סימולציית בגרות 1

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

סימולציית בגרות 1 — שאלון 35471 (4 יחידות לימוד). 8 שאלות בשלושה פרקים, 35 סעיפים בסך הכול. עליכם לענות על 5 שאלות, לפחות אחת מכל פרק. לכל שאלה 20 נקודות. משך הבחינה: שלוש שעות וחצי (210 דקות). מותר להשתמש בנוסחאון, בטבלת ההתפלגות הנורמלית ובמחשבון לא גרפי. כל השאלות כתובות כאן, ואתם בוחרים. פרק ראשון — סטטיסטיקה והסתברות: שאלה 1 (התפלגות נורמלית: חיי הסוללה), שאלה 2 (מתאם ורגרסיה: דוכן מיצים), שאלה 3 (הסתברות מותנית: איחורים לבית הספר). פרק שני — גאומטריה: שאלה 4 (מעוין במערכת צירים), שאלה 5 (מעגל ומשיק במערכת צירים). פרק שלישי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: שאלה 6 (חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר), שאלה 7 (פונקציית שורש), שאלה 8 (בעיית ערך קיצון: מלבן מתחת לפרבולה).

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בכל שאלת חקירה, תחום ההגדרה קודם לכול; בשאלות ההתפלגות הנורמלית, הטבלה נותנת את השטח משמאל; ובכל סעיף שטח עם f′f', השטח הוא f(b)−f(a)f(b)-f(a).

תרגילים

שאלה 1 — התפלגות נורמלית: חיי הסוללה

תרגיל 1

חיי הסוללה של דגם טלפון מסוים (בשעות שימוש) מתפלגים נורמלית עם ממוצע 1818 שעות. ל-15.87%15.87\% מהטלפונים הסוללה מחזיקה יותר מ-2121 שעות. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.28)=0.8997\Phi(1.28)=0.8997, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332. א. מצאו את סטיית התקן של חיי הסוללה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

P(X>21)=0.1587⇒Φ(z)=1−0.1587=0.8413\begin{aligned}P(X>21) &= 0.1587 \Rightarrow \Phi(z) \\ &= 1-0.1587 \\ &= 0.8413\end{aligned}

השטח משמאל ל-2121

z=1⇒21−18σ=1\begin{aligned}z &= 1 \Rightarrow \frac{21-18}{\sigma} \\ &= 1\end{aligned}

ציון התקן מהטבלה

σ=3\sigma=3

סטיית התקן 33 שעות. המלכודת: לחפש בטבלה את 0.15870.1587 — הטבלה נותנת את השטח משמאל, ולכן מחפשים את 0.84130.8413.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חיי הסוללה של דגם טלפון מסוים (בשעות שימוש) מתפלגים נורמלית עם ממוצע 1818 שעות. ל-15.87%15.87\% מהטלפונים הסוללה מחזיקה יותר מ-2121 שעות. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.28)=0.8997\Phi(1.28)=0.8997, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332. נמצא: סטיית התקן 33 שעות. ב. איזה אחוז מהטלפונים מחזיקים בין 1515 ל-22.522.5 שעות? ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 77.45

הפתרון:

z1=15−183=−1z2=22.5−183=1.5\begin{aligned}z_1 &= \frac{15-18}{3} \\ &= -1 \qquad z_2 \\ &= \frac{22.5-18}{3} \\ &= 1.5\end{aligned}

ציוני התקן של שני הגבולות

Φ(−1)=1−0.8413=0.1587\begin{aligned}\Phi(-1) &= 1-0.8413 \\ &= 0.1587\end{aligned}

סימטריה של העקומה

Φ(1.5)−Φ(−1)=0.9332−0.1587=0.7745\begin{aligned}\Phi(1.5)-\Phi(-1) &= 0.9332-0.1587 \\ &= 0.7745\end{aligned}

השטח בין שני הגבולות

77.45%77.45\%. המלכודת: לקחת Φ(−1)=0.8413\Phi(-1)=0.8413 — ציון תקן שלילי נותן שטח קטן מחצי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

חיי הסוללה של דגם טלפון מסוים (בשעות שימוש) מתפלגים נורמלית עם ממוצע 1818 שעות. ל-15.87%15.87\% מהטלפונים הסוללה מחזיקה יותר מ-2121 שעות. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.28)=0.8997\Phi(1.28)=0.8997, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332. נמצא: סטיית התקן 33 שעות. ג. היצרן מחליף את הסוללה ל-10%10\% מהטלפונים, אלה שהסוללה שלהם מחזיקה הכי מעט. מצאו את מספר השעות tt שמתחתיו מחליפים את הסוללה. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14.16

הפתרון:

P(X<t)=0.10⇒Φ(−z)=0.90\begin{aligned}P(X<t) &= 0.10 \Rightarrow \Phi(-z) \\ &= 0.90\end{aligned}

זנב שמאלי: ציון התקן שלילי

Φ(1.28)=0.8997≈0.90⇒z=−1.28\begin{aligned}\Phi(1.28) &= 0.8997 \approx 0.90 \Rightarrow z \\ &= -1.28\end{aligned}

קריאה הפוכה של הטבלה

t=18−1.28⋅3=14.16\begin{aligned}t &= 18-1.28 \cdot 3 \\ &= 14.16\end{aligned}

x=μ+zσx=\mu+z\sigma

t≈14.16t \approx 14.16 שעות. המלכודת: 21.8421.84 — זה הסף של 10%10\% הטלפונים הטובים ביותר, מימין לממוצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

חיי הסוללה של דגם טלפון מסוים (בשעות שימוש) מתפלגים נורמלית עם ממוצע 1818 שעות. ל-15.87%15.87\% מהטלפונים הסוללה מחזיקה יותר מ-2121 שעות. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.28)=0.8997\Phi(1.28)=0.8997, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332. ד. בדגם חדש סטיית התקן נשארה 33 שעות, אבל רק ל-6.68%6.68\% מהטלפונים הסוללה מחזיקה פחות מ-1616 שעות. מצאו את הממוצע של חיי הסוללה בדגם החדש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20.5

הפתרון:

Φ(z)=0.0668⇒Φ(−z)=0.9332⇒z=−1.5\begin{aligned}\Phi(z) &= 0.0668 \Rightarrow \Phi(-z) \\ &= 0.9332 \Rightarrow z \\ &= -1.5\end{aligned}

השטח משמאל ל-1616 קטן מחצי

16−μ3=−1.5\frac{16-\mu}{3}=-1.5

ציון התקן של 1616

μ=16+4.5=20.5\begin{aligned}\mu &= 16+4.5 \\ &= 20.5\end{aligned}

הממוצע 20.520.5 שעות. המלכודת: לקחת z=+1.5z=+1.5 ולקבל 11.511.5 — הממוצע חייב להיות מעל 1616, כי פחות מחצי מהטלפונים מתחת ל-1616.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — מתאם ורגרסיה: דוכן מיצים

תרגיל 5

מחיר כוס (x, ש"ח)24568
כוסות שנמכרו (y, עשרות)2620221814

בדוכן מיצים בשוק שינו את מחיר כוס המיץ (xx, בשקלים) בחמישה ימים שונים, ורשמו כמה כוסות נמכרו באותו יום (yy, בעשרות כוסות). הנתונים בטבלה. ידוע: xˉ=5\bar{x}=5 ו-Sx=2S_x=2. א. חשבו את הממוצע yˉ\bar{y} ואת סטיית התקן SyS_y.

yˉ=\bar{y}= ____ , Sy=S_y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: yˉ=\bar{y}= 20 , Sy=S_y= 4

הפתרון:

yˉ=26+20+22+18+145=1005=20\begin{aligned}\bar{y} &= \frac{26+20+22+18+14}{5} \\ &= \frac{100}{5} \\ &= 20\end{aligned}

ממוצע

y−yˉ: 6, 0, 2, −2, −6y-\bar{y}:\ 6,\ 0,\ 2,\ -2,\ -6

הסטיות מהממוצע

Sy=36+0+4+4+365=16=4\begin{aligned}S_y &= \sqrt{\frac{36+0+4+4+36}{5}} \\ &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

מחלקים במספר הנתונים, 55

yˉ=20\bar{y}=20 ו-Sy=4S_y=4. המלכודת: לחלק ב-44 במקום ב-55 ולקבל 20\sqrt{20} — בנוסחאון מחלקים במספר הנתונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מחיר כוס (x, ש"ח)24568
כוסות שנמכרו (y, עשרות)2620221814

בדוכן מיצים בשוק שינו את מחיר כוס המיץ (xx, בשקלים) בחמישה ימים שונים, ורשמו כמה כוסות נמכרו באותו יום (yy, בעשרות כוסות). הנתונים בטבלה. ידוע: xˉ=5\bar{x}=5 ו-Sx=2S_x=2. נמצא: yˉ=20\bar{y}=20, Sy=4S_y=4. ב. חשבו את מקדם המתאם של פירסון rr. ענו עד שתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.95

הפתרון:

x−xˉ: −3, −1, 0, 1, 3x-\bar{x}:\ -3,\ -1,\ 0,\ 1,\ 3

הסטיות של xx

∑(x−xˉ)(y−yˉ)=−18+0+0−2−18=−38\begin{aligned}\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y}) &= -18+0+0-2-18 \\ &= -38\end{aligned}

סכום המכפלות

r=−385⋅2⋅4=−0.95\begin{aligned}r &= \frac{-38}{5 \cdot 2 \cdot 4} \\ &= -0.95\end{aligned}

הנוסחה מהנוסחאון

r=−0.95r=-0.95: מתאם שלילי חזק — כשהמחיר עולה, נמכרות פחות כוסות. המלכודת: לשכוח את הסימן. מתאם «חזק» יכול להיות שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מחיר כוס (x, ש"ח)24568
כוסות שנמכרו (y, עשרות)2620221814

בדוכן מיצים בשוק שינו את מחיר כוס המיץ (xx, בשקלים) בחמישה ימים שונים, ורשמו כמה כוסות נמכרו באותו יום (yy, בעשרות כוסות). הנתונים בטבלה. ידוע: xˉ=5\bar{x}=5 ו-Sx=2S_x=2. נמצא: yˉ=20\bar{y}=20, Sy=4S_y=4, r=−0.95r=-0.95. ג. מצאו את משוואת קו הרגרסיה של yy על xx.

y=y= ____ x+x+ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=y= -1.9 x+x+ 29.5

הפתרון:

m=r⋅SySx=−0.95⋅42=−1.9\begin{aligned}m &= r \cdot \frac{S_y}{S_x} \\ &= -0.95 \cdot \frac{4}{2} \\ &= -1.9\end{aligned}

שיפוע קו הרגרסיה

y−20=−1.9(x−5)y-20=-1.9(x-5)

הקו עובר דרך (xˉ,yˉ)(\bar{x},\bar{y})

y=−1.9x+29.5y=-1.9x+29.5

הקו: y=−1.9x+29.5y=-1.9x+29.5. המלכודת: להפוך את היחס, SxSy\frac{S_x}{S_y}, ולקבל שיפוע −0.475-0.475.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מחיר כוס (x, ש"ח)24568
כוסות שנמכרו (y, עשרות)2620221814

בדוכן מיצים בשוק שינו את מחיר כוס המיץ (xx, בשקלים) בחמישה ימים שונים, ורשמו כמה כוסות נמכרו באותו יום (yy, בעשרות כוסות). הנתונים בטבלה. ידוע: xˉ=5\bar{x}=5 ו-Sx=2S_x=2. קו הרגרסיה: y=−1.9x+29.5y=-1.9x+29.5. ד. לפי קו הרגרסיה, כמה כוסות צפויות להימכר ביום שבו המחיר 77 ש"ח? ענו בעשרות כוסות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16.2

הפתרון:

y=−1.9⋅7+29.5=16.2\begin{aligned}y &= -1.9 \cdot 7+29.5 \\ &= 16.2\end{aligned}

מציבים x=7x=7

2≤7≤82 \le 7 \le 8

המחיר בתוך תחום הנתונים, ולכן הניבוי סביר

בערך 16.216.2 עשרות, כלומר כ-162162 כוסות. המלכודת: להציב את 77 במקום yy. הניבוי תקף רק בתוך תחום המחירים שנמדדו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מחיר כוס (x, ש"ח)24568
כוסות שנמכרו (y, עשרות)2620221814

בדוכן מיצים בשוק שינו את מחיר כוס המיץ (xx, בשקלים) בחמישה ימים שונים, ורשמו כמה כוסות נמכרו באותו יום (yy, בעשרות כוסות). הנתונים בטבלה. ידוע: xˉ=5\bar{x}=5 ו-Sx=2S_x=2. קו הרגרסיה: y=−1.9x+29.5y=-1.9x+29.5, ו-r=−0.95r=-0.95. ה. בקיץ הבא נמכרו בכל אחד מהימים האלה בדיוק 33 עשרות כוסות פחות (המחירים לא השתנו). איזו טענה נכונה לגבי הנתונים החדשים?

  1. rr משתנה ל-−0.8-0.8, והשיפוע לא משתנה
  2. השיפוע משתנה ל-−4.9-4.9, ו-rr לא משתנה
  3. SyS_y קטנה ל-11, והשיפוע משתנה
  4. rr ושיפוע הקו לא משתנים, והקו החדש y=−1.9x+26.5y=-1.9x+26.5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד rr ושיפוע הקו לא משתנים, והקו החדש y=−1.9x+26.5y=-1.9x+26.5

הפתרון:

y→y−3: yˉ=17 Sy=4\begin{aligned}y \to y-3: \ \bar{y} &= 17 \\ \ S_y &= 4\end{aligned}

הזזה משנה את הממוצע, לא את הפיזור

r=−0.95 m=−1.9\begin{aligned}r &= -0.95 \\ \ m &= -1.9\end{aligned}

המתאם והשיפוע תלויים רק בסטיות

y−17=−1.9(x−5)⇒y=−1.9x+26.5\begin{aligned}y-17 &= -1.9(x-5) \Rightarrow y \\ &= -1.9x+26.5\end{aligned}

רק החותך יורד ב-33

הנכונה: rr והשיפוע לא משתנים, והקו יורד ב-33. המלכודת: לחסר 33 גם מסטיית התקן או מהשיפוע — הזזה של כל הנתונים לא משנה את הפיזור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — הסתברות מותנית: איחורים לבית הספר

תרגיל 10

בבית ספר גדול 40%40\% מהתלמידים מגיעים באופניים, והשאר באוטובוס. 15%15\% מהמגיעים באופניים מאחרים, ו-25%25\% מהמגיעים באוטובוס מאחרים. בוחרים תלמיד באקראי. נסמן ב-BB את המאורע «התלמיד מגיע באופניים», וב-LL את המאורע «התלמיד מאחר». א. מה ההסתברות שהתלמיד מאחר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.21

הפתרון:

P(L)=0.4⋅0.15+0.6⋅0.25P(L)=0.4 \cdot 0.15+0.6 \cdot 0.25

נוסחת ההסתברות השלמה: שני ענפים בעץ

=0.06+0.15=0.21=0.06+0.15=0.21

P=0.21P=0.21. המלכודת: לחבר 0.15+0.250.15+0.25 או לחשב את הממוצע שלהם, 0.20.2 — כל אחוז צריך לכפול במשקל של הקבוצה שלו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

בבית ספר גדול 40%40\% מהתלמידים מגיעים באופניים, והשאר באוטובוס. 15%15\% מהמגיעים באופניים מאחרים, ו-25%25\% מהמגיעים באוטובוס מאחרים. בוחרים תלמיד באקראי. נסמן ב-BB את המאורע «התלמיד מגיע באופניים», וב-LL את המאורע «התלמיד מאחר». נמצא: P(L)=0.21P(L)=0.21. ב. ידוע שהתלמיד שנבחר איחר. מה ההסתברות שהוא הגיע באופניים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.29

הפתרון:

P(B∣L)=P(B∩L)P(L)P(B \mid L)=\frac{P(B \cap L)}{P(L)}

הסתברות מותנית

=0.060.21=27≈0.29=\frac{0.06}{0.21}=\frac{2}{7} \approx 0.29

P≈0.29P \approx 0.29. המלכודת: לענות 0.150.15 — זו P(L∣B)P(L \mid B), ההסתברות לאחר בהינתן אופניים, והשאלה הפוכה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

בבית ספר גדול 40%40\% מהתלמידים מגיעים באופניים, והשאר באוטובוס. 15%15\% מהמגיעים באופניים מאחרים, ו-25%25\% מהמגיעים באוטובוס מאחרים. בוחרים תלמיד באקראי. נסמן ב-BB את המאורע «התלמיד מגיע באופניים», וב-LL את המאורע «התלמיד מאחר». ג. אחרי שנסללו שבילי אופניים, חלק גדול יותר מהתלמידים מגיעים באופניים. אחוזי האיחור בכל קבוצה לא השתנו, ועכשיו ההסתברות שתלמיד מאחר היא 0.190.19. איזה אחוז מהתלמידים מגיעים עכשיו באופניים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

0.15p+0.25(1−p)=0.190.15p+0.25(1-p)=0.19

pp — החלק של המגיעים באופניים

0.25−0.1p=0.19⇒p=0.6\begin{aligned}0.25-0.1p &= 0.19 \Rightarrow p \\ &= 0.6\end{aligned}
p=60%p=60\%

60%60\%. המלכודת: לכתוב 0.15p+0.25p=0.190.15p+0.25p=0.19 — מי שלא מגיע באופניים מגיע באוטובוס, ולכן המשקל השני הוא 1−p1-p.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

בבית ספר גדול 40%40\% מהתלמידים מגיעים באופניים, והשאר באוטובוס. 15%15\% מהמגיעים באופניים מאחרים, ו-25%25\% מהמגיעים באוטובוס מאחרים. בוחרים תלמיד באקראי. נסמן ב-BB את המאורע «התלמיד מגיע באופניים», וב-LL את המאורע «התלמיד מאחר». במצב ההתחלתי נמצא: P(L)=0.21P(L)=0.21. ד. עיתון מקומי כתב (על המצב ההתחלתי): «רוב התלמידים שמאחרים מגיעים באוטובוס». הוכיחו או הפריכו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

P(Bˉ∣L)=0.6⋅0.250.21=0.150.21=57\begin{aligned}P(\bar{B} \mid L) &= \frac{0.6 \cdot 0.25}{0.21} \\ &= \frac{0.15}{0.21} \\ &= \frac{5}{7}\end{aligned}

הסתברות מותנית

57≈0.71>0.5\frac{5}{7} \approx 0.71>0.5

יותר ממחצית המאחרים

נכון: כ-71%71\% מהמאחרים מגיעים באוטובוס. המלכודת: להשוות רק את 25%25\% ל-15%15\% — צריך לחשב את ההסתברות בהינתן איחור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 4 — מעוין במערכת צירים

תרגיל 14

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-3-1135791113-2246810xy

במרובע ABCDABCD נתונים הקודקודים A(−1,1)A(-1,1) ו-C(11,7)C(11,7). האלכסון BDBD מאונך לאלכסון ACAC ועובר דרך MM, אמצע ACAC. הקודקוד BB נמצא על ציר ה-xx. א. מצאו את MM ואת משוואת הישר שעליו מונח האלכסון BDBD.

M(M( ____ ,, ____ )) ; y=y= ____ x+x+ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: M(M( 5 ,, 4 )) ; y=y= -2 x+x+ 14

הפתרון:

M=(−1+112,1+72)=(5,4)\begin{aligned}M &= \left(\frac{-1+11}{2},\frac{1+7}{2}\right) \\ &= (5,4)\end{aligned}

נוסחת אמצע קטע

mAC=7−111+1=12⇒mBD=−2\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{7-1}{11+1} \\ &= \frac{1}{2} \Rightarrow m_{BD} \\ &= -2\end{aligned}

ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים −1-1

y−4=−2(x−5)⇒y=−2x+14\begin{aligned}y-4 &= -2(x-5) \Rightarrow y \\ &= -2x+14\end{aligned}

משוואת ישר לפי נקודה ושיפוע

הישר y=−2x+14y=-2x+14. המלכודת: לקחת את השיפוע ההפוך בלי להחליף סימן, 22 — הישר המאונך צריך את ההופכי הנגדי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-3-1135791113-2246810xy

במרובע ABCDABCD נתונים הקודקודים A(−1,1)A(-1,1) ו-C(11,7)C(11,7). האלכסון BDBD מאונך לאלכסון ACAC ועובר דרך MM, אמצע ACAC. הקודקוד BB נמצא על ציר ה-xx. נמצא: M(5,4)M(5,4), והאלכסון BDBD על הישר y=−2x+14y=-2x+14. ב. מצאו את BB ואת DD, כאשר MM הוא גם אמצע BDBD.

B(B( ____ ,0),0) ; D(D( ____ ,, ____ ))

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: B(B( 7 ,0),0) ; D(D( 3 ,, 8 ))

הפתרון:

0=−2x+14⇒B(7,0)0=-2x+14 \Rightarrow B(7,0)

BB על ציר ה-xx: מציבים y=0y=0

D=2M−B=(10−7, 8−0)=(3,8)\begin{aligned}D &= 2M-B \\ &= (10-7,\ 8-0) \\ &= (3,8)\end{aligned}

נוסחת אמצע קטע, הפוכה

8=−2⋅3+148=-2 \cdot 3+14

בדיקה: DD על הישר

B(7,0)B(7,0) ו-D(3,8)D(3,8). המלכודת: לחשב DD כממוצע של MM ו-BB — MM הוא האמצע, ולכן D=2M−BD=2M-B.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-3-1135791113-2246810xy

במרובע ABCDABCD נתונים הקודקודים A(−1,1)A(-1,1) ו-C(11,7)C(11,7). האלכסון BDBD מאונך לאלכסון ACAC ועובר דרך MM, אמצע ACAC. הקודקוד BB נמצא על ציר ה-xx. נמצא: B(7,0)B(7,0), D(3,8)D(3,8), ו-M(5,4)M(5,4) הוא אמצע ACAC וגם אמצע BDBD. ג. הוכיחו כי המרובע ABCDABCD הוא מעוין.

  • A(−1,1)A(-1,1), B(7,0)B(7,0), C(11,7)C(11,7), D(3,8)D(3,8)
  • M(5,4)M(5,4) אמצע ACAC ואמצע BDBD
  • mAC=12m_{AC}=\frac{1}{2}, mBD=−2m_{BD}=-2

ABCDABCD מעוין

להציג את התשובה והפתרון
  1. ABCDABCD מקבילית — מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית
  2. AC⊥BDAC \perp BD — מכפלת השיפועים 12⋅(−2)=−1\frac{1}{2} \cdot (-2)=-1
  3. ABCDABCD מעוין — מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין

הפתרון:

ABCDמקביליתABCD מקבילית

מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית

AC⊥BDAC \perp BD

מכפלת השיפועים 12⋅(−2)=−1\frac{1}{2} \cdot (-2)=-1

ABCDמעויןABCD מעוין

מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין

המעוין מוכח בשני שלבים: מקבילית (האלכסונים חוצים זה את זה), ואז אלכסונים מאונכים. המלכודת: לומר «אלכסונים מאונכים — לכן מעוין» בלי המקבילית; גם בדלתון האלכסונים מאונכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-3-1135791113-2246810xy

במרובע ABCDABCD נתונים הקודקודים A(−1,1)A(-1,1) ו-C(11,7)C(11,7). האלכסון BDBD מאונך לאלכסון ACAC ועובר דרך MM, אמצע ACAC. הקודקוד BB נמצא על ציר ה-xx. ABCDABCD מעוין, B(7,0)B(7,0), D(3,8)D(3,8). ד. חשבו את שטח המעוין ABCDABCD.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

AC=122+62=180=65\begin{aligned}AC &= \sqrt{12^2+6^2} \\ &= \sqrt{180} \\ &= 6\sqrt{5}\end{aligned}

נוסחת המרחק

BD=42+82=80=45\begin{aligned}BD &= \sqrt{4^2+8^2} \\ &= \sqrt{80} \\ &= 4\sqrt{5}\end{aligned}

נוסחת המרחק

S=AC⋅BD2=65⋅452=60\begin{aligned}S &= \frac{AC \cdot BD}{2} \\ &= \frac{6\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5}}{2} \\ &= 60\end{aligned}

שטח מעוין: מחצית מכפלת האלכסונים

השטח 6060. המלכודת: לשכוח לחלק ב-22 ולקבל 120120 — מכפלת האלכסונים היא שטח של מלבן שחוסם את המעוין.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-3-1135791113-2246810xy

במרובע ABCDABCD נתונים הקודקודים A(−1,1)A(-1,1) ו-C(11,7)C(11,7). האלכסון BDBD מאונך לאלכסון ACAC ועובר דרך MM, אמצע ACAC. הקודקוד BB נמצא על ציר ה-xx. ABCDABCD מעוין, M(5,4)M(5,4), B(7,0)B(7,0), D(3,8)D(3,8). ה. חשבו את הזווית ∠DAB\angle DAB של המעוין. ענו במעלות, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 67.38

הפתרון:

MA=45MB=20\begin{aligned}MA &= \sqrt{45} \\ \quad MB &= \sqrt{20}\end{aligned}

חצאי האלכסונים

tan⁡∠MAB=MBMA=2045=23\begin{aligned}\tan \angle MAB &= \frac{MB}{MA} \\ &= \sqrt{\frac{20}{45}} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

במשולש ישר הזווית AMBAMB: AC⊥BDAC \perp BD

∠MAB≈33.69∘⇒∠DAB≈67.38∘\angle MAB \approx 33.69^\circ \Rightarrow \angle DAB \approx 67.38^\circ

במעוין האלכסון חוצה את הזווית

∠DAB≈67.38∘\angle DAB \approx 67.38^\circ. המלכודת: לעצור ב-33.69∘33.69^\circ — זו רק מחצית הזווית, כי האלכסון ACAC חוצה אותה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 5 — מעגל ומשיק במערכת צירים

תרגיל 19

שרטוט לשאלה 5
ABCMD-8-6-4-20246-22468101214xy

מרכז המעגל MM נמצא על ציר ה-yy, והמעגל עובר דרך הנקודות A(−4,9)A(-4,9) ו-B(4,1)B(4,1). א. מצאו את MM ואת רדיוס המעגל. כתבו את R2R^2.

M(0,M(0, ____ )) ; R2=R^2= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: M(0,M(0, 5 )) ; R2=R^2= 32

הפתרון:

(−4−0)2+(9−b)2=(4−0)2+(1−b)2(-4-0)^2+(9-b)^2=(4-0)^2+(1-b)^2

MA=MBMA=MB: שני רדיוסים

81−18b=1−2b⇒b=5\begin{aligned}81-18b &= 1-2b \Rightarrow b \\ &= 5\end{aligned}
R2=16+16=32\begin{aligned}R^2 &= 16+16 \\ &= 32\end{aligned}

נוסחת המרחק

x2+(y−5)2=32x^2+(y-5)^2=32

משוואת המעגל

M(0,5)M(0,5) ו-R2=32R^2=32. המלכודת: לכתוב R=32R=32 — במשוואת המעגל מופיע ריבוע הרדיוס, R=32R=\sqrt{32}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

שרטוט לשאלה 5
ABCMD-8-6-4-20246-22468101214xy

מרכז המעגל MM נמצא על ציר ה-yy, והמעגל עובר דרך הנקודות A(−4,9)A(-4,9) ו-B(4,1)B(4,1). נמצא: M(0,5)M(0,5) ו-R2=32R^2=32. ב. הנקודה C(4,9)C(4,9) נמצאת על המעגל. מהו גודל הזווית ∠ACB\angle ACB?

  1. 60∘60^\circ
  2. 45∘45^\circ
  3. 90∘90^\circ
  4. 180∘180^\circ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 90∘90^\circ

הפתרון:

(−4+42,9+12)=(0,5)=M\begin{aligned}\left(\frac{-4+4}{2},\frac{9+1}{2}\right) &= (0,5) \\ &= M\end{aligned}

אמצע ABAB הוא המרכז

AB=128=232=2R\begin{aligned}AB &= \sqrt{128} \\ &= 2\sqrt{32} \\ &= 2R\end{aligned}

מיתר שעובר דרך המרכז הוא קוטר

∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה

הנכונה: 90∘90^\circ. המלכודת: 180∘180^\circ — זו הזווית המרכזית ∠AMB\angle AMB; ההיקפית שווה למחציתה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

שרטוט לשאלה 5
ABCMD-8-6-4-20246-22468101214xy

מרכז המעגל MM נמצא על ציר ה-yy, והמעגל עובר דרך הנקודות A(−4,9)A(-4,9) ו-B(4,1)B(4,1). נמצא: M(0,5)M(0,5) ו-R2=32R^2=32. ג. מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה AA.

y=y= ____ x+x+ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=y= 1 x+x+ 13

הפתרון:

mMA=9−5−4−0=−1\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{9-5}{-4-0} \\ &= -1\end{aligned}

שיפוע הרדיוס לנקודת ההשקה

m=1m=1

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

y−9=1(x+4)⇒y=x+13\begin{aligned}y-9 &= 1(x+4) \Rightarrow y \\ &= x+13\end{aligned}

המשיק y=x+13y=x+13. המלכודת: להעביר ישר בשיפוע −1-1 — זה הישר MAMA עצמו, שעובר דרך המרכז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

שרטוט לשאלה 5
ABCMD-8-6-4-20246-22468101214xy

מרכז המעגל MM נמצא על ציר ה-yy, והמעגל עובר דרך הנקודות A(−4,9)A(-4,9) ו-B(4,1)B(4,1). המשיק ב-AA הוא y=x+13y=x+13, ו-M(0,5)M(0,5). ד. המשיק מסעיף ג חותך את ציר ה-yy בנקודה DD. חשבו את שטח המשולש ADMADM.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

D(0,13)D(0,13)

מציבים x=0x=0 במשוואת המשיק

∠MAD=90∘\angle MAD=90^\circ

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

AD=16+16=32AM=32\begin{aligned}AD &= \sqrt{16+16} \\ &= \sqrt{32} \\ \quad AM &= \sqrt{32}\end{aligned}

נוסחת המרחק

S=32⋅322=16\begin{aligned}S &= \frac{\sqrt{32} \cdot \sqrt{32}}{2} \\ &= 16\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית: מחצית מכפלת הניצבים

השטח 1616. המלכודת: לקחת את MD=8MD=8 כניצב — MDMD הוא היתר, כי הזווית הישרה ב-AA. בדיקה: 8⋅42=16\frac{8 \cdot 4}{2}=16 עם הגובה מ-AA לציר ה-yy.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 6 — חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר

תרגיל 23

נתונה הפונקציה f(x)=x2+ax−1f(x)=\dfrac{x^2+a}{x-1}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (2,7)(2,7). א. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

4+a2−1=7\frac{4+a}{2-1}=7

מציבים את הנקודה

a=3a=3

a=3a=3. המלכודת: להציב x=7x=7, y=2y=2 — בנקודה (2,7)(2,7) השיעור הראשון הוא xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

נתונה הפונקציה f(x)=x2+ax−1f(x)=\dfrac{x^2+a}{x-1}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (2,7)(2,7). הציבו a=3a=3: f(x)=x2+3x−1f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}. ב. מצאו את נקודות הקיצון של ff וקבעו את סוגן.

מקסימום: (( ____ ,, ____ )) ; מינימום: (( ____ ,, ____ ))

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מקסימום: (( -1 ,, -2 )) ; מינימום: (( 3 ,, 6 ))

הפתרון:

f′(x)=2x(x−1)−(x2+3)(x−1)2=x2−2x−3(x−1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x-1)-(x^2+3)}{(x-1)^2} \\ &= \frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

x2−2x−3=0⇒x=−1 x=3\begin{aligned}x^2-2x-3 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

המונה מתאפס; x=1x=1 מחוץ לתחום

f′(−2)>0, f′(0)<0, f′(2)<0, f′(4)>0f'(-2)>0, \ f'(0)<0, \ f'(2)<0, \ f'(4)>0

טבלת סימנים

f(−1)=4−2=−2f(3)=122=6\begin{aligned}f(-1) &= \frac{4}{-2} \\ &= -2 \\ \quad f(3) &= \frac{12}{2} \\ &= 6\end{aligned}

מקסימום (−1,−2)(-1,-2) ומינימום (3,6)(3,6). המלכודת: «המקסימום גבוה מהמינימום» — כאן ערך המקסימום נמוך מערך המינימום, כי הם בשני ענפים משני צדי האסימפטוטה x=1x=1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

שלושה גרפים — איזה מהם של f'?
-5-4-3-2-101234567-4-3-2-1123xy
  • גרף I
  • גרף II
  • גרף III

נתונה הפונקציה f(x)=x2+ax−1f(x)=\dfrac{x^2+a}{x-1}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (2,7)(2,7). f(x)=x2+3x−1f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}; מקסימום (−1,−2)(-1,-2), מינימום (3,6)(3,6). ג. בשרטוט שלושה גרפים. איזה מהם הוא הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)?

  1. גרף III
  2. גרף I
  3. גרף II
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גרף I

הפתרון:

f′(x)=0⇔x=−1 x=3\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Leftrightarrow x \\ &= -1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

אפסי הנגזרת הם שיעורי ה-xx של נקודות הקיצון

x→±∞: f′(x)→1x \to \pm\infty: \ f'(x) \to 1

f′(x)=1−4(x−1)2f'(x)=1-\frac{4}{(x-1)^2}: אסימפטוטה אופקית y=1y=1

x=1: f′→−∞x=1: \ f' \to -\infty

אסימפטוטה אנכית באותו מקום כמו של ff

הנכונה: גרף I — מתאפס ב-−1-1 וב-33, שלילי בין הקיצונים, וחיובי מחוצה להם. המלכודות: גרף II הוא −f′-f' (הסימנים הפוכים), וגרף III מוזז — האסימפטוטה שלו ב-x=−1x=-1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 26

נתונה הפונקציה f(x)=x2+ax−1f(x)=\dfrac{x^2+a}{x-1}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (2,7)(2,7). f(x)=x2+3x−1f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}; מקסימום (−1,−2)(-1,-2), מינימום (3,6)(3,6). ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′(x)f'(x), ציר ה-xx והישרים x=3x=3 ו-x=5x=5.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

x≥3: f′(x)≥0x \ge 3: \ f'(x) \ge 0

הגרף של f′f' מעל ציר ה-xx בקטע

∫35f′(x) dx=f(5)−f(3)\int_3^5 f'(x)\,dx=f(5)-f(3)

ff היא פונקציה קדומה של f′f'

284−6=7−6=1\begin{aligned}\frac{28}{4}-6 &= 7-6 \\ &= 1\end{aligned}

השטח 11. המלכודת: לחשב f′(5)−f′(3)f'(5)-f'(3) — הפונקציה הקדומה של f′f' היא ff, ולכן מציבים ב-ff.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 27

נתונה הפונקציה f(x)=x2+ax−1f(x)=\dfrac{x^2+a}{x-1}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (2,7)(2,7). f(x)=x2+3x−1f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}; מקסימום (−1,−2)(-1,-2), מינימום (3,6)(3,6), אסימפטוטה אנכית x=1x=1. ה. לאילו ערכים של kk אין למשוואה f(x)=kf(x)=k אף פתרון?

  1. k<−2k<-2 או k>6k>6
  2. −2<k<6-2<k<6
  3. k=1k=1 בלבד
  4. −1<k<3-1<k<3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב −2<k<6-2<k<6

הפתרון:

x<1: f(x)≤−2x<1: \ f(x) \le -2

בענף השמאלי המקסימום −2-2

x>1: f(x)≥6x>1: \ f(x) \ge 6

בענף הימני המינימום 66

−2<k<6-2<k<6

ערכים שאף ענף לא מגיע אליהם

הנכונה: −2<k<6-2<k<6. המלכודות: −1<k<3-1<k<3 — אלה שיעורי xx של הקיצונים; ו-k=1k=1 — המקום של האסימפטוטה האנכית, שהיא על ציר ה-xx, לא על ציר ה-yy.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 7 — פונקציית שורש

תרגיל 28

נתונה הפונקציה f(x)=(x−a)xf(x)=(x-a)\sqrt{x}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (9,9)(9,9). א. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

(9−a)9=9(9-a)\sqrt{9}=9

מציבים את הנקודה

3(9−a)=9⇒a=6\begin{aligned}3(9-a) &= 9 \Rightarrow a \\ &= 6\end{aligned}

a=6a=6. המלכודת: לכתוב 9=9\sqrt{9}=9 ולקבל a=8a=8.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 29

נתונה הפונקציה f(x)=(x−a)xf(x)=(x-a)\sqrt{x}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (9,9)(9,9). הציבו a=6a=6: f(x)=(x−6)xf(x)=(x-6)\sqrt{x}. ב. מהן נקודות הקיצון של ff (כולל נקודות קצה)?

  1. מקסימום (2,42)(2,4\sqrt{2}), ומינימום קצה (0,0)(0,0)
  2. מינימום (4,−4)(4,-4), ומקסימום קצה (0,0)(0,0)
  3. מינימום (2,−42)(2,-4\sqrt{2}) בלבד
  4. מינימום (2,−42)(2,-4\sqrt{2}), ומקסימום קצה (0,0)(0,0)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד מינימום (2,−42)(2,-4\sqrt{2}), ומקסימום קצה (0,0)(0,0)

הפתרון:

x≥0x \ge 0

תחום ההגדרה: מתחת לשורש אי-שלילי

f′(x)=x+x−62x=3x−62x\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{x}+\frac{x-6}{2\sqrt{x}} \\ &= \frac{3x-6}{2\sqrt{x}}\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

f′(x)=0⇒x=2;f′(1)<0 f′(4)>0\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2; \quad f'(1)<0 \\ \ f'(4)>0\end{aligned}

ירידה ואז עלייה: מינימום

f(2)=−42f(0)=0\begin{aligned}f(2) &= -4\sqrt{2} \\ \quad f(0) &= 0\end{aligned}

בקצה x=0x=0 הפונקציה יורדת מיד: מקסימום קצה

הנכונה: מינימום (2,−42)(2,-4\sqrt{2}) ומקסימום קצה (0,0)(0,0). המלכודות: לשכוח את נקודת הקצה; ו-(4,−4)(4,-4) — שכחה של המכנה 22 בנגזרת של x\sqrt{x}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 30

נתונה הפונקציה f(x)=(x−a)xf(x)=(x-a)\sqrt{x}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (9,9)(9,9). f(x)=(x−6)xf(x)=(x-6)\sqrt{x}; מינימום (2,−42)(2,-4\sqrt{2}), והתחום x≥0x \ge 0. ג. נגדיר g(x)=f(x+3)g(x)=f(x+3). מצאו את תחום ההגדרה של gg ואת נקודת המינימום הפנימית שלה (את שיעור ה-yy עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

תחום: x≥x \ge ____ ; מינימום: (( ____ ,, ____ ))

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: תחום: x≥x \ge -3 ; מינימום: (( -1 ,, -5.66 ))

הפתרון:

x+3≥0⇒x≥−3x+3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3

ההזזה f(x+3)f(x+3) מזיזה את הגרף 33 יחידות שמאלה

x+3=2⇒x=−1\begin{aligned}x+3 &= 2 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

המינימום זז שמאלה

g(−1)=f(2)=−42≈−5.66\begin{aligned}g(-1) &= f(2) \\ &= -4\sqrt{2} \approx -5.66\end{aligned}

הגובה לא משתנה

תחום x≥−3x \ge -3, מינימום (−1,−5.66)(-1,-5.66). המלכודת: להזיז ימינה, ל-(5,−5.66)(5,-5.66) — פלוס בתוך הסוגריים מזיז שמאלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 31

נתונה הפונקציה f(x)=(x−a)xf(x)=(x-a)\sqrt{x}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (9,9)(9,9). f(x)=(x−6)xf(x)=(x-6)\sqrt{x}; f′(x)=3x−62xf'(x)=\dfrac{3x-6}{2\sqrt{x}}. ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′(x)f'(x), ציר ה-xx והישר x=9x=9. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14.66

הפתרון:

f′(x)=0⇔x=2;x>2: f′>0\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Leftrightarrow x \\ &= 2; \quad x>2: \ f'>0\end{aligned}

השטח בין x=2x=2 ל-x=9x=9, מעל הציר

∫29f′(x) dx=f(9)−f(2)\int_2^9 f'(x)\,dx=f(9)-f(2)

ff פונקציה קדומה של f′f'

=9−(−42)=9+42≈14.66=9-(-4\sqrt{2})=9+4\sqrt{2} \approx 14.66

השטח 9+42≈14.669+4\sqrt{2} \approx 14.66. המלכודת: להתחיל ב-x=0x=0 — בקטע 0<x<20<x<2 הגרף של f′f' מתחת לציר, והתחום נסגר בנקודת החיתוך x=2x=2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 8 — בעיית ערך קיצון: מלבן מתחת לפרבולה

תרגיל 32

שרטוט לשאלה 8
ABCD-4-3-2-10123424681012xy
הקודקודים C ו-D על הפרבולה, A ו-B על ציר ה-x.

המלבן ABCDABCD חסום בין הפרבולה y=12−x2y=12-x^2 לבין ציר ה-xx: הקודקודים AA ו-BB על ציר ה-xx, הקודקודים CC ו-DD על הפרבולה, והמלבן סימטרי ביחס לציר ה-yy. שיעור ה-xx של BB הוא tt, כאשר 0<t<120<t<\sqrt{12}. א. איזה ביטוי מתאר את שטח המלבן כפונקציה של tt?

  1. S(t)=t(12−t2)S(t)=t(12-t^2)
  2. S(t)=2t(12−t2)S(t)=2t(12-t^2)
  3. S(t)=2t+2(12−t2)S(t)=2t+2(12-t^2)
  4. S(t)=2t⋅12S(t)=2t \cdot 12
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב S(t)=2t(12−t2)S(t)=2t(12-t^2)

הפתרון:

AB=2tAB=2t

המלבן סימטרי: A(−t,0)A(-t,0), B(t,0)B(t,0)

BC=12−t2BC=12-t^2

הגובה: שיעור ה-yy של C(t,12−t2)C(t,12-t^2)

S(t)=2t(12−t2)=24t−2t3\begin{aligned}S(t) &= 2t(12-t^2) \\ &= 24t-2t^3\end{aligned}

שטח מלבן

הנכונה: 2t(12−t2)2t(12-t^2). המלכודת: t(12−t2)t(12-t^2) — שיעור ה-xx של BB הוא רק חצי מהצלע ABAB.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 33

שרטוט לשאלה 8
ABCD-4-3-2-10123424681012xy
הקודקודים C ו-D על הפרבולה, A ו-B על ציר ה-x.

המלבן ABCDABCD חסום בין הפרבולה y=12−x2y=12-x^2 לבין ציר ה-xx: הקודקודים AA ו-BB על ציר ה-xx, הקודקודים CC ו-DD על הפרבולה, והמלבן סימטרי ביחס לציר ה-yy. שיעור ה-xx של BB הוא tt, כאשר 0<t<120<t<\sqrt{12}. S(t)=2t(12−t2)S(t)=2t(12-t^2). ב. מצאו את tt שעבורו שטח המלבן הוא הגדול ביותר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

S′(t)=24−6t2S'(t)=24-6t^2

גוזרים את S(t)=24t−2t3S(t)=24t-2t^3

24−6t2=0⇒t2=4⇒t=2\begin{aligned}24-6t^2 &= 0 \Rightarrow t^2 \\ &= 4 \Rightarrow t \\ &= 2\end{aligned}

רק t>0t>0 בתחום

S′(1)=18>0 S′(3)=−30<0\begin{aligned}S'(1) &= 18>0 \\ \ S'(3) &= -30<0\end{aligned}

עלייה ואז ירידה: מקסימום

t=2t=2. המלכודת: לעצור ב-S′(t)=0S'(t)=0 בלי לבדוק שזה מקסימום ולא מינימום — טבלת סימנים או ערכי קצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 34

שרטוט לשאלה 8
ABCD-4-3-2-10123424681012xy
הקודקודים C ו-D על הפרבולה, A ו-B על ציר ה-x.

המלבן ABCDABCD חסום בין הפרבולה y=12−x2y=12-x^2 לבין ציר ה-xx: הקודקודים AA ו-BB על ציר ה-xx, הקודקודים CC ו-DD על הפרבולה, והמלבן סימטרי ביחס לציר ה-yy. שיעור ה-xx של BB הוא tt, כאשר 0<t<120<t<\sqrt{12}. S(t)=2t(12−t2)S(t)=2t(12-t^2), והמקסימום ב-t=2t=2. ג. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 32

הפתרון:

S(2)=2⋅2⋅(12−4)=32\begin{aligned}S(2) &= 2 \cdot 2 \cdot (12-4) \\ &= 32\end{aligned}

מציבים t=2t=2

השטח הגדול ביותר 3232: הצלעות 44 ו-88. המלכודת: להציב בגובה בלבד, 12−4=812-4=8, ולשכוח את הרוחב 2t=42t=4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 35

שרטוט לשאלה 8
ABCD-4-3-2-10123424681012xy
הקודקודים C ו-D על הפרבולה, A ו-B על ציר ה-x.

המלבן ABCDABCD חסום בין הפרבולה y=12−x2y=12-x^2 לבין ציר ה-xx: הקודקודים AA ו-BB על ציר ה-xx, הקודקודים CC ו-DD על הפרבולה, והמלבן סימטרי ביחס לציר ה-yy. שיעור ה-xx של BB הוא tt, כאשר 0<t<120<t<\sqrt{12}. השטח הגדול ביותר של המלבן הוא 3232. ד. הוכיחו או הפריכו: אפשר לבנות מלבן כזה ששטחו 3535.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

Smax⁡=32S_{\max}=32

המקסימום בתחום

35>3235>32

אין tt שנותן שטח כזה

לא נכון: כל שטח גדול מ-3232 אינו אפשרי. המלכודת: לפתור 24t−2t3=3524t-2t^3=35 «באוטומט» — קודם משווים לערך הקיצון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת