מבחן לדוגמא 5 · מבחן לדוגמא 5 · כיתה י״א

מבחן לדוגמא 5 — סוף השנה. 3 שאלות עם סעיפים, 13 סעיפים בסך הכול, 60 דקות. שאלה מכל אשכול: דעיכה מעריכית (חברה ומדע), משולשים דומים (התמצאות במישור), וממוצע, חציון וסטיית תקן של מחירים (פיננסי־כלכלי). מחשבון מותר.

שלושה הרגלים שחוסכים נקודות: כתבו את המכפיל לפני כל חישוב מעריכי; בדמיון, שטח גדל פי $k^2$ ולא פי $k$ ; ובסטיית תקן — הוספת מספר קבוע לכל הנתונים לא משנה אותה, אבל הכפלה באחוז כן.

תרגילים

שאלה 1 — דעיכה מעריכית: שתי תרופות

תרגיל 1

בגוף של מטופל אחד יש $240$ מ״ג של תרופה א, והכמות קטנה ב- $15\%$ בכל שעה. מטופל אחר קיבל $200$ מ״ג של תרופה ב, והכמות שלה קטנה בכל שעה באחוז קבוע. אחרי שעתיים נשארו בגופו $162$ מ״ג של תרופה ב. א. כמה מ״ג של תרופה א יישארו בגוף אחרי $3$ שעות? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 147.39

הפתרון:

\begin{aligned}q_A &= 1 - 0.15 \\ &= 0.85\end{aligned}

ירידה של $15\%$ בשעה

240 \cdot 0.85^3 \approx 147.39

נוסחת הדעיכה $A_t = A_0 \cdot q^t$

$\approx 147.39$ מ״ג. המלכודת: להוריד $3 \cdot 36 = 108$ מ״ג — הירידה בכל שעה מחושבת מהכמות שנשארה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בגוף של מטופל אחד יש $240$ מ״ג של תרופה א, והכמות קטנה ב- $15\%$ בכל שעה. מטופל אחר קיבל $200$ מ״ג של תרופה ב, והכמות שלה קטנה בכל שעה באחוז קבוע. אחרי שעתיים נשארו בגופו $162$ מ״ג של תרופה ב. ב. בכמה אחוזים קטנה בכל שעה הכמות של תרופה ב?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

200 \cdot q^2 = 162

נוסחת הדעיכה אחרי שעתיים

\begin{aligned}q^2 &= 0.81 \Rightarrow q \\ &= 0.9\end{aligned}

שורש ריבועי

\begin{aligned}1 - 0.9 &= 0.1 \\ &= 10\%\end{aligned}

המכפיל $0.9$ הוא ירידה של $10\%$

ירידה של $10\%$ בשעה. המלכודת: $\frac{19\%}{2} = 9.5\%$ — אחוזים בדעיכה מעריכית לא מתחלקים במספר השעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בגוף של מטופל אחד יש $240$ מ״ג של תרופה א, והכמות קטנה ב- $15\%$ בכל שעה. מטופל אחר קיבל $200$ מ״ג של תרופה ב, והכמות שלה קטנה בכל שעה באחוז קבוע. אחרי שעתיים נשארו בגופו $162$ מ״ג של תרופה ב. מסעיף א: אחרי $3$ שעות נשארים $147.39$ מ״ג של תרופה א. ג. אחרי כמה שעות שלמות, לראשונה, תהיה כמות תרופה א בגוף קטנה מ- $100$ מ״ג?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

A_t = 240 \cdot 0.85^t

המודל של תרופה א

t = 5: \ 106.49 > 100

עדיין מעל הגבול

t = 6: \ 90.52 < 100

לראשונה מתחת לגבול

אחרי $6$ שעות. המלכודת: לעצור ב- $t = 5$ כי $106$ «קרוב» ל- $100$ — השאלה שואלת מתי הכמות קטנה מ- $100$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בגוף של מטופל אחד יש $240$ מ״ג של תרופה א, והכמות קטנה ב- $15\%$ בכל שעה. מטופל אחר קיבל $200$ מ״ג של תרופה ב, והכמות שלה קטנה בכל שעה באחוז קבוע. אחרי שעתיים נשארו בגופו $162$ מ״ג של תרופה ב. תרופה א: $240 \cdot 0.85^t$ , תרופה ב: $200 \cdot 0.9^t$ . ד. אחרי כמה שעות שלמות, לראשונה, תהיה כמות תרופה ב גדולה מכמות תרופה א?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

240 \cdot 0.85^t \ ? \ 200 \cdot 0.9^t

משווים שעה אחרי שעה

t = 3: \ 147.39 > 145.8

תרופה א עדיין יותר

t = 4: \ 125.28 < 131.22

לראשונה תרופה ב יותר

אחרי $4$ שעות: תרופה ב מתחילה נמוכה, אבל דועכת לאט יותר ( $10\%$ מול $15\%$ ). המלכודת: להסיק ש«מי שהתחיל גבוה נשאר גבוה».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — משולשים דומים: ויטראז׳

תרגיל 5

בחלון ויטראז׳ יש שתי זכוכיות בצורת משולשים שווי שוקיים דומים. בזכוכית הקטנה $ABC$ : $AB = AC = 13$ ס״מ ו- $BC = 10$ ס״מ. בזכוכית הגדולה $DEF$ ( $DE = DF$ ) הבסיס $EF = 25$ ס״מ. $AH$ ו- $DK$ הם הגבהים לבסיסים. א. חשבו את הגובה $AH$ של הזכוכית הקטנה, בס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}BH &= \frac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון

\begin{aligned}AH &= \sqrt{13^2 - 5^2} \\ &= \sqrt{144} \\ &= 12\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש ישר הזווית $ABH$

$AH = 12$ ס״מ. המלכודת: $\sqrt{13^2 - 10^2}$ עם הבסיס כולו — הגובה חוצה את הבסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בחלון ויטראז׳ יש שתי זכוכיות בצורת משולשים שווי שוקיים דומים. בזכוכית הקטנה $ABC$ : $AB = AC = 13$ ס״מ ו- $BC = 10$ ס״מ. בזכוכית הגדולה $DEF$ ( $DE = DF$ ) הבסיס $EF = 25$ ס״מ. $AH$ ו- $DK$ הם הגבהים לבסיסים. $AH = 12$ ס״מ. ב. חשבו את ההיקף של הזכוכית הגדולה, בס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

\begin{aligned}k &= \frac{EF}{BC} \\ &= \frac{25}{10} \\ &= 2.5\end{aligned}

יחס הדמיון: הבסיסים הם צלעות מתאימות

\begin{aligned}P_{ABC} &= 13 + 13 + 10 \\ &= 36\end{aligned}

היקף הקטנה

\begin{aligned}P_{DEF} &= 36 \cdot 2.5 \\ &= 90\end{aligned}

יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון

$90$ ס״מ. בדיקה: $DE = DF = 32.5$ , ו- $32.5 + 32.5 + 25 = 90$ ✓. המלכודת: להוסיף $15$ ס״מ לכל צלע — בדמיון כופלים, לא מוסיפים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בחלון ויטראז׳ יש שתי זכוכיות בצורת משולשים שווי שוקיים דומים. בזכוכית הקטנה $ABC$ : $AB = AC = 13$ ס״מ ו- $BC = 10$ ס״מ. בזכוכית הגדולה $DEF$ ( $DE = DF$ ) הבסיס $EF = 25$ ס״מ. $AH$ ו- $DK$ הם הגבהים לבסיסים. $AH = 12$ ס״מ, ויחס הדמיון $k = 2.5$ . ג. חשבו את השטח של הזכוכית הגדולה, בסמ״ר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 375

הפתרון:

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{10 \cdot 12}{2} \\ &= 60\end{aligned}

חצי בסיס כפול גובה

\begin{aligned}S_{DEF} &= 60 \cdot 2.5^2 \\ &= 60 \cdot 6.25 \\ &= 375\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון

\begin{aligned}DK &= 12 \cdot 2.5 \\ &= 30 \\ \quad \frac{25 \cdot 30}{2} &= 375\end{aligned}

בדיקה ✓

$375$ סמ״ר. המלכודת: $60 \cdot 2.5 = 150$ — השטח גדל פי $k^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בחלון ויטראז׳ יש שתי זכוכיות בצורת משולשים שווי שוקיים דומים. בזכוכית הקטנה $ABC$ : $AB = AC = 13$ ס״מ ו- $BC = 10$ ס״מ. בזכוכית הגדולה $DEF$ ( $DE = DF$ ) הבסיס $EF = 25$ ס״מ. $AH$ ו- $DK$ הם הגבהים לבסיסים. שטח הזכוכית הקטנה $60$ סמ״ר ושטח הגדולה $375$ סמ״ר. ד. קבעו אם הטענה נכונה: «הזכוכית הגדולה דורשת פי $2.5$ יותר זכוכית מהזכוכית הקטנה».

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}} &= \frac{375}{60} \\ &= 6.25\end{aligned}

כמות הזכוכית היא השטח

6.25 = 2.5^2 \neq 2.5

יחס השטחים הוא $k^2$

לא נכון: פי $6.25$ . המלכודת: פי $2.5$ נכון לאורכים ולהיקף, לא לשטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — סטטיסטיקה: מחירי ארוחות

תרגיל 9

מחירי ארוחה עסקית בשש מסעדות בעיר, בש״ח: $42, 48, 50, 55, 60, 45$ . א. חשבו את המחיר הממוצע.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

42 + 48 + 50 + 55 + 60 + 45 = 300

סכום המחירים

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{300}{6} \\ &= 50\end{aligned}

חלקי מספר המסעדות

$50$ ש״ח. המלכודת: לחלק ב- $5$ — יש כאן שש מסעדות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מחירי ארוחה עסקית בשש מסעדות בעיר, בש״ח: $42, 48, 50, 55, 60, 45$ . ב. מהו החציון של המחירים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 49

הפתרון:

42, 45, 48, 50, 55, 60

ממיינים בסדר עולה

\frac{48 + 50}{2} = 49

מספר זוגי של נתונים: ממוצע שני האמצעיים

החציון $49$ ש״ח. המלכודת: לקחת את שני האמצעיים ברשימה המקורית, $50$ ו- $55$ — בלי מיון אין חציון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מחירי ארוחה עסקית בשש מסעדות בעיר, בש״ח: $42, 48, 50, 55, 60, 45$ . המחיר הממוצע $50$ ש״ח. ג. חשבו את סטיית התקן של המחירים. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.03

הפתרון:

-8, \ -2, \ 0, \ 5, \ 10, \ -5

הסטיות מהממוצע $50$

64 + 4 + 0 + 25 + 100 + 25 = 218

סכום ריבועי הסטיות

S = \sqrt{\frac{218}{6}} \approx 6.03

חלקי $6$ , ושורש

$S \approx 6.03$ ש״ח. המלכודת: לשכוח לרבע, ואז סכום הסטיות יוצא $0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מחירי ארוחה עסקית בשש מסעדות בעיר, בש״ח: $42, 48, 50, 55, 60, 45$ . סטיית התקן של המחירים המקוריים $6.03$ ש״ח. ד. כל המסעדות העלו את המחיר ב- $10\%$ . מהי סטיית התקן של המחירים החדשים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.63

הפתרון:

x_i \to 1.1 \, x_i

כל מחיר מוכפל ב- $1.1$

\bar{x} \to 1.1 \cdot 50 = 55

גם הממוצע מוכפל, וכל סטייה מוכפלת ב- $1.1$

S \to 1.1 \cdot 6.03 \approx 6.63

סטיית התקן מוכפלת ב- $1.1$

$\approx 6.63$ ש״ח. המלכודת: «סטיית התקן לא משתנה» — זה נכון כשמוסיפים אותו מספר לכל מחיר, אבל עלייה באחוזים מגדילה יותר את המחירים הגבוהים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

מחירי ארוחה עסקית בשש מסעדות בעיר, בש״ח: $42, 48, 50, 55, 60, 45$ . סכום המחירים של שש המסעדות $300$ ש״ח. ה. לרשימה המקורית (לפני ההתייקרות) נוספה מסעדה שביעית, והמחיר הממוצע של שבע המסעדות הוא $52$ ש״ח. מה המחיר במסעדה השביעית?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 64

הפתרון:

7 \cdot 52 = 364

סכום המחירים של שבע המסעדות

364 - 300 = 64

פחות סכום שש המסעדות

$64$ ש״ח. המלכודת: לענות $52$ — מחיר השווה לממוצע החדש לא יכול להעלות אותו; המסעדה השביעית מעלה את הממוצע ב- $2$ ש״ח לכל אחת משבע המסעדות, ולכן היא יקרה מ- $50$ ב- $7 \cdot 2 = 14$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

שאלה 1 — דעיכה מעריכית: שתי תרופות

שאלה 2 — משולשים דומים: ויטראז׳

שאלה 3 — סטטיסטיקה: מחירי ארוחות

השיעור הבא מחכה ב-elev