מבחן לדוגמא 4

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מבחן לדוגמא 4 — סוף מחצית. 3 שאלות עם סעיפים, 13 סעיפים בסך הכול, 60 דקות. שאלה מכל אחד משלושת האשכולות: הסתברות (חברה ומדע), טריגונומטריה בזווית עומק (התמצאות במישור), וחיסכון מעריכי מול חיסכון קווי (פיננסי־כלכלי). מחשבון מותר.

בהסתברות כתבו מה המאורע לפני החישוב, ובדקו אם יש שני סדרים אפשריים. זווית עומק נמדדת מהקו האופקי שבראש המצוק — והיא שווה לזווית ההגבהה מהסירה.

תרגילים

שאלה 1 — הסתברות: גלגל מזל

תרגיל 1

בדוכן ביריד יש גלגל מזל עם 88 גזרות שוות: 44 גזרות אדומות (פרס של 1010 ש״ח), 33 גזרות כחולות (פרס של 2020 ש״ח) וגזרה אחת זהובה (פרס של 100100 ש״ח). כל משתתף מסובב את הגלגל פעמיים, והסיבובים בלתי תלויים. א. מה ההסתברות שבסיבוב אחד הגלגל עוצר בגזרה כחולה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.375

הפתרון:

P(B)=38=0.375\begin{aligned}P(\text{B}) &= \frac{3}{8} \\ &= 0.375\end{aligned}

מספר הגזרות הכחולות חלקי מספר הגזרות — כולן שוות

0.3750.375. המלכודת: 13\frac{1}{3}, «שלושה צבעים» — הצבעים אינם שווי הסתברות, הגזרות כן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בדוכן ביריד יש גלגל מזל עם 88 גזרות שוות: 44 גזרות אדומות (פרס של 1010 ש״ח), 33 גזרות כחולות (פרס של 2020 ש״ח) וגזרה אחת זהובה (פרס של 100100 ש״ח). כל משתתף מסובב את הגלגל פעמיים, והסיבובים בלתי תלויים. ב. מה ההסתברות שבשני הסיבובים הגלגל עוצר בגזרה אדומה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

P(R)=48=0.5\begin{aligned}P(\text{R}) &= \frac{4}{8} \\ &= 0.5\end{aligned}

בכל סיבוב

0.5⋅0.5=0.250.5 \cdot 0.5 = 0.25

שני סיבובים בלתי תלויים: כופלים

0.250.25. המלכודת: 0.5+0.5=10.5 + 0.5 = 1 — «וגם» בין סיבובים בלתי תלויים הוא כפל, לא חיבור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בדוכן ביריד יש גלגל מזל עם 88 גזרות שוות: 44 גזרות אדומות (פרס של 1010 ש״ח), 33 גזרות כחולות (פרס של 2020 ש״ח) וגזרה אחת זהובה (פרס של 100100 ש״ח). כל משתתף מסובב את הגלגל פעמיים, והסיבובים בלתי תלויים. מסעיף ב: ההסתברות לאדום־אדום היא 0.250.25. ג. מה ההסתברות שבשני הסיבובים הגלגל עוצר באותו צבע? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.406

הפתרון:

0.52+0.3752+0.12520.5^2 + 0.375^2 + 0.125^2

אדום־אדום, כחול־כחול או זהוב־זהוב: שלושה מאורעות זרים

0.25+0.140625+0.015625=0.40625≈0.4060.25 + 0.140625 + 0.015625 = 0.40625 \approx 0.406

מחברים

≈0.406\approx 0.406. המלכודת: לשכוח את הזהוב־זהוב — גם גזרה אחת יכולה לצאת פעמיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בדוכן ביריד יש גלגל מזל עם 88 גזרות שוות: 44 גזרות אדומות (פרס של 1010 ש״ח), 33 גזרות כחולות (פרס של 2020 ש״ח) וגזרה אחת זהובה (פרס של 100100 ש״ח). כל משתתף מסובב את הגלגל פעמיים, והסיבובים בלתי תלויים. P(R)=0.5P(\text{R}) = 0.5 ו-P(B)=0.375P(\text{B}) = 0.375. ד. מה ההסתברות שהמשתתף זוכה בסך הכול ב-3030 ש״ח בדיוק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.375

הפתרון:

10+20=3010 + 20 = 30

רק אדום וכחול נותנים 3030 ש״ח

0.5⋅0.375+0.375⋅0.5=0.3750.5 \cdot 0.375 + 0.375 \cdot 0.5 = 0.375

אדום ואז כחול, או כחול ואז אדום

0.3750.375. המלכודת: לחשב סדר אחד, 0.18750.1875 — «אדום וכחול» קורה בשני סדרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בדוכן ביריד יש גלגל מזל עם 88 גזרות שוות: 44 גזרות אדומות (פרס של 1010 ש״ח), 33 גזרות כחולות (פרס של 2020 ש״ח) וגזרה אחת זהובה (פרס של 100100 ש״ח). כל משתתף מסובב את הגלגל פעמיים, והסיבובים בלתי תלויים. ה. מה ההסתברות שהגלגל עוצר בגזרה הזהובה לפחות פעם אחת בשני הסיבובים? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.234

הפתרון:

P(G‾)=(78)2=4964\begin{aligned}P(\overline{G}) &= \left(\frac{7}{8}\right)^2 \\ &= \frac{49}{64}\end{aligned}

המשלים: אף פעם לא זהוב

1−4964=1564≈0.2341 - \frac{49}{64} = \frac{15}{64} \approx 0.234

לפחות פעם אחת = 11 פחות «אף פעם»

≈0.234\approx 0.234. המלכודת: 18+18=0.25\frac{1}{8} + \frac{1}{8} = 0.25 — כך סופרים פעמיים את זהוב־זהוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — טריגונומטריה: זווית עומק

תרגיל 6

STNFK

מצוק STST מתנשא לגובה 5050 מטר מעל פני הים: TT בראש המצוק ו-SS בבסיסו. מראש המצוק רואים שתי סירות, NN ו-FF, על קו ישר אחד עם SS. זווית העומק לסירה NN היא 30∘30^\circ, וזווית העומק לסירה FF היא 18∘18^\circ. TKTK הוא הקו האופקי שבראש המצוק. א. מה המרחק SNSN בין בסיס המצוק לבין הסירה NN? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 86.6

הפתרון:

∠TNS=∠KTN=30∘\begin{aligned}\angle TNS &= \angle KTN \\ &= 30^\circ\end{aligned}

זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים: TK∥SNTK \parallel SN

tan⁡30∘=TSSN\tan 30^\circ = \frac{TS}{SN}

במשולש ישר הזווית TSNTSN: מול חלקי ליד

SN=50tan⁡30∘≈86.60SN = \frac{50}{\tan 30^\circ} \approx 86.60

מבודדים את SNSN

SN≈86.60SN \approx 86.60 מטר. המלכודת: לשים את 30∘30^\circ בראש המצוק בתוך המשולש — זווית העומק היא מהקו האופקי, והזווית שבתוך המשולש ב-TT היא 60∘60^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

STNFK

מצוק STST מתנשא לגובה 5050 מטר מעל פני הים: TT בראש המצוק ו-SS בבסיסו. מראש המצוק רואים שתי סירות, NN ו-FF, על קו ישר אחד עם SS. זווית העומק לסירה NN היא 30∘30^\circ, וזווית העומק לסירה FF היא 18∘18^\circ. TKTK הוא הקו האופקי שבראש המצוק. SN≈86.60SN \approx 86.60 מטר. ב. מה המרחק SFSF בין בסיס המצוק לבין הסירה FF? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 153.88

הפתרון:

∠TFS=18∘\angle TFS = 18^\circ

זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים

SF=50tan⁡18∘≈153.88SF = \frac{50}{\tan 18^\circ} \approx 153.88

במשולש ישר הזווית TSFTSF: tan⁡18∘=TSSF\tan 18^\circ = \frac{TS}{SF}

SF≈153.88SF \approx 153.88 מטר. זווית עומק קטנה יותר — הסירה רחוקה יותר. המלכודת: 50⋅tan⁡18∘≈1650 \cdot \tan 18^\circ \approx 16 מטר, סירה רחוקה שיוצאת קרובה מ-NN.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

STNFK

מצוק STST מתנשא לגובה 5050 מטר מעל פני הים: TT בראש המצוק ו-SS בבסיסו. מראש המצוק רואים שתי סירות, NN ו-FF, על קו ישר אחד עם SS. זווית העומק לסירה NN היא 30∘30^\circ, וזווית העומק לסירה FF היא 18∘18^\circ. TKTK הוא הקו האופקי שבראש המצוק. SN≈86.60SN \approx 86.60 מטר ו-SF≈153.88SF \approx 153.88 מטר. ג. מה המרחק בין שתי הסירות? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 67.28

הפתרון:

NF=SF−SNNF = SF - SN

שתי הסירות על אותו קו עם SS, באותו צד

NF≈153.88−86.60=67.28NF \approx 153.88 - 86.60 = 67.28

מציבים

NF≈67.28NF \approx 67.28 מטר. המלכודת: לחשב 50tan⁡12∘\frac{50}{\tan 12^\circ} מהפרש הזוויות — אין משולש ישר זווית שבו 12∘12^\circ היא זווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

STNFK

מצוק STST מתנשא לגובה 5050 מטר מעל פני הים: TT בראש המצוק ו-SS בבסיסו. מראש המצוק רואים שתי סירות, NN ו-FF, על קו ישר אחד עם SS. זווית העומק לסירה NN היא 30∘30^\circ, וזווית העומק לסירה FF היא 18∘18^\circ. TKTK הוא הקו האופקי שבראש המצוק. המרחק בין הסירות ≈67.28\approx 67.28 מטר. ד. הסירה FF שטה ישר אל הסירה NN במהירות של 22 מטר לשנייה. כמה שניות תימשך ההפלגה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 33.64

הפתרון:

t=svt = \frac{s}{v}

זמן = דרך חלקי מהירות

t=67.282≈33.64t = \frac{67.28}{2} \approx 33.64

הדרך היא המרחק בין הסירות

≈33.64\approx 33.64 שניות. המלכודת: לחלק את SFSF, 153.88153.88 — הסירה עוצרת ב-NN, לא בבסיס המצוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — פיננסי: חיסכון מעריכי וחיסכון קווי

תרגיל 10

מאיה קיבלה 10,00010{,}000 ש״ח ובוחרת בין שתי תוכניות חיסכון. בתוכנית א הסכום גדל ב-5%5\% בכל שנה (ריבית דריבית). בתוכנית ב הסכום גדל ב-600600 ש״ח בכל שנה. א. כמה כסף יהיה בתוכנית א אחרי 44 שנים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12155.06

הפתרון:

At=10000⋅1.05tA_t = 10000 \cdot 1.05^t

גדילה של 5%5\%: מכפיל 1.051.05

10000⋅1.054≈12155.0610000 \cdot 1.05^4 \approx 12155.06

מציבים t=4t = 4

≈12155.06\approx 12155.06 ש״ח. המלכודת: 10000+4⋅500=1200010000 + 4 \cdot 500 = 12000 — זו ריבית פשוטה; בריבית דריבית הריבית נצברת גם על הריבית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מאיה קיבלה 10,00010{,}000 ש״ח ובוחרת בין שתי תוכניות חיסכון. בתוכנית א הסכום גדל ב-5%5\% בכל שנה (ריבית דריבית). בתוכנית ב הסכום גדל ב-600600 ש״ח בכל שנה. בתוכנית א אחרי 44 שנים יש 12155.0612155.06 ש״ח. ב. אחרי כמה שנים שלמות, לראשונה, יהיה בתוכנית א יותר כסף מאשר בתוכנית ב?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

A:10000⋅1.05t,B:10000+600tA: 10000 \cdot 1.05^t, \quad B: 10000 + 600t

מודל מעריכי מול מודל קווי

t=8: 14774.55<14800t = 8: \ 14774.55 < 14800

תוכנית ב עדיין מובילה

t=9: 15513.28>15400t = 9: \ 15513.28 > 15400

לראשונה תוכנית א מובילה

אחרי 99 שנים. המלכודת: להשוות רק בתחילה — בשנה הראשונה א נותנת 500500 וב נותנת 600600, אבל הגדילה של א גדלה משנה לשנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מאיה קיבלה 10,00010{,}000 ש״ח ובוחרת בין שתי תוכניות חיסכון. בתוכנית א הסכום גדל ב-5%5\% בכל שנה (ריבית דריבית). בתוכנית ב הסכום גדל ב-600600 ש״ח בכל שנה. ג. בנק אחר מציע תוכנית ג: מפקידים 10,00010{,}000 ש״ח, ואחרי שנתיים יש בחשבון 12,10012{,}100 ש״ח, בריבית דריבית קבועה. מהו אחוז הריבית השנתי בתוכנית ג?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

10000⋅q2=1210010000 \cdot q^2 = 12100

נוסחת הגדילה אחרי שנתיים

q2=1.21⇒q=1.21=1.1\begin{aligned}q^2 &= 1.21 \Rightarrow q \\ &= \sqrt{1.21} \\ &= 1.1\end{aligned}

מחלקים ומוציאים שורש

1.1−1=0.1=10%\begin{aligned}1.1 - 1 &= 0.1 \\ &= 10\%\end{aligned}

המכפיל 1.11.1 הוא עלייה של 10%10\%

10%10\% לשנה. המלכודת: 21%2=10.5%\frac{21\%}{2} = 10.5\% — בגדילה מעריכית לא מחלקים את האחוז הכולל במספר השנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

מאיה קיבלה 10,00010{,}000 ש״ח ובוחרת בין שתי תוכניות חיסכון. בתוכנית א הסכום גדל ב-5%5\% בכל שנה (ריבית דריבית). בתוכנית ב הסכום גדל ב-600600 ש״ח בכל שנה. מהשנה ה-99 תוכנית א מובילה. ד. מה יהיה ההפרש בין הסכום בתוכנית א לבין הסכום בתוכנית ב אחרי 1212 שנים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 758.56

הפתרון:

A12=10000⋅1.0512≈17958.56A_{12} = 10000 \cdot 1.05^{12} \approx 17958.56

תוכנית א

B12=10000+600⋅12=17200\begin{aligned}B_{12} &= 10000 + 600 \cdot 12 \\ &= 17200\end{aligned}

תוכנית ב

17958.56−17200=758.5617958.56 - 17200 = 758.56

ההפרש

≈758.56\approx 758.56 ש״ח לטובת תוכנית א. המלכודת: לכפול ב-1.05⋅121.05 \cdot 12 במקום להעלות בחזקת 1212.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת