסל בנבחרת בית הספר קלעו בחמשת המשחקים האחרונים את מספרי הנקודות האלה. דני: 14,17,15,19,2014, 17, 15, 19, 20. עומר: 8,25,12,26,148, 25, 12, 26, 14. סטיית התקן של דני היא 2.282.28. ג. גם הממוצע של עומר הוא 1717. חשבו את סטיית התקן של מספר הנקודות של עומר. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.21

הפתרון:

−9, 8, −5, 9, −3-9, \ 8, \ -5, \ 9, \ -3

הסטיות מהממוצע 1717

81+64+25+81+9=26081 + 64 + 25 + 81 + 9 = 260

סכום ריבועי הסטיות

S=2605=52≈7.21\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{260}{5}} \\ &= \sqrt{52} \approx 7.21\end{aligned}

חלקי 55, ושורש

S≈7.21S \approx 7.21: לשני השחקנים אותו ממוצע, אבל עומר הרבה פחות יציב. המלכודת: לסכם את הסטיות בלי לרבע — הסכום יוצא 00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שני שחקני כדורסל בנבחרת בית הספר קלעו בחמשת המשחקים האחרונים את מספרי הנקודות האלה. דני: 14,17,15,19,2014, 17, 15, 19, 20. עומר: 8,25,12,26,148, 25, 12, 26, 14. הממוצע של דני 1717 וסטיית התקן שלו 2.282.28. ד. קבעו אם הטענה נכונה: «אם דני יקלע 1717 נקודות במשחק השישי, סטיית התקן שלו תקטן».

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

xˉ=85+176=17\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{85 + 17}{6} \\ &= 17\end{aligned}

הממוצע לא משתנה

S=26+06≈2.08<2.28S = \sqrt{\frac{26 + 0}{6}} \approx 2.08 < 2.28

סכום הריבועים נשאר 2626, אבל מחלקים ב-66

נכון: נתון השווה לממוצע מוסיף סטייה 00, ומגדיל את מספר הנתונים — הפיזור הממוצע קטן. המלכודת: לחשוב ש«אם הממוצע לא זז, גם סטיית התקן לא זזה».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — הסתברות: עץ

תרגיל 10

אוטובוס ורכבת — יום אחד
0.7?0.9?0.4?אוטובוסבזמןמאחרמספיקהלא מספיקהמספיקהלא מספיקה

נועה נוסעת לבית הספר באוטובוס, ואחר כך ברכבת. ההסתברות שהאוטובוס מגיע בזמן היא 0.70.7. אם האוטובוס מגיע בזמן, ההסתברות שנועה מספיקה את הרכבת היא 0.90.9. אם האוטובוס מאחר, ההסתברות שהיא מספיקה את הרכבת היא 0.40.4. א. מה ההסתברות שהאוטובוס מאחר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3

הפתרון:

1−0.7=0.31 - 0.7 = 0.3

המאורע המשלים: ההסתברויות היוצאות מאותו צומת מסתכמות ב-11

0.30.3. המלכודת: לענות 0.40.4 מתוך הנתונים — 0.40.4 היא הסתברות להספיק את הרכבת אחרי איחור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

אוטובוס ורכבת — יום אחד
0.7?0.9?0.4?אוטובוסבזמןמאחרמספיקהלא מספיקהמספיקהלא מספיקה

נועה נוסעת לבית הספר באוטובוס, ואחר כך ברכבת. ההסתברות שהאוטובוס מגיע בזמן היא 0.70.7. אם האוטובוס מגיע בזמן, ההסתברות שנועה מספיקה את הרכבת היא 0.90.9. אם האוטובוס מאחר, ההסתברות שהיא מספיקה את הרכבת היא 0.40.4. ב. מה ההסתברות שהאוטובוס מגיע בזמן וגם נועה מספיקה את הרכבת?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.63

הפתרון:

0.7⋅0.9=0.630.7 \cdot 0.9 = 0.63

כופלים לאורך הענף «בזמן — מספיקה»

0.630.63. המלכודת: לענות 0.90.9 — זו ההסתברות להספיק בתנאי שהאוטובוס בזמן, לא ההסתברות של שני המאורעות יחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

אוטובוס ורכבת — יום אחד
0.7?0.9?0.4?אוטובוסבזמןמאחרמספיקהלא מספיקהמספיקהלא מספיקה

נועה נוסעת לבית הספר באוטובוס, ואחר כך ברכבת. ההסתברות שהאוטובוס מגיע בזמן היא 0.70.7. אם האוטובוס מגיע בזמן, ההסתברות שנועה מספיקה את הרכבת היא 0.90.9. אם האוטובוס מאחר, ההסתברות שהיא מספיקה את הרכבת היא 0.40.4. מסעיף ב: ההסתברות לאוטובוס בזמן וגם להספיק היא 0.630.63. ג. מה ההסתברות שנועה מספיקה את הרכבת?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

0.7⋅0.9=0.630.7 \cdot 0.9 = 0.63

ענף «בזמן — מספיקה» (מסעיף ב)

0.3⋅0.4=0.120.3 \cdot 0.4 = 0.12

ענף «מאחר — מספיקה»

0.63+0.12=0.750.63 + 0.12 = 0.75

מחברים את שני הענפים

0.750.75. המלכודת: לחבר 0.9+0.40.9 + 0.4 — יוצא יותר מ-11; כל ענף צריך קודם להיכפל בהסתברות של האוטובוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

אוטובוס ורכבת — יום אחד
0.7?0.9?0.4?אוטובוסבזמןמאחרמספיקהלא מספיקהמספיקהלא מספיקה

נועה נוסעת לבית הספר באוטובוס, ואחר כך ברכבת. ההסתברות שהאוטובוס מגיע בזמן היא 0.70.7. אם האוטובוס מגיע בזמן, ההסתברות שנועה מספיקה את הרכבת היא 0.90.9. אם האוטובוס מאחר, ההסתברות שהיא מספיקה את הרכבת היא 0.40.4. ההסתברות שנועה מספיקה את הרכבת ביום אחד היא 0.750.75. ד. הנסיעות בימים שונים בלתי תלויות. מה ההסתברות שנועה מספיקה את הרכבת בשני ימים רצופים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5625

הפתרון:

P=0.75P = 0.75

ההסתברות להספיק ביום אחד, מסעיף ג

0.75⋅0.75=0.56250.75 \cdot 0.75 = 0.5625

שני ימים בלתי תלויים: כופלים

0.56250.5625. המלכודת: לחבר 0.75+0.750.75 + 0.75 — «וגם» בין מאורעות בלתי תלויים הוא כפל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

אוטובוס ורכבת — יום אחד
0.7?0.9?0.4?אוטובוסבזמןמאחרמספיקהלא מספיקהמספיקהלא מספיקה

נועה נוסעת לבית הספר באוטובוס, ואחר כך ברכבת. ההסתברות שהאוטובוס מגיע בזמן היא 0.70.7. אם האוטובוס מגיע בזמן, ההסתברות שנועה מספיקה את הרכבת היא 0.90.9. אם האוטובוס מאחר, ההסתברות שהיא מספיקה את הרכבת היא 0.40.4. ההסתברות שנועה מספיקה את הרכבת ביום אחד היא 0.750.75. ה. מה ההסתברות שבשני ימים רצופים נועה מספיקה את הרכבת בדיוק ביום אחד?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.375

הפתרון:

0.75⋅0.25=0.18750.75 \cdot 0.25 = 0.1875

מספיקה ביום הראשון, ולא בשני

0.25⋅0.75=0.18750.25 \cdot 0.75 = 0.1875

לא מספיקה ביום הראשון, ומספיקה בשני

0.1875+0.1875=0.3750.1875 + 0.1875 = 0.375

שני סדרים שונים: מחברים

0.3750.375. המלכודת: לחשב סדר אחד בלבד, 0.18750.1875 — «בדיוק יום אחד» יכול להיות הראשון או השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת