סימולציית בגרות 2

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

סימולציית בגרות 2 — שאלון 35471 (4 יחידות לימוד). 8 שאלות בשלושה פרקים, 34 סעיפים בסך הכול. עליכם לענות על 5 שאלות, לפחות אחת מכל פרק. לכל שאלה 20 נקודות. משך הבחינה: שלוש שעות וחצי (210 דקות). מותר להשתמש בנוסחאון, בטבלת ההתפלגות הנורמלית ובמחשבון לא גרפי. כל השאלות כתובות כאן, ואתם בוחרים. פרק ראשון — סטטיסטיקה והסתברות: שאלה 1 (התפלגות נורמלית: מכונת מילוי), שאלה 2 (רגרסיה ממדדים נתונים: שעות אימון וציון), שאלה 3 (הסתברות בלי החזרה: שקית סוכריות). פרק שני — גאומטריה: שאלה 4 (משולש ישר זווית ומלבן במערכת צירים), שאלה 5 (מעגל שמשיק לציר). פרק שלישי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: שאלה 6 (פונקציה רציונלית המוגדרת לכל x), שאלה 7 (פונקציית שורש: משיק אופקי), שאלה 8 (בעיית ערך קיצון: מלבן וגרף רציונלי).

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בשאלות ההסתברות בלי החזרה, המונה והמכנה קטנים ב-11 בשלב השני; בשאלת הרגרסיה, זכרו מה הזזה משנה ומה כפל משנה; ובחקירה, פרמטר שנתון דרך משיק מציבים בנגזרת.

תרגילים

שאלה 1 — התפלגות נורמלית: מכונת מילוי

תרגיל 1

מכונה ממלאת שקיות קמח. משקל השקיות מתפלג נורמלית עם ממוצע 10001000 גרם, ו-2.28%2.28\% מהשקיות שוקלות פחות מ-980980 גרם. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. א. מצאו את סטיית התקן של משקל השקיות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

Φ(z)=0.0228⇒Φ(−z)=0.9772⇒z=−2\begin{aligned}\Phi(z) &= 0.0228 \Rightarrow \Phi(-z) \\ &= 0.9772 \Rightarrow z \\ &= -2\end{aligned}

השטח משמאל ל-980980 קטן מחצי: zz שלילי

980−1000σ=−2\frac{980-1000}{\sigma}=-2

ציון התקן

σ=10\sigma=10

סטיית התקן 1010 גרם. המלכודת: לקחת z=2z=2 ולקבל σ=−10\sigma=-10 — סטיית תקן תמיד חיובית, וזה סימן שהסימן של zz שגוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מכונה ממלאת שקיות קמח. משקל השקיות מתפלג נורמלית עם ממוצע 10001000 גרם, ו-2.28%2.28\% מהשקיות שוקלות פחות מ-980980 גרם. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. נמצא: סטיית התקן 1010 גרם. ב. איזה אחוז מהשקיות שוקלות יותר מ-10151015 גרם? ענו באחוזים, עד שתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.68

הפתרון:

z=1015−100010=1.5\begin{aligned}z &= \frac{1015-1000}{10} \\ &= 1.5\end{aligned}

ציון התקן

P(X>1015)=1−0.9332=0.0668\begin{aligned}P(X>1015) &= 1-0.9332 \\ &= 0.0668\end{aligned}

זנב ימני: משלימים ל-11

6.68%6.68\%. המלכודת: לענות 93.32%93.32\% — זה האחוז של השקיות הקלות מ-10151015 גרם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מכונה ממלאת שקיות קמח. משקל השקיות מתפלג נורמלית עם ממוצע 10001000 גרם, ו-2.28%2.28\% מהשקיות שוקלות פחות מ-980980 גרם. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. נמצא: סטיית התקן 1010 גרם. ג. ביום אחד מילאה המכונה 40004000 שקיות. בכמה שקיות, בקירוב, המשקל בין 990990 ל-10151015 גרם?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3098

הפתרון:

z1=990−100010=−1z2=1.5\begin{aligned}z_1 &= \frac{990-1000}{10} \\ &= -1 \\ \qquad z_2 &= 1.5\end{aligned}

ציוני התקן של שני הגבולות

0.9332−(1−0.8413)=0.77450.9332-(1-0.8413)=0.7745

השטח בין הגבולות

4000⋅0.7745=30984000 \cdot 0.7745=3098

מאחוז למספר שקיות

כ-30983098 שקיות. המלכודת: Φ(−1)=0.8413\Phi(-1)=0.8413 — השטח משמאל לציון תקן שלילי קטן מחצי, 0.15870.1587.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מכונה ממלאת שקיות קמח. משקל השקיות מתפלג נורמלית עם ממוצע 10001000 גרם, ו-2.28%2.28\% מהשקיות שוקלות פחות מ-980980 גרם. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. במכונה הראשונה: ממוצע 10001000 גרם, סטיית תקן 1010 גרם. ד. במכונה שנייה המשקל מתפלג נורמלית עם ממוצע 10051005 גרם וסטיית תקן 88 גרם. לשקית שמשקלה ww גרם יש אותו ציון תקן בשתי המכונות. מצאו את ww.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1025

הפתרון:

w−100010=w−10058\frac{w-1000}{10}=\frac{w-1005}{8}

אותו ציון תקן

8w−8000=10w−100508w-8000=10w-10050

כופלים במכנים

2w=2050⇒w=1025\begin{aligned}2w &= 2050 \Rightarrow w \\ &= 1025\end{aligned}

w=1025w=1025: בשתי המכונות z=2.5z=2.5. המלכודת: להשוות את המשקלים עצמם או את ההפרשים מהממוצע — ציון תקן מחלק גם בסטיית התקן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מכונה ממלאת שקיות קמח. משקל השקיות מתפלג נורמלית עם ממוצע 10001000 גרם, ו-2.28%2.28\% מהשקיות שוקלות פחות מ-980980 גרם. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. מכונה ראשונה: ממוצע 10001000, סטיית תקן 1010. מכונה שנייה: ממוצע 10051005, סטיית תקן 88. ה. שקית שמשקלה 10161016 גרם — באיזו מכונה היא כבדה יחסית לשאר השקיות של אותה מכונה?

  1. במכונה הראשונה
  2. אי אפשר לדעת בלי מספר השקיות
  3. במכונה השנייה
  4. באותה מידה בשתי המכונות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א במכונה הראשונה

הפתרון:

z1=1016−100010=1.6\begin{aligned}z_1 &= \frac{1016-1000}{10} \\ &= 1.6\end{aligned}

המכונה הראשונה

z2=1016−10058=1.375\begin{aligned}z_2 &= \frac{1016-1005}{8} \\ &= 1.375\end{aligned}

המכונה השנייה

1.6>1.3751.6>1.375

ציון תקן גבוה יותר: יחסית כבדה יותר

הנכונה: במכונה הראשונה. המלכודת: «בשנייה, כי שם סטיית התקן קטנה» — צריך לחשב את שני ציוני התקן; הממוצע הנמוך של הראשונה מכריע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — רגרסיה ממדדים נתונים: שעות אימון וציון

תרגיל 6

בבית ספר למוזיקה בדקו את הקשר בין מספר שעות האימון בשבוע (xx) לבין הציון בבחינת נגינה (yy). נתון: xˉ=6\bar{x}=6, Sx=2S_x=2, yˉ=70\bar{y}=70, Sy=10S_y=10, ושיפוע קו הרגרסיה של yy על xx הוא 44. א. מצאו את מקדם המתאם rr.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.8

הפתרון:

m=r⋅SySxm=r \cdot \frac{S_y}{S_x}

שיפוע קו הרגרסיה, מהנוסחאון

4=r⋅102⇒r=0.8\begin{aligned}4 &= r \cdot \frac{10}{2} \Rightarrow r \\ &= 0.8\end{aligned}

r=0.8r=0.8. המלכודת: לחשוב שהשיפוע הוא rr — השיפוע תלוי גם ביחידות, ורק rr נמצא תמיד בין −1-1 ל-11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בבית ספר למוזיקה בדקו את הקשר בין מספר שעות האימון בשבוע (xx) לבין הציון בבחינת נגינה (yy). נתון: xˉ=6\bar{x}=6, Sx=2S_x=2, yˉ=70\bar{y}=70, Sy=10S_y=10, ושיפוע קו הרגרסיה של yy על xx הוא 44. נמצא: r=0.8r=0.8. ב. מצאו את משוואת קו הרגרסיה.

y=y= ____ x+x+ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=y= 4 x+x+ 46

הפתרון:

y−70=4(x−6)y-70=4(x-6)

הקו עובר דרך נקודת הממוצעים (xˉ,yˉ)(\bar{x},\bar{y})

y=4x+46y=4x+46

הקו y=4x+46y=4x+46. המלכודת: להעביר את הקו דרך הראשית, y=4xy=4x — קו הרגרסיה עובר דרך (6,70)(6,70), לא דרך (0,0)(0,0).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בבית ספר למוזיקה בדקו את הקשר בין מספר שעות האימון בשבוע (xx) לבין הציון בבחינת נגינה (yy). נתון: xˉ=6\bar{x}=6, Sx=2S_x=2, yˉ=70\bar{y}=70, Sy=10S_y=10, ושיפוע קו הרגרסיה של yy על xx הוא 44. קו הרגרסיה: y=4x+46y=4x+46. ג. לפי קו הרגרסיה, מה הציון הצפוי לתלמיד שמתאמן 99 שעות בשבוע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 82

הפתרון:

y=4⋅9+46=82\begin{aligned}y &= 4 \cdot 9+46 \\ &= 82\end{aligned}

מציבים x=9x=9

ציון צפוי 8282. זה ניבוי — ציון ממוצע של תלמידים כאלה, לא הבטחה לתלמיד מסוים. המלכודת: להציב 99 במקום yy.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בבית ספר למוזיקה בדקו את הקשר בין מספר שעות האימון בשבוע (xx) לבין הציון בבחינת נגינה (yy). נתון: xˉ=6\bar{x}=6, Sx=2S_x=2, yˉ=70\bar{y}=70, Sy=10S_y=10, ושיפוע קו הרגרסיה של yy על xx הוא 44. נמצא: r=0.8r=0.8, קו הרגרסיה y=4x+46y=4x+46. ד. המורים החליטו להעלות את כל הציונים ב-10%10\% (כל ציון כפול 1.11.1). מהו השיפוע של קו הרגרסיה החדש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.4

הפתרון:

y→1.1y: Sy=11 r=0.8\begin{aligned}y \to 1.1y: \ S_y &= 11 \\ \ r &= 0.8\end{aligned}

כפל ב-1.11.1 מגדיל את הפיזור, אבל לא משנה את המתאם

m=0.8⋅112=4.4\begin{aligned}m &= 0.8 \cdot \frac{11}{2} \\ &= 4.4\end{aligned}

השיפוע החדש

השיפוע 4.44.4, ו-rr נשאר 0.80.8. המלכודת: לחשוב שהשיפוע לא משתנה, כמו בהזזה — כפל של yy כופל גם את השיפוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — הסתברות בלי החזרה: שקית סוכריות

תרגיל 10

בשקית 55 סוכריות בטעם תות ו-xx סוכריות בטעם לימון. מוציאים מהשקית באקראי סוכרייה אחת, ואחריה, בלי להחזיר, סוכרייה שנייה. נסמן ב-T1T_1 את המאורע «הראשונה בטעם תות», ב-L2L_2 את המאורע «השנייה בטעם לימון», וכן הלאה. א. ההסתברות ששתי הסוכריות בטעם תות היא 29\frac{2}{9}. מצאו את xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

55+x⋅44+x=29\frac{5}{5+x} \cdot \frac{4}{4+x}=\frac{2}{9}

כלל הכפל: בסוכרייה השנייה נשארו 44 בטעם תות מתוך 4+x4+x

(5+x)(4+x)=90⇒x2+9x−70=0\begin{aligned}(5+x)(4+x) &= 90 \Rightarrow x^2+9x-70 \\ &= 0\end{aligned}
(x+14)(x−5)=0⇒x=5\begin{aligned}(x+14)(x-5) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

xx מספר סוכריות, חיובי

x=5x=5. המלכודת: לכתוב (55+x)2\left(\frac{5}{5+x}\right)^2 כאילו מחזירים — בלי החזרה גם המונה וגם המכנה קטנים ב-11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

בשקית 55 סוכריות בטעם תות ו-xx סוכריות בטעם לימון. מוציאים מהשקית באקראי סוכרייה אחת, ואחריה, בלי להחזיר, סוכרייה שנייה. נסמן ב-T1T_1 את המאורע «הראשונה בטעם תות», ב-L2L_2 את המאורע «השנייה בטעם לימון», וכן הלאה. נמצא: x=5x=5, כלומר 1010 סוכריות בשקית. ב. מה ההסתברות ששתי הסוכריות באותו טעם? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.44

הפתרון:

P(T1∩T2)=510⋅49=29\begin{aligned}P(T_1 \cap T_2) &= \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \\ &= \frac{2}{9}\end{aligned}

שתיים בטעם תות

P(L1∩L2)=510⋅49=29\begin{aligned}P(L_1 \cap L_2) &= \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \\ &= \frac{2}{9}\end{aligned}

שתיים בטעם לימון

29+29=49≈0.44\frac{2}{9}+\frac{2}{9}=\frac{4}{9} \approx 0.44

שני מאורעות זרים: מחברים

49≈0.44\frac{4}{9} \approx 0.44. המלכודת: 12\frac{1}{2} — הסיכוי ש«השנייה תתאים לראשונה» הוא 49\frac{4}{9}, כי אחת כבר יצאה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

בשקית 55 סוכריות בטעם תות ו-xx סוכריות בטעם לימון. מוציאים מהשקית באקראי סוכרייה אחת, ואחריה, בלי להחזיר, סוכרייה שנייה. נסמן ב-T1T_1 את המאורע «הראשונה בטעם תות», ב-L2L_2 את המאורע «השנייה בטעם לימון», וכן הלאה. נמצא: x=5x=5, כלומר 1010 סוכריות בשקית. ג. ידוע שהסוכרייה השנייה בטעם לימון. מה ההסתברות שהראשונה בטעם תות? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.56

הפתרון:

P(L2)=510⋅59+510⋅49=4590=12\begin{aligned}P(L_2) &= \frac{5}{10} \cdot \frac{5}{9}+\frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \\ &= \frac{45}{90} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

הסתברות שלמה: שני ענפים

P(T1∩L2)=2590P(T_1 \cap L_2)=\frac{25}{90}

ענף אחד

25/901/2=59≈0.56\frac{25/90}{1/2}=\frac{5}{9} \approx 0.56

הסתברות מותנית

59≈0.56\frac{5}{9} \approx 0.56. המלכודת: לענות 510\frac{5}{10} «כי הראשונה נבחרה לפני» — המידע על השנייה משנה את ההסתברות של הראשונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

בשקית 55 סוכריות בטעם תות ו-xx סוכריות בטעם לימון. מוציאים מהשקית באקראי סוכרייה אחת, ואחריה, בלי להחזיר, סוכרייה שנייה. נסמן ב-T1T_1 את המאורע «הראשונה בטעם תות», ב-L2L_2 את המאורע «השנייה בטעם לימון», וכן הלאה. נמצא: x=5x=5, וההסתברות ששתיהן בטעם תות 29\frac{2}{9}. ד. מה ההסתברות שלפחות אחת מהסוכריות בטעם לימון? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.78

הפתרון:

1−P(T1∩T2)1-P(T_1 \cap T_2)

המאורע המשלים: שתיהן בטעם תות

=1−29=79≈0.78=1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9} \approx 0.78

79≈0.78\frac{7}{9} \approx 0.78. המלכודת: לחשב רק «בדיוק אחת» (59\frac{5}{9}) ולשכוח את המקרה ששתיהן בטעם לימון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 4 — משולש ישר זווית ומלבן במערכת צירים

תרגיל 14

שרטוט לשאלה 4
ABCD-4-2024681012-5-4-3-2-112345678xy

במשולש ABCABC נתון A(−2,1)A(-2,1) ו-B(8,6)B(8,6). הזווית ∠BAC\angle BAC ישרה, והקודקוד CC נמצא על ציר ה-yy. א. מצאו את משוואת הישר ACAC ואת הקודקוד CC.

y=y= ____ x+x+ ____ ; C(0,C(0, ____ ))

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=y= -2 x+x+ -3 ; C(0,C(0, -3 ))

הפתרון:

mAB=6−18+2=12\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{6-1}{8+2} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שיפוע

mAC=−2m_{AC}=-2

ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים −1-1

y−1=−2(x+2)⇒y=−2x−3\begin{aligned}y-1 &= -2(x+2) \Rightarrow y \\ &= -2x-3\end{aligned}

משוואת ישר לפי נקודה ושיפוע

x=0⇒C(0,−3)x=0 \Rightarrow C(0,-3)

CC על ציר ה-yy

ACAC: y=−2x−3y=-2x-3, ו-C(0,−3)C(0,-3). המלכודת: להעביר את הישר המאונך דרך BB — הזווית הישרה היא ב-AA, ולכן ACAC יוצא מ-AA.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

שרטוט לשאלה 4
ABCD-4-2024681012-5-4-3-2-112345678xy

במשולש ABCABC נתון A(−2,1)A(-2,1) ו-B(8,6)B(8,6). הזווית ∠BAC\angle BAC ישרה, והקודקוד CC נמצא על ציר ה-yy. נמצא: C(0,−3)C(0,-3). ב. חשבו את שטח המשולש ABCABC.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

AB=102+52=125\begin{aligned}AB &= \sqrt{10^2+5^2} \\ &= \sqrt{125}\end{aligned}

נוסחת המרחק

AC=22+42=20\begin{aligned}AC &= \sqrt{2^2+4^2} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

נוסחת המרחק

S=125⋅202=25002=25\begin{aligned}S &= \frac{\sqrt{125} \cdot \sqrt{20}}{2} \\ &= \frac{\sqrt{2500}}{2} \\ &= 25\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית: מחצית מכפלת הניצבים

השטח 2525. המלכודת: לקחת את BCBC כאחד הניצבים — BCBC מול הזווית הישרה, והוא היתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

שרטוט לשאלה 4
ABCD-4-2024681012-5-4-3-2-112345678xy

במשולש ABCABC נתון A(−2,1)A(-2,1) ו-B(8,6)B(8,6). הזווית ∠BAC\angle BAC ישרה, והקודקוד CC נמצא על ציר ה-yy. נמצא: C(0,−3)C(0,-3), ו-∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ. ג. הנקודה DD נבחרה כך שהמרובע ABDCABDC הוא מלבן. מצאו את DD.

D(D( ____ ,, ____ ))

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: D(D( 10 ,, 2 ))

הפתרון:

AB⃗=(10,5)\vec{AB}=(10,5)

במלבן CDCD שווה ומקביל ל-ABAB

D=C+(10,5)=(10,2)\begin{aligned}D &= C+(10,5) \\ &= (10,2)\end{aligned}
(−2+102,1+22)=(8+02,6−32)=(3,1.5)\begin{aligned}\left(\frac{-2+10}{2},\frac{1+2}{2}\right) &= \left(\frac{8+0}{2},\frac{6-3}{2}\right) \\ &= (3,1.5)\end{aligned}

בדיקה: האלכסונים ADAD ו-BCBC חוצים זה את זה

D(10,2)D(10,2). המלכודת: לחשב A+B−CA+B-C — זה הקודקוד שמול CC, והוא נותן מקבילית אחרת. בסדר ABDCABDC הקודקוד DD מול AA.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

שרטוט לשאלה 4
ABCD-4-2024681012-5-4-3-2-112345678xy

במשולש ABCABC נתון A(−2,1)A(-2,1) ו-B(8,6)B(8,6). הזווית ∠BAC\angle BAC ישרה, והקודקוד CC נמצא על ציר ה-yy. נמצא: C(0,−3)C(0,-3), ושטח המשולש ABCABC הוא 2525. ד. הנקודה KK נמצאת על החלק החיובי של ציר ה-xx, ושטח המשולש ABKABK שווה לשטח המשולש ABCABC. מצאו את שיעור ה-xx של KK.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

K∈ℓ∥AB, C∈ℓK \in \ell \parallel AB, \ C \in \ell

לשני משולשים עם בסיס משותף ABAB שטח שווה כשהגבהים שווים

ℓ: y=12x−3\ell: \ y=\frac{1}{2}x-3

ישר מקביל ל-ABAB דרך CC

0=12x−3⇒x=6\begin{aligned}0 &= \frac{1}{2}x-3 \Rightarrow x \\ &= 6\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-xx

K(6,0)K(6,0). המלכודת: לחפש KK כך ש-AK=ACAK=AC — שטח שווה דורש גובה שווה לבסיס המשותף, לא צלע שווה. (הישר המקביל בצד השני חותך את ציר ה-xx ב-x=−14x=-14, בחלק השלילי.)

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 5 — מעגל שמשיק לציר

תרגיל 18

שרטוט לשאלה 5
TDPM-202468101214-4-224681012xy

נתון המעגל x2+y2−10x−4y+4=0x^2+y^2-10x-4y+4=0, שמרכזו MM. א. מצאו את MM ואת רדיוס המעגל.

M(M( ____ ,, ____ )) ; R=R= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: M(M( 5 ,, 2 )) ; R=R= 5

הפתרון:

(x2−10x+25)+(y2−4y+4)=−4+25+4(x^2-10x+25)+(y^2-4y+4)=-4+25+4

השלמה לריבוע

(x−5)2+(y−2)2=25(x-5)^2+(y-2)^2=25

משוואת מעגל קנונית

M(5,2) R=5\begin{aligned}M(5,2) \\ \ R &= 5\end{aligned}

M(5,2)M(5,2) ו-R=5R=5. המלכודת: סימנים — מ-−10x-10x מקבלים x−5x-5, כלומר שיעור חיובי 55.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

שרטוט לשאלה 5
TDPM-202468101214-4-224681012xy

נתון המעגל x2+y2−10x−4y+4=0x^2+y^2-10x-4y+4=0, שמרכזו MM. נמצא: M(5,2)M(5,2), R=5R=5. ב. המעגל משיק לאחד הצירים. לאיזה ציר, ובאיזו נקודה?

  1. לשני הצירים
  2. לציר ה-yy, בנקודה (0,5)(0,5)
  3. לציר ה-yy, בנקודה (0,2)(0,2)
  4. לציר ה-xx, בנקודה (5,0)(5,0)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לציר ה-yy, בנקודה (0,2)(0,2)

הפתרון:

∣xM∣=5=R\begin{aligned}|x_M| &= 5 \\ &= R\end{aligned}

המרחק מהמרכז לציר ה-yy שווה לרדיוס: הציר משיק

∣yM∣=2<R|y_M|=2<R

ציר ה-xx חותך את המעגל

T(0,2)T(0,2)

נקודת ההשקה: הרדיוס המאונך לציר

הנכונה: לציר ה-yy, ב-(0,2)(0,2). המלכודת: (0,5)(0,5) — נקודת ההשקה נמצאת בגובה המרכז, y=2y=2, והרדיוס 55 הוא המרחק האופקי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

שרטוט לשאלה 5
TDPM-202468101214-4-224681012xy

נתון המעגל x2+y2−10x−4y+4=0x^2+y^2-10x-4y+4=0, שמרכזו MM. נמצא: M(5,2)M(5,2), R=5R=5, והמעגל משיק לציר ה-yy ב-T(0,2)T(0,2). ג. נסמן T(0,2)T(0,2) ו-D(10,2)D(10,2). הנקודה P(8,6)P(8,6) נמצאת על המעגל. הוכיחו כי ∠TPD=90∘\angle TPD=90^\circ.

  • M(5,2)M(5,2) מרכז המעגל
  • T(0,2)T(0,2), D(10,2)D(10,2) ו-P(8,6)P(8,6) על המעגל

∠TPD=90∘\angle TPD=90^\circ

להציג את התשובה והפתרון
  1. MM אמצע TDTD — נוסחת אמצע קטע: (0+102,2+22)=(5,2)\left(\frac{0+10}{2},\frac{2+2}{2}\right)=(5,2)
  2. TDTD קוטר — מיתר שעובר דרך מרכז המעגל הוא קוטר
  3. ∠TPD=90∘\angle TPD=90^\circ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה

הפתרון:

MאמצעTDM אמצע TD

נוסחת אמצע קטע: (0+102,2+22)=(5,2)\left(\frac{0+10}{2},\frac{2+2}{2}\right)=(5,2)

TDקוטרTD קוטר

מיתר שעובר דרך מרכז המעגל הוא קוטר

∠TPD=90∘\angle TPD=90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה

הקוטר הוא המפתח: MM באמצע TDTD, ולכן כל זווית היקפית עליו ישרה. המלכודת: להוכיח בשיפועים ולשכוח שהמשפט על הקוטר עושה את זה בשורה אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

שרטוט לשאלה 5
TDPM-202468101214-4-224681012xy

נתון המעגל x2+y2−10x−4y+4=0x^2+y^2-10x-4y+4=0, שמרכזו MM. נמצא: M(5,2)M(5,2), R=5R=5. ד. מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה P(8,6)P(8,6).

y=y= ____ x+x+ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=y= -0.75 x+x+ 12

הפתרון:

mMP=6−28−5=43\begin{aligned}m_{MP} &= \frac{6-2}{8-5} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס לנקודת ההשקה

m=−34m=-\frac{3}{4}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

y−6=−34(x−8)⇒y=−0.75x+12\begin{aligned}y-6 &= -\frac{3}{4}(x-8) \Rightarrow y \\ &= -0.75x+12\end{aligned}

המשיק y=−0.75x+12y=-0.75x+12. המלכודת: שיפוע −43-\frac{4}{3} — מחליפים סימן וגם הופכים את השבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

שרטוט לשאלה 5
TDPM-202468101214-4-224681012xy

נתון המעגל x2+y2−10x−4y+4=0x^2+y^2-10x-4y+4=0, שמרכזו MM. T(0,2)T(0,2), D(10,2)D(10,2), P(8,6)P(8,6), ו-∠TPD=90∘\angle TPD=90^\circ. ה. חשבו את שטח המשולש TPDTPD.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

TP=82+42=80PD=22+42=20\begin{aligned}TP &= \sqrt{8^2+4^2} \\ &= \sqrt{80} \\ \quad PD &= \sqrt{2^2+4^2} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

נוסחת המרחק

∠TPD=90∘\angle TPD=90^\circ

הוכח בסעיף ג

S=80⋅202=402=20\begin{aligned}S &= \frac{\sqrt{80} \cdot \sqrt{20}}{2} \\ &= \frac{40}{2} \\ &= 20\end{aligned}

מחצית מכפלת הניצבים

השטח 2020. בדיקה: בסיס TD=10TD=10 וגובה 44 (המרחק של PP מהישר y=2y=2). המלכודת: לקחת את TDTD כניצב — TDTD הוא היתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 6 — פונקציה רציונלית המוגדרת לכל x

תרגיל 23

נתונה הפונקציה f(x)=axx2+4f(x)=\dfrac{ax}{x^2+4}, ו-aa פרמטר חיובי. שיפוע המשיק לגרף של ff בראשית הצירים הוא 22. א. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

f′(x)=a(x2+4)−ax⋅2x(x2+4)2=a(4−x2)(x2+4)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{a(x^2+4)-ax \cdot 2x}{(x^2+4)^2} \\ &= \frac{a(4-x^2)}{(x^2+4)^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

f′(0)=4a16=a4=2\begin{aligned}f'(0) &= \frac{4a}{16} \\ &= \frac{a}{4} \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע המשיק בראשית

a=8a=8

a=8a=8. המלכודת: להציב f(0)=2f(0)=2 — הנתון הוא על השיפוע, ולכן מציבים בנגזרת. (f(0)=0f(0)=0 לכל aa.)

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

נתונה הפונקציה f(x)=axx2+4f(x)=\dfrac{ax}{x^2+4}, ו-aa פרמטר חיובי. שיפוע המשיק לגרף של ff בראשית הצירים הוא 22. הציבו a=8a=8: f(x)=8xx2+4f(x)=\dfrac{8x}{x^2+4}. ב. מצאו את נקודות הקיצון של ff וקבעו את סוגן.

מקסימום: (( ____ ,, ____ )) ; מינימום: (( ____ ,, ____ ))

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מקסימום: (( 2 ,, 2 )) ; מינימום: (( -2 ,, -2 ))

הפתרון:

f′(x)=8(4−x2)(x2+4)2=0⇒x=±2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{8(4-x^2)}{(x^2+4)^2} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}

המכנה חיובי תמיד: ff מוגדרת לכל xx

f′(−3)<0, f′(0)>0, f′(3)<0f'(-3)<0, \ f'(0)>0, \ f'(3)<0

טבלת סימנים

f(2)=168=2f(−2)=−2\begin{aligned}f(2) &= \frac{16}{8} \\ &= 2 \\ \quad f(-2) &= -2\end{aligned}

מקסימום (2,2)(2,2), מינימום (−2,−2)(-2,-2). המלכודת: לחפש אסימפטוטה אנכית — x2+4>0x^2+4>0 תמיד, ולכן אין כזאת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

נתונה הפונקציה f(x)=axx2+4f(x)=\dfrac{ax}{x^2+4}, ו-aa פרמטר חיובי. שיפוע המשיק לגרף של ff בראשית הצירים הוא 22. f(x)=8xx2+4f(x)=\dfrac{8x}{x^2+4}; מקסימום (2,2)(2,2), מינימום (−2,−2)(-2,-2). ג. נגדיר g(x)=∣f(x)∣g(x)=|f(x)|. כמה פתרונות יש למשוואה g(x)=1g(x)=1?

  1. 22
  2. 33
  3. 00
  4. 44
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 44

הפתרון:

y=0y=0

אסימפטוטה אופקית: מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה

g(x)=∣f(x)∣: 0≤g≤2g(x)=|f(x)|: \ 0 \le g \le 2

החלק שמתחת לציר מתהפך למעלה; שני מקסימומים בגובה 22

f(x)=1: x2−8x+4=0f(x)=−1: x2+8x+4=0\begin{aligned}f(x) &= 1: \ x^2-8x+4 \\ &= 0 \\ \quad f(x) &= -1: \ x^2+8x+4 \\ &= 0\end{aligned}

כל משוואה נותנת שני פתרונות

הנכונה: 44 — הישר y=1y=1 חותך כל אחת משתי ה«גבעות» של gg פעמיים. המלכודת: 22 — לספור רק את החלק החיובי של ff ולשכוח שהערך המוחלט מעלה גם את החלק השלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 26

נתונה הפונקציה f(x)=axx2+4f(x)=\dfrac{ax}{x^2+4}, ו-aa פרמטר חיובי. שיפוע המשיק לגרף של ff בראשית הצירים הוא 22. f(x)=8xx2+4f(x)=\dfrac{8x}{x^2+4}; מקסימום (2,2)(2,2). ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′(x)f'(x), ציר ה-xx וציר ה-yy, ברביע הראשון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f′(x)≥0,0≤x≤2f'(x) \ge 0, \quad 0 \le x \le 2

הגרף של f′f' מעל הציר עד x=2x=2, שם הוא מתאפס

∫02f′(x) dx=f(2)−f(0)\int_0^2 f'(x)\,dx=f(2)-f(0)

ff פונקציה קדומה של f′f'

=2−0=2=2-0=2

השטח 22. המלכודת: לנסות למצוא פונקציה קדומה «חדשה» ל-f′f' — היא כבר ידועה: ff עצמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 7 — פונקציית שורש: משיק אופקי

תרגיל 27

נתונה הפונקציה f(x)=(x−a)10−xf(x)=(x-a)\sqrt{10-x}, ו-aa פרמטר. המשיק לגרף של ff בנקודה שבה x=6x=6 מקביל לציר ה-xx. א. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

f′(x)=10−x−x−a210−x=20−3x+a210−x\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{10-x}-\frac{x-a}{2\sqrt{10-x}} \\ &= \frac{20-3x+a}{2\sqrt{10-x}}\end{aligned}

נגזרת של מכפלה; הנגזרת הפנימית של 10−x10-x היא −1-1

f′(6)=2+a4=0\begin{aligned}f'(6) &= \frac{2+a}{4} \\ &= 0\end{aligned}

משיק מקביל לציר ה-xx: שיפוע 00

a=−2a=-2

a=−2a=-2. המלכודת: לשכוח את הנגזרת הפנימית −1-1 ולקבל 20−x−a210−x\frac{20-x-a}{2\sqrt{10-x}}, ומכאן a=14a=14.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 28

נתונה הפונקציה f(x)=(x−a)10−xf(x)=(x-a)\sqrt{10-x}, ו-aa פרמטר. המשיק לגרף של ff בנקודה שבה x=6x=6 מקביל לציר ה-xx. הציבו a=−2a=-2: f(x)=(x+2)10−xf(x)=(x+2)\sqrt{10-x}. ב. מצאו את תחום ההגדרה של ff, ואת נקודת המקסימום שלה.

תחום: x≤x \le ____ ; מקסימום: (( ____ ,, ____ ))

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: תחום: x≤x \le 10 ; מקסימום: (( 6 ,, 16 ))

הפתרון:

10−x≥0⇒x≤1010-x \ge 0 \Rightarrow x \le 10

מתחת לשורש אי-שלילי

f′(x)=18−3x210−x; f′(5)>0 f′(7)<0\begin{aligned}f'(x) &= \frac{18-3x}{2\sqrt{10-x}}; \ f'(5)>0 \\ \ f'(7)<0\end{aligned}

עלייה ואז ירידה

f(6)=8⋅4=16\begin{aligned}f(6) &= 8 \cdot \sqrt{4} \\ &= 16\end{aligned}

התחום x≤10x \le 10, והמקסימום (6,16)(6,16). המלכודת: תחום x≥10x \ge 10 — כשה-xx מופיע עם מינוס מתחת לשורש, אי-השוויון מתהפך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 29

נתונה הפונקציה f(x)=(x−a)10−xf(x)=(x-a)\sqrt{10-x}, ו-aa פרמטר. המשיק לגרף של ff בנקודה שבה x=6x=6 מקביל לציר ה-xx. f(x)=(x+2)10−xf(x)=(x+2)\sqrt{10-x}; המקסימום (6,16)(6,16). ג. נגדיר g(x)=f(x)+cg(x)=f(x)+c. הישר y=20y=20 משיק לגרף של gg. מצאו את cc.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

gmax⁡=16+cg_{\max}=16+c

הזזה אנכית מזיזה את המקסימום למעלה ב-cc

16+c=20⇒c=4\begin{aligned}16+c &= 20 \Rightarrow c \\ &= 4\end{aligned}

משיק אופקי לגרף נוגע בנקודת הקיצון

c=4c=4. המלכודת: c=20c=20 — הישר נוגע במקסימום, שגובהו כבר 1616, ולכן מוסיפים רק את ההפרש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 30

נתונה הפונקציה f(x)=(x−a)10−xf(x)=(x-a)\sqrt{10-x}, ו-aa פרמטר. המשיק לגרף של ff בנקודה שבה x=6x=6 מקביל לציר ה-xx. f(x)=(x+2)10−xf(x)=(x+2)\sqrt{10-x}; המקסימום (6,16)(6,16). ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′(x)f'(x), ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=6x=6.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

1≤x≤6: f′(x)≥01 \le x \le 6: \ f'(x) \ge 0

הגרף של f′f' מעל הציר בקטע

∫16f′(x) dx=f(6)−f(1)\int_1^6 f'(x)\,dx=f(6)-f(1)

ff פונקציה קדומה של f′f'

=16−3⋅3=7=16-3 \cdot 3=7

f(1)=39=9f(1)=3\sqrt{9}=9

השטח 77. המלכודת: לחשב f(6)f(6) לבד — השטח הוא הפרש הערכים של ff בין שני הגבולות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 8 — בעיית ערך קיצון: מלבן וגרף רציונלי

תרגיל 31

שרטוט לשאלה 8
OAPB01234567890123456789xy
P על הגרף, A על ציר ה-x ו-B על ציר ה-y.

הנקודה PP נמצאת על הגרף של f(x)=32x2f(x)=\dfrac{32}{x^2}, ברביע הראשון. OAPBOAPB מלבן: OO ראשית הצירים, AA על ציר ה-xx, BB על ציר ה-yy. שיעור ה-xx של PP הוא tt (t>0t>0). א. איזה ביטוי מתאר את היקף המלבן OAPBOAPB?

  1. L(t)=32tL(t)=\dfrac{32}{t}
  2. L(t)=2t+64tL(t)=2t+\dfrac{64}{t}
  3. L(t)=2t+64t2L(t)=2t+\dfrac{64}{t^2}
  4. L(t)=t+32t2L(t)=t+\dfrac{32}{t^2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג L(t)=2t+64t2L(t)=2t+\dfrac{64}{t^2}

הפתרון:

OA=tAP=32t2\begin{aligned}OA &= t \\ \quad AP &= \frac{32}{t^2}\end{aligned}

צלעות המלבן: שיעורי PP

L=2t+2⋅32t2=2t+64t2\begin{aligned}L &= 2t+2 \cdot \frac{32}{t^2} \\ &= 2t+\frac{64}{t^2}\end{aligned}

היקף מלבן

הנכונה: 2t+64t22t+\frac{64}{t^2}. המלכודות: 32t\frac{32}{t} הוא השטח; t+32t2t+\frac{32}{t^2} הוא חצי היקף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 32

שרטוט לשאלה 8
OAPB01234567890123456789xy
P על הגרף, A על ציר ה-x ו-B על ציר ה-y.

הנקודה PP נמצאת על הגרף של f(x)=32x2f(x)=\dfrac{32}{x^2}, ברביע הראשון. OAPBOAPB מלבן: OO ראשית הצירים, AA על ציר ה-xx, BB על ציר ה-yy. שיעור ה-xx של PP הוא tt (t>0t>0). L(t)=2t+64t2L(t)=2t+\dfrac{64}{t^2}. ב. מצאו את tt שעבורו היקף המלבן הקטן ביותר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

L′(t)=2−128t3L'(t)=2-\frac{128}{t^3}

גזירה: (64t2)′=−128t3\left(\frac{64}{t^2}\right)'=-\frac{128}{t^3}

2−128t3=0⇒t3=64⇒t=4\begin{aligned}2-\frac{128}{t^3} &= 0 \Rightarrow t^3 \\ &= 64 \Rightarrow t \\ &= 4\end{aligned}
L′(2)<0, L′(5)>0L'(2)<0, \ L'(5)>0

ירידה ואז עלייה: מינימום

t=4t=4. המלכודת: לגזור את 64t2\frac{64}{t^2} ל-−64t-\frac{64}{t} — הנגזרת של t−2t^{-2} היא −2t−3-2t^{-3}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 33

שרטוט לשאלה 8
OAPB01234567890123456789xy
P על הגרף, A על ציר ה-x ו-B על ציר ה-y.

הנקודה PP נמצאת על הגרף של f(x)=32x2f(x)=\dfrac{32}{x^2}, ברביע הראשון. OAPBOAPB מלבן: OO ראשית הצירים, AA על ציר ה-xx, BB על ציר ה-yy. שיעור ה-xx של PP הוא tt (t>0t>0). L(t)=2t+64t2L(t)=2t+\dfrac{64}{t^2}, והמינימום ב-t=4t=4. ג. מהו ההיקף הקטן ביותר של המלבן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

L(4)=8+6416=8+4=12\begin{aligned}L(4) &= 8+\frac{64}{16} \\ &= 8+4 \\ &= 12\end{aligned}

מציבים t=4t=4

P(4,2)P(4,2)

המלבן: 44 על 22

ההיקף הקטן ביותר 1212. המלכודת: לענות 44 — זה ה-tt שבו מתקבל המינימום, לא ההיקף עצמו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 34

שרטוט לשאלה 8
OAPB01234567890123456789xy
P על הגרף, A על ציר ה-x ו-B על ציר ה-y.

הנקודה PP נמצאת על הגרף של f(x)=32x2f(x)=\dfrac{32}{x^2}, ברביע הראשון. OAPBOAPB מלבן: OO ראשית הצירים, AA על ציר ה-xx, BB על ציר ה-yy. שיעור ה-xx של PP הוא tt (t>0t>0). ההיקף הקטן ביותר של המלבן הוא 1212. ד. הוכיחו או הפריכו: אפשר לבחור את PP כך שהיקף המלבן יהיה 1111.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

Lmin⁡=12L_{\min}=12

המינימום היחיד בתחום t>0t>0

11<1211<12

ההיקף לא יורד מתחת ל-1212

לא נכון. המלכודת: לחשוב ש«מלבן קטן יותר» נותן היקף קטן יותר — כש-tt קטן, הצלע 32t2\frac{32}{t^2} גדלה מאוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת